2016-2017届湖南省常德一中高三（下）第七次月考数学试卷（文科）（解析版）

1、2016-2017 学年湖南省常德一中高三学年湖南省常德一中高三（下下）第七次月考数学试卷第七次月考数学试卷（文科）（文科）一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的选项中，只有一项是符合题目要求的.1设 i 为虚数单位，则复数的虚部是（）A3iB3i C3D32已知条件 p： （xm） （xm3）0；条件 q：x2+3x40若 p 是 q 的必要不充分条件，则实数 m 的取值范围是（）A （，7）（1，+） B （，71，+）C （7，1）D7，13已知向量

2、=（x，y） ， =（1，2） ，且 + =（1，3） ，则| 2 |等于（）A1B3C4D54已知等差数列an中，Sn为其前 n 项和，S4=（其中为圆周率） ，a4=2a2，现从此数列的前 30 项中随机选取一个元素，则该元素的余弦值为负数的概率为（）ABCD5宋元时期数学名著算学启蒙中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的 a，b 分别为 5，2，则输出的 n 等于（）A2B3C4D56若 A 为不等式组表示的平面区域，则 a 从2 连续变化到 1 时，动直线 x+y=a 扫过 A 中的那部分区域的面积为

3、（）ABCD7设双曲线的一个焦点为 F，虚轴的一个端点为 B，线段 BF 与双曲线的一条渐近线交于点 A， 若，则双曲线的离心率为（）A6B4C3D28如图为某几何体的三视图，求该几何体的内切球的表面积为（）AB3C4D9若变量 x，y 满足|x|ln=0，则 y 关于 x 的函数图象大致是（）ABCD10已知三棱锥 ABCO，OA、OB、OC 两两垂直且长度均为 6，长为 2 的线段MN 的一个端点 M 在棱 OA 上运动，另一个端点 N 在BCO 内运动（含边界） ，则 MN 的中点 P 的轨迹与三棱锥的面所围成的几何体的体积为（）AB或 36+C36D或 3611已知 y=f（x）为 R

4、 上的可导函数，当 x0 时，f（x）+0，则关于 x的函数 g（x）=f（x）+的零点个数为（）A0B1C2D312若函数 f（x）=x2+ex（x0）与 g（x）=x2+ln（x+a）图象上存在关于 y轴对称的点，则 a 的取值范围是（）A （）B （）C （）D （）二、填空题（每题二、填空题（每题 5 分，满分分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）分，将答案填在答题纸上）13已知 sin+cos=，（0，） ，则 sincos的值是14已知等比数列an为递增数列，a1=2，且 3（an+an+2）=10an+1，则公比q=15钝角三角形 ABC 的面积是，AB=1，BC=，则 AC=

5、16已知函数 f（x）=x，g（x）=x22ax+4，若任意 x10，1，存在 x21，2，使 f（x1）g（x2） ，求实数 a 的取值范围三三、解答题解答题（本大题共本大题共 5 小题小题，共共 70 分分.解答应写出文字说明解答应写出文字说明、证明过程或演算证明过程或演算步骤步骤.）17 （12 分）已知函数 f（x）=2sinxcosx的最小正周期为（1）求函数 f（x）的单调增区间；（2）将函数 f（x）的图象向左平移个单位，再向下平移 1 个单位，得到函数y=g（x）的图象，求 y=g（x）在区间0，20上零点的个数18 （12 分）随机抽取某中学甲乙两班各 10 名同学，测量他们

6、的身高（单位：cm） ，获得身高数据的茎叶图如图（1）根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高；（2）计算甲班的样本方差；（3）现从乙班这 10 名同学中随机抽取两名身高不低于 173cm 的同学，求身高为 176cm 的同学被抽中的概率19 （12 分）已知正方体 ABCDA1B1C1D1的边长为 a，E、F 分别是棱 A1B1、CD的中点（1）证明：截面 C1EAF平面 ABC1（2）求点 B 到截面 C1EAF 的距离20 （12 分）如图，抛物线 C：x2=2py（p0）的焦点为 F（0，1） ，取垂直于 y轴的直线与抛物线交于不同的两点 P1，P2，过 P1，P2作圆心为 Q 的圆，使抛物

7、线上其余点均在圆外，且 P1QP2Q（1）求抛物线 C 和圆 Q 的方程；（2）过点 F 作倾斜角为（）的直线 l，且直线 l 与抛物线 C 和圆 Q依次交于 M，A，B，N，求|MN|AB|的最小值21 （12 分）已知函数 f（x）=（2ax2+bx+1）ex（e 为自然对数的底数） （1）若，b0，求函数 f（x）的单调区间；（2）若 f（1）=1，且方程 f（x）=1 在（0，1）内有解，求实数 a 的取值范围请考生在请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 选选修修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与

8、参数方程 22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为（t 为参数） ，再以原点为极点，以 x 正半轴为极轴建立极坐标系，并使得它与直角坐标系有相同的长度单位，在该极坐标系中圆 C 的方程为=4cos（1）求圆 C 的直角坐标方程；（2）设圆 C 与直线 l 交于点 A、B，若点 M 的坐标为（2，1） ，求|MA|MB|的值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数 f（x）=|2xa|+a（1）若不等式 f（x）6 的解集为x|2x3，求实数 a 的值；（2）在（1）的条件下，若存在实数 n 使 f（n）mf（n）成立，求实数 m的取值范围2016-20

9、17 学年湖南省常德一中高三学年湖南省常德一中高三（下下）第七次月考数第七次月考数学试卷（文科）学试卷（文科）参考答案与试题解析参考答案与试题解析一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （2016长沙一模）设 i 为虚数单位，则复数的虚部是（）A3iB3i C3D3【分析】利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出【解答】解：复数=3i+2 的虚部是3故选：D【点评】 本题考查了复数的运算法则、 虚部的定义， 考查了推理能力与

10、计算能力，属于基础题2 （2017 春武陵区校级月考）已知条件 p： （xm） （xm3）0；条件 q：x2+3x40若 p 是 q 的必要不充分条件，则实数 m 的取值范围是（）A （，7）（1，+） B （，71，+）C （7，1）D7，1【分析】分别解出 p，q 的不等式，根据 p 是 q 的必要不充分条件，即可得出【解答】解：条件 p： （xm） （xm3）0；解得：m+3x，或 xm条件 q：x2+3x40解得4x1，p 是 q 的必要不充分条件，1m，或 m+34，解得 m1 或 m7则实数 m 的取值范围是（，71，+） 故选：B【点评】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法

11、，考查了推理能力与计算能力，属于中档题3 （2016柳州模拟）已知向量 =（x，y） ， =（1，2） ，且 + =（1，3） ，则| 2 |等于（）A1B3C4D5【分析】由已知结合向量的坐标加法运算求得 ，进一步求出的坐标，代入向量模的公式得答案【解答】解：，且，解得，=故选：D【点评】本题考查平面向量的数量积运算，训练了向量的坐标加减法运算，是基础题4 （2017 春武陵区校级月考）已知等差数列an中，Sn为其前 n 项和，S4=（其中为圆周率） ，a4=2a2，现从此数列的前 30 项中随机选取一个元素，则该元素的余弦值为负数的概率为（）ABCD【分析】由等差数列an前 n 项和玖通项

12、公式，列出方程组，求出首项和公差，从而得到=，进而前 30 项中，第 6 至 14 项和第 26 项至第30项的余弦值是负数， 由此能求出现从此数列的前30项中随机选取一个元素，则该元素的余弦值为负数的概率【解答】 解： 等差数列an中， Sn为其前 n 项和， S4= （其中为圆周率） ， a4=2a2，解得，=，前 30 项中，第 6 至 14 项和第 26 项至第 30 项的余弦值是负数，现从此数列的前 30 项中随机选取一个元素，则该元素的余弦值为负数的概率为 p=故选：A【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用5 （2017绵阳模拟）宋元时

13、期数学名著算学启蒙中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的 a，b 分别为 5，2，则输出的 n 等于（）A2B3C4D5【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 S 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案【解答】解：当 n=1 时，a=，b=4，满足进行循环的条件，当 n=2 时，a=，b=8 满足进行循环的条件，当 n=3 时，a=，b=16 满足进行循环的条件，当 n=4 时，a=，b=32 不满足进行循环的条件，故输出的 n 值为 4，故选 C【

14、点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答6 （2015哈尔滨校级三模）若 A 为不等式组表示的平面区域，则 a 从2 连续变化到 1 时，动直线 x+y=a 扫过 A 中的那部分区域的面积为（）ABCD【分析】 先由不等式组画出其表示的平面区域， 再确定动直线 x+y=a 的变化范围，最后由三角形面积公式解之即可【解答】解：如图，不等式组表示的平面区域是AOB，动直线 x+y=a（即 y=x+a）在 y 轴上的截距从2 变化到 1知ACD 是斜边为 3 的等腰直角三角形，OEC 是直角边为 1 等腰直角三角形，所以区域的面积 S阴影=SACDSO

15、EC=故选 D【点评】平面区域的面积问题是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，关键是正确地画出平面区域，然后结合有关面积公式求解7（2017 春武陵区校级月考） 设双曲线的一个焦点为 F，虚轴的一个端点为 B，线段 BF 与双曲线的一条渐近线交于点 A，若，则双曲线的离心率为（）A6B4C3D2【分析】由，得= （+2） ，从而求出 A 点坐标，再由点 A 在渐近线 y=x 上，能求出双曲线的离心率【解答】解：设点 F（c，0） ，B（0，b） ，由，得=（+2） ，A（，） ，点 A 在渐近线 y=x 上，则=，解得 e=2故选：D【点评】本题考查向量知识的运用，考查双曲线的离心率，利用向

16、量知识确定 A的坐标是关键8 （2016雁塔区校级模拟）如图为某几何体的三视图，求该几何体的内切球的表面积为（）AB3C4D【分析】球心到棱锥各表面的距离等于球的半径，求出棱锥的各面面积，使用体积法求出内切球半径【解答】解：由三视图可知几何体为四棱锥，作出直观图如图所示：其中 SA底面 ABCD，底面 ABCD 是边长为 3 的正方形，SA=4SB=SD=5，SSAB=SSAD=，SSBC=SSCD=S底面=32=9V棱锥=12S表面积=62+7.52+9=36设内切球半径为 r，则球心到棱锥各面的距离均为 rS表面积r=V棱锥r=1内切球的表面积为 4r2=4故选 C【点评】本题考查多面体的

17、内切球的运算，解题时注意体积法的应用9 （2015 春辽宁校级期末）若变量 x，y 满足|x|ln=0，则 y 关于 x 的函数图象大致是（）ABCD【分析】由条件可得 y=，显然定义域为 R，且过点（0，1） ，当 x0 时，y=，是减函数，从而得出结论【解答】解：若变量 x，y 满足|x|ln=0，则得 y=，显然定义域为 R，且过点（0，1） ，故排除 C、D再由当 x0 时，y=，是减函数，故排除 A，故选 B【点评】本题主要考查指数式与对数式的互化，指数函数的图象和性质的综合应用，以及函数的定义域、值域、单调性、函数图象过定点问题，属于基础题10 （2011怀柔区一模）已知三棱锥 A

18、BCO，OA、OB、OC 两两垂直且长度均为 6，长为 2 的线段 MN 的一个端点 M 在棱 OA 上运动，另一个端点 N 在BCO内运动（含边界） ，则 MN 的中点 P 的轨迹与三棱锥的面所围成的几何体的体积为（）AB或 36+C36D或 36【分析】由于长为 2 的线段 MN 的一个端点 M 在棱 OA 上运动，另一个端点 N在BCO 内运动（含边界） ，有空间想象能力可知 MN 的中点 P 的轨迹为以 O 为球心， 以 1 为半径的球体， 故 MN 的中点 P 的轨迹与三棱锥的面所围成的几何体的体积，利用体积分割及球体的体积公式即可【解答】解：因为长为 2 的线段 MN 的一个端点

19、M 在棱 OA 上运动，另一个端点N 在BCO 内运动（含边界） ，有空间想象能力可知 MN 的中点 P 的轨迹为以 O 为球心， 以 1 为半径的球体，则MN的中点P 的轨迹与三棱锥的面所围成的几何体可能为该球体的或该三棱锥减去此球体的，即：或故选 D【点评】此题考查了学生的空间想象能力，还考查了球体，三棱锥的体积公式即计算能力11 （2015湖北校级模拟）已知 y=f（x）为 R 上的可导函数，当 x0 时，f（x）+0，则关于 x 的函数 g（x）=f（x）+的零点个数为（）A0B1C2D3【分析】令=0 得 f（x）=，即 xf（x）=1，然后利用导数研究函数 xf（x）的单调性和极值

20、，即可得到结论【解答】解：令=0，得 f（x）=，即 xf（x）=1，即零点满足此等式不妨设 h（x）=xf（x） ，则 h（x）=f（x）+xf（x） 当 x0 时，当 x0 时，即当 x0 时，xf（x）+f（x）0，即 h（x）0，此时函数 h（x）单调递增，当 x0 时，xf（x）+f（x）0，即 h（x）0，此时函数 h（x）单调递减，当 x=0 时，函数 h（x）取得极小值，同时也是最小值 h（0）=0，h（x）0，h（x）=1 无解，即 xf（x）=1 无解即函数的零点个数为 0 个故选：A【点评】本题主要考查函数零点个数的判断，利用条件构造函数，利用导数研究函数的单调性和极值是

21、解决本题的关键，综合性较强，涉及的知识点较多12 （2014湖南）若函数 f（x）=x2+ex（x0）与 g（x）=x2+ln（x+a）图象上存在关于 y 轴对称的点，则 a 的取值范围是（）A （）B （）C （）D （）【分析】由题意可得 ex0ln（x0+a）=0 有负根，函数 h（x）=exln（x+a）为增函数，由此能求出 a 的取值范围【解答】解：由题意可得：存在 x0（，0） ，满足 x02+ex0=（x0）2+ln（x0+a） ，即 ex0ln（x0+a）=0 有负根，当 x 趋近于负无穷大时，ex0ln（x0+a）也趋近于负无穷大，且函数 h（x）=exln（x+a）为增函数

22、，h（0）=e0lna0，lnaln，a，a 的取值范围是（，） ，故选：A【点评】本题考查的知识点是函数的图象和性质，函数的零点，函数单调性的性质，函数的极限，是函数图象和性质较为综合的应用二、填空题（每题二、填空题（每题 5 分，满分分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）分，将答案填在答题纸上）13 （2017 春武陵区校级月考）已知 sin+cos=，（0，） ，则 sincos的值是【分析】将已知等式两边平方求出 2sincos的值小于 0，由的范围判断出 sin0，cos0，即 sincos0，再利用完全平方公式计算即可求出 sincos的值【解答】解：将 sin+cos=两边平方

23、得： （sin+cos）2=1+2sincos=，2sincos=0，（0，） ，（，） ，sin0，cos0，即 sincos0，（sincos）2=12sincos=，则 sincos=故答案为：【点评】此题考查了同角三角函数间的基本关系，以及完全平方公式的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键14 （2016河南模拟）已知等比数列an为递增数列，a1=2，且 3（an+an+2）=10an+1，则公比 q=【分析】由已知可得 0q1，再由 3（an+an+2）=10an+1，得到关于 q 的一元二次方程，求解一元二次方程得答案【解答】解：等比数列an为递增数列，且 a1=20，公比 0q1

24、，又3（an+an+2）=10an+1，两边同除 an，可得 3（1+q2）=10q，即 3q210q+3=0，解得 q=3 或，而 0q1，故答案为：【点评】本题考查等比数列的通项公式，考查了数列的函数特性，是基础的计算题15 （2016 秋濮阳期末）钝角三角形 ABC 的面积是，AB=1，BC=，则 AC=【分析】由已知利用三角形面积公式可求 sinB，进而利用同角三角函数基本关系式可求 cosB，利用余弦定理即可得解 AC 的值【解答】解：因为钝角三角形 ABC 的面积是，AB=c=1，BC=a=，S=acsinB=，可得 sinB=，当 B 为 钝 角 时 ， cosB= ， 利 用

25、余 弦 定 理 得 ： AC2=AB2+BC22ABBCcosB=1+2+2=5，即 AC=当 B 为锐角时，cosB=，利用余弦定理得：AC2=AB2+BC22ABBCcosB=1+22=1，即 AC=1，此时 AB2+AC2=BC2，即ABC 为直角三角形，不合题意，舍去故答案为：【点评】本题主要考查了三角形面积公式，同角三角函数基本关系式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了分类讨论思想，属于中档题16 （2016 秋莲湖区校级期中）已知函数 f（x）=x，g（x）=x22ax+4，若任意 x10，1，存在 x21，2，使 f（x1）g（x2） ，求实数 a 的取值范围【分析】若任意 x1

26、0，1，存在 x21，2，使 f（x1）g（x2） ，即存在 x1，2，使得 g（x）=x22ax+41，即 x22ax+50，解得实数 a 的取值范围【解答】 （本小题满分 12 分）解：由于 f（x）=1+0，因此函数 f（x）在0，1上单调递增，所以 x0，1时，f（x）min=f（0）=1根据题意可知存在 x1，2，使得 g（x）=x22ax+41，即 x22ax+50，即 a+能成立，令 h（x）=+，则要使 ah（x）在 x1，2能成立，只需使 ah（x）min，又函数 h（x）=+在 x1，2上单调递减，所以 h（x）min=h（2）=，故只需 a【点评】本题考查的知识点是二次函

27、数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键三三、解答题解答题（本大题共本大题共 5 小题小题，共共 70 分分.解答应写出文字说明解答应写出文字说明、证明过程或演算证明过程或演算步骤步骤.）17 （ 12 分 ）（ 2017 春 武 陵 区 校 级 月 考 ） 已 知 函 数 f （ x ）=2sinxcosx的最小正周期为（1）求函数 f（x）的单调增区间；（2）将函数 f（x）的图象向左平移个单位，再向下平移 1 个单位，得到函数y=g（x）的图象，求 y=g（x）在区间0，20上零点的个数【分析】 （1）利用三角函数的恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性、单调

28、性，求得 f（x）的单调增区间（2）利用 y=Asin（x+）的图象变换规律求得 g（x）的解析式，结合正弦函数的图象可得 y=g（x）在区间0，20上零点的个数【解答】 解： （1） f （x） =2sinxcosx+2sin2x=sin2xcos2x=2sin（2x） ，对 于， 因 为 最 小 正 周 期， =1 ， ，令，kZ，解得，kZ，可得 f（x）的单调增区间为（kZ） （2）把的图象向左平移个单位，再向下平移 1 个单位，可得 g（x）=2sin2（x+）1=2sin2x1，令 g（x）=0，得 sin2x=，得 2x=2k+，或 2x=2k+，kZ，x=k+，或 x=k+，k

29、Z，所以 g（x）在每个周期上恰有两个零点，而 g（x）在0，20恰有 20 个周期，所以有 40 个零点【点评】 本题主要考查三角函数的恒等变换， 正弦函数的周期性、 单调性， y=Asin（x+）的图象变换规律，三角函数的零点，属于中档题18 （12 分） （2016 秋临川区校级期末）随机抽取某中学甲乙两班各 10 名同学，测量他们的身高（单位：cm） ，获得身高数据的茎叶图如图（1）根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高；（2）计算甲班的样本方差；（3）现从乙班这 10 名同学中随机抽取两名身高不低于 173cm 的同学，求身高为 176cm 的同学被抽中的概率【分析】 （1）由茎叶图可知

30、：甲班身高集中于 160 到 179 之间，而乙班身高集中于 170 到 180 之间，可得乙班平均身高较高（2）先求出甲班的平均身高，再利用样本方差公式计算求得结果（3）从乙班这 10 名同学中随机抽取两名身高不低于 173cm 的同学，所有的基本事件一一列举共 10 个，而身高为 176cm 的同学被抽中的基本事件有 4 个，由此求得身高为 176cm 的同学被抽中的概率【解答】解： （1）由茎叶图可知：甲班身高集中于 160 到 179 之间，而乙班身高集中于 170 到 180 之间，因此乙班平均身高高于甲班（2）甲班的平均身高为=170，故甲班的样本方差为（158170）2+（162

31、170）2+（163170）2+（168170）2+（168170）2+（170170）2+（171170）2+（179170）2+（179170）2+（182170）2=57（3）从乙班这 10 名同学中随机抽取两名身高不低于 173cm 的同学，所有的基本事件有：（181，173） 、 （181，176） 、 （181，178） 、 （181，179） 、 （179，173） 、 （179，176） 、（179，178） 、 （178，173） 、 （178，176） 、 （176，173） ，共有 10 个而身高为 176cm 的同学被抽中的基本事件有 4 个，故身高为 176cm 的同

32、学被抽中的概率等于=【点评】本题考查古典概型问题，可以列举出试验发生包含的事件和满足条件的事件，应用列举法来解题是这一部分的最主要思想，属于基础题19（12 分）（2017 春武陵区校级月考） 已知正方体 ABCDA1B1C1D1的边长为 a，E、F 分别是棱 A1B1、CD 的中点（1）证明：截面 C1EAF平面 ABC1（2）求点 B 到截面 C1EAF 的距离【分析】 （1）连接 EF、AC1和 BC1，推出直线 B1C平面 ABC1，EF平面 ABC1，即可证明：截面 C1EAF平面 ABC1（2）在平面 ABC1内，过 B 作 BH，使 BHAC1，H 为垂足，利用面积相等求出点B

33、到截面 C1EAF 的距离【解答】 （1）证明：连接 EF、AC1和 BC1，易知四边形 EB1CF 是平行四边形，从而 EFB1C，直线 B1CBC1且 B1CAB，则直线 B1C平面 ABC1，得 EF平面 ABC1而 EF平面 C1EAF，得平面 C1EAF平面 ABC1（2）解：在平面 ABC1内，过 B 作 BH，使 BHAC1，H 为垂足，则 BH 的长就是点 B 到平面 C1EAF 的距离，在直角三角形中，BH=【点评】本题考查平面与平面垂直的判定，点、线、面间的距离计算，考查计算能力，逻辑思维能力，是中档题20 （12 分） （2016长沙校级一模）如图，抛物线 C：x2=2p

34、y（p0）的焦点为 F（0，1） ，取垂直于 y 轴的直线与抛物线交于不同的两点 P1，P2，过 P1，P2作圆心为 Q 的圆，使抛物线上其余点均在圆外，且 P1QP2Q（1）求抛物线 C 和圆 Q 的方程；（2）过点 F 作倾斜角为（）的直线 l，且直线 l 与抛物线 C 和圆 Q依次交于 M，A，B，N，求|MN|AB|的最小值【分析】 （1）由抛物线的焦点坐标求出 p 值，可得抛物线方程，再由，代入抛物线方程有，抛物线在点 P2处切线的斜率为由，知，求出 r，b，可得圆 Q 的方程；（2）设出直线方程 y=kx+1 且，和抛物线方程联立，利用抛物线的焦点弦长公式求得|MN|， 再由圆心距

35、、 圆的半径和弦长的关系求得|AB|，从而求得|MN|AB|的最小值【解答】解： （1）因为抛物线 C：x2=2py（p0）的焦点为 F（0，1） ，所以，解得 p=2，所以抛物线 C 的方程为 x2=4y由抛物线和圆的对称性，可设圆 Q：x2+（yb）2=r2，P1QP2Q，P1QP2是等腰直角三角形，则，代入抛物线方程有由题可知在 P1，P2处圆和抛物线相切，对抛物线 x2=4y 求导得，所以抛物线在点 P2处切线的斜率为由，知，所以，代入，解得 b=3所以圆 Q 的方程为 x2+（y3）2=8（2）设直线 l 的方程为 y=kx+1，且，圆心 Q（0，3）到直线 l 的距离为，由，得 y

36、2（2+4k2）y+1=0，设 M（x1，y1） ，N（x2，y2） ，则，由抛物线定义知，所以，设 t=1+k2，因为，所以，所以，所以当时，即时，|MN|AB|有最小值【点评】本题考查直线与抛物线方程的位置关系，直线与直线的位置关系，以及圆的方程的综合应用， 考查分析问题解决问题的能力， 转化思想的应用， 属难题21 （12 分） （2017 春武陵区校级月考）已知函数 f（x）=（2ax2+bx+1）ex（e为自然对数的底数） （1）若，b0，求函数 f（x）的单调区间；（2）若 f（1）=1，且方程 f（x）=1 在（0，1）内有解，求实数 a 的取值范围【分析】 （1）求出函数的导数

37、，通过讨论 b 的范围，求出函数的单调区间即可；（2）解出 b，问题转化为 ex2ax2bx1=0 在（0，1）有解，设 g（x）=ex2ax2bx1，根据函数的单调性求出 a 的范围即可【解答】解： （1）若，f（x）=（x2+bx+1）ex，则 f（x）=（x1）x（1b）ex，由 f（x）=0，得 x=1 或 x=1b，若 1b=1，即 b=0 时，f（x）0，此时函数单调递减，单调递减区间为（，+） ；若 1b1，即 b0 时，由 f（x）0，得 1bx1；由 f（x）0 得 x1b，或 x1，所以单调递增区间为（1b，1） ，单调递减区间为（，1b） ， （1，+） （2）若 f（1

38、）=1，2a+b+1=e，则 b=e12a，若方程 f（x）=1 在（0，1）内有解，即 2ax2+bx+1=ex在（0，1）内有解，即 ex2ax2bx1=0 在（0，1）有解设 g（x）=ex2ax2bx1，则 g（x）在（0，1）内有零点，设 x0是 g（x）在（0，1）内的一个零点，因为 g（0）=0，g（1）=0，所以 g（x）在（0，x0）和（x0，1）上不可能单调，由 g（x）=ex4axb，设 h（x）=ex4axb，则 h（x）在（0，x0）和（x0，1）上存在零点，即 h（x）在（0，1）上至少有两个零点，因为 h（x）=ex4a，当时，h（x）0，h（x）在（0，1）上递

39、增，不合题意；当时，h（x）0，h（x）在（0，1）上递减，不合题意；当时，令 h（x）=0，得 x=ln（4a）（0，1） ，则 h（x）在（0，ln（4a） ）上递减，在（ln（4a） ，1）上递增，h（x）在（0，1）上存在最小值 hln（4a）若 h（x）有两个零点，则有 hln（4a）0，h（0）0，h（1）0所以 hln（4a）=6a4alna+1e，设，则，令（x）=0，得，当时，（x）0，此时函数（x）递增；当时，（x）0，此时函数（x）递减，则，所以 hln（4a）0 恒成立由 h（0）=1b=2ae+20，h（1）=e4ab=2a+10，所以，当时，设 h（x）的两个零点为 x1，x2，则 g（x）在（0，x1）上递增，在（x1，x2）上递减，在（x2，1）上递增，则 g（x1）g（0）=0，g（x2）g（1）=0，则 g（x）在（