初中数学竞赛辅导讲义及习题解答第29讲由正难则反切入

1、1第二十九讲由正难则反切入人们习惯的思维方式是正向思维，即从条件手，进行正面的推导和论证，使问题得到解决但有些数学问题，若直接从正面求解，则思维较易受阻，而“正难则反，顺难则逆，直 难则曲”是突破思维障碍的重要策略.数学中存在着大量的正难则反的切入点. 数学中的定义、公式、法则和等价关系都是双 向的，具有可逆性；对数学方法而言，特殊与一般、具体与抽象、分析与综合、归纳与演绎, 其思考方向也是可逆的；作为解题策略，当正向思考困难时可逆向思考， 直接证明受阻时可 间接证明，探索可能性失败时转向考察不可能性由正难则反切入的具体途径有：1.定义、公式、法则的逆用；2.常量与变量的换位；3 反客为主；4

2、.反证法等.【例题求解】【例 1】已知x满足 _x2_2x=2，那么 x22x 的值为_.x 2x思路点拨 视 x22x 为整体，避免解高次方程求x的值.【例 2】已知实数a、b、c满足 a= b，且2002(a -b) 2002 (b -c) (c _a) = 0求(c)9-a)(a-b)2的值.思路点拨显然求a、b、c的值或寻求a、b、c的关系是困难的，令.2000二x，则 2002= x2,原等式就可变形为关于x的一元二次方程，运用根与系数关系求解.注：(1)人们总习惯于用凝固的眼光看待常量与变量，认为它们泾渭分明，更换不得，实际 上将常量设为变量，或将变量暂时看作常量，都会给人以有益的

3、启示.(2)人的思维活动既有“求同”和“定势”的方面，又有“求异”和“变通”的方面.求 同与求异，定势与变通是人的思维个性的两极，充分利用知识和方法的双向性，是培养思维能力的重要途径.正难则反在具体的解题中，还表现为下列各种形式：(1) 不通分母通分子；(2) 不求局部求整体；(3) 不先开方先平方；2(4) 不用直接挖隐含；(5) 不算相等算不等；(6) 不求动态求静态等.【例 3】 设a、b、c为非零实数，且 ax22bx c =0 , bx22cx a = 0 , ex22ax b = 0 , 试问：a、b、c满足什么条件时，三个二次方程中至少有一个方程有不等的实数根.思路点拨如从正面考

4、虑，条件“三个方程中至少有一个方程有不等的实数根”所涉及的情况比较复杂，但从其反面考虑情况却十分简单，只有一种可能，即三个方程都没有实数根， 然后从全体实数中排除三个方程都无实数根的a、b、c的取值即可.注：受思维定势的消极影响，人们在解决有几个变量的问题时，总抓住主元不放，使有些问题的解决较为复杂，此时若变换主元，反客为主，问题常常能获得简解.【例 4】 已知一平面内的任意四点，其中任何三点都不在一条直线上，试问：是否一定能从这样的四点中选出三点构成一个三角形，使得这个三角形至少有一内角不大于45 ?请证明你的结论.思路点拨 结论是以疑问形式出现的， 不妨先假定是肯定的，然后推理.若推出矛盾

5、，则说明结论是否定的；若推不出矛盾，则可考虑去证明结论是肯定的.【例 5】能够找到这样的四个正整数， 使得它们中任两个数的积与 数吗？若能够，请举出一例；若不能够，请说明理由.思路点拨先假设存在正整数 n1, n2, n3, n4满足mnj，2000 =m2(i , j =1 , 2, 3, 4, m 为正整数)运用完全平方数性质、奇偶性分析、分类讨论综合推理，若推出矛盾，则原 假设不成立.注：反证法是从待证命题的结论的反面出发，进行推理，通过导出矛盾来判断待证命题成立的方法，其证明的基本步骤是：否定待证命题的结论、推理导出矛盾、肯定原命题的结论.宜用反证法的三题特征是：(1) 结论涉及无限；

6、(2) 结论涉及唯一性；2002 的和都是完全平方3(3) 结论为否定形式；(4) 结论涉及“至多，至少”；(5) 结论以疑问形式出现等.学力训练1 由小到大排列各分数：-，10，12，15，20，60是1117192333912. 分解因式x3亠(1 a)x22ax亠a2=_3.解关于x的方程：2x4-7x3-3ax23x24ax a2=0(a -)得x=.84.一111_ 的结果是.2 1 1,23 2 2 3100.99 99、1005 . 若关于x的三个方程，x2亠 4mx 亠 4m2亠 2m 亠 3 =0 ,x2亠(2m T)x、m2=0,(m -1)x22mx m _1 =0中至少

7、有一个方程有实根，则m 的取值范围是 _ .6.有甲、乙两堆小球，如果第一次从甲堆拿出和乙堆同样多的小球放到乙堆，第二次从乙 堆拿出和甲堆剩下的同样多的小球放到甲堆，如此挪动4 次后，甲、乙两堆小球恰好都是16 个，那么，甲、乙两堆最初各有多少个小球？27.求这样的正整数a，使得方程ax - 2(2a -1)x，4a_7 =0至少有一个整数解.&某班参加运动会的 19 名运动员的运动服号码恰是119 号，这些运动员随意地站成一个圆圈，则一定有顺次相邻的3 名运动员，他们运动服号码之和不小于32,请说明理由.9.如正整数a和b之和是n，则n可变为 ab，问能不能用这种方法数次，将 22

8、变成 2001 ?10.证明：如果整系数二次方程 ax2，bx，c=0a (a 严 0)有有理根，那么a, b ,c中至少有 一个是偶数.11.在 ABC 中是否存在一点 P,使得过 P 点的任意一直线都将该 ABC 分成等面积的两 部分？为什么？12.求证：形如 4n+3 的整数是(n 为整数)不能化为两个整数的平方和.13.13 位小运动员，他们着装的运动服号码分别是113 号.问：这 13 名运动员能否站成一个圆圈，使得任意相邻的两名运动员号码数之差的绝对值都不小于3，且不大于 5?如果能，试举一例；如果不能，请说明理由.14.有 12 位同学围成一圈，其中有些同学手中持有鲜花，鲜花总数

9、为 13 束，他们进行分花游戏，每次分花按如下规则进行：其中一位手中至少持有两束鲜花的同学拿出两束鲜花分给与其相邻的左右两位同学，每人一束.试证：在持续进行这种分花游戏的过程中，一定会出 现至少有 74位同学手中持有鲜花的情况.参考答案固由正难则反切入【例题求解】钢 1 I 由亲件得血十+ 但工+ 3=(工十】户十 2 二碁故*+2H-12 V afr. A 可得到关于工的一元二抚方程 tjr!+ (6C)JT-I-(cn) = 0.V (a fr) + (6c) + tf a)=0i A 方程必有 i|fi 为 1 设另一根为 x/2002-则由韦达定理得 f y2352+lz4_ LJa.

10、原式-(c Z_ /2002 720024-1) =-2002 +22,_rtiaa abS/2002X1 = -7.2b列 3 设三个二皮方程都没有不檸实整.则5 4w 耳 04rJ三式相加，f# 护+A： abAffa 茎 0；、(a fr)1+ (6 r)i-r ca)f04J-4dr*+-0.A C +t)1-1(c-a，BOr；= s 这蛊明，若三个方程罪栓有不等的实棍，期 a = 6=c.W 此当 fl.fr.r 为不全相零的菲零实数时*三个 方程至少有一个方程有不等的实救眾.4 能补若四点 A.B.c,n 构成凸四边形，则必有-个内不帥设为 这足因为假没四个内角祁北于旳+则 36

11、OD= Z+ZB+Zf，+ZP 4X90 = 360*. irXZAZ吕 AC+CAD：180 = 60*.不姑设 ZAC605tZA = ZBD+ZCAD60*.则BAD 与CAD 之中必有一伞瘟* X 6O*C45.战 结论底立.W5 不能找和这样的四它们中任两牛敦的积与 2Q02 的和抵是先全平方数，理由如下；個数的孚方龍翘 4 廉陈+奇敢的平方嫌 4 除余 L,也就是正整数的平方锻4除余。或 L若存在正廉歡 Er+地，也境足小叫+闔帖=存卅 J= 1.2,3,4, wr 是正施数；因为 2002 檢 4 篠余氛所及n.ttr魅 1 粽磁 余23.门若正第歡 m 皿 5 皿中有两牛是側数

12、*不婿设 W E 是偶數.則 rt，nt-2002按 4 除余氛与正整救的平方破 4 除余 Q 或 1 不苻.所以正整數眄.吨.叫砥中至爹有一牛是偶數.至少有三牛屆奇数-） 在这三个奇数中菽 4 除的余数可芬.为余 1 或 3 两类.抿据捕屉原则.亦有两个奇数属于同一类.则它怕的乘枳被! 馨余 1 与啟吃，啟 4 醸余左或 3 的结论尹庖.媒上所述.不能找到这样的四个疋螯数，粳得它们中任蒔个蛙的积与 2002 的和郁足完全平方数.【学力训练】ltA10U155O25_刃“一申产$319=2391川xI3 龙解方程诃 +4 工一 3 才加十（2xqj 7 十十 3 丁 = 0 側“4 工一 3、

13、或 um 2F 上*逬一涉梆得 Ji.t1 土i/Ea卜丨_9_二”105-当心 1 时且三牛方程均无实根则一 y*-y（当材=1 时.第三牛方祥报为T= 0.故当 g-弓或心一+时，三牛方稈至少有一亍方程育实报.6.逆推7.耙原方理改为英于的一观方程j + 2）!a = 2j-+7（ 2）,a_ - t J- + Z） 2J+ 7*/. +21 苍 0.解得一 3 茎1、:.JM3T-10,1.|E.r= 3 1.0l 井剧代人得 a 1=吕皿=1.啟 4 =或 q-5 时.顒方程至少有一沖整数解.*在圆周上按逆时针亟.序以 1 号为起点记尿动艇号的數为 ai 出， wttu*口叶*显然 Q

14、i q】 *両旳皿 *+“ *a 护就是 2 5-,18413 的一个排列，令 A, +j +gtAt=at,+at+商 *儿=口） 十血 +aLt,* .At=aT+a,?4 则 4 +儿 - H九=2 + 3 + 4 - J7+L8 + 1S=189若儿*比严/八儿 中毎一沖都$31,则乐十& -卜+十九 X 31 = 186 与上式孝W-6罠逆向推算,2Wl=X667h由&+667 = 670,得列強 0= 10X 64 由 10+67-77 得到 i77=/Xil 由 7+11=1得到从任意* = l+可得到(n-D-lXtu-lJ,因此，从攀开始可依氏得到 2i,20

15、.S.)8t77t67G 和 2OT1,HL 偃设S全疑奇址.且旦是方思的一牛有理 ftb 且,Fr)-=l.fl(a()i +r = 0 即砒卅+加眄+?=0 井别就 H JIFT附邮为奇數，E 为奇数*为偶处，讯対储数曲为奇蠹三科摘况时论，推导矛盾.11. 偃设存在点 P 備足撇芹+连 AP 井延怏去比： 于 6 逹 BF 井廷栓交 A1：于&则 氐阳D=$”H枚BD=CD,同理 AE= CE.fliJ P AAABC的直 4 故爺=专， 过卩柞 SHBC,并别空AH.AC于G、 H*由?!； 用“相(？有进签乂 (籍)=(箸八缶则灵榔才弘訓钿=4 5,SPSg#%冲故点 P 不鴨

16、櫚足条件.即不存在述样的点 P*12. 假设 F=4n+m=J+酹 3 怡为整敦八则与卜磁为一牛奇敢，一牛农败.不姑设 = 2s+l,6=2f(i.r 为整枕.昂尸-仆+ 3=a1+fr2=2( (+l)l+ (St) )1-4Gl+i+/I) + l即尸既是 4+3 基泊诳* 丈是型的数，出现尹 ALIX 不麗办到，躍由如下；悝设能骼排号鸥購足萌设要求.遗们将号砰敬廿为两 A &为】2 川*ll L2.13B 组为 145 諾*匚乩 41 们”显棘A 组中的任曲牛数的菱的絶对帙要也小于氛要会丈于氣所以在捧辰的園圈中 A 组中的任不能榨嘟*也 就足八组中的枉两片散之问至少邮宴摘放 1

17、牛 E 组中的數.迴 A 堆中的戳排或一羸后有石牛阿隔组中有丁牛歎*所 口排好陪有一牛间陽且只有亠牛阿陽描放有 3 组中的两 GtS2t(6a)()(e)(63(fldDt(7.12)ffif3X6.11XSlS)(8118) )K.l)( (rUi( (ioa3)I从中町见，B 堀申的数 5 氣 7 硏 9 都能与掩姐中的闊牛不同的数相郭族賣 4 只与艷对昇。只与 13 配时因此排虛團 胆石匚40 邮不能单独插在 A 组中的陳牛不网牡之冊，4、1。只能伟为相邻的前tlfc 捕在 A 蛆中前两牛不同甦之间.也就 是 4 与 10 .相邻，此时 IQ-4=$A5,勾悶设护甬！因肚題设要求的邯林不

18、繇办到.14.不肪個设开始时手中持有鮮花的同学 JF 足丁位，殺幻炽哉缶、占彳“、人口按世时什方向依欢分别拆记这12位祠举.U)在井耙游戏过程中，任何相鄆的两扯冋学一泾其中亠也手中持有鮮花，那会在此后的母帆分花之百，他和两人中加 妊至少冇一人乎中持有悍花一事实上，毎武分花如卑务龙的同于来是这曲应同学中的一也瞬么他们儁手屮的鲜吧只左増加，不趙微少” in 果怖们 诵甲的一糧是分花青.那么.井花后男一位冏学一定持有聲花.任何一也同学不町能手中始聲无花.可用反证迭旺明这_点.不紡假设凡手中曲趺无花这竜竦着遇姑彈没柞为步花瓠松手中蝉花 R 栩堰加.不密威少.国总共只欄 13 貶幣 花所 E 经过有限氏分花之后.缶不再接曼醉?E.这