高中数学竞赛专题讲座——数列

1、精选优质文档-倾情为你奉上高中数学竞赛专题试题讲座数列一、选择题部分1（2006年江苏）已知数列的通项公式，则的最大项是（ B ） 2（2006安徽初赛）正数列满足，则 （ ）A、98 B、99 C、100 D、1013. （2006吉林预赛）对于一个有n项的数列P=(p1，p2，pn)，P的“蔡查罗和”定义为s1、s2、sn、的算术平均值，其中sk=p1+p2+pk(1kn)，若数列(p1，p2，p2006)的“蔡查罗和”为2007，那么数列(1，p1，p2，p2006)的“蔡查罗和”为 （ A ）A. 2007 B. 2008 C. 2006 D. 10044(集训试题)已知数列an满足3

2、an+1+an=4(n1)，且a1=9，其前n项之和为Sn。则满足不等式|Sn-n-6|<的最小整数n是 （ ） A5B6C7D8解：由递推式得：3(an+1-1)=-(an-1)，则an-1是以8为首项，公比为-的等比数列， Sn-n=(a1-1)+(a2-1)+(an-1)=6-6×(-)n，|Sn-n-6|=6×()n<，得：3n-1>250，满足条件的最小整数n=7，故选C。5(集训试题)给定数列xn，x1=1，且xn+1=，则= （ ） A1 B-1C2+D-2+解：xn+1=，令xn=tann，xn+1=tan(n+), xn+6=xn, x1

3、=1，x2=2+, x3=-2-, x4=-1, x5=-2+, x6=2-, x7=1，有。故选A。6、（2006陕西赛区预赛）已知数列的前n项和分别为，记则数列的前10项和为 ( C ) A . B. C. D. 7（2006年浙江省预赛）设为正整数n（十进制）的各数位上的数字的平方之和，比如。记，则 (A) 20 (B) 4 (C) 42 (D) 145. （ D ）解： 将记做，于是有从16开始，是周期为8的周期数列。故 正确答案为D。二、填空题部分1.数列的各项为正数,其前n项和满足,则=_.2（200 6天津）已知都是偶数，且，若成等差数列，成等比数列，则的值等于 194 3. （

4、2006吉林预赛）如图所示，在杨辉三角中斜线上方的数所组成的数列1，3，6，10，记这个数列前n项和为S(n)，则=_。4（2006年江苏）等比数列的首项为，公比设表示这个数列的前项的积，则当 12 时，有最大值5. 在轴的正方向上，从左向右依次取点列 ，以及在第一象限内的抛物线上从左向右依次取点列，使（）都是等边三角形，其中是坐标原点，则第2005个等边三角形的边长是 2005。【解】：设第n个等边三角形的边长为。则第n个等边三角形的在抛物线上的顶点的坐标为（， ）。 再从第n个等边三角形上，我们可得的纵坐标为 。从而有，即有 。由此可得 （1） , 以及 （2）（1）（2）即得 .变形可得

5、 .由于，所以 。在（1）式中取n 1，可得 ，而，故。因此第2005个等边三角形的边长为 。6.(2005年浙江)已知数列，满足, 且， 则= 。【解】：由 ，推出 。因此有 .即有 。 从而可得 。7. (2005全国)记集合将M中的元素按从大到小的顺序排列，则第2005个数是（）A B C D解：用表示k位p进制数，将集合M中的每个数乘以，得中的最大数为。在十进制数中，从2400起从大到小顺序排列的第2005个数是2400-2004=396。而将此数除以，便得M中的数故选C。8（2004 全国）已知数列满足关系式，则的值是_。解：设即 故数列是公比为2的等比数列，。9（2005四川）设为

6、整数，集合中的数由小到大组成数列：，则131 。解：为整数且，最小取2，此时符合条件的数有，可在中取，符合条件有的数有同理，时，符合条件有的数有时，符合条件有的数有时，符合条件有的数有时，符合条件有的数有因此，是中的最小值，即三、解答题部分1（200 6天津）已知数列满足，其中是给定的实数，是正整数，试求的值，使得的值最小【解】令，由题设，有，且5分 于是，即（）10分又，则当的值最小时，应有，且即， 15分由（）式，得 由于，且，解得，当时，的值最小 20分2（2006陕西赛区预赛）(20分)已知,设,记。 (1)求 的表达式; (2)定义正数数列。试求数列的通项公式。.3（2006安徽初赛

7、）已知数列满足，对于所有，有，求的通项公式4. （2006吉林预赛）设an为一个实数数列，a1=t，an+1=4an(1an)。求有多少个不同的实数t使得a2006=0。 （ 22004+1）5（2006年南昌市）将等差数列:中所有能被3或5整除的数删去后,剩下的数自小到大排成一个数列,求的值.解:由于,故若是3或5的倍数,当且仅当是3或5的倍数.现将数轴正向分成一系列长为60的区间段:(0,+¥)(0,60(60,120(120,180,注意第一个区间段中含有的项15个,即3,7,11,15,19,23,27,31,35,39,43,47,51,55,59.其中属于的项8个,为:,

8、于是每个区间段中恰有15个的项,8个的项,且有,kN,1r8.由于20068×250+6,而,所以.6（2004湖南）设数列满足条件：，且)求证：对于任何正整数n，都有 证明：令 ,则有 ，且 ， 于是 由算术-几何平均值不等式，可得+注意到 ，可知 ，即 7（2006年上海） 数列定义如下：，且当时， 已知，求正整数n解 由题设易知，又由，可得，当n为偶数时，；当是奇数时， （4分）由，所以n为偶数，于是，所以，是奇数于是依次可得：， 是偶数，是奇数，是偶数，是奇数，是偶数，是偶数，是奇数， （9分），是偶数，是奇数，是偶数， ，所以，解得，n238 （14分）13. (2005全国)数列满足：证明：（1）对任意为正整数；(