2020年全国版高考数学必刷题：第四单元函数的图象与函数应用

1、第四单元 函数的图象与函数应用考点一图象推导型11.(2015 年浙江卷)函数f(x)=(?cosx(-nxn且xz0)的图象可能为().【解析】函数f(x)=x-；?COSx(-nxn且xZ0)为奇函数，排除选项 A,B；当x=n时,f(n)=n-COSn=1-n 0,排除选项 C,故选 D.n【答案】D2.(2016 年全国I卷)函数y=2x2-e|x|在-2,2上的图象大致为().【解析】fx)=2x2-少,x -2,2是偶函数，且f(2)=8-e?e(0,1),-排除A，B.设g(x)=2-e,g(x)=4x-ex.又Tg(0)0,Ag(x)在(0,2)内至少存在一个极值点，.f(x)

2、=2x2-e|x|在(0,2)内至少存在一个极值点，排除 C 故选 D.【答案】D3.(2017 年全国I卷)函数y=sin2?1-cos?的部分图象大致为().【解析】令f(x)_i,一、sin2“、sin2nvf(1)_i)，f(n)_i：cor-1_0排除选项 A,D.由 1-cosx工 0 得X工 2kn(k Z),故函数f(x)的定义域关于原点对称.sin(-2?)sin2?上“、又.f(-x)_故选 C.【答案】C4.(2017 年全国皿卷)函数丫=1+%+署?的部分图象大致为( f(X)为奇函数，其图象关于原点对称，排除选项r rrsin?,/sin?【解析】当xT+X时，审TO

3、+XT+X,y =1+x+?T故选 D.【答案】D5.(2015 年全国H卷)如图,长方形ABC的边AB2BC=,0是AB勺中点，点P沿着边BCCD与DA运动，记/BOP=x.将动点P到A,B两点距离之和表示为x的函数f(x),则y=f(x)的图象大致为().n-【解析】当xL0 叨时,f(x)=tanx+v4+tan?图象不会是直线段，从而排除 AC+X，故排除选项B.4 2 4 A选 B.【答案】B=f4，从而排除 D 故4 444n log2(x+1)的解集是().|?|?(?)=sinx, =sinx,f(x)=sin|?|cos?1 c Mz 3 nxcos xpsin 2x,当x=

4、2/CJ-1 02xA. x|-1x 0B. x|-1 x 1C. x|-1xW1D. x|-1xlog2(x+1 )的解集为x|-1x 1.【答案】C8.(2017 年江苏卷)设f(x)是定义在 R 上且周期为 1 的函数，在区间0,1)上,f(x)=?，xO 其中集合 D= ?|x = ?,?,?1 *-?,n6N ，则方程f(x)-lgx=0 的解的个数是 _.【解析】由于f(x) 0,1)，则只需考虑 1 x2 且p,q互质若 lgx Q 则由 lgx (0,1),可设 lgn N,m2 且mn互质，因此 10-=- 1=(-，此时左边为整数，右边为非整数，矛盾，因此 lgx-Q因此

5、lgx不可能与每个周期内xD对应的部分相等，只需考虑 lgx与每个周期x?D部分的交点.画出函数草图（如图）.图中交点除（1,0）外其他交点横坐标均为无理数，属于每个周期x?D部分，且x=1 处1 1（lgx）=r=1，则在x=1 附近仅有一个交点，?ln10 ln10因此方程解的个数为 8.【答案】89.（2015 年北京卷）汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗 1 升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽 车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是（）.15/ r / 甲车乙车10-/*jL内车04080連度A. 消耗 1 升汽油，乙车最多可行驶 5 千米B. 以相同速度行驶相同路程

6、，三辆车中，甲车消耗汽油最多C. 甲车以 80 千米/小时的速度行驶 1 小时，消耗 10 升汽油D. 某城市机动车最高限速 80 千米/小时.相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油【解析】根据图象知消耗 1 升汽油，乙车最多行驶里程大于 5 千米,故选项 A 错;以相同速度行驶时，甲车 燃油效率最高，因此以相同速度行驶相同路程时，甲车消耗汽油最少，故选项 B 错;甲车以 80 千米/小时的速度 行驶时燃油效率为 10 千米/升，行驶 1 小时,里程为 80 千米，消耗 8 升汽油，故选项 C 错;最高限速 80 千米/小时，丙车的燃油效率比乙车高 因此相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油，

7、故选项 D 对.【答案】D考点三函数应用型10. （2014 年湖南卷）某市生产总值连续两年持续增加.第一年的增长率为p,第二年的增长率为q,则该市这两 年生产总值的年平均增长率为（）.?+?A.丁C.V?T?D.V(?+ 1)(?+ 1)-12【解析】设年平均增长率为X,则(1+x)=(1+p)(1+q),x=V(1+?)(1+?)-1.【答案】D11.（2015 年四川卷）某食品的保鲜时间y（单位:h）与储藏温度x（单位C）满足函数关系=6认=2.718为自然对数的底数,k,b为常数）.若该食品在 0C的保鲜时间是 192 h,在 22C的保鲜时间是 48 h,则该食品在 33C的保鲜时间

8、是_ h.冷设该食品在 33C的保鲜时间是th,则t=e33k+n 192=192e33k=192(e11k)3=1923=24.【答案】24壬輕曲朋还曲轆够鱼/命调研 购畑般创高频考点：函数图象的识别与判断、图象的对称变换、函数零点个数的判断、函数零点所在区间的判断、 函数图象与性质的综合应用、函数模型的应用.命题特点：函数图象的考查形式主要有两种：一种是给岀解析式判断函数图象；一种是函数图象的应用.函数零点的考查形式主要是由函数零点求参数范围，在选择题、填空题中考查的较多，难度中等，也可在解答 题中作为一种数学工具呈现，利用数形结合思想分析试题并解决问题. 4. 1 函数图象s 訂必备知西

9、B.(?+1)(?+1)-1【解析】由已知条件b得 192=e ,.b=22k+b22k+ln 192192.又J48=e=e=192e22k=192(e11k2),.e1924利用描点法作函数图象其基本步骤是列表、描点、连线.首先: :确定函数的定义域；化简函数解析式；讨论函数的性质( (奇偶性、单调性、 对称性等) ).其次列表( (尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等线利用图象变换法作函数图象1平移变换个单位崔度周期性、),),描点， 连I-1lit紅 3)快度2.2.对称变换黄于工埔对样(1)(1)y=f( (x)*y=*y=_关于y轴对称(2)(2)y=f( (

10、x) ) y=_黄干原门对称(3)(3)y=f( (x) )y=_x艾于貢皱对称(4)(4)y=a( (a0 0 且1)1)- y=_.3.3.翻折变换_ 严输及方圈毅( (1) )y=f( (X) )杆孤；：用:总.浓亍丄y=_(2)(2)y=f( (x) )y=4.4.伸缩变换1判断下列结论是否正确，正确的在括号内画“V”，错误的画“X(1)当x (0,+x)时，函数y=|f(x)|与y=f(|x|)的图象相同.函数y=af(x)与y=f(ax)(a0 且a工 1)的图象相同.将函数y=f(x)的图象向上平移c个单位长度，得到y-c=f(x)(c0)的图象.1函数的图象关于点(1,0)对称

11、.2函数f(x)=x+1的图象关于().B.x轴对称C 原点对称D.直线y=x对称3若将函数f(x)的图象向右平移 1 个单位长度，所得图象与曲线y=ex的图象关于y轴对称，则f(x)的解析式为 ( ).Af(x)=ex+1Bf(x)=ex-1?4函数y=?x0)3.(1)|f(x)|(2)f(|x|)4.(1)f(ax)(2)af(x)基础训练1.【解析】(1)错误，当x (0,+s)时，函数y=|f(x)|与y=f(|x|)的图象不一定相同.(2) 错误，函数y=af(x)与y=f(ax)(a0 且a 1)的图象也不一定相同.如y=2X2x与y=2“的图象就不相同.(3) 正确，将函数y=

12、f(x)的图象向上平移c(c0)个单位长度，得到y=f(x)+c的图象.1(4) 正确，函数y=兩的图象关于点(1，0)对称.【答案】(1)X(2)X(3)V(4)V2. 【解析】f(x)是奇函数，图象关于原点对称.【答案】C3.【解析】曲线y=ex的图象关于y轴对称得y=e-x的图象，将其图象向左平移 1 个单位长度得f(x)=e*1的图 象.【答案】D4.【解析】由函数y=?x0c可知图象过原点且是曲线，排除选项AC当x 0【答案】B5.【解析】由已知a=|x|+x=：?了0，要使关于x的方程|x|=a-x只有一个解则a.题型一作函数图象【例 1】作出下列函数的图象，并标明与X轴、y轴的交

13、点2(1)y=x-2|x|-1;(2)y=|log2(x+1)|.1=?-2x-1(x 0),? + 2x-1(x 0 时的图象，再作关于y轴对称部分的图象，如图.(2)将y=log2x的图象向左平移 1 个单位长度，然后保留x轴上方的图象，并把x轴下方的图象沿x轴翻折 到x轴上方，如图.画函数图象的一般方法：(1) 直接法.当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征直接画岀(2) 图象变换法.若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，则可利用图象变换画岀.【变式训练 1】作函数丫=荷的图象.【解析】【解析】(1)y=x2-2|x|-33由已知y

14、=i+?帀,先作出y=?的图象,再将其图象向右平移 1 个单位长度，最后向上平移 1 个单位长度，即可【例 2】（1）（宁夏银川一中 2018 届月考）函数y=e|lnx|-|x-1|的大致图象是（）.（2）如图，在一个盛满水的圆柱形容器的水面下，有一个用细线吊着的下端开了一个小孔的充满水的薄壁 小球，当慢慢匀速地将小球从水面下向水面上拉动时，圆柱形容器内水面的高度与时间的函数图象大致是（）.【解析】（1 ）由y=e|lnx|-|x-1|可知，函数的图象过点（1,1）.当 Ovx1 时，y=e-ln x-1+xW +x-1，y=- #11 时,y=e”x-x+1=1,故选 D（2）球拉出水面开

15、始时球上半部较小，因而水递减较缓慢.球中部拉出水面时水递增的速度较快，最后球 中的水全部放回圆柱形容器内，水面基本持平（因为球是薄壁的）,故选 B.得到?+2 yp的图象，如图.题型二图象的识别A【答案】(1)D (2)B对于给定函数的图象，要从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、 值域、单调性、奇偶性、周期性，注意图象与函数解析式中参数的关系.【变式训练 2】函数y=a+sinbx(b0 且b工 1)的图象如图所示，那么函数y=logb(x-a)的图象可能是().【解析】由题图可得a1,且最小正周期T=2n2,则y=logb(x-a)是增函数排除 A,B;当x=

16、2时,y=logb(2-a) 0f(x)=_ln(_?)/?,0有两个“伙伴点组”，则实数k的取值范围是().1A.(-0)B.(0,1) C.(0, ) D (0,+【解析】由题意可知，“伙伴点组”的点满足：都在函数图象上，且关于坐标原点对称可作出函数y=-In (-x)(x0)的图象(如图)，使它与直线y=kx-1(x0)的交 点个数为 2 即可.1?l=ln?,当直线y=kx-1 与y=lnx的图象相切时，设切点为(mlnm),又y=lnx的导数为y=?即 ?=丄解得 一?,? = 1 ?=，可得函数y=lnx(x0)的图象过点(0,-1)的切线的斜率为 1.结合图象可知当ke(0,1)

17、时两个函数图象有两个交点，故选 B.【答案】B利用函数的图象可解决某些方程和不等式的求解问题方程f(x)=g(x)的根就是函数f(x)与g(x)图象交点的横坐标不等式f(x)g(x)的解集是函数f(x)的图象位于g(x)图象下方的点的横坐标的集合，体现了数形结合 思想.【变式训练 3】(1)已知函数y?”的图象与函数y=kx的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围已知函数f(x)是定义在-4,4上的偶函数，其在0,4上的图象如图所示，则不等式COS?1或?-1,并作出其图象如图所示.结合图象可得实数k1-?1,-1?0，在(2,4)上,y=cosx0,所以由函数f(x)的图象知在(1,空)上co

18、s?1 时,f(x)=e x_(?=?l1当 0 x1 时,f(x)=e x+(?=x.作出f(x)的草图(如图),将f(x)的图象向左平移 1 个单位长度得函数f(x+1)的图象，故选 A(2)设所求函数为?(?)0=f(Txi)，c 选项符合题意.【答案】(1)A (2)C方法二数形结合思想的应用数形结合作为一种常见的数学方法，沟通了代数与几何的内在联系.一方面，借助图形的性质可以将许多 抽象的数学概念和数量关系形象化、简单化；另一方面，将图形问题转化为代数问题，可以获得更精确的结论【突破训练 2】设奇函数f(x)在(0，+乡上为增函数且f(1)=0,则不等式?(?%的解集为().A(-1

19、,0)U(1,+s)B.(-1)U(0,1)C (-oo,-1)U(1 ,+o)D.(-1,0)U(0,1)【解析】因为f(x)为奇函数，所以不等式?(?第?0 化为等 0,即xf(x)0.又f(x)的大致图象如图所示，所以xf(x)4甘1述?1,:;1,二函数尸严的图象大致形状是B 选项.【答案】B1.（2017 安徽合肥调研）某工厂 6 年来生产某种产品的情况是：前 3 年年产量的增长速度越来越快，后 3 年年产 量保持不变，则该厂 6 年来这种产品的总产量C与时间t（年）的函数关系图象正确的是（）.【解析】前 3 年年产量的增长速度越来越快，说明呈高速增长，只有 A、C 选项的图象符合要

20、求，而后 3 年 年产量保持不变，故选A【答案】A2. （2017 福建三明调研）函数y=ax+bx与函数y=xa+b（a工 0）在同一平面直角坐标系中的图象可能为（）.【答案】C3.（2018 届河北省保定市涞水中学第一次检测）函数y=e-|xT 的图象大致形状是（）.【解析】2?2y=ax+bx=aP?+ ?-?对于A由二次函数图象可知，a0，_2?v0,所以b0,函数y=xa+b不符合要求，同理 B 不符合要求；对于 C,D,由二次函数图象可知a0,所以b0,比较选项 CD 可知 C 符合要求.5900y轴对称，可排除 A,D 当x=-1 时,f(x)=0,故选c.【答案】C5.(201

21、7 届高三适应性考试试卷)已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可能是().D|sin2?| ?【解析】由图象可得当xo 时,f(x)o,当nx晋时,(4?-n)?4?9n)o,故可排除C当寸xo,而当x=n 时，驾?=0,故可排除 D 当乂二卩寸,1COS3?=0,故可排除 A,故选 B.【解析】fx)=eln |x|+?Af(-x)=eln |x|-?函数f(x)为非奇非偶函数，其图象既不关于原点对称，也不关于警11+cos2?tB2?C(4?*-n2)(4?2-9n2)?In|x|1【答案】B6.(2017 山西太原五中模拟卷)函数f(x)=xln|x|的图象大致是().【解

22、析】T函数f(x)=xln|x|, .f (-x)=-f(x),f(x)是奇函数，其图象关于原点对称，排除 C,D.当x0 时,f(x)=xlnx,1 1Jf(x)=lnx+1，令f(x)0得xe，得出函数f(x)在(-,+g)上是增函数，故选A.【答案】A7.(2017 北京东城区二模)动点P从点A出发，按逆时针方向沿周长为 1 的平面图形运动一周，AP两点间的距 离y与动点P所走过的路程x的关系如图所示，那么动点P所走的图形可能是().【解析】由题意可知，当点 P 位于 A,B 图形时，函数变化有部分为直线关系，不可能全部是曲线，由此可排 除A、B.对于 D,其图象变化不会是对称的，由此排

23、除 D.故选 C.【答案】C8.(2017 彭泽县模拟)如图，在ADE冲，已知DE=DF点M在直线EF上从左到右运动(点M不与EF重合),对于点M的每一个位置(x,0),记厶DEM勺外接圆面积与DMF勺外接圆面积的比值为f(x),则函数y=f(x)的大致图象为 ( ).【解析】设厶DEM勺外接圆半径为 RADMF勺外接圆半径为 艮,由题意（x）,点M在直线EF上从左到n?1 ? 1 ?右运动（点M不与点EF重合）.对于点M的每一个位置，由正弦定理可得,=2丽w?R=sin?又DE=DFin /DMEsin /DMF所以R=R,可得f(x)=1,故选 C.【答案】C9.（2017南昌八校联考）如

24、图,定义在-1,+）上的函数f（x）的图象由一条线段及抛物线的一部分组成，则f（x）的解析式为【解析】当-1wx 0 时，设解析式为y=kx+b.-?+ ?= 0W?= 则?=1，得?图象过点(4,0),0=a(4-2)2-1,得a=1.412y=4(x-2)-1.?+ 1,-1 ? 0 10.（2017 广东珠海模拟）若直线y=a与曲线y=x2-|x|有四个交点则a的取值范围是【解析】1,A根据图象可得，直线y=a与曲线y=x2-|x|有四个交点，则a的取值范1围为-4a0 时，设解析式为y=a(x-2-1,曲线f(x)=x2-|x|,f(-1)=f1【答案】-产ad11.（2017 山东青

25、州市高考热身卷）若当x R 时，函数f（x）=J（a0 且a工 1）始终满足f（x） 1,则函数y=-g：的图象大致是（）.【解析】当x R 时，函数f（x）=a（a0 且az0）始终满足f（x） 1,可得a1,由函数y/穿是奇函数，排除B；当 0 x1 时，函数y=?0，排除 A；当xT+X时，函数y。9?1T0,排除 D.【答案】C12.（2017 广西玉林市陆川中学模拟）函数f（x）=ln|x|+|sinx|（-nxn且x工 0）的图象大致是（）.1【解析】由函数f（x）=ln|x|+|sinx|（-nxn且x工 0）是偶函数，排除A1 1当 01,排除 C【答案】D13. (2017

26、山东模拟)已知函数f(x)的图象如图，则f(x)的解析式为().Af (x)=eln |x+11B. f(x)=eln |x-11C.f (xTD. f(x)=e|ln(x-1)|【解析】 由图象可知函数的定义域为(-1,+值域为 1,+.选项 A 的定义域为 x|x工-1 ,选项 B 的定义 域为 x|x工 1选项 C 的定义域为(-1,+*),选项 D 的定义域为(1,+故排除选项 AB,D.当-1x0 时,f(x)=eNn(x+)|=(x)=x+1，故选 C【答案】C14.(2017 上海市青浦区一模)如图,有一直角墙角，两边的长度足够长，若点P处有一棵树与两边墙的距离分别 是4 m 和

27、am(0a12),树的粗细忽略不计.现用 16 m 长的篱笆，借助墙角围成一个矩形花圃ABCD设此矩形2花圃的最大面积为S,若将这棵树围在矩形花圃内，则函数S=f(a)(单位:m)的图象大致是().【解析】设AD长为xm,则CD长为(16-x)m要将点P围在矩形ABCD内 ,Aax 12.则矩形ABCD勺面积为x(16-x),当 Ovaw8 时，当且仅当x=8 时,S=64;64 0 ? 8当 8a12 时,S=a16-a),故S=?(1&?)8?1)的图象上，则实数a的值为_.【解析】设B(x,2logax), /B(平行于x轴,C(x,2logax),即 logax=2logax,

28、. x=x,.正方形ABC啲边长 为|BC|=X2-X=2,解得x=2./AB垂直于x轴，.A(x,3log 釈),且正方形ABC的边长为|AB|=3logax-2logax=logax=2,即 loga2=2,. a=2.【答案】込16. (2017 江苏淮安市一模)若函数f(x)=Asin (wx+A, w0,|0,30,|$|nnnn2+$=,$=4,f(x)=v2sin (8x+4).令 2kn-nnx+n 2kn+专,得 16k-6x0)0)的图象与零点的关系 =b2- 4ac二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象与 x 轴的交点零点个数二分法定义: :对于在区间a, ,b上连续

29、不断且 _ 的函数y=f( (x),),通过不断地把函数f( (x) )的零点所在的区间_，使区间的两个端点逐步逼近 _ ，进而得到零点近似值的方法?左学右考1判断下列结论是否正确，正确的在括号内画“V”，错误的画“x”.(1)函数的零点就是函A0B.1C.2D.30(xi,0)g0)=0(xi,0)3函数f(x)=2lnx+x-?2 的零点所在的区间是().1A(e,1) B.(1,2)C(2,e) D.(e,3)4函数f(x)=ax+l-2a在区间(-1,1)上存在一个零点，求实数a的取值范围知识清单一、 1.f(x)=02.x轴 零点3.f(a) f(b)0 (a,b)f(c)=0c二、

30、 2 1 0三、1.f(a) f(b)0 一分为二 零点基础训练1.【解析】(1)错误，函数的零点就是函数的图象与x轴交点的横坐标.(2)错误,f(a) f(b)也可能大于零.正确，当b2-4ac0 时，二次函数图象与x轴无交点，即没有零点.正确.【答案】(1)X(2)X(3)V(4)V2.【解析】画出y=ex与y=-3x的图象(图略河知，零点只有 1 个.【答案】B3【解析】由零点存在性定理可知f(2)=lln 2+2-1-20,故选C222 e【答案】C4.解析】由已知得f(-1) f(1)0,即(-a+1-2a)(a+1-2a)0,解得1a 0(2)若定义在 R 上的偶函数f(x)满足f

31、(x+2)=f(x),当x 0,1时,f(x)=x,则函数y=f(x)-log3|x|的零点个数 是()【解析】(1)当x01时,f(x)=2+1；0 恒成立所以f(x)在(0,+)上是增函数.又因为f(2)=-2+ln 20 所以f(x)在(0,+p上只有一个零点.综上可得，函数f(x)的零点个数为 2.(2)由题意知，f(x)是周期为 2 的偶函数.在同一平面直角坐标系内作出函数y=f(x)及y=log3|x|的图象(如图),观察图象可以发现它们有 4 个交点，即函数y=f(x)-log3|x|有 4 个零点.【答案】(1)2(2)B判断函数零点个数的方法：解方程法；零点存在性定理，结合函

32、数的性质；数形结合法，转化为两个 函数图象的交点个数.2【变式训练 1】(1)函数f(x)=xcosx在区间0,4上的零点个数为().A.4B 5 C.6D.72 - |?| ?客 2(2)已知函数f(x)=(?2；2；2函数g(x)=3-f(2-x),则函数y=f(x)-g(x)的零点个数为().A 5B.4C 3D.2A. 2B 3 C.4 D)5【解析】(1)当x=0 时,f(x)=O.因为x 0,4,所以 0wXv 16.又因为 5n16 0(2)由已知条件可得g(x)=3-f(2-x)=/ 门函数y=f(x)-g(x)的零点个数即为函数y=f(x)与y=g(x)3 - ?,x 0,图

33、象的交点个数，在同一平面直角坐标系内作出函数y=f(x)与y=g(x)的图象如图所示.由图可知函数y=f(x)与y=g(x)的图象有 2 个交点所以函数y=f(x)-g(x)的零点个数为 2.故选 A.【答案】(1)C (2)A题型二函数零点所在区间的判断1?2【例 2】已知函数f(x)=lnx-()的零点为X0,则X。所在的区间是().A.(0,1)B.(1,2)C (2,3)D. (3,4)1?2i-1i0【解析】.fx)% x-(2)在(0,+上为增函数 又f(1)=ln 1-(-)=-20,f(2)=|n 2-(-)0,.X0 (2,3),故选 C.【答案】C确定函数零点所在区间，可利

34、用零点存在性定理或数形结合法，若用数形结合法画图必须要准确【变式训练 2】函数f(x)=3x-7+lnx的零点位于区间(n,n +1)(nN)内，则n=_ .【解析】因为f(2)=-1+n 2 ,ln 2ln e=1 所以f(2)0 所以函数f(x)的零点位于区间 (2,3)内，故n=2.【答案】2题型三函数零点的应用【例 3】(2017 昆明模拟)已知定义在 R 上的偶函数f(x)满足f(x-4)=f(x),且在区间0,2上f(x)=x,若关于x的方程f(x)=logax有三个不同的实根，求a的取值范围.【解析】由f(x-4)=f(x)知,函数的周期为 4.因为函数为偶函数，所以f(x-4)

35、=f(x)=f(4-x),所以函数图象关于直线? 1,? 1,x=2 对称，且f(2)=f(6)=f(10)=2.要使方程f(x)=logax有三个不同的根，如图，则满足?(6)2,即log?：6 2,log?10 2,得v6a 0【变式训练 3】已知函数f(x)m；?12；x :0 若函数g(x)=f(x)-m有 3 个零点则实数m的取值范围是_.【解析】2 1 x 0 画出 心尸匚?% 0的图象如图.由于函数g(x)=f(x)-m有3 个零点，结合图象得0m0,且 1)有两个零点，则实数a的取值范围是 _.(2)若关于x的方程 22x+2xa+a+l=0 有实根，则实数a的取值范围为 _.

36、【解析】 (1)函数f(x)=ax-x-a(a0,且a 1)有两个零点，即方程ax-x-a=0有两个根，故函数y=ax与函数y=x+a的图象有两个交点.当 0a1 时，图象如图所示，此时有两个交点.实数a的取值范围为(1,+).、22?笫x(2)由方程解得a=-2?+1，t=2(t0).则a=-?+11=-(?+?+1-1)=2-(?+ 1)+舖其中t+11.由基本不等式，得住+“+為2v2,当且仅当t= v2-1 时取等号，故a2-2V2.【答案】(1)(1,+(-g ,2-2 v2方法二一元二次函数零点分布万能解题方法当一元二次函数ax?+bx+c=0 的根X1,X2呈现某种分布k1X1X

37、2k2时的解题步骤1. 确定二项式系数a与 0 的关系.?2. 确定对称轴x=-=与k1,k2的关系.3. 确定与 0 的关系，即f(x)=0 有实根的条件4.确定f(k,f(k2)与 0 的关系.? ?备注对于步骤 2 和步骤 4,因为我们知道，对于对称轴x=-y?我们有xiV-疥X2,所以对kiXiVX2k2的情况 我们可以转化成kixi-x2k2,即有步骤2：ki-2?k2.步骤 4:有了步骤 2,就将xi与ki,X2与k2分别约束在相同的单调区间内，可以把xi与kx与k2的关系转化 为f(xi)与f(ki),f(x2)与f(k2)的关系，而f(xj=f(X2)=O,即转化为f(ki),

38、f(k2)与 0 的关系.【突破训练 2】当m取何值时 方程x2-mx-m-3=0 分别满足下列条件：(1) 一个根大于 1, 一个根小于 1;(2) 一个根小于 0,个根大于 2;(3) 一个根在(0,1)之间，一个根在(1,2)之间；(4) 仅有一个根在(0,2)之间；(5) 两个根都在(-4,0)之间.【解析】f(x)=x2-mx-m,方程f(x)=0 的判别式=隔4(-m43)=(m-2)(m).(1)如图，由f(1)=4-2m,解得m2故m的取值范围是(2,+(2)根据已知画出简图(如图),?(0)=3-? 0由图知?(2)=7-3? 0,由图知 33(1)=4-23? 0,解得 2

39、m 0,(4)根据已知画出简图(如图),由图知f(0) f(2)0,解得7m 0,?-4v = 0, ?-4)=3? + 19 0,解得-6,319故m的取值范围是(-亍,-6.精练案，1.(2017 山西模拟)已知函数f(x),g(x)：f(x)g(x)21则函数y=f(g(x)的零点是().A. 0B. 1C 2【解析】由f(g(x)=0 得g(x)=1,根据表格g(x)=1 对应的自变量是x=1,故选 B【答案】B2.(2017 湖南衡阳八中、长郡中学等十三校一模)已知刃表示不超过实数x的最大整数,g(x)=x为取整函数，x。是函数f(x)=lnx-?的零点 厕g(x。)等于().A 1

40、B. 2C 3 D. 42【解析】f(2)=n 2-10,X0 (2,3),.g仪。)=氐。=2.【答案】B3.(2017 天津红桥区高三期中)函数f(x)=ln(x+1)-?的零点所在的大致区间是().A (0,1)B.(1,2) C (2,e) D. (3,4)【解析】Tf(1)=n (1+1)-2=ln 2-2ln e-1=0,.f(1) f(2)0,.函数f(x)=ln (x+1)-?的零点所在区间是(1,2).【答案】B4.(2017 河南模拟)若f(x)为奇函数，且X。是函数y=f(x)-ex的一个零点，在下列函数中，-x。一定是其零点的函数是()A.y=f(-x) e-x-1By

41、=f(x) e-x+1C.y=f(x) e_1 Dy=f(x) e+1【解析】f(x)是奇函数，.f(x)=-f(-x).又X0是函数y=f(x)-ex的一个零点，.f(x0)-e?3=O,.f(X0)=e? 把-X0分别代入下面四个选项，y=f(X0)e?-1=e?，0e?-1 工 0,故 A 错误；y=f(-x0) e?+1=-e?e?+1 工 0,故 B 错误；y=e?f(-xo)-1=-e?e?-1 工 0,故 C 错误;y=e-?f(_xo)+1=-e?e-?+1=0,故 D 正确.【答案】D5.(2017 山东德州高三期中)已知函数f(x)=(；)-1-log2x若X。是方程f(x

42、)=0 的根则xo ().1133A(0,2)B.(2,1)C. (1,2)D.(2,2)【解析】函数f(x)的定义域为(0,+),且函数在定义域内为减函数.1 1屮1)=-20,函数f(x)在(1,1)内存在唯一的一个零点X0,.X0 (2,1).【答案】B6.(2017湖北宜昌一中高三月考)f(x)是定义在R上的奇函数，且当x (0,+s)时,f(x)=2018x+log2018X,则函数f(x) 的零点的个数是().A 1 B 2C3D. 4x0 时，令f(x)=0，得 2018x=-log2018X,在同一平面直角坐标系内分别画岀函数 点即方程f(x)=0 只有一个实根.当x1,|lg

43、(1 -?)|,?24 ,x=2,若函数g(x)=f(x)-k有两个不同的零点，则实数k的取值范log2x,0 x 0 时,f(x)=2x-1,由f(x)=0 得x=2.要使f(x)在 R 上有两个零点，则必须 2x-a=0 在(-g ,0上有唯一实数解.又当x (-0时,2xe(0,1,且y=?在(-g,0上单调递增，故a的取值范围是(0,1.【答案】D12.(2017 山东青岛市黄岛一中月考)已知定义在 R 上的奇函数y=f(x)的图象关于直线x=1 对称，当-1x0 时,f(x)=-log1(-x),则方程f(x)-1=0在(0,6)内的零点之和为().22A 8B.10C 12 D.

44、16【解析】J定义在 R 上的奇函数y=f(x)的图象关于直线x=1 对称,f(x)=f(2-x)=-f(-x),即f(x)=-f(x+2)=f(x+4),f(x)是以 4 为周期的周期函数./当-Kx0 时,f(x)=-lo g(-x),A.(-1)B (-1D(0,12f(x)在(0,6)内的图象如图所示1.结合图象得 方程f(x)-2=0 在(0,6)内的零点之和为xi+X2+X3+X4=2+10=12.【答案】C13.(2017 江西七校联考)已知定义在 R 上的函数y=f(x)满足f(x+2)=f(x)，当-1x 1 时,f(x)=x：若函数g(x)=f(x)-loga|x|至少有

45、5 个零点，则实数a的取值范围是().1A. (1,5)B.(0,-)U5,+叼1 1C.(0,5U5,+D.弓，1)U(1,5【解析】依题意知，函数f(x)的周期为 2,在同一平面直角坐标系内画出函数y=f(x)与函数y=loga|x|的图象，如图.1结合图象可知，要使函数g(x)=f(x)-loga|x|至少有 5 个零点，则有 loga5-1，解得a 5 或 0aa,函数g(x)=f(x)-ax恰有三个不同的零点 ? + 3x + 2,x o,3-2v?)D)(3-2v2,+o)【解析】函数g(x)=f(x)-ax恰有三个不同的零点，即函数y=f(x)与y=ax有 3 个交点，也就是函数

46、y=ax与21f(x)=x+3x+2(xa)的图象有1个交点.画出函数f(x)与y=ax的图象如图，1函数y=ax看作斜率为a的直线，由图象可知a6)由a要小于直线与抛物线相切时的斜率，?= ?_可得?= ?*? + 3x + 2 即x +(3-a)x+2=0，由A=(3-a)-8=0,解得a=3-2v2.综上可得,aG(才,3-2 V2).【答案】A?+ 1?W016.(2017福建模拟)函数f(x)=?g2xx 0 则函数y=f(f(x)+1 的所有零点所构成的集合为 _.1【解析】由题意知f(f(x)=-1,由f(x)=-1 得x=-2 或x则函数y=f(f(x)+1 的所有零点就是使f

47、(x)=-2或f(x)=1的x的值.由f(x)=-2 得x=-3 或x=4,由f(x)g得x=-2或x=v2.1 1从而函数y=f(f(x)+1 的所有零点所构成的集合为-3,-2，- ,V2.1 1 【答案】-3,-2,4,2 4.3 函数模型及其应用搭器曲酬酬罔屈能沁尉“4MKICL 筒関坯卅監彌常见的几种函数模型1.1._ 一次函数模型 ：y=.2.2. 反比例函数模型：y=?+b( (k, ,b为常数且 心 0)0).3.3. 二次函数模型：y=ax2+bx+c( (a, ,b, ,c为常数, ,a*0)0).x4.4. 指数函数模型：y=ab +qa, ,b, ,c为常数，b0,0,

48、bz 1,1,az 0)0).5.5. 对数函数模型：y=mogogaX+n( (mn, ,a为常数，a0,0,a 1,m1,m 0)0).6.6. 幕函数模型：y=axn+b( (a* 0)0).三种函数模型之间增长速度的比较( (其中a1,1,n0)0)性质在(0,+x)上的增减性增长速度越来越快越来越慢相对平稳随 x 的增大逐随 x 的增大逐图象的变化渐表现为与渐表现为与随 n 值变化而各有不同平行平行值的比较存在一个 X0,当 xxo时,有 logaXxng(x)h(x)B.g(x)f(x)h(x)C.g(x)h(x)f(x)D.f(x)h(x)g(x)3已知某种动物繁殖量y(只)与时

49、间x(年)的关系为y=alog3(x+1),设这种动物第 2 年有 100 只，则第 8 年这种 动物有多少只？知识清单一、 1.kx+b(k工 0)二、 单调递增单调递增单调递增y轴x轴函数y=ay=logaxy=xAZ基础训练1. 【解析】(1)错误，如x=2 时,y=2x与y=x?的值相同.1(2) 错误,如幂函数y=?增长比直线y=2x增长慢.(3) 错误，画图可知(图略)，存在X。,使得？?v?vlogaxo,n N正确.【答案】(1)X(2)X(3)X(4)V2. 【解析】因为f(x)=x：g(x)=2x,h(x)=log2X,所以f(x)=2x,g(x)=2x|n2,h(x)=莎

50、2当x4 时,g(x)f(x)h(x)，所以这三个函数的增长速度为g(x)f(x)h(x).【答案】B3. 【解析】由已知当x=2 时,y=100 代入y=alog3(x+1),解得a=100，故当x=8 时,y=100log3(8+1)=200.故第 8 年这种动物有 200 只.键能a题型一二次函数模型【例 1】为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400 吨,最多为 600 吨，月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似表示为y=2x2-200 x+80000,

51、且每处理 1 吨二氧化碳得到可利用的化工产品的价值为 100 元，则该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，那么国家每月至 少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？【解析】设该单位每月获利为S元，则S=100 x-y=100 x-(1?-200 x +121280000)=-?x +300 x-80000=-1(x-300)-35000.因为 400 x 600，所以当x=400 时，S有最大值-40000.故该单位不获利，国家每月至少需要补贴 40000 元才能使该单位不亏损.构建数学模型解决实际问题，要正确理解题意，分清条件和结论，理顺数量关系，将文字语言转化成数学语 言,建立

52、适当的函数模型，求解过程中不要忽略实际问题对变量的限制.【变式训练 1】某工厂生产某种产品固定成本为2000 万元，并且每生产一单位产品，成本增加 10 万元.又知总收入K万元是单位产品数Q的函数，K(Q=40Q0Q,则总利润L(Q)的最大值是_ 万元.【解析】L(G)=40Q-20C2-10Q-2000=-20C2+30Q-2000=-0(Q-300)2+2500.当 Q=300 时丄(Q的最大值为 2500 万元.【答案】2500题型二分段函数模型【例 2】某工厂某种产品的年固定成本为250 万元,每生产x千件，需另投入成本为C(x)(万元)，当年产量不足 80 千件时,C(x)=1x2+

53、10 x；当年产量不小于 80 千件时，Cx)=51x+10?，-1450,每件商品售价为 0.05 万元.通3 ?过市场分析，该厂生产的商品能全部售完.(1) 写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式.(2) 年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大【解析】(1)因为每件商品售价为 0.05 万元，则x千件商品销售额为 0.05X1000X万元,1212依题意得，当 0 x80 时丄(x)=(0.05X1OO0 x)pX -10 x-250=-_x +40 x-250;分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当作几个问题，将各段的变化规律分别

54、找岀来，再将其合到一起，要注意各段自变量的取值范围，特别是端点值.【变式训练 2】国庆节期间，某旅行社组团去风景区旅游，若每团人数在 30 或 30 以下，飞机票每张收费 900元;若每团人数多于 30,则给予优惠：每多 1 人,机票每张减少 10 元，直到达到规定人数 75 为止.每团乘飞 机，旅行社需付给航空公司包机费15000 元.(1) 写岀飞机票的价格关于人数的函数.(2) 每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？【解析】(1)设旅游团人数为X,由题得 0 x 75,飞机票价格为y元， ? 30,10(?730),30?v ?X 75,即=900,0 ?客30,即y=1200 - 1

55、0?,30? 75.(2)设旅行社获利S兀,则S=f900?15000,0? 80 时丄(x)=(0.05X1000 x)-51x-瞬+1450-250=1200-(?+10000?-).所以L(x)=-1? + 40 x-250(0 x 80).12由(1)知，当 0 x80 时丄(x)=1200-(?+譬)1200-2V?=1200-200=1000,当且仅当x=10000?-，即x=100 时,L(x)取得最大值为1000 万元.因为 9501000,所以当产量为 100 千件时，该厂在这一商品中所获利润最大，最大利润为 1000 万元.则y=900,0900 -则S=?(1200-10

56、?) 15000,30? 75,即 900?15000,0? 30, 即S=-10(?-60)2+ 21000,30 x 2,即-1+log3 2,即|og3-?3,解得Q 270.所以其耗氧量至少要 270 个单位.求解所给函数模型解决实际问题的关注点：(1) 认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数.(2) 根据已知条件，利用待定系数法，确定模型中的待定系数.(3) 利用该模型求解实际问题.【变式训练 3】将甲桶中的aL 水缓慢注入空桶乙中,tmin 后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y=ae：?假设过 5 min 后甲桶和乙桶的水量相等 若再过mmin 甲桶中的水只有;L,则m的值为().

57、t51_ 1【解析】T5min 后甲桶和乙桶的水量相等，二函数y=f（t）=ae满足f（5）=aen=2a,可得n =5ln?1152,ft）=a（2）? ?.当kmin 后甲桶中的水只有?L 时,f（k）=a （）5=4a,即（2）5=1, k=10,由题可知m=k55,故选 A【答案】A方法解函数应用题的一般步骤第一步：（审题）弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；第二步：（建模）将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型；第三步:（解模）求解数学模型，得到数学结论；第四步:（还原）将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义；第五步：（反思）对于数学模型得到的数学结果，必须验

58、证这个数学结果对实际问题的合理性【突破训练】“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点研究表明：“活水围网”养 鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度V（单位:千克/年）是养殖密度x（单位:尾/立方米）的函数.当x不超过 4尾/立方米时,v的值为 2 千克/年当 4x 20 时,v是x的一次函数，当x为 8 尾/立方米时,V的3值为3千克/年，当x达到 20 尾/立方米时，因缺氧等原因,v的值为 0 千克/年.（1）当 Ovxw20 时,求函数v关于x的函数表达式.（2）当养殖密度x为多大时，鱼的年生长量（单位:千克/立方米）可以达到最大？并求出最大值.【解析】（1）由题意

59、得，当 0 x 4 时,v=2;当 4xw20 时，设v=ax+b120?+ ?= 0,?= -8，由已知得8?+?,解得?=5 - 2 15所以v=-8x+-,B. 8C.9D 102,0 ?c 4, 故函数v=-8x+；,4vx 20.8 2(2)设鱼的年生长量为f(x).2?,0?c 4,依题意并由(1)可得f(x)=J?+5X4VX2082入J 当 0 x=f(4)=4X2=8;,12512100当 4VXW20 时,f(x)=-8x +-x=-(x-10) +, 故f(x)max=f(10)=12.5.因为 8,m是大于或等于m的最小整数(如 :3=3,3.8=4,3.1=4),则从

60、甲地到乙地通话时间为 5.5 分钟的电 话费为().A 3.71 元B.3.97 元C 4.24 元 D 4.77 元【解析】由m是大于或等于m的最小整数可得5.5=6,所以f(5.5)=1.06X(0.50X5.5+1)=1.06X4=4.24,所以 C 选项正确.【答案】C2.(2017 湖北荆州区校级期中)碘-131 经常被用于对甲状腺的研究，它的半衰期大约是 8 天(即经过 8 天的时 间，有一半的碘-131 会衰变为其他元素).今年 10 月 1 日凌晨，在一容器中放入一定量的碘-131，到 10 月 25 日 凌晨,测得该容器内还剩有 2 毫克的碘-131,则 10 月 1 日凌晨，放入该