高一数学《函数奇偶性》教案

1、 第三节 函数奇偶性（高一秋季班组第五次课10.05） 1 教学目标1. 了解奇偶函数的概念，会判断函数奇偶性；2. 奇偶性的应用3. 奇偶性与单调性综合2 教学内容1.偶函数：一般地，如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做偶函数。奇函数：一般地，如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做奇函数。奇偶性：如果函数是奇函数或偶函数，那么就说明函数具有奇偶性。正确理解函数奇偶性的定义：定义是判断或讨论函数奇偶性的依据，由定义知，若是定义域中的一个数值，那么-也必然在定义域中，因此，函数是奇函数或偶函数的一个必不可少的条件是：定义域在数轴上所示的区间关于原点对称。换言之，所给

2、函数的定义域若不关于原点对称，则这个函数必不具有奇偶性。无奇偶性函数是非奇非偶函数；若一个函数同时满足奇函数与偶函数的性质，则既是奇函数，又是偶函数。两个奇偶函数四则运算的性质：两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；两个奇函数的积是偶函数； 两个偶函数的积是偶函数； 一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数。例1.判别下列函数的奇偶性： f(x)|x1|+|x1| ; f(x) ; f(x)x ; f(x) ; f(x)x,x-2,3思考：f(x)=0的奇偶性？练习1.判断下列函数的奇偶性(1) f(x)x2|x|1，x1,4；(2)f(x)；(3)f(x)(x1)； (4)f(x)2

3、奇函数yf(x)(xR)的图像必过点(C)A(a，f(a) B(a，f(a) C(a，f(a) D(a，f()解析f(a)f(a)，即当xa时，函数值yf(a)，必过点(a，f(a)3已知f(x)为奇函数，则f(x)x为(A )A奇函数 B偶函数 C既不是奇函数又不是偶函数 D既是奇函数又是偶函数解析令g(x)f(x)x，g(x)f(x)xf(x)xg(x)4设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是(A)Af(x)|g(x)|是偶函数 Bf(x)|g(x)|是奇函数C|f(x)|g(x)是偶函数 D|f(x)|g(x)是奇函数解析由f(x)是偶函数，可得f(x)

4、f(x)由g(x)是奇函数，可得g(x)g(x)由|g(x)|为偶函数，f(x)|g(x)|为偶函数5.设f(x)axbx5，已知f(7)17,求f(7)的值。6.已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(x)g(x)，求f(x)、g(x)。7设f(x)是偶函数，g(x)为奇函数，又f(x)g(x)，则f(x)_，g(x)_.答案，解析f(x)g(x)，f(x)g(x).又f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，f(x)g(x).，得f(x)，得g(x)8.已知函数f(x)，对任意实数x、y，都有f(x+y)f(x)f(y)，试判别f(x)的奇偶性。9.已知f(x)是奇函数，且在3，7是增函数

5、且最大值为4，那么f(x)在-7，-3上是 函数，且最 值是 。10.已知函数f(x)=ax+bx+3a+b为偶函数，其定义域为a-1,2a，求函数值域。11.设函数为奇函数，则12设f(x)是(，)上的奇函数，f(x2)f(x)，当0x1时，f(x)x，则f(7.5)_.答案0.513设f(x)是定义在(，)上的奇函数，且x>0时，f(x)x21，则f(2)_.答案5解析由f(x)在(，)上是奇函数，得f(x)f(x)，即 f(2)f(2)，而f(2)2215.f(2)5.2.奇函数、偶函数的图像的性质：如果一个函数是奇函数，则这个函数的图像是以坐标原点为对称中心的对称图形（奇函数的图

6、像不一定过原点）；反之，如果一个函数的图像是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数。由于奇函数的图像关于原点对称，那么我们可以得出结论：如果奇函数的定义域为R时，那么必有。如果一个函数是偶函数，则这个函数的图像是以y轴为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图像是以y轴为对称轴的轴对称图形，则这个函数是偶函数。f(x)f(|x|)例2.是偶函数，图像与轴有四个交点，则方程所有实根之和是（）（A）4 （B）2 （C）1 （D）0练习1.若函数是定义在R上的偶函数，在上是减函数，且，则使得的x的取值范围是（ ） （A）（B）（C）（D）（2，2）2.设奇函数在上为增函数，且，则不

7、等式的解集为（ ） （A）（B）来源:Zxxk（C）（D）3.设是定义在R上的奇函数，且的图象关于直线对称，则=_4.已知定义域为R的函数在上为减函数，且函数为偶函数，则（ ）（A） （B）（C）（D）5.下面四个结论：偶函数的图像一定与y轴相交；奇函数的图像一定通过原点；偶函数的图像关于y轴对称；既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f(x)0(xR)其中正确命题的个数是(a)A1B2 C3 D43.函数的奇偶性与单调性之间的关系：一般地，若为奇函数，则在和上具有相同的单调性；若为偶函数，则在和上具有相反的单调性。若奇函数f(x)在a，b上是增函数，且有最大值M，则f(x)在b，a上增函数，且有

8、最小值-M .例3.定义在上的奇函数在整个定义域上是减函数，若，求实数的取值范围。练习1定义在2,2上的偶函数f(x)在区间0,2上是减函数，若f(1m)<f(m)求实数m的取值范围答案m1，)解析f(x)为偶函数，f(1m)<f(m)可化为f(|1m|)<f(|m|)，又f(x)在0,2上是减函数，|1m|>|m|，两边平方，得m<，又f(x)定义域为2,2，解之得1m2，综上得m1，)2,设定义在2,2上的奇函数f(x)在区间0,2上单调递减，若f(m)f(m1)>0，求实数m的取值范围【解析】由f(m)f(m1)>0，得f(m)>f(m1)

9、，即f(m)>f(1m)又f(x)在0,2上为减函数且f(x)在2,2上为奇函数，f(x)在2,2上为减函数 解得1m<.3.设f(x)是R上的偶函数，且在(0，)上是减函数，若x1<0，且x1x2>0，则(A)Af(x1)>f(x2) Bf(x1)f(x2) Cf(x1)<f(x2) Df(x1)与f(x2)大小不定4.若偶函数f(x)在区间(，1上是增函数，则(c)Af(1)<f(1.5)<f(2) Bf(1.5)<f(1)<f(2)Cf(2)<f(1.5)<f(1) Df(2)<f(1)<f(1.5)5若

10、函数yf(x)，xR是奇函数，且f(1)<f(2)，则必有(B)Af(1)<f(2) Bf(1)>f(2) Cf(1)f(2) D不确定6已知f(x)是定义在R上的偶函数，且有f(3)>f(1)则下列各式中一定成立的是(A)Af(1)<f(3)Bf(0)<f(5) Cf(3)>f(2) Df(2)>f(0)解析f(x)为偶函数，f(3)f(3)，f(1)f(1)，又f(3)>f(1)，f(3)>f(1)，f(3)>f(1)都成立7设f(x)为定义在(，)上的偶函数，且f(x)在0，)上为增函数，则f(2)，f()，f(3)则大小

11、顺序是(a)Af()>f(3)>f(2)Bf()>f(2)>f(3)Cf()<f(3)<f(2)Df()<f(2)<f(3)解析f(x)为偶函数，f(2)f(2)，f()f()又f(x)在0，)上为增函数，f(2)<f(3)<f()，f(2)<f(3)<f()8若奇函数f(x)当1x4时的关系式是f(x)x24x5，则当4x1时，f(x)的最大值是(D)A5 B5 C2 D1解析当4x1时，1x4，1x4时，f(x)x24x5.f(x)x24x5，又f(x)为奇函数，f(x)f(x)，f(x)x24x5(x2)21, 当x2时，取最大值1.9若奇函数f(x)在区间3,7上是增函数，在区间3,6上的最大值为8，最小值为1，则2f(6)f(3)的值为_.答案1510若函数f(x)是R上的