同济大学 正交试验设计

1、第二章第二章 正交试验设计正交试验设计 同济大学城市轨道与铁道工程系参考教材参考教材 本章内容本章内容n第一节第一节 正交试验及正交表正交试验及正交表 n第二节第二节 正交试验设计及极差分析正交试验设计及极差分析( (单、多指标单、多指标) ) n第三节第三节 正交试验设计及极差分析正交试验设计及极差分析( (交互、混合）交互、混合）n第四节第四节 正交试验结果的方差分析正交试验结果的方差分析 第一节第一节 正交试验与正交表正交试验与正交表一一 基本概念基本概念二二 正交试验原理解析正交试验原理解析三三 正交表正交表四四 正交试验设计基本步骤正交试验设计基本步骤1 1、正交试验设计的任务、正交

2、试验设计的任务 以概率论与数理统计知识为理论基础，结合专业知识和实践经验，经济的、科学的、合理地安排试验；有效地控制试验干扰；力求用较少的人力、物力、财力和时间，最大限度地获得丰富而可靠的资料；充分利用和科学地分析所获取的试验信息，从而达到能明确回答研究项目所提出的问题和尽快获得最优方案的目的。一一 基本概念基本概念2 2、试验指标（、试验指标（experimental indexexperimental index） 在试验设计中，根据试验的目的而选定的用来衡量试验结果好坏或处理效应高低的质量指标称为试验指标。由于试验目的不同 ，选择的试验指标亦不相同。 试验指标可分为定量指标定量指标和定性

3、指标定性指标两类。能用数量表示的指标称为定量指标或数量指标。不能用数量表示的指标称为定性指标。 试验指标只有一个时的试验成为单指标试验单指标试验,否则成为多指标试验多指标试验。一一 基本概念基本概念3 3、试验因素（、试验因素（experimental factorexperimental factor） 凡对试验指标可能产生影响的原因或要素都称为因素或因子,因素分为不可控因素和不可控因素。可控因素：在试验中可以人为地加以调节和控制的因素。常用大写字母A、B、C、等表示,试验设计都是针对可控因素。 当试验中考察的因素只有一个时，称为单因素试验单因素试验；若同时研究两个或两个以上的因素对试验指标

4、的影响时，则称为两因素或多因素试验。两因素或多因素试验。一一 基本概念基本概念4 4、因素水平（、因素水平（level of factorlevel of factor） 试验因素所处的各种状态或数量等级称为因素水平，简称水平。 在试验设计中，1个因素选几个水平，就称该因素为几水平因素。 一一 基本概念基本概念5 5、正交试验设计、正交试验设计( (Orthogonal experimental design) ) 正交试验设计是利用正交表来安排与分析多因素试验的一种设计方法。它是由试验因素的全部水平组合中，挑选部分有代表性的水平组合进行试验的，通过对这部分试验结果的分析了解全面试验的情况，找

5、出最优的水平组合。 正交试验设计的基本特点是：用代表性强部分试验来代代表性强部分试验来代替全面试验替全面试验，通过对部分试验结果的统计分析，了解全面试验的情况。一一 基本概念基本概念6 6、正交表、正交表( (Orthogonal table) ) 正交表的构造需要用到组合数学和概率学知识，依据正交原理构造的规范化表格,具有”均衡分散性、整齐可比均衡分散性、整齐可比性性”的特点。如果正交表类型不同，则构造方法差异很大，甚至有些正交表其构造方法到目前还未解决。 20世纪上半叶，正交设计方法已经在数学界中提出。到40年代后期，日本统计学家田口玄一博士首次将正交设计方法应用到日本的电话机试验上,首次

6、制定了正交表。一一 基本概念基本概念7 7、正交的含义、正交的含义 “正交”意味着不同因素之间的均衡搭配。从而使计算出来的各因素效应在统计上互相独立。 广义的正交性指任意两列的每一种特征号码组合都出现同样的次数，使试验点在试验范围内能均衡分散，也就是使因素的不同水平组合在因素水平的变化范围内均衡分散。一一 基本概念基本概念1 1、试验设计的分类、试验设计的分类 一般而言, 试验设计方法分为: (1)全面试验法全面试验法 (2)单因素轮换法单因素轮换法 (3)正交试验法正交试验法n 例：有一个三因素三水平试验,以符号A、B、C表示因素。以A1、A2、A3、B1、B2、B3、C1、C2、C3分别表

7、示因素A、B、C的三个水平，试比较三种方法的试验点。二二 正交试验原理解析正交试验原理解析2 2、全面实验法、全面实验法 内涵内涵: : 将三因素三水平组合搭配而成的各种试验条件全面进行试验而进行比较选优的方法。二二 正交试验原理解析正交试验原理解析2 2、全面实验法、全面实验法试验次数:水平数因素个数=rm=33=27次. 即立方体的27个交点。优点优点：全面剖析出事物内部规律性。缺点：缺点：试验次数太多，当水平较多时试验量是惊人的。二二 正交试验原理解析正交试验原理解析A1A2A3B1B2B3C2C1C3BAC3 3、 单因素轮换法单因素轮换法n轮换方法轮换方法：即B1C1 A3C1 A3

8、B1 得到较优水平组合为A3B1C3n试验次数试验次数：7次n缺点缺点：七个点完全分布在立方体的个别边、面上。在很大范围无试验点。因此试验缺乏代表性，不能反映事物全貌。特别是因素间有交互作用时，更不易找到 最优方案.C3*C2C1B3B2B1*A3*A2A1A1A2A3B1B2B3C2C1C3BAC二二 正交试验原理解析正交试验原理解析ABC123123456789111222333123123123123231312No.列号因素A1A2A3B1B2B3C2C1C3BAC4 4、 正交试验法正交试验法( (选用正交表选用正交表L L9 9(3(34 4)二二 正交试验原理解析正交试验原理解析

9、(1)A(1)A1 1B B1 1C C1 1 (2)A (2)A2 2B B1 1C C2 2 (3)A (3)A3 3B B1 1C C3 3(4)A(4)A1 1B B2 2C C2 2 (5)A (5)A2 2B B2 2C C3 3 (6)A (6)A3 3B B2 2C C1 1(7)A(7)A1 1B B3 3C C3 3 (8)A (8)A2 2B B3 3C C1 1 (9)A(9)A3 3B B3 3C C2 2ABC123123456789111222333123123123123231312No.列号因素5 5、 正交表的特点正交表的特点二二 正交试验原理解析正交试验原

10、理解析(1)(1)正交表中任意一列中，不同的数字出现正交表中任意一列中，不同的数字出现的次数相等；的次数相等；表示：在试验安排中，所挑选出来的水平组合是均匀分布的（每个因素的各水平出现的次数相同） 均衡分散性2 2、正交表中任意两列，把同行的两个数字、正交表中任意两列，把同行的两个数字看成有序数对时，所有可能的数对出现的看成有序数对时，所有可能的数对出现的次数相同。次数相同。表示：任意两因素的各种水平的搭配在所选试验中出现的次数相等 整齐可比性正交表正交表L L9 9(3(34 4) )三三 正交表正交表1 1、正交表的分类、正交表的分类正交表等水平正交表混合水平正交表各因数的水平数相同.各因

11、数的水平数不完全相同.三三 正交表正交表2 2、等水平正交表、等水平正交表 m为正交表的列数为正交表的列数（最多能安排的因素个数，（最多能安排的因素个数，包括交互作用、误差等）包括交互作用、误差等）n为正交表的行数为正交表的行数（需要做的试验次数）（需要做的试验次数）L为正交表的代号为正交表的代号r为各因素的水平数为各因素的水平数（各因素的水平数相等）各因素的水平数相等）三三 正交表正交表2 2、等水平正交表、等水平正交表 782L表示各因素的表示各因素的水平水平数数为为2，做，做8次试验次试验，最多考虑最多考虑7个个因素因素（含交互作用）的（含交互作用）的正交表正交表。三三 正交表正交表2

12、2、等水平正交表、等水平正交表 n2 2水平水平的有L4(23)，L8(27)，L12(211)，L16(215)等，这几张表中数字2表示各因素是2水平的；试验要做的次数分别为4，8，12，16；最多可安排的因素分别为3，7，11，15。n3 3水平水平的正交表有L9(34)， L18(37) ,L27(313)，这三张表中数字3表示各因素是3水平的；试验要做的次数分别为9,18,27；最多可安排的因素分别为4,7,13。n4 4水平水平的正交表有L16(44)， L32(49) ,L64(421)，这三张表中数字4表示各因素是4水平的；试验要做的次数分别为16,32,64；最多可安排的因素分

13、别为4,9,21。三三 正交表正交表3 3、混合水平正交表、混合水平正交表 该表表示需要做该表表示需要做8次试验次试验，最多考虑，最多考虑5个个因素因素，其中，其中1个是个是4水水平因素，平因素，4个个2水平因素。水平因素。三三 正交表正交表3 3、混合水平正交表、混合水平正交表 n常见的混合水平正交表有: L12(3124), L12(6124) ， L16(41212) , L16(4229) , L16(4326), L16(4423) 等.四四 正交试验设计基本步骤正交试验设计基本步骤对于多因素试验，正交试验设计是简单常用的一种试验设计方法，其设计基本程序如图所示。正交试验设计的基本程

14、序包括试验方案设计及试验结果分析两部分。试验结果分析试验结果分析选正交表、表头设计选正交表、表头设计试验方案、试验、获得结果试验方案、试验、获得结果验证试验验证试验试试 验验 方方 案案 设设 计计 步步 骤骤四四 正交试验设计基本步骤正交试验设计基本步骤四四 正交试验设计基本步骤正交试验设计基本步骤1 1、明确试验目的，确定试验指标、明确试验目的，确定试验指标 试验设计前必须明确试验目的，即本次试验要解决什么问题。试验目的确定后，对试验结果如何衡量，即需要确定出试验指标。试验指标可为定量指标，也可为定性指标。 一般为了便于试验结果的分析，定性指标可按相关的标准打分或模糊数学处理进行数量化，将

15、定性指标定量化。四四 正交试验设计基本步骤正交试验设计基本步骤2 2、选因素、定水平、选因素、定水平 根据专业知识、以往的研究结论和经验，从影响试验指标的诸多因素中，选出主要因素作为试验因素,一般3-7个因素为宜. 试验因素选定后，根据所掌握的信息资料和相关知识，确定每个因素的水平，一般以3-7个水平为宜。对主要考察的试验因素，可以多取水平，各水平的数值应该适当拉开,便于对试验结果的分析。四四 正交试验设计基本步骤正交试验设计基本步骤3 3、选正交表、进行表头设计、选正交表、进行表头设计 正交表的选择原则是在能够安排下试验因素和交互作用的前提下，尽可能选用较小的正交表，以减少试验次数。 一般情

16、况下，试验因素的水平数应等于正交表中的水平数；因素个数（包括交互作用）应不大于正交表的列数；最低的试验次数(行数)(每列水平数一1)+l；各因素及交互作用的自由度之和要小于所选正交表的总自由度，以便估计试验误差。 表头设计就是把试验因素安排到所选正交表的列中.当试验因素数等于正交表的列数时,优先将水平数变化困难的放在第一列,水平变化容易的因素放在最后一列.当试验因素数小于正交表的列数时,若不考虑交互作用,空列作为误差列,放在表的中间或后面.四四 正交试验设计基本步骤正交试验设计基本步骤4 4、 把正交表中安排各因素的列（不包含欲考察的交互作用列）中的每个水平数字换成该因素的实际水平值，便形成了

17、正交试验方案。 进行试验,得到试验试验指标形式表达的试验结果.5 5、对试验结果进行分析、对试验结果进行分析 主要有极差分析法和方差分析法，最终获得因素主次顺序以及优方案等信息。6 6、验证试验、验证试验 对优方案进行验证试验。进行试验，记录试验结果进行试验，记录试验结果试验结果方差分析试验结果方差分析列方差分析表，列方差分析表，进行进行F F 检验检验计算各列偏差平方计算各列偏差平方和、自由度和、自由度分析检验结果，分析检验结果，写出结论写出结论试验结果分析试验结果分析选正交表、表头设计选正交表、表头设计试验方案、试验、获得结果试验方案、试验、获得结果验证试验验证试验试试 验验 方方 案案

18、设设 计计 步步 骤骤 正交试验设计基本步骤正交试验设计基本步骤进行试验，记录试验结果进行试验，记录试验结果试验结果方差分析试验结果方差分析列方差分析表，列方差分析表，进行进行F F 检验检验计算各列偏差平方计算各列偏差平方和、自由度和、自由度分析检验结果，分析检验结果，写出结论写出结论第二节第二节 单指标、多指标正交单指标、多指标正交 试验设计及极差分析试验设计及极差分析一一 单指标正交试验设计及极差分析单指标正交试验设计及极差分析二二 多指标正交试验设计及综合平衡法多指标正交试验设计及综合平衡法三三 多指标正交试验设计及综合评分法多指标正交试验设计及综合评分法1 1、极差分析的任务、极差分

19、析的任务分清各因素及其交互作用的主次顺序，分清哪个是主要因素，哪个是次要因素；判断因素对试验指标影响的显著程度；找出试验因素的优水平和试验范围内的最优组合，即试验因素各取什么水平时，试验指标最好；分析因素与试验指标之间的关系；找出指标随因素变化的规律和趋势，为进一步试验指明方向；估计试验误差的大小或估计各因素之间的交互作用情况 。一一 单指标正交试验设计及极差分析单指标正交试验设计及极差分析2 2、极差分析的基本方法、极差分析的基本方法一一 单指标正交试验设计及极差分析单指标正交试验设计及极差分析计算简便，直观，简单易懂，是正交试验结果分析最常用方法。以下说明极差分析过程。 极差分析法极差分析

20、法R法法3 3、举例、举例柠檬酸硬脂酸单甘脂是一种新型乳化剂，它是柠檬酸和硬脂酸单甘脂一定的真空度下，通过酯化反应获得，现对其合成工艺进行优化，以提高乳化剂的乳化能力。根据前期研究，不考虑交互作用，确定的因素和水平表如下：一一 单指标正交试验设计及极差分析单指标正交试验设计及极差分析3 3、举例、举例（1）选正交表）选正交表要求：因素水平数与正交表对应的水平数一致。 选Ln(3m) (主要有L9(34)， L18(37) ,L27(313)正交表列数因素数. m 3选较小的表. L9(34) 一一 单指标正交试验设计及极差分析单指标正交试验设计及极差分析3 3、举例、举例（2）表头设计）表头设

21、计要求：n将试验因素安排到所选正交表相应的列中。 n因不考虑因素间的交互作用，一个因素占有一列（可以随机排列）。n空白列（空列）：最好留有至少一个空白列 。 一一 单指标正交试验设计及极差分析单指标正交试验设计及极差分析3 3、举例、举例（3）明确试验方案）明确试验方案空白列对试验方案无影响。一一 单指标正交试验设计及极差分析单指标正交试验设计及极差分析3 3、举例、举例（4）按规定的方案做试验，得出试验结果按规定的方案做试验，得出试验结果按照规定的方案完成每一号试验 试验次序可随机决定试验条件要严格控制一一 单指标正交试验设计及极差分析单指标正交试验设计及极差分析3 3、举例、举例（5）计算

22、极差，确定因素的主次顺序计算极差，确定因素的主次顺序Ki：表示任一列上水平号为 i 时，所对应的试验结果之和。ki ：ki= Ki/s，其中s为任一列上各水平出现的次数 R（极差）：在任一列上 R=maxK1 ,K2 ,K3minK1 ,K2 ,K3，或 R=maxk1 ,k2 ,k3mink1 ,k2 ,k3 一一 单指标正交试验设计及极差分析单指标正交试验设计及极差分析3 3、举例、举例（5）计算极差，确定因素的主次顺序计算极差，确定因素的主次顺序一一 单指标正交试验设计及极差分析单指标正交试验设计及极差分析一一 单指标正交试验设计及极差分析单指标正交试验设计及极差分析RARBRC 各因素

23、主到的顺序为：A、B、C选取各因素列中K最大对应的水平为最有水平，本例中为A2B2C23 3、举例、举例（5）计算极差，确定因素的主次顺序计算极差，确定因素的主次顺序。nR越大，因素越重要。n若空列R较大，可能原因： 1）漏掉某重要因素； 2）因素之间可能存在不可忽略的交互作用 。一一 单指标正交试验设计及极差分析单指标正交试验设计及极差分析3 3、举例、举例（6）优方案的确定）优方案的确定n优方案：在所做的试验范围内，各因素较优的水平组合。 1）若试验指标越大越好 ，应选取使指标大的水平 2）若试验指标越小越好，应选取使指标小的水平 3）还应考虑：降低消耗、提高效率等 n本例选取各因素列中K

24、最大对应的水平为最有水平，本例中为A2B2C2n试验A2B2C2不包含在正交表中已经完成的9个试验中，体现出正交表的优越性，故需验证试验。一一 单指标正交试验设计及极差分析单指标正交试验设计及极差分析3 3、举例、举例（7）进行验证试验，作进一步的分析进行验证试验，作进一步的分析优方案往往不包含在正交实验方案中，应进行验证试验。优方案是在给定的因素和水平的条件下得到的，若不限定给定的水平，有可能得到更好的试验方案 。对所选的因素和水平进行适当的调整，以找到新的更优方案。趋势图 （把试验指标的平均值ki作为纵坐标，因素水平作为横坐标）一一 单指标正交试验设计及极差分析单指标正交试验设计及极差分析

25、3 3、举例、举例（7）进行验证试验，作进一步的分析进行验证试验，作进一步的分析n趋势图 （把试验指标的平均值ki作为纵坐标，因素水平作为横坐标）一一 单指标正交试验设计及极差分析单指标正交试验设计及极差分析优组合A2B2C21 1、综合平衡法综合平衡法先对每个指标分别进行单指标的直观分析；获得因数主次，优水平。 对各指标的分析结果进行综合比较和分析，得出较优方案;综合平衡法原则：综合平衡法原则： 次服从主（首先满足主要指标或主要因素的最优水平）次服从主（首先满足主要指标或主要因素的最优水平） 少数服从多数少数服从多数 当因素水平差别不大时，降低消耗、提高效率当因素水平差别不大时，降低消耗、提

26、高效率 若试验指标的重要程度不同时，确定优水平时优先满足重要若试验指标的重要程度不同时，确定优水平时优先满足重要指标。指标。二二 多指标正交试验设计及综合平衡法多指标正交试验设计及综合平衡法2 2、举例、举例 在用乙醇溶液提取葛根中的有效成分工艺优化试验中,试验指标为三个:提取物得率 、总黄酮含量、葛根素含量 ，各指标重要程度相同，要求越大越好。试验因素三个：乙醇浓度、液固比、回流次数；三个因素各有三个水平，不考虑交互作用。 因素水平表因素水平表二二 多指标正交试验设计及综合平衡法多指标正交试验设计及综合平衡法水平水平A:乙醇浓度乙醇浓度/%B:液固比液固比C：回流次数：回流次数1807126

27、06237083选取正交表选取正交表L9(34)因素水平表因素水平表二二 多指标正交试验设计及综合平衡法多指标正交试验设计及综合平衡法2 2、举例、举例 实验方案及结果表二二 多指标正交试验设计及综合平衡法多指标正交试验设计及综合平衡法提取物得率：提取物得率：l因素主次：因素主次：C A B l优方案：优方案：C3A2B2 或或C3A2B3 总黄酮含量：总黄酮含量：l因素主次：因素主次：A C B l优方案：优方案：A3C3B3 葛根素含量葛根素含量 ：l因素主次：因素主次：C A B l优方案：优方案：C3A3B2 n综合平衡：综合平衡：C3A3B2 水平水平A:乙醇浓度乙醇浓度/%B:液固

28、比液固比C：回流次数：回流次数180712606237083因素水平表因素水平表1 1、综合评分法、综合评分法（1）内涵：）内涵：根据各个指标的重要程度，对得出的试验结果进行分析，给每一个试验评出一个分数，作为这个试验的总指标，进行单指标试验结果的直观分析法。（2）评分办法）评分办法直接给出每一号试验结果的综合分数 (主要针对定性指标定性指标)对每号试验的每个指标分别评分，再求综合分。 若各指标重要性相同：各指标的分数总和 若各指标重要性不相同：各指标的分数加权和.三三 多指标正交试验设计及综合评分法多指标正交试验设计及综合评分法1 1、综合评分法、综合评分法（3）试验指标的评分）试验指标的评

29、分一般用指标的一般用指标的“隶属度隶属度”来表示分数来表示分数 ：（4）综合分计算综合分计算 综合分综合分=试验指标试验指标1隶属度隶属度权重权重1+。+试验指标试验指标n隶属度隶属度权重权重n 要求：权重要求：权重1+.+权重权重n=1三三 多指标正交试验设计及综合评分法多指标正交试验设计及综合评分法指标值 指标最小值隶属度指标最大值 指标最小值2 2、举例、举例 某土质高边坡平面上呈弯曲的条带状展布, 坡脚为26。32。，边坡高度约40 m (大大超过相关规范中土质高边坡坡高20m ), 边坡长度约80 m , 土体较均匀, 可能破坏模式为滑移, 滑动面为圆弧或多段近圆弧线。根据现有的勘察

30、结果和设计方案，土质高边坡稳定性评价和影响因素主次分析是工程实施的关键。n 依据专业知识可知，在坡高一定的条件下，土的重度、载聚力、内摩擦角、整体边坡角和水平地震加速度影响系数这5个因素对稳定性影响最大，采用4个水平进行分析。采用M-p法(权重2/3)和Bishop法(权重1/3)稳定系数进行评价.三三 多指标正交试验设计及综合评分法多指标正交试验设计及综合评分法2 2、举例、举例因素水平表 三三 多指标正交试验设计及综合评分法多指标正交试验设计及综合评分法2 2、举例、举例 正交试验方案(L16(45)及结果 三三 多指标正交试验设计及综合评分法多指标正交试验设计及综合评分法三三 多指标正交

31、试验设计及综合评分法多指标正交试验设计及综合评分法2 2、举例、举例 综合评分及极差分析因素主次：因素主次：水平地震加速度影响系数水平地震加速度影响系数内摩擦角内摩擦角粘聚力粘聚力重度重度整体坡脚角整体坡脚角度度最优方案：最优方案： E1C4B4A2D2 第三节第三节 混合水平、交互作用的混合水平、交互作用的 正交试验设计及极差分析正交试验设计及极差分析一一 混合水平的正交试验设计及极差分析混合水平的正交试验设计及极差分析二二 交互作用的正交试验设计及极差分析交互作用的正交试验设计及极差分析1 1、混合水平的正交试验设计方法、混合水平的正交试验设计方法混合水平：混合水平：在实际问题中，由于具体

32、情况不同，有时各因素的水平数是不相同的，这就是混合水平的多因素试验问题。混合水平正交试验设计方法：混合水平正交试验设计方法： 直接利用混合水平的正交表； 拟水平法，即把水平数不同的问题转化成等水平数的问题来处理。一一 混合水平的正交试验设计及极差分析混合水平的正交试验设计及极差分析2 2、直接利用混合水平正交表进行试验设计、直接利用混合水平正交表进行试验设计（1）混合正交表及其用法：）混合正交表及其用法：混合水平正交表就是各因素水平数不完全相等的正交表。常见的混合水平正交表有: L8(4124)， L12(3124), L12(6124) ，L16(41212) , L16(4229) , L

33、16(4326), L16(4423) 等. 混合正交表混合正交表 L8(41 24)一一 混合水平的正交试验设计及极差分析混合水平的正交试验设计及极差分析试验号试验号列号列号12345111111212222321122422211531212632121741221842112混合正交表的特点混合正交表的特点列中不同数字出现的次数是相同的。（均衡分散性）每两列各水平搭配次数是相同的。（整齐可比性）2 2、直接利用混合水平正交表进行试验设计、直接利用混合水平正交表进行试验设计（1）举例）举例 某农科站进行品种试验。共有4个因素：A(品种)、B(氮肥量)、C(氮、磷、钾肥比例)、D(规格)。因

34、素A是4水平的，另外3个因素都是2水平的，具体数据如表所示。试验指标是产量，数值越大越好。试用混合水平正交表安排试验，找出最好的试验方案。一一 混合水平的正交试验设计及极差分析混合水平的正交试验设计及极差分析 水平A：品种B：氮肥量kgC：氮、磷、钾肥比例D：规格1甲253:3:1662乙302:1:2773丙4丁 因素因素 试验号试验号ABCD试验指标试验指标产量产量/kg减去减去20011111195- -5212222055321122202042221225255312121010632122151574122185- -1584211190- -10K10102020K2453525

35、25K325K4- -25k102.55.05.0k222.58.86.36.3k312.5k4- -12.5极极 差差35.06.31.31.3优方案优方案A2B2C2D22次次试试验验4次次试试验验依据依据k1、k2、k3、k4计算极差。计算极差。3 3、采用拟水平法进行试验设计、采用拟水平法进行试验设计（1）拟水平法：）拟水平法：在没有合适的混合水平正交表可用时，可以对水平少的因素进行虚拟水平，使之变成等水平问题进行试验设计。（2 2）举例）举例 某一试验，试验指标只有一个，它的数值越小越好，这个试验有4个因素A、B、C、D，其中因素C是2水平的，其余因素都是3水平的，具体数据如表所示，

36、不考虑交互作用。试对试验结果进行分析，找出最好的试验方案。一一 混合水平的正交试验设计及极差分析混合水平的正交试验设计及极差分析水平水平ABCD135015606522508807533001085套用混合正交表套用混合正交表：L18（2137），须进行），须进行18次试验。次试验。3 3、采用拟水平法进行试验设计、采用拟水平法进行试验设计（2 2）举例）举例 一一 混合水平的正交试验设计及极差分析混合水平的正交试验设计及极差分析水平水平ABCD13501560652250880753300108085依据专业知识，重复水平较少的因素的较优水平。可选等水平正交表等水平正交表L9(34) 因素因

37、素试验号试验号AB CD试验指标测试结果试验指标测试结果11111145212222363133（2）2312421223155223（2）2140623112157313（2）2210832113593322147K1937065132K2708116061K3627432k131.023.321.744.0k223.327.026.720.3k320.724.710.7极极 差差10.33.75.033.3优方案优方案A3B1C1D3C因素第二水平进行了6次试验依据依据k1、k2、k3、k4计算极差。计算极差。1 1、交互作用的判断、交互作用的判断交互作用：交互作用：在多因素试验中，不仅因

38、素对指标有影响，而且因素之间的联合搭配也对指标产生影响。因素间的联合搭配对试验指标产生的影响作用称为交互作用。 二二 有交互作用的正交试验设计及极差分析有交互作用的正交试验设计及极差分析1 1、交互作用的判断、交互作用的判断判断方法：判断方法：判断因素A和因素B的交互作用 ，通常各取两水平，在每个组合水平上做试验，根据试验结果判断。二二 有交互作用的正交试验设计及极差分析有交互作用的正交试验设计及极差分析A1A2B12535B23040A1A2B12535B230152 2、交互作用的处理原则、交互作用的处理原则二二 有交互作用的正交试验设计及极差分析有交互作用的正交试验设计及极差分析3 3、

39、交互作用的表头设计、交互作用的表头设计二二 有交互作用的正交试验设计及极差分析有交互作用的正交试验设计及极差分析3 3、交互作用的表头设计、交互作用的表头设计二二 有交互作用的正交试验设计及极差分析有交互作用的正交试验设计及极差分析 列号列号列号列号( )1234567（1）(1)325476（2）(2)16745（3）(3)7654（4）(4)123（5）(5)32（6）(6)1（7）(7)交互作用所在的列号交互作用所在的列号试验因素所在的列号试验因素所在的列号3 3、交互作用的表头设计、交互作用的表头设计二二 有交互作用的正交试验设计及极差分析有交互作用的正交试验设计及极差分析3 3、交互

40、作用的表头设计、交互作用的表头设计L27(313)二二 有交互作用的正交试验设计及极差分析有交互作用的正交试验设计及极差分析因因素素数数列列 号号123456789101112133AB(AB)1(AB)2C(AC)1(AC)2(BC)1(BC)24AB(AB)1(CD)2(AB)2C(AC)1(BD)2(AC)2(BC)1(AD)2D(AD)1(BC)2(BD)1(CD)14 4、交互作用的正交表设计举例、交互作用的正交表设计举例二二 有交互作用的正交试验设计及极差分析有交互作用的正交试验设计及极差分析 某试验有3因素（A、B、C），每个因素2水平，试验中考虑的交互作用为：AB、AC。试验指

41、标为吸光度 ，要求吸光度越大越好。选表选表 应将交互作用看成因素 按5因素2水平选交互正交表：L8（27） 表头设计表头设计 L8（27）交互作用正交表表头列号列号1234567因素因素ABA BCA CB C4 4、交互作用的正交表设计举例、交互作用的正交表设计举例二二 有交互作用的正交试验设计及极差分析有交互作用的正交试验设计及极差分析 明确试验方案、进行试验、得到试验明确试验方案、进行试验、得到试验4 4、交互作用的正交表设计举例、交互作用的正交表设计举例二二 有交互作用的正交试验设计及极差分析有交互作用的正交试验设计及极差分析计算极差、确定因素主次计算极差、确定因素主次 （包括交互作用

42、）（包括交互作用）4 4、交互作用的正交表设计举例、交互作用的正交表设计举例二二 有交互作用的正交试验设计及极差分析有交互作用的正交试验设计及极差分析优方案的确定优方案的确定 如果不考虑因素间的交互作用如果不考虑因素间的交互作用 ，优方案：，优方案：B2A2C1 交互作用交互作用AC比因素比因素C对试验指标的影响更大。对试验指标的影响更大。 故确定故确定C因素的优水平，需根据因素因素的优水平，需根据因素A，C水平搭配表确定水平搭配表确定 。4 4、交互作用的正交表设计举例、交互作用的正交表设计举例二二 有交互作用的正交试验设计及极差分析有交互作用的正交试验设计及极差分析优方案的确定优方案的确定

43、 试验结果表 A1A2C1(y1+ y3)/2=(0.484+0.532)/2=0.508(y5+ y7)/2=(0.472+0.554)/2=0.513C2(y2+ y4)/2=(0.448+0.516)/2=0.482(y6+ y8)/2=(0.480+0.552)/2=0.516因素因素A，C水平搭配表水平搭配表 优方案：优方案：B2A2C2第四节第四节 正交试验设计的方差分析正交试验设计的方差分析一一 方差分析的思路、步骤和格式方差分析的思路、步骤和格式二二 等水平正交试验方差分析等水平正交试验方差分析 三三 混合水平正交试验的方差分析混合水平正交试验的方差分析一一 方差分析的思路、步

44、骤和格式方差分析的思路、步骤和格式1 1、方差分析的作用、方差分析的作用 极差分析法简单明了，通俗易懂，计算工作量少。但这种方法不能将试验中由于试验条件改变引起的数据波动同试验误差引起的数据波动区分开来，也就是说，不能区分因素各水平间对应的试验结果的差异究竟是由于因素水平不同引起的，还是由于试验误差引起的，无法估计试验误差的大小。此外，各因素对试验结果的影响大小无法给以精确的数量估计，不能提出一个标准来判断所考察因素作用是否显著。为了弥补极差分析的缺陷，可采用方差分析。一一 方差分析的思路、步骤和格式方差分析的思路、步骤和格式2 2、方差分析的思路、方差分析的思路方差分析基本思想是将数据的总变

45、异分解成因素引起的变异和误差引起的变异两部分，构造F统计量，作F检验，即可判断因素作用是否显著。 F检验法是英国统计学家Fisher提出的，主要通过比较两组数据的方差 ，以确定他们的精密度是否有显著性差异。至于两组数据之间是否存在系统误差，则在进行F检验并确定它们的精密度没有显著性差异之后，再进行t检验。一一 方差分析的思路、步骤和格式方差分析的思路、步骤和格式3 3、方差分析的基本步骤、方差分析的基本步骤 用正交表Ln(rm)来安排试验 ，试验结果为yi（i=1,2,n）。（1）离差（偏差）平方和的求解）离差（偏差）平方和的求解： 总偏差平方和各列因素偏差平方和+误差偏差平方和 令：则： 误

46、差因素SSSSSST1niiTy21niiQy2211()niiTPynn2221111()()nnnTiiiiiiSSyyyyQPn一一 方差分析的思路、步骤和格式方差分析的思路、步骤和格式3 3、方差分析的基本步骤、方差分析的基本步骤 （1）离差平方和的求解）离差平方和的求解： 第j列所引起的离差平方和： 22211()()rrjiiiirTrSSKKPnnn1mTjjSSSS试验因素的离差平方和SSA ：当j列安排的是试验因素A时，SSj表示A因素引起的离差平方和。试验误差的离差平方和SSe：为所有空列所对应的离差平方和之和。交互作用的离差平方和SSAB： 等于所占列离差平方和之和，即；

47、12A BA BA BSSSSSS（）（）一一 方差分析的思路、步骤和格式方差分析的思路、步骤和格式3 3、方差分析的基本步骤、方差分析的基本步骤 （2）自由度的计算）自由度的计算：总自由度总自由度 ：dfTn1任一列离差平方和对应的自由度任一列离差平方和对应的自由度 ： dfjr1交互作用的自由度交互作用的自由度 ：（以：（以AB为例）为例）ndfABdfA dfBndfAB( r1 )dfjn若若r 2， dfABdfjn若若r 3， dfAB 2dfj= dfA dfB误差的自由度：误差的自由度： dfe空白列自由度之和空白列自由度之和=总自由度总自由度-各因素自由度（含交互作用）各因素

48、自由度（含交互作用）一一 方差分析的思路、步骤和格式方差分析的思路、步骤和格式3 3、方差分析的基本步骤、方差分析的基本步骤 （3）均方（平均利差平方和）均方（平均利差平方和MS）的计算）的计算： 因素A的均方： 交互作用AB的均方： 试验误差的均方：AAASSMSdfA BA BA BSSMSdfeeeSSMSdf一一 方差分析的思路、步骤和格式方差分析的思路、步骤和格式3 3、方差分析的基本步骤、方差分析的基本步骤 （3）均方（平均利差平方和）均方（平均利差平方和MS）的计算）的计算： 若某因素或交互作用的均方若某因素或交互作用的均方MSe，则应将它们归入误差列计算新的误差、，则应将它们归

49、入误差列计算新的误差、均方。均方。 例：若例：若MSA MSe 则：则：eeASSSSSSeeAdfdfdfeeeSSMSdf一一 方差分析的思路、步骤和格式方差分析的思路、步骤和格式3 3、方差分析的基本步骤、方差分析的基本步骤 （4）F值的计算值的计算： n F值等于各均方除以误差的均方，例如： AAeMSFMSA BA BeMSFMSAAeMSFMSA BA BeMSFMS或或或或一一 方差分析的思路、步骤和格式方差分析的思路、步骤和格式3 3、方差分析的基本步骤、方差分析的基本步骤 （5）显著性检验）显著性检验： 给定一个显著性检验水平a，现在F分布表中查出 ， n若 ，则因素A对试验

50、结果有显著影响 。n若 ，则交互作用AB对试验结果有显著影响。 (,)AAeFFd fd f(,)ABABeFFd fd f一一 方差分析的思路、步骤和格式方差分析的思路、步骤和格式3 3、方差分析的基本步骤、方差分析的基本步骤 （6）列方差分析表）列方差分析表 一一 方差分析的思路、步骤和格式方差分析的思路、步骤和格式4 4、格式、格式 表头设计表头设计A AB B试验数据试验数据列号列号1 12 2m my yi iy yi i2 2试验号试验号1 11 1y y1 1y y1 12 22 21 1y y2 2y y2 22 2n nr ry yn ny yn n2 2K K1j1jK K

51、1111K K1212K K1k1kK K2j2jK K2121K K2222K K2k2kK KmjmjK Kr1r1K Kr2r2K KrmrmK K1j1j2 2K K11112 2K K12122 2K K1k1k2 2K K2j2j2 2K K21212 2K K22222 2K K2k2k2 2K Kmjmj2 2K Kr1r12 2K Kr2r22 2K Krmrm2 2SSSSj jSSSS1 1SSSS2 2SSSSm mPQSSr1QPQSSyQnT yTjjijTTniiT2niir12ij121KP 二二 等水平正交试验方差分析等水平正交试验方差分析 二二 等水平正交试

52、验方差分析等水平正交试验方差分析 二二 等水平正交试验方差分析等水平正交试验方差分析 二二 等水平正交试验方差分析等水平正交试验方差分析 二二 等水平正交试验方差分析等水平正交试验方差分析 二二 等水平正交试验方差分析等水平正交试验方差分析 F值大小判断因素主次顺序值大小判断因素主次顺序：AB、B、 BC、A、C二二 等水平正交试验方差分析等水平正交试验方差分析 故优方案故优方案：B2A1C2A1A2B1(15+25)/2=20.0(9+16)/2=12.5B2(3+2)/2=2.5(19+8)/2=13.5C1C2B1(15+9)/2=12.0(25+16)/2=20.5B2(3+19)/2

53、=11.0(2+8)/2=5.0三三 混合水平正交试验方差分析混合水平正交试验方差分析 利用混合水平正交表的方差分析利用混合水平正交表的方差分析 三三 混合水平正交试验方差分析混合水平正交试验方差分析 利用拟水平法进行正交试验的方差分析利用拟水平法进行正交试验的方差分析 本章思考题本章思考题 铁路混凝土结构物设计规范要求铁路混凝土结构物须从耐久性出发进行设计, 同时需满足使用年限和强度的要求。铁路混凝土结构耐久性设计暂行规定中规定, 混凝土的耐久性一般包括混凝土的抗裂性、护筋性、耐蚀性、抗冻性、耐磨性及抗碱-骨料反应等。混凝土耐久性指标应根据结构的设计使用年限、所处的环境类别及作用等级确定。

54、根据京沪高铁设计要求, 梁体高性能混凝土的56d 强度设计指标为C50（不低于50MPa）,混凝土抗冻性要求为F200W6（200冻融循环后质量损失不超过5%，强度降低不超过25%，动弹性模量降低不超过40%，抗渗性不低于0.6MPa）, 混凝土的电通量要求小于1000C（伏特米，=E.dscosa），混凝土出机坍落度控制在160-200mm之间， 30min 坍落度损失越小越好。 正交设计试验时采用的配合比参数为水胶比0.32, 粉煤灰掺量1 5%, 矿粉掺量15%,现分别有砂料供应商、骨料供应商及外加剂供应商各三个，以设计强度、电通量、 30min 坍落度损失为试验指标，指标的重要程度相同

55、，确定出试验的优组合，并筛选出供应商。 本章思考题本章思考题试验方案及结果附录附录 试验数据的精准度及误差常用统计检验试验数据的精准度及误差常用统计检验试验数据误差的来源及分类试验数据误差的来源及分类 因偶然因素造成的以不可预知的规律变化着的误差，绝对误差时因偶然因素造成的以不可预知的规律变化着的误差，绝对误差时正时负，时大时小。当试验次数足够多时，误差的平均值趋向于零正时负，时大时小。当试验次数足够多时，误差的平均值趋向于零 . 一定试验条件下，由某个或某些因素按照某一确定的规律起作用一定试验条件下，由某个或某些因素按照某一确定的规律起作用而形成的误差而形成的误差.它不能通过多次试验被发现，

56、也不能通过取多次试验值它不能通过多次试验被发现，也不能通过取多次试验值的平均值而减小的平均值而减小. 实验人员粗心大意造成实验人员粗心大意造成, 一种显然与事实不符的误差一种显然与事实不符的误差. 附录附录 试验数据的精准度及误差常用统计检验试验数据的精准度及误差常用统计检验试验数据的精准度试验数据的精准度(精密度、正确度、准确度精密度、正确度、准确度)p反映了随机误差大小的程度反映了随机误差大小的程度p在一定的试验条件下，多次试验值的彼此符合程度在一定的试验条件下，多次试验值的彼此符合程度 极差（极差（range） maxminRxxR，精密度，精密度附录附录 试验数据的精准度及误差常用统计检验试验数据的精准度及误差常用统计检验试验数据的精准度试验数据的精准度(精密度、正确度、准确度精密度、正确度、准确度) 标准差（标准差（standard error） 222111()() /nnniiiiiixxxxnnn222111()() /11nnniiiiiixxxxnsnn标准差标准差，精密度，精密度附录附录 试验数据的精准度及误差常用统计检验试验数据的精准度及误差常用统计检验试验数据的精准度试验数据的精准度(精密度、正确度、准确度精密度、正确度、准确度) 方差（方差（variance） 标准差的平方：标准差的平方：n样本方差（样本方差（