(完整word版)二阶系统

1、3-4二阶系统用二阶微分方程描述的系统，称二阶系统。它在控制系统中应用极为广泛。例如，R-L-C网络、忽略电枢电感后的电动机、弹簧一质量一阻尼器系统、扭转弹簧系统等等。 此外，许多高阶系统，在一定条件下，往往可以简化成二阶系统。因此，详细研究和分析二 阶系统的特性，具有重要的实际意义。以图1-7、图2-21所示随动系统为例进行研究。这里把图2-21进一步简化成图3-9(a)o图中K = KlK2Km/i,系统闭环传递函数为C(5)K=；- (3-9)R(s) Tms+s + K图3-9一般形式的二阶系统结构图为了使研究的结论具有普遍性，将上式写成典型形式或标准形式C(s) _1R(s) T2s

2、2+ 2Ts + lC(s) _研R(s) s2+图3 9(b)为二阶系统的一般结构图形式。式中可见， 二阶系统的响应特性完全可以由阻尼比 和自然频率 (或时间常数7J两个参 数确定。一般形式的闭环特征方程为s2+ 2刼肿+研=0方程的特征根(系统闭环极点)为$2=-现佰-1K0(5)s( 丁涂+1)眛)竺_i吃+2皿)(3-10)9)的2阿当阻尼比较小，即0 vgv 1时，方程有一对实部为负的共轨复根$2=_现土总肛孑 系统时间响应具有振荡特性，称为欠阻尼状态。当歹=1时，系统有一对相等的负实根系统时间响应开始失去振荡特性， 或者说， 处于振荡与不振荡的临界状态， 故称为临界阻尼 状态。图3

3、-10二阶系统的闭坏极点分布及其脉冲响应当阻尼比较大，即1时，系统有两个不相等的负实根=-现3-1这时系统时间响应具有单调特性，称为过阻尼状态。当纟=0时，系统有一对纯虚根，即512称为无阻尼状态。系统时间响应为等幅振荡，其幅值取决于初始条件，而频率则取决于系统本身的参数。上述各种情况对应的闭环极点分布及对应的脉冲响应，如图3-10所示。下面分别研究欠阻尼和过阻尼两种情况的响应及其性能指标。一、二阶系统的阶跃响应1、欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应二阶系统中，欠阻尼二阶系统最为常见。由于这种系统具有一对实部为负的共轨复根，时间响应呈现衰减振荡特性，故又称振荡坏节。当阻尼比0疳vl时，二阶系统的闭坏

4、特征方程有一对共轨复根，即力=-现 土jqJ1-F =-现 +j叫式中0/J1-孕,称为有阻尼振荡角频率，且CDd0 707时，系统阶跃响应力不出现峰值(b% = 0),单调地趋于稳态值。当f = 0 707时，/?(rp) = 1.04/?(0(3-11)图3-110角定义图当f 0(3-12)显然，这时响应具有频率为，的等幅振荡，即无阻尼振荡。此外，当歹过大时，系统响应滞缓，调节时间匚很长，系统快速性差；反之，过小，虽然响应的起始速度较快，但因为振荡强烈，衰减缓慢，所以调节时间亦长，快速性也差。由图3 12可见，对于5%的误差带，当 =0.707时，调节时间最短，即快速性最好，这时超调量o

5、%5%，故平稳性也是很好的，所以把= 0.707称为最佳阻尼比。关于稳态精度：由于随时间的增长，瞬态分量趋于零，而稳态分量恰好与输入量相等, 因此稳态时系统是无差的。欠阻尼二阶系统性能指标的计算如下：延迟时间匚:根据定义，令式(3-11)等于05即/?(0=0.5,整理后可得2sin(Jl_gS/d+aiccos才)取为不同值，可以计算出相应的纟值，然后绘出心与的关系曲线，如图3J3所示。利用曲线拟合方法，町得延迟时间的近似表达式l + 0 6g + 0 2孕(3-13)或fd a1 + 人01(3-14)5上述两式表明，增人或减小，都可以减小延迟时间或者说，当阻尼比不变时, 闭环极点离s平面

6、的坐标原点越远，系统的延迟时间越短：而当自然频率不变时，闭坏 极点离s平面的虚轴越近，系统的延迟时间越短。上升时间匚:根据定义，令式(3-11)等于1。即h(t) =1 ,可得1也有定义力(。上升到稳态10%所需要的时间匚2也有定义力 从稳态的10$上升到90%所需要的时间：也有用h(t)稳态值的90%所需要的时间作为/,。n-0显然，当阻尼比不变时，0角也不变。如果无阻尼振荡频率增人，即增人闭环极 点到坐标原点的距离，那么上升时间f,就会缩短，从而加快了系统的响应速度：阻尼比越小(0越人)，上升时间就越短。峰值时间：将式(3-11)对时间求导并令其为零，可得峰值时间皱I =0dt将上式整理得

7、tan/7 = tan(fi?/p+/7)则有0/0=0，兀，2托、3兀，。根据峰值时间的定义，0是指/冷)越过稳态值，到达第一个峰值所需要的时间，所以应取codtp= 7To因此峰值时间的计算公式为r =或:(3-16)叫4-手COS0A+ / J , suy.=1因为所以则有由图3-11可见所以cos/+sm心=0Vw7/r=aictan2Z5-J1-F力arctan - -=龙一0(3-15)上式表明，峰值时间等于阻尼振荡周期一半。当阻尼比不变时，极点离实轴的距离越远, 系统的峰值时间越短，或者说，极点离坐标原点的距离越远，系统的峰值时间越短。超调量 b%：将峰值时间式(3-16)代入式

8、(3-11),得输出量的最人值h(tp)-疋/&F力(J ) =1- - sin(/r + 0)由图3-11可知sin(;r + 0) = -Jl-F代入上式，则/心)=1+广皿2根据超调量的定义式，并在力(8) = 1条件下，可得o% = e_xlOO%(3-17)显然，超调量仅与阻尼比有关，与自然频率的人小无关。图3-14表示了超调量 b% 与阻尼比f的关系曲线。由图可见，阻尼比越人(0越小)，超调量越小；反之亦然。或者说,闭环极点越接近虚轴，超调量越人。通常，对于随动系统取阻尼比为0.40.8,相应的超 调量为25.4%1.5%。当困难的。在初步分析和设计中，经常采用近似方法 计

9、算。对于欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应来说，指数曲线1*曲/疔 是阶跃响应衰减振荡的 上下二条包络线，整个响应曲线总是包含在这二条包 络线之内，该包络线对称于阶跃响应的稳态分量。在 图3-15中，采用无因次时间0/作横坐标，给出了= 0.707时的单位阶跃响应以及相应的包络线。可见,敛速度要快，因此采用包络线代替实际响应曲线来估算调节时间是可靠的。根据上述分析，当0 8时，经常采用下列近似公式调节时间匚:写出调节时间匚的准确表达式是相(0 = 1-实际响应的收敛速度比包络线的收sin图3-14欠阻尼二阶系统超调量与阻尼比关系曲线将KA=200代入上两式得3： = 1000 ,con= 31.6(

10、rad/s)f = 0.545则系统闭坏传递函数为3.5取5%误差带(3-18)(3-19)上式表明，调节时间与闭环极点的实部数值(鼻) 成反比，实部数值越人，即极点离虚轴的距离越远, 系统的调节时间越短，过渡过程结束得越快。综上所述，从各动态性能指标的计算公式及有 关说明可以看出，各指标之间往往是有矛盾的。如 上升时间和超调量，即响应速度和阻尼程度，要求 上升时间小，必定使超调量加人，反之亦然。当阻尼比一定时，如果允许加人则可以减小所有时间指标、f八。和fp)的数值，同 时超调量可保持不变。因此，在实际系统中，往往需要综合全面考虑各方面的因素，然后再作正确的抉择。即 所谓“最佳”设计。【例3

11、】 在图3-16所示的随动系统中，当给定系统输入为单位阶跃函数时，试计算当放人器增益KA=200时，输出位置响应的性能指标：.、。和 b%。如果将放大器增益增人到KA=1500或减小到 g =13.5 ,那么对 响应的动态性能又有什么影响？解 将图3-16与二阶系统典型结构图形式图3-9(b)进行比较，可得研=5心,34.5 _ 34,5颓_2応取2%误差带k(i)l上式也可直接由图3J6求得。然后，对照标准形式求得CD并把、Q”值代入相应1000s2+2gqs +研-52+34.55 + 1000(3-20)1公式(3-16). (3J8)和(3-17)求得=0.2(5)段=严/FF X10

12、0% = 13%当KA=1500时，同样可计算出con= 86.2(md/s)则有f = 0.2rp= 0.037(5)cr% = 52.7%可见，KA増几使f减小而增人，因而使1时，二阶系统的闭环特征方程有两个不相等的负实根。可写成1 )S + 5 +一T /= 0.12(5)3.5 (歹 +-1)且7；：*，于是闭环传递函数为因此，过阻尼二阶系统可以看成二个时间常数不同的惯性环节的串联。 当输入信号为单位阶跃函数时，系统的输出为=1汀】花匸叫+汀广(驴庁6呻/ 01/7； -1/7；1/7； -1/7；(3-21)式中稳态分量为1，瞬态分量为后两项指数项。可以看出，瞬态分量随时间t的增长而

13、衰减 到零，故系统在稳态时为无差的。其响应曲线如图3-18所示。由图3-18看出，响应是非振荡的，但它是由两个惯性环节串联而产生的，所以又不同 于一阶系统的单位阶跃响应，其起始阶段速度很小，然后逐渐加犬到某一值后又减小，直到 趋于零。因此，整个响应曲线有一个拐点。对于过阻尼二阶系统的性能指标，同样可以用/八。等来描述。这里着重讨论调节时 间它反映系统响应的快速性。确定。的准确表达式同样是很困难的。一般可根据(321)式，令7；/人为不同值，计算出相应的无因次调节时间/J7；。图3J9给出了误差带为5%的调节时间曲线。由图可见：当T=T_即f = 1的临界阻尼情况，ts=4.757；当7； =4

14、7；,即 47；,即1.25时，t严37上述分析说明， 当系统的一个负实根比另一个人4倍以 上时，即两个惯性坏节的时间常数相差4倍以上，则系统可 以等效为一阶系统，其调节时间匚可近似等于37；(误差不人于10%)。这也可以由式(3 21)看出，由于7； 47二所以严项比不必项衰减快得多，即响应曲线主要取决于人时间常数7；确定的坏节，或者说主要取C($)R(s)1TJC亠1 I(7$ + 1)皿 +1)z?(0 = 1-ye图3-18过阻尼二阶系统的阶跃响应1/7正决于离虚轴较近的极点。这样，过阻尼二阶系统调节时间匚的计算，实际上只局限于 = 11.25的范围。当fl 25时，就可将系统等效成一

15、阶系统，其传递函数可近似地表示为R(s)7s + l这一近似函数形式也可根据下述条件直接得到，即原来的传递函数 3 与近似函数的初始R(s)值和最终值，二者对应相等。对于近似传递函数 3,其单位阶跃响应的拉氏变换式R(s)时间响应/?为h(t) 1-6% = 1 _沪曲f0上式就是当少中，有一个极点可以忽略时的近似的单位阶跃响应。图3-20示出了R(s)g = 2、q=1时的近似响应函数曲线，在图中还画出了系统过阻尼时的准确响应函数曲线。这时，系统的近似解为h(t)a 1 - e-27r而这时的准确解，则为h(t) q1 + 0.077 e-3 73/-1.077严准确曲线和近似曲线之间，只是

16、在响应曲线的起始段上有比较显著的差别。【例3-2已知系统结构图如图321所示。其中7 = 0.15,若要求系统的单位阶 跃响应无超调，且调节时间ts=ls,问增益K应取何值？因为T = 0.1(5),所以K = 2 4(sT)。所得结果是否满足要求，必须进行验算。验算结果表明满足了特征方程的要求。如果不满足，应重复上述过程,应当指出，如果两个二阶系统具有相同的g值，但 具有不同的T值，那么响应曲线将有相同的超调量和相 同的振荡形式。在方程(3-11)、(3-12)和(3-21)中，自变量f总是与参数T(即T = )(Dn)结合成f/T出现。因此，解 根据题意，应取gni,但考虑到在过阻尼范怜1

17、内歹=1时响应速度最快，所以在图3J9的曲线上，试取Ks(Ts + l)7/7；=1.5,对应1.02,查得/7=4o题意要求图3-21例3-2系统结构图由系统闭坏特征方程石=0.25($)；T2=0.167(5)(1)C _1_1C _L _T7J 十图3-22二阶系统结构参数T对 阶跃响应的影响盹)1KH-SH-=TT=01 1系统响应/?(/)可以用T作为时间t的计量单位。换句话 说，参数T具有时间尺度的性质。如果T增人(即减小)若干倍，那么只要f增人同样倍数，使保持不变，/?(/)的值也就保持不变。就是说, 如果参数：T增人(r减小)几倍，则/?(/)的曲线就在横坐标轴方向“展宽”同样

18、倍数：相反, 如果T减小(增人)几倍，则加)的曲线就在横坐标轴方向“压缩”同样倍数(图3-22所 示)。所以对于值相同的系统来说，响应时间长短就正比于7显然，T也是描述系统动态性能的一个重要参数。代入式(3-10),可得系统输出的变换式C(s)=对上式进行拉氏反变换得单位斜坡响应q(/),2点 厂勿*cl(t) = t+-sin( +0)t0式中J1-4211/ =2 aic tan- = 20g3.欠阻尼二阶系统的单位斜坡响应单位斜坡输入信号的拉氏变换式为1/2 ,将其(3-22)(3-23)显然，系统的单位斜坡响应式(3-22)Fh两部分组成，一部分是稳态分量 解决上述矛盾的。在系统设计时

19、，一般可先根据稳态误差要求确定系统参数，然后再引入控 制装置（校正装置）来改善系统的性能（即用改变系统结构来改善系统性能）。二、系统性能的改善我们仍以二阶位置随动系统为例。图324 （a）为系统阶跃响应曲线力； （b）为阶跃响应的导数/?（/）；（c）为偏差响应曲线；（d）为偏差响应的导数釦）。由 曲线（可看出，单位阶跃响应具有较大 的超调量。在0“的时间间隔内， 由于正的偏差信号（/）,使电机产生正向力矩。但因为系统阻尼较小，电机的正向加速度、速度较人，因此将会出现较大超调量。在人厶时间间隔内，虽然偏差信号（/）为负，电机产生反向力矩，但由于开始反向力矩 不够人，而系统原来已具有较人的速度，

20、所以输出量继续上升直至t = t2达到最大值/2（G）,这时速度为零。在已匚时间间隔内，由于反向力矩的继续作用，使输出量开始减小，并 在t = t.另一部分是瞬态分量5 = sin(0/ + 0)其中，瞬态分量随着时间增长而振荡衰减，最终趋于零。所以，系统的稳态误差为J =13“。图3-23为二阶系统单位斜坡响应曲线。由图可见，系统的稳态输出是一个与输入量具有相同 斜率的斜坡函数。但是，在输出位置上有一个常值误差值2即叽,即系统在斜坡输入时的稳态误差，显然这误差并 不是指稳态时输入、输出上的速度之差，而是指位置上的 差别。此误差值只能通过改变系统参数来减小，如加人自 然频率9或减小阻尼比来减小

21、稳态误差，但不能消除。图3-23二阶系统的单位斜坡响应并且，这样改变系统参数，将会使系统响应的平稳性变差。因此，仅靠改变系统参数是无法时再次穿过稳态值形成反向超调。在已匚时间间隔内，偏差信号又重新为正， 电机产生正向力矩，又力图使输出量恢复到稳态值。如此，使动态过程强烈振荡，产生较人 超调。可以看出，造成响应振荡、过调的原因是：第一、在0人时间间隔内，正向力 矩较人，而且没有在r =G之前及时提前制动；第二、在心匚时间内，反向制动力矩 不足。显然，要设法在0儿时间内削弱正向力矩，应加入一个与（f）相反的信号；在 比时间内，要设法加强反向制动力矩，应加一个与（/）相同的信号；同理，在匹口时间内，

22、应加一个与（/）相反的信号；在，3匚时间内，应加一个与（，）相同的信号，.等。观察图3-24中的）、（/）的极性，恰好能起到这样的作用。所以引入巩f）或负的血） 作为控制信号，将有可能改善系统性能。实践已经证明，恰当地引入微分信号，将会犬大改 善系统的性能。这就是所谓比例一微分控制和测 速反馈控制。1.比例-微分控制设比例-微分控制系统如图3-25所示，其中微分时间常数为7；。由图3-25可见，系统输出量同时受偏差信号图3-25比例期分控制的二阶系统及其微分信号的双重控制。由于加入了偏差的微分信号，它可以敏感偏差信号的变化，因此 比例一微分控制可以在出现位置偏差以前，提前产生控制作用，即使控制

23、作用带有一定程度 的“预见性”， 从而达到改善系统动态性能的目的。 由于偏差微分信号只反映偏差信号变化 的速率， 因此，微分控制并不影响稳态偏差的大小。图3 25系统闭环传递函数为= 0_ 丄 +7；逝_1(3-25)可见，上式第一项的拉氏反变换是无零点二阶系统的单位阶跃响应，以九(0表示；根据拉 氏变换的微分性质，上式第二项表示了在零初始条件下九对时间的导数乘以7从而得R(s)厂+2fds + 0；(3-24)式中(3-24a)上两式表明，比例微分控制不改变系统的自然频率，但 是增加了系统阻尼比(即场 歹)：另外给二阶系统增添 了闭环零点(-1/)0因此，具有比例一微分控制的二阶 系统常称为

24、有零点的二阶系统，而原系统称为无零点的 二阶系统。卜面我们对这两种系统进行粗略的分析比较。若两个二阶系统只是阻尼比不同，其阶跃响应如图326所示。可见，比例微分增加了系统阻尼比，可以改 善系统动态性能。图3-26不同阻尼比二阶系统的阶跃响应若两个二阶系统只是有无零点的不同，它们的动态性能又是如何呢?设无零点的二阶系统其闭环传递函数为。G) =込-厂+2岛s + e；比例一微分控制系统是有零点的二阶系统，其闭坏传递函数为(3-24)式，即1S +此Td G)=:,为了估算比例一微分控制二阶系统的动态性能，应求其阶跃响应。系统输出拉氏变换式为3 讥C(s)=1s +打丿/)火) +7；警2(3-2

25、6)(3-25)式的单位阶跃响应曲线如图3-27所示。显然有零点系统与无零点系统相比，上升 时间和峰值时间均减小，因而响应速度加快，超调量会有所增加。最后， 简单归纳比例一微分控制对系统性能的影响。首先，它可以增人系统阻尼，使系统动态过程的超调量 下降，调节时间缩短，但不影响常值稳态偏差及自然频 率。其次，当系统具有良好的动态性能时，若采用微分 控制，就允许选用较高的开坏增益，从而可以提高稳态 精度，并保持良好的动态性能。但应当指出，当系统输 入端噪声较强时，则不宜采用比例一微分控制，因为微 分器对于噪声，特别对于高频噪声的放人作用，远大于 对缓慢变化输入信号的放大作用，情况严重时，甚至干 扰

26、噪声有可能淹没有用信号而起不到控制作用，此时，可考虑采用测速反馈控制为宜。此外，有零点二阶系统的性能指标估算方法与无零点情况相类似，这里不作详细推导, 只给出计算公式。设标准闭环传递函数込2a性能指标近似计算公式:龙一如ctan J1-身 / 一岛 )J1-身取厶=0.05,则3 + 2數 + 研)-In。j 111(1-爲)在实际系统中比例一微分控制可由图3-28所示的RC网络近似实现。网络传递函数为匕(s)aTds + l式中a s2+2dcons +co;(3-27)b% = 3-2弘+忒严/冋xloo%(3-28)(3-29)h选择C参数，使al,所以aTdTd,因此2测速反馈控制测速

27、反馈控制的一般结构图，如图3 29所示。其中匕为测速反馈系数，在位置随动系统中，其量纲通常为电压/转速。系统开环传递函数为CD系统的开环增益显然，加入测速反馈降低了原系统的开坏增益，因此,在设计测速反馈控制时，可以适当增人原系统的开环增益，以补偿测速反馈引起的增益下降。 为了说明测速反馈对系统动态性能的影响，写出系统闭环传递函数为G($) =心+2边+3：)f i-S + 0 + Kg；丿(3-30)s2+(2a)n+ KlG);)s + G);(3-31)式中(3-32)很明显，测速反馈与比例一微分控制一样，可增人阻尼比，但不影响系统的自然频率血”。将式(3 24a)与(3-32)进行比较，如果Kt= Td,则场=岳。另外，由式(3-31)可见，测速反馈控制并不增添闭坏零点。因此，测速反馈同样可以 改善