山东大学物理实验误差分析详解

1、物理实验中心物理实验中心 普通物理实验室普通物理实验室绪论与实验的误差及数据处理基础知识绪绪 论论一、物理实验课程的地位、作用和任务u 地位: 独立课程，不能补考只能重修。u 总成绩总成绩=平时成绩平时成绩+论文成绩论文成绩, 平时成绩平时成绩=操作操作+数据处理数据处理+讨论汇报讨论汇报 u 作用: 实验方法、实验技能、数据处理、书面报告实验方法、实验技能、数据处理、书面报告整理训练，也是对独立工作能力、合作能力的培整理训练，也是对独立工作能力、合作能力的培养。养。u 任务: 1. 通过对实验现象的观察、分析和对物理量的测量，通过对实验现象的观察、分析和对物理量的测量，学习物理实验基础知识。

2、学习物理实验基础知识。 2培养和提高学生的科学实验能力。培养和提高学生的科学实验能力。 3培养与提高学生的科学实验素养。培养与提高学生的科学实验素养。 二、如何学好物理实验课二、如何学好物理实验课n做好物理实验课的三个阶段（环节）做好物理实验课的三个阶段（环节）1实验前的预习 实验课时间有限。实验课时间有限。 实验要提前设计方案、实验要提前设计方案、原理的描述、公式、汇报提纲、记录表格等。记录表格等。 2课堂实验课堂实验n课堂实验是实验课的最重要的环节。课堂实验是实验课的最重要的环节。 实验前：实验前：按分组就位、不得动仪器，检查仪器、材料是否完好、齐备（有问题及时报告）。 实验中：实验中：安

3、静、分工合作+互换。 实验后：实验后：跟教师讨论实验通过后-整理、上交仪器-经教师检查确认后方可离开。3实验报告1、数据记录及其说明。数据记录及其说明。2、数据处理及实验结果。数据处理及实验结果。n含有计算过程（公式含有计算过程（公式-带入数据带入数据-结果结果【含单位含单位】）、）、n实验曲线、误差分析。实验曲线、误差分析。3、实验讨论。实验讨论。三、学生实验制度三、学生实验制度u服从任课教师的安排。服从任课教师的安排。u按时上课：按时上课：迟到超过15分钟、实验后未经任课教师检查签字而离开者，均按旷课论处。u请假：请假：病假-校医院病假条；事假-院里盖公章假条。 申请补课。u旷课：旷课：该

4、实验以0分计。 u节假日：节假日：除学校统一安排补课外，所缺实验跳过不补。u专用实验本：专用实验本：测量原始数据等。u实验小组（学号顺序）：实验小组（学号顺序）：在相应编号的仪器上做实验、整个学期中不得更换。学生实验制度（续）学生实验制度（续）u爱护仪器：爱护仪器：实验前不动仪器，实验中安全注意事项，数据签字后整理仪器。损坏要赔偿。u仪器安全注意事项：仪器安全注意事项：各种光学器件表面严禁用手或其它物品接触光学表面，领用的小仪器实验后要上交。u实验不得抄袭：实验不得抄袭：雷同者均判为零分。u值日：值日：打扫实验室。序号实验名称1单摆测重力加速度 2实验二十七 密立根油滴法3实验二十六 金属丝杨

5、氏模量4实验八 热敏电阻温度系数5实验四 液体黏度系数的测定6实验十一 示波器的原理与使用7实验七 固体导热系数的测定8导体电阻率测定 9霍尔效应 10光纤传感器工作特性研究 11等厚干涉 12迈氏干涉仪 本学期十个实验的顺序本学期十个实验的顺序实验序号及房间号：实验序号及房间号：一、单摆测重力加速度二、仿真实验【油滴实验】三、测定金属丝杨氏模量四、热敏电阻温度系数五、液体黏度六、示波器使用722室724室734室734室723室719室七、不良导体导热系数八、导体电阻率测定九、霍尔效应十、光纤传感器工作特性研究十一、等厚干涉十二、迈氏干涉仪731室725室731室728室736室736室第一

6、章第一章 实验的误差及数据处理基础知识实验的误差及数据处理基础知识 主要内容：主要内容：1.1 测量、误差的基本知识测量、误差的基本知识1.2 不确定度的基本概念不确定度的基本概念1.3 1.4 1.5 实验数据处理的一般方法实验数据处理的一般方法1.6 系统误差的处理系统误差的处理误误 差差 理理 论论 基基 础础1.11.1 测量、误差的基本知识测量、误差的基本知识 n一、测量与误差 测量就是将待测量与选做标准单位的物理量进行比较，得到此物理量的测量值。测量值必须包括:数值和单位数值和单位，如测量课桌的长度为1.2534m。 误误 差差 理理 论论 基基 础础测量的分类：测量的分类：按测量

7、方式通常可分为：按测量方式通常可分为：直接测量由仪器直接读出测量结果的由仪器直接读出测量结果的叫做直接测量叫做直接测量 如：用米尺测量课桌的长度，电压表测如：用米尺测量课桌的长度，电压表测量电压等量电压等间接测量由直接测量结果经过公式计由直接测量结果经过公式计算才能得出结果的叫做间接测量算才能得出结果的叫做间接测量 如：测量单摆的振动周期如：测量单摆的振动周期T T，用公式，用公式误误 差差 理理 论论 基基 础础误误 差差 理理 论论 基基 础础 误差定义：测量值误差定义：测量值x x，真值（客观实在值）为真值（客观实在值）为a a，则测量误则测量误差为：差为： 不可知的不可知的真值就是与给

8、定的特定量的定义相一致的量值。客观存在真值就是与给定的特定量的定义相一致的量值。客观存在的、但不可测得的（测量的不完善造成的、但不可测得的（测量的不完善造成）。可知的真值：可知的真值：a.a.理论真值理论真值-理论设计值、理论公式表达值等理论设计值、理论公式表达值等 如三角形内角和如三角形内角和180180度；度；b.b.约定约定( (实用实用) )真值真值-指定值指定值, ,最佳值等，最佳值等， 如阿伏加德罗常数如阿伏加德罗常数, , 算术平均值当真值等。算术平均值当真值等。误误 差差 理理 论论 基基 础础二、误差分类二、误差分类按其性质和原因可分为系统误差、随机误差和粗大误差三类按其性质

9、和原因可分为系统误差、随机误差和粗大误差三类在重复测量条件下对同一被测量进行无限多在重复测量条件下对同一被测量进行无限多次测量结果的平均值减去真值次测量结果的平均值减去真值 来源：来源：仪器、装置误差；仪器、装置误差；测量环境误差；测量环境误差；测量理论或方法误差；测量理论或方法误差；人员误差人员误差-生理或心理特点所造成的误差。生理或心理特点所造成的误差。标准器误差标准器误差；仪器安装调整不妥仪器安装调整不妥, ,不水平、不不水平、不垂直、偏心、零点不准等，如天平不等臂垂直、偏心、零点不准等，如天平不等臂, ,分分光计读数装置的偏心；附件如导线光计读数装置的偏心；附件如导线 理论公式为近似理

10、论公式为近似或实验条件达不或实验条件达不到理论公式所规到理论公式所规定的要求定的要求 温度、湿度、光照，电磁场等温度、湿度、光照，电磁场等 特点：特点：可预知性，可修正。可预知性，可修正。anx)(误误 差差 理理 论论 基基 础础系统误差分类系统误差分类: :a.a.定值系统误差定值系统误差-其大小和符号恒定不变。其大小和符号恒定不变。 例如，千分尺没有零点修正，天平砝码的标称值不准例如，千分尺没有零点修正，天平砝码的标称值不准确等。确等。 b.b.变值系统误差变值系统误差-呈现规律性变化。可能随时间呈现规律性变化。可能随时间, ,随随位置变化。例如分光计刻度盘中心与望远镜转轴中位置变化。例

11、如分光计刻度盘中心与望远镜转轴中心不重合，存在偏心差心不重合，存在偏心差 发现的方法发现的方法 (2)2)理论分析法理论分析法- - 理论公式和仪器要求的使用条件理论公式和仪器要求的使用条件 规律性变化规律性变化( (一致变大一致变大变小变小)-)-定存在着系统误定存在着系统误差差 (1)(1)数据分析法数据分析法- - 观察观察 随测量次序变化随测量次序变化xxxii(3)对比法对比法 a.a.实验方法实验方法 b.b.仪器仪器 c.c.改变测量条件改变测量条件 误误 差差 理理 论论 基基 础础处理处理: : 任何实验仪器、理论模型、实验条件，都不可能理想 a. a. 消除产生系统误差的根

12、源消除产生系统误差的根源( (原因原因) ) b. b. 选择适当的测量方法选择适当的测量方法 单摆单摆g=(9.8000.002)m/s2；自由落体自由落体g=(9.77=(9.770.02)m/s2，其一存在系统误差其一存在系统误差 如两个电表接人同一电路，对比两个如两个电表接人同一电路，对比两个表的读数，如其一是标准表，可得另表的读数，如其一是标准表，可得另一表的修正值。一表的修正值。 某些物理量的方向、某些物理量的方向、参数的数值、甚至换参数的数值、甚至换人等人等 误误 差差 理理 论论 基基 础础1)1)交换法交换法-如为了消除天平不等臂而产生的系统误差如为了消除天平不等臂而产生的系

13、统误差 2)2)替代法替代法-如用自组电桥测量电阻时如用自组电桥测量电阻时 3)3)抵消法抵消法-如测量杨氏模量实验中，取增重和减重时如测量杨氏模量实验中，取增重和减重时读数的平均值；霍尔效应测磁场时改变电流和磁场的读数的平均值；霍尔效应测磁场时改变电流和磁场的方向方向各种消减系统误差的方法都具有较强的针对性，各种消减系统误差的方法都具有较强的针对性， 都是些经验型、具体的处理方法都是些经验型、具体的处理方法! ! 1)1)半周期法半周期法-如分光计的读数盘相对如分光计的读数盘相对180180设置两个游设置两个游标，任一位置用两个游标读数的平均值标，任一位置用两个游标读数的平均值图中角度读数为

14、：游标1读数: 295+13=29513游标2读数: 115+12=11512分光计 读数方法示意图误误 差差 理理 论论 基基 础础2 2随机误差：测量结果减去同一条件下对被测量进行随机误差：测量结果减去同一条件下对被测量进行无限多次测量结果的平均值无限多次测量结果的平均值 来源：测量过程中一些随机的未能控制的可变因素或不确来源：测量过程中一些随机的未能控制的可变因素或不确定的因素；被测对象本身的不稳定性引起的。定的因素；被测对象本身的不稳定性引起的。特点：个体而言是不确定的特点：个体而言是不确定的; ; 但其总体服从一定的统但其总体服从一定的统计规律。计规律。处理：不可修正，但可减小之，也

15、可用统计方法计算。处理：不可修正，但可减小之，也可用统计方法计算。)(nxxi误误 差差 理理 论论 基基 础础3 3粗大误差粗大误差 ：明显超出规定条件下预期的误差：明显超出规定条件下预期的误差来源：使用仪器的方法不正确，粗心大意读错、记错、来源：使用仪器的方法不正确，粗心大意读错、记错、算错数据、或实验条件突变等原因造成的（坏值）。算错数据、或实验条件突变等原因造成的（坏值）。处理：实验测量中要尽力避免过失错误；处理：实验测量中要尽力避免过失错误； 在数据处理中要尽量剔除坏值。在数据处理中要尽量剔除坏值。实验中的异常值决不能不加分析地统统扔掉实验中的异常值决不能不加分析地统统扔掉 -很多惊

16、世发现都是超出预期的结果！很多惊世发现都是超出预期的结果！误误 差差 理理 论论 基基 础础精确度：用于表述测量结果的好坏的名词精确度：用于表述测量结果的好坏的名词1 1精密度：表示测量结果中随机误差大小的程度。精密度：表示测量结果中随机误差大小的程度。 即是指在规定条件下对被测量进行多次测量时，所得结即是指在规定条件下对被测量进行多次测量时，所得结果之间符合的程度，简称为精度。果之间符合的程度，简称为精度。2. 2. 正确度：表示测量结果中系统误差大小的程度。正确度：表示测量结果中系统误差大小的程度。 它反映了在规定条件下，测量结果中所有系统误差的它反映了在规定条件下，测量结果中所有系统误差

17、的综合。综合。3.3.准确度：表示测量结果与被测量的准确度：表示测量结果与被测量的“真值真值”之间的一致之间的一致程度。程度。 它反映了测量结果中系统误差与随机误差的综合。称精它反映了测量结果中系统误差与随机误差的综合。称精确度。确度。xxiax )()(axxxaxii误误 差差 理理 论论 基基 础础a)a)正确度高正确度高, , 精密度低精密度低( (b)b)精密度高，精密度高， 正确度低正确度低( (c)c)精密度、精密度、正确度和准确度皆高正确度和准确度皆高正确理解正确理解“精密度、正确度、准确度精密度、正确度、准确度”意义意义误误 差差 理理 论论 基基 础础误差的表示形式：误差的

18、表示形式：a.a.绝对误差：绝对误差：b.b.相对误差相对误差: :ax - 不可得不可得理论定义理论定义通常取多次重复测量的算术平均值作为最佳（真）值通常取多次重复测量的算术平均值作为最佳（真）值xxvii残差（实用）残差（实用）理论定义理论定义%100aE- 不可得不可得%100%100 xxxxvEii实用实用测量结果的优劣，在不同测量比较时，要用相对误差表示。测量结果的优劣，在不同测量比较时，要用相对误差表示。例如，测量例如，测量1010m m长相差长相差1 1mmmm与测量与测量lmlm长相差长相差1 1mmmm，两者绝对两者绝对误差相同，而相对误差不同。误差相同，而相对误差不同。误

19、误 差差 理理 论论 基基 础础三、随机误差的分布规律与特性三、随机误差的分布规律与特性分布规律的估计分布规律的估计经验分布曲线经验分布曲线 f(vi)-vi 测量列测量列 xi ， n容量容量对大量数据处理时，往往对对大量数据处理时，往往对vi取一个单位取一个单位v(尽量小尽量小)，考，考虑虑vi落在第一个落在第一个v，第二个第二个v，第三个第三个v -的的f(vi)，-经经验分布曲线验分布曲线xxviif(vi)-vi出现的概率出现的概率正态分布正态分布均匀分布均匀分布三角分布三角分布i (单位)-0.2-0.10.00.10.2出现次数91939218f (i)0.10.20.40.20

20、.1正态分布规律正态分布规律: :大多数随机误差服从正态分布大多数随机误差服从正态分布(高斯分布高斯分布)规律规律 特点特点：1）有界性）有界性.2）单峰性）单峰性. 3）对称性）对称性.4）抵偿性）抵偿性.可以通过多次测量，利用其统计规律达到互相抵偿随机误可以通过多次测量，利用其统计规律达到互相抵偿随机误差，找到真值的最佳近似值差，找到真值的最佳近似值(又叫最佳估计值或最近真值又叫最佳估计值或最近真值)。niinn101lim误误 差差 理理 论论 基基 础础222)(21)(axexf1.3 1.3 测量结果随机误差的估算测量结果随机误差的估算1直接测量中随机误差的估算 (1)多次测量的算

21、术平均值 在相同条件下对一物理量进行了在相同条件下对一物理量进行了n次独立的直接测量，所次独立的直接测量，所得得n个测量值为个测量值为x1，x2，xn，称其为测量列，称其为测量列，niinaxnx1)(1算术平均值残差：测量值与算数平均值之差。常说的误差很多时候残差：测量值与算数平均值之差。常说的误差很多时候是指残差。是指残差。 随随 机机 误误 差差 计计 算算 ax 不可得不可得 定义：定义：随随 机机 误误 差差 计计 算算 (2)(2)多次测量结果的随机误差多次测量结果的随机误差( (标准误差标准误差) ) niixaxn12)(1标准差(n为有限次为有限次)()(1112实用niix

22、xxn随机误差的分散性，任一测量结果的误差落随机误差的分散性，任一测量结果的误差落在在-x，x 范围内的概率为范围内的概率为68.3%。 测量列的标准误差测量列的标准误差x 随随 机机 误误 差差 计计 算算 算数平均值的标准误差：算数平均值的标准误差： niixxxxnnn12)() 1(1平均值的标准差 的意义与的意义与xx的意义相似，它表示测量量的算数的意义相似，它表示测量量的算数平均值与真值的误差落在平均值与真值的误差落在- - ， 范围内的概率为范围内的概率为68.3%68.3%。显然。显然 3.141592.717292.717294.510504.510503.215503.21

23、5506.378506.37850ll7.6914997.6914997.6917.691相对误差相对误差-两位，如两位，如E E=0.0010023=0.0010023修约为修约为0.11%0.11%绝对误差绝对误差-一位，当为一位，当为1 1或或9 9时，可以保留两位。时，可以保留两位。如：如：0.001230.00123写为写为0.00130.0013，0.09620.0962写为写为0.100.10。拟舍的第一位数字为拟舍的第一位数字为5，其后无数字或皆为其后无数字或皆为0 保留末位为奇数保留末位为奇数, , 加加1 1，保留末位为偶数保留末位为偶数, , 不不变变 二、有效数字的运算

24、规则二、有效数字的运算规则有有 效效 数数 字字 及及 其其 运运 算算2. 有效数字运算规则有效数字运算规则:规则规则: 准确数字与准确数字的运算结果仍为准确数字，准准确数字与准确数字的运算结果仍为准确数字，准确数字与非准确数字或非准确数字与非准确数字的运算确数字与非准确数字或非准确数字与非准确数字的运算结果为非准确数字。运算结果只保留一位非准确数字。结果为非准确数字。运算结果只保留一位非准确数字。(1)加减法加减法 结果的非准确位与参与运算的所有数字中非准确位数值结果的非准确位与参与运算的所有数字中非准确位数值最大者相同最大者相同(2)乘除法乘除法 结果的位数与所有参与运算的数字中有效数字

25、位数最少结果的位数与所有参与运算的数字中有效数字位数最少的相同的相同(3)乘方开方乘方开方 结果的位数与相应的底数的位数相同结果的位数与相应的底数的位数相同如如674.6-21.3542的结果取的结果取为为653.2如如23.4*26的结果取为的结果取为6.1*102 如如23.42的结果取为的结果取为548 有有 效效 数数 字字 及及 其其 运运 算算(4)(4)对数对数 结果的位数与真数的位数相同结果的位数与真数的位数相同(5)(5)三角函数三角函数以上方法对少量数据运算可用以上方法对少量数据运算可用, 运算过程中可多保留位数。运算过程中可多保留位数。对大量数据用统计方法处理对大量数据用

26、统计方法处理.如如 ln23.4的结果取为的结果取为3.15 结果的位数与参数的位数相同结果的位数与参数的位数相同有有 效效 数数 字字 及及 其其 运运 算算(1)加减法加减法求求N=X+Y+Z，其中其中X=(98.70.3)cm， Y=(6.2380.006)cm， Z=(14.360.08)cm (2)乘除法乘除法 求立方体体积求立方体体积V，其中其中L=(22.4550.002)mm，H=(90.350.03)mm， B=(279.680.05)mm 考虑标准差的例题：考虑标准差的例题：解解: N=X+Y+Z=98.7+6.238+14.36= 119.298 (cm) 4 . 031

27、. 008. 0006. 03 . 0222222ZYXN所以所以 N=(119.3 0.4) (cm)所以所以 V=(5.6740.003)105 mm3 =219.866 mm3222222HBLVHVBVLV337104.56741768.27935.90455.22mmLHBV222222HBLvLBLHBH有有 效效 数数 字字 及及 其其 运运 算算(3)(3)指数指数 求求e ex x，已知：，已知：x x=7.85=7.850.050.05xxedxed/ )(385. 71013. 005. 0)(exeexx385. 710566. 2 eex故故 e ex x = =（2

28、.572.570.130.13）10103 3 (4)(4)三角函数三角函数- - 已知已知x = 38241，求求sinx sin38sin382424= 0.62114778 = 0.62114778 0003. 06011802438coscos)(sinxxx所以所以 sin3824= 0.6211 0.0003 0.0003 xdxxdcos/ )(sin(5)(5)对数对数- - 已知已知x = 65.48，求求lnx lnx = ln65.48= 4.18174475d(lnx)/dx=1/x -d(lnx)/dx=1/x - (1nx) =x/ /x= 0.1/65.48=0.

29、002 所以所以 lnx = 4.182 0.002有有 效效 数数 字字 及及 其其 运运 算算必须指出，测量结果的有效数字位数取决于测量，而必须指出，测量结果的有效数字位数取决于测量，而不取决于运算过程。因此在运算时，尤其是使用计算不取决于运算过程。因此在运算时，尤其是使用计算器时，不要随意扩大或减少有效数字位数，更不要认器时，不要随意扩大或减少有效数字位数，更不要认为算出结果的位数越多越好。为算出结果的位数越多越好。 有有 效效 数数 字字 及及 其其 运运 算算3。测量最终结果的有效数字：。测量最终结果的有效数字：%100NENNNN单位 结果的标准误差求出并修约后，测量量结果的最后结

30、果的标准误差求出并修约后，测量量结果的最后位与标准误差的对齐，测量量结果按位与标准误差的对齐，测量量结果按“五下舍，五上入，五下舍，五上入，整五凑偶整五凑偶”的原则修约。的原则修约。如由公式求得的杨氏模量如由公式求得的杨氏模量 Y=2.182641011(kg/m2)， 求得标准误差为求得标准误差为 Y =0.02318641011(kg/m2)。则根据上述规则，最终结果为则根据上述规则，最终结果为 Y=(2.180.03)1011(kg/m2) E=1.4% 数数 据据 处处 理理 方方 法法l.5l.5 实验数据处理的一般方法实验数据处理的一般方法 实验的数据处理不单纯是数学运算，而是要以

31、一定的物理模型实验的数据处理不单纯是数学运算，而是要以一定的物理模型为基础，以一定的物理条件为依据，通过对数据的整理、分析和归为基础，以一定的物理条件为依据，通过对数据的整理、分析和归纳计算，得出明确的实验结论。纳计算，得出明确的实验结论。一、一、 列表法列表法- - 记录数据时，把数据列成表格记录数据时，把数据列成表格要求(1)(1)表格设计合理表格设计合理; (2) (2)标题栏中写明各物理量的符号和单位标题栏中写明各物理量的符号和单位; (3) (3)表中所列数据要正确反映测量结果的有效数字；表中所列数据要正确反映测量结果的有效数字； (4) (4)实验室给出的数据或查得的单项数据应列在

32、表格的上部实验室给出的数据或查得的单项数据应列在表格的上部 m (g)t1 (s)t2 (s)t3 (s)5.00 10.00 15.00 如： r =2.50cm , h = cm数数 据据 处处 理理 方方 法法二二 图示法图示法-将数据之间的关系或其变化情况用图线直观将数据之间的关系或其变化情况用图线直观地表示出来地表示出来优点：物理量之间的变化规律；优点：物理量之间的变化规律； 内插法求值；内插法求值； 外推法求值。外推法求值。缺点：三个及其以上的变量不适用；缺点：三个及其以上的变量不适用； 绘图时易引入人为误差。绘图时易引入人为误差。作图步骤作图步骤 ： 选用合适的坐标纸选用合适的坐

33、标纸 坐标轴的比例与标度坐标轴的比例与标度a.a. 用粗实线描出坐标轴用粗实线描出坐标轴(箭头箭头)，横轴代表自变量，横轴代表自变量,纵纵轴代表因变量，标明物理量名称轴代表因变量，标明物理量名称(或符号或符号)及单位。及单位。数数 据据 处处 理理 方方 法法b.b. 原则上，坐标中的最小格对应测量值可靠数字的最后一原则上，坐标中的最小格对应测量值可靠数字的最后一位，可根据情况选择这一位的位，可根据情况选择这一位的“1 1”、“2 2”或或“5 5”倍倍c.c. 坐标轴的起点不一定从零开始，标度用整数，不用测坐标轴的起点不一定从零开始，标度用整数，不用测量值。量值。 标实验点标实验点a.a.

34、以以“+”、“”、 “”、 “”等符号标出实验等符号标出实验点，测量数据落在所标符号的中心，大小适中。禁止用点，测量数据落在所标符号的中心，大小适中。禁止用“ ” b.b. 一条实验曲线用同一种符号。一条实验曲线用同一种符号。 连图线（拟合线）连图线（拟合线）a.a. 把点连成直线或光滑曲线；不要无限延长把点连成直线或光滑曲线；不要无限延长b.b. 要求数据点均匀地分布在图线两旁，连线要细而清晰要求数据点均匀地分布在图线两旁，连线要细而清晰数数 据据 处处 理理 方方 法法(5) 注解说明注解说明a.a. 图形的意义、数据来源、所用公式等图形的意义、数据来源、所用公式等b.b. 图线的名称、实

35、验日期、实验者等图线的名称、实验日期、实验者等图解法图解法-求直线的斜率和截距求直线的斜率和截距 (y=a+bx )在图线上测量范围内靠近两端取两相距较远的点，如在图线上测量范围内靠近两端取两相距较远的点，如P P1 1( (x x1 1，y y1 1) )和和P P2 2( (x x2 2，y y2 2)()(不同于实验点不同于实验点),),用不同于实验点用不同于实验点的符号表明的符号表明1212xxyyb斜率112121xxxyyya截距312123xxxyyya或三点法数数 据据 处处 理理 方方 法法图示法举例图示法举例 在刚体转动实验中，当保持塔轮半径在刚体转动实验中，当保持塔轮半径

36、r不变的情况下，悬挂砝不变的情况下，悬挂砝码质量码质量m与下落时间与下落时间t的关系为的关系为 1211221112CtKgrMtgrhImm与与1/t2成线性关系成线性关系m(g) t1 (s) t2 (s) t3 (s) t(s) 21 t(10-3 s-2) 5.00 16.02 15.60 15.42 15.68 4.07 10.00 10.62 10.81 10.23 10.55 8.98 15.00 8.40 8.47 8.31 8.39 14.19 20.00 6.92 7.02 6.92 6.95 20.68 25.00 6.12 6.32 6.15 6.19 26.04 30

37、.00 5.74 5.64 5.73 5.70 30.74 35.00 5.14 5.28 5.16 5.19 37.08 其中 r = 2.50 cm h = 89.50 cm 测出一组测出一组m 1/t2值值,作出它们关系曲线作出它们关系曲线,求出斜率求出斜率K1即可得到即可得到I1 数数 据据 处处 理理 方方 法法OOO作图：作图：P27选坐标纸；选坐标纸；坐标轴的比坐标轴的比例与标度；例与标度；标实验点；标实验点；连图线；连图线；注解说明注解说明数数 据据 处处 理理 方方 法法求直线的斜率和截距求直线的斜率和截距在图线上测量范围内靠近两端任取两相距较远的点，如在图线上测量范围内靠近

38、两端任取两相距较远的点，如P1(x1，y1)和和P2(x2，y2)(不同于实验点不同于实验点),),用不同于实验点的用不同于实验点的符号表明符号表明P P1 1、P P2 2，坐标为坐标为 P1（x1, y1）=(5.0010-3, 6.02)， P2(x2, y2)=(36.0010-3, 34.30) )(10123. 910)00. 500.36( 02. 630.3422312121sgxxyykC1=1.65（g） （延长与延长与Y 轴交点；由轴交点；由P1，P2的坐标值；取第三点。）的坐标值；取第三点。）数数 据据 处处 理理 方方 法法三三 逐差法逐差法 - 充分利用测量数据减小

39、测量误差充分利用测量数据减小测量误差两个条件：两个条件： 函数具有函数具有y=a+bx的线性关系的线性关系(或代换后是线性）或代换后是线性） 自变量自变量x是等间距变化的是等间距变化的,测量次数为偶数测量次数为偶数如如: 杨氏模量杨氏模量,牛顿环牛顿环,表面张力系数等表面张力系数等数数 据据 处处 理理 方方 法法四四 线性回归（方程法）线性回归（方程法） 根据实验数据用函数解析形式求出经验公式，既无人根据实验数据用函数解析形式求出经验公式，既无人为因素影响，也更为明确和快捷为因素影响，也更为明确和快捷, ,这个过程称为回归分析这个过程称为回归分析a.a. 函数关系已经确定，但式中的系数是未知

40、的，利用测函数关系已经确定，但式中的系数是未知的，利用测量的量的n n对对( (x xi i，y yi i) )值，确定系数的最佳估计值。值，确定系数的最佳估计值。b.b. 第二类问题是第二类问题是y y和和x x之间的函数关系未知，需要从之间的函数关系未知，需要从n n对对( (x xi i，y yi i) )测量数据中寻找出它们之间的函数关系式。测量数据中寻找出它们之间的函数关系式。只讨论第一类问题中的最简单的函数关系，即一元线性方只讨论第一类问题中的最简单的函数关系，即一元线性方程的回归问题程的回归问题( (或称直线拟合问题或称直线拟合问题) ) 数数 据据 处处 理理 方方 法法一元线

41、性回归一元线性回归若已知函数的形式若已知函数的形式(最佳经验最佳经验)为为 y=a+bx 实验测得数据（实验测得数据（xi，yi ）, i=1,2,n由由 n 对（对（xi，yi ）求求a，b 使使 (yi)2 最小最小-最小二乘法最小二乘法 (P20-21) 其中其中 y = y y = y( a + bx) 对应于每一个对应于每一个x值，值，观测值观测值 y和最佳经验公式的和最佳经验公式的 y 值之间存在一个偏差值之间存在一个偏差y 数数 据据 处处 理理 方方 法法xbya22xxyxyxbniixnx11niiyny11iniiyxnyx11niixnx1221相关系数来判断回归分析的合理性相关系数来判断回归分析的合理性)(2222yyxxyxyx| - - 1， 线性回归是合理的线性回归是合理的; ; | - - 0， 不宜用线性回归不宜用线性回归. . 其中：其中：数数 据据 处处 理理 方方 法法例例3 用用X射线检查合金铸件，透视电压射线检查合金铸件，透视电压U与铸件的厚度与铸件的厚度x的数据如的数据如表，求表，求Ux的经验公式，并作相关性检验。的经验公式，并作相关性检验。 观察可见，表中观察可见，表中x x与与U U呈现比较显著的