第2章 单自由度课件修改

1、12.1 振动系统的组成振动系统的组成 2.2 振动微分方程建立振动微分方程建立2.3 自由振动自由振动2.4 强迫振动强迫振动 2.5 隔振原理隔振原理2.6 非周期激励下的响应非周期激励下的响应2质量元件质量元件 无弹性、不耗能的刚体，储存动能的元件无弹性、不耗能的刚体，储存动能的元件 xmFm 平动：平动：力、质量和加速度的单位分别力、质量和加速度的单位分别为为N、kg和和m / s 2。 JTm转动：转动：力矩、转动惯量和角加速度的单力矩、转动惯量和角加速度的单位分别为位分别为Nm、kg m 2和和rad / s 2 2.1 振动系统的组成振动系统的组成3弹性元件弹性元件 无质量、不耗

2、能，储存势能的元件无质量、不耗能，储存势能的元件 xkFs平动：平动：力、刚度和位移的单位分别为力、刚度和位移的单位分别为N、N / m和和m 。tskT 转动：转动：力矩、扭转刚度和角位移的单位力矩、扭转刚度和角位移的单位分别为分别为Nm、 Nm / rad和和rad 4阻尼元件阻尼元件 无质量、无弹性、线性耗能元件无质量、无弹性、线性耗能元件 xcFd平动：平动：力、阻尼系数和速度的单位分力、阻尼系数和速度的单位分别为别为N、N s/ m和和m/s。tdcT 转动：转动：力矩、扭转阻尼系数和角速度的力矩、扭转阻尼系数和角速度的单位分别为单位分别为Nm、 Nms / rad和和rad/s 5

3、2.2振动微分方程的建立 3种方法：种方法： （1）牛顿第二定律）牛顿第二定律 （2）拉格朗日法）拉格朗日法 （3）能量法）能量法6（1）牛顿第二定律）牛顿第二定律图 单自由度无阻尼质量-弹簧系统7（2 2）拉格朗日法）拉格朗日法：系统自由数 ), 2 , 1(0)(njQqUqTqTdtdjjjjnjqUTjQ：第j个广义坐标 ：弹性元件提供的系统势能 ：惯性元件提供的系统动能 ：广义力，它包括阻尼力和外加激振力 89（3 3）能量法）能量法102.3 等效单自由系统等效单自由系统（1）等效质量）等效质量 等效原则：等效前后系统的动能相等。等效原则：等效前后系统的动能相等。11等效前系统动能

4、：2222221212212111()()222llTm xmxmm xll前 等效后系统动能：21()2eTMx后TT后前221221elMmml12（2）等效刚度）等效刚度 等效原则：等效前后系统的势能相等。等效原则：等效前后系统的势能相等。等效前势能：2222331212211111()()222llUk xkxkkxll前等效后势能：21()2eUKx后UU后前231221elKkkl13等效弹簧刚度等效弹簧刚度 斜向布置的弹簧斜向布置的弹簧 2ecos/kxFkxx串联弹簧串联弹簧 并联弹簧并联弹簧 niikk1eniikk1e11niicc1eniicc1e11并联系统并联系统串联

5、系统串联系统等效阻尼系数等效阻尼系数 传动系统的等效刚度传动系统的等效刚度 21 te1 t/ikk传动系统的等效阻尼传动系统的等效阻尼 ct1e= ct1 / i 221e1/iJJ等效质量等效质量 传动系统的等效惯量传动系统的等效惯量 1415令令 x 为位移，以质量块的静平衡位置为位移，以质量块的静平衡位置为坐标原点，为坐标原点，为静变形。为静变形。当系统受到初始扰动时，由牛顿第当系统受到初始扰动时，由牛顿第二定律，得：二定律，得： )(xkmgxm kmg 在静平衡位置：在静平衡位置： 固有振动或自由振动微分方程固有振动或自由振动微分方程 ： 0 kxxm 单自由度系统自由振动单自由度

6、系统自由振动0mx静平衡位置静平衡位置弹簧原长位置弹簧原长位置k0 x静平衡位置静平衡位置弹簧原长位置弹簧原长位置mk161718固有振动或自由振动微分方程固有振动或自由振动微分方程 ： 0kxxm 令令 ： mk0单位：弧度单位：弧度/秒（秒（rad/s） 020 xx 则有则有 ： 通解通解 ： )sin()cos()(0201tctctx ：21,cc任意常数，由初始条件决定任意常数，由初始条件决定 )sin(0 tA2221ccA211cctg振幅振幅 ： 初相位初相位 ： 固有频率固有频率单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动190 kxxm mk0020 xx 2221ccA21

7、1cctg)sin()cos()(0201tctctx )sin(0 tA单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动xt0A00/2T200 kxxm mk0020 xx 2221ccA211cctg系统固有的数值特征，与系统是否正在振动着以及如系统固有的数值特征，与系统是否正在振动着以及如何进行振动的方式都毫无关系何进行振动的方式都毫无关系 ：0不是系统的固有属性的数字特征，与系统过去所受到不是系统的固有属性的数字特征，与系统过去所受到过的激励和考察开始时刻系统所处的状态有关过的激励和考察开始时刻系统所处的状态有关 ：,A)sin()cos()(0201tctctx )sin(0 tA单自由度

8、系统自由振动单自由度系统自由振动21考虑系统在初始扰动下的自由振动考虑系统在初始扰动下的自由振动 )sin()cos()(0201tctctx )sin(0 tA设设 的初始位移和初始速度为：的初始位移和初始速度为： txx )(xx )()sin()cos(02011bbc )cos()sin(02012bbc 令令 ： )(sin)(cos)(0201 tbtbtx有有 ： xb 102xb 单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动22时刻以后的自由振动解为：时刻以后的自由振动解为： txtxtx000sincos零时刻的初始条件：零时刻的初始条件： 0)0(xx 0)0(xx20020

9、xxA0001xxtg )sin()cos()(00000txtxtx 零初始条件下的自由振动：零初始条件下的自由振动： )sin(0 tA单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动23)sin()cos()(00000txtxtx 零初始条件下的自由振动：零初始条件下的自由振动： )sin(0 tA无阻尼的质量弹簧系统受到初始扰动后，其自由振动是以无阻尼的质量弹簧系统受到初始扰动后，其自由振动是以 为振动频率的简谐振动，并且永无休止。为振动频率的简谐振动，并且永无休止。 0初始条件的说明：初始条件的说明： 初始条件是外界能量转入的一初始条件是外界能量转入的一种方式，有初始位移即转入了种方式，有

10、初始位移即转入了弹性势能，有初始速度即转入弹性势能，有初始速度即转入了动能。了动能。 单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动xt0A00/2T0 x24)sin()cos()(00000txtxtx 零初始条件下的自由振动：零初始条件下的自由振动： )sin(0 tA无阻尼的质量弹簧系统受到初始扰动后，其自由振动是以无阻尼的质量弹簧系统受到初始扰动后，其自由振动是以 为振动频率的简谐振动，并且永无休止。为振动频率的简谐振动，并且永无休止。 0单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动2526固有频率计算的另一种方式：固有频率计算的另一种方式： 0 kxxm mk0kmg 在静平衡位置：在静平衡

11、位置： gmk0则有：则有： 对于不易得到对于不易得到 m 和和 k 的系统，若能测出静变形的系统，若能测出静变形 ，则用，则用该式计算是较为方便的该式计算是较为方便的 。单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动0mx静平衡位置静平衡位置弹簧原长位置弹簧原长位置k27例：例： 提升机系统提升机系统重物重重物重 量量NW51047. 1 钢丝绳的弹簧刚度钢丝绳的弹簧刚度 cmNk/1078. 54重物以重物以 的速度均匀下降的速度均匀下降 min/15mv 求：求：绳的上端突然被卡住时，（绳的上端突然被卡住时，（1）重物的振动频率，）重物的振动频率，（2）钢丝绳中的最大张力。）钢丝绳中的最大张力

12、。 单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动Wv28解：解：sradWgk/6 .190振动频率振动频率重物匀速下降时处于静平衡位重物匀速下降时处于静平衡位置，若将坐标原点取在绳被卡置，若将坐标原点取在绳被卡住瞬时重物所在位置住瞬时重物所在位置 则则 t=0 时，有：时，有： 00 xvx 0)()6 .19sin(28. 1)sin()(00cmttvtx )sin()cos()(00000txtxtx 振动解：振动解： 单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动W静平衡位置静平衡位置kxWv29)( )6 .19sin(28. 1)sin()(00cmttvtx 振动解：振动解： 绳中的最大

13、张力等于静张力与因振动引起绳中的最大张力等于静张力与因振动引起的动张力之和的动张力之和 ：)(1021. 2 1074. 01047. 1 555maxNkAWkATTs 动张力几乎是静张力的一半动张力几乎是静张力的一半 由于由于 kmvvkkA0为了减少振动引起的动张力，应当降低升降系统的刚度为了减少振动引起的动张力，应当降低升降系统的刚度 单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动Wv30例：例： 重物落下，与简支梁做完全非弹性碰撞重物落下，与简支梁做完全非弹性碰撞梁长梁长 L，抗弯刚度，抗弯刚度 EJ求：求：梁的自由振动频率和最大挠度梁的自由振动频率和最大挠度单自由度系统自由振动单自由度系

14、统自由振动mh0l/2l/231解：解：由材料力学由材料力学 ：自由振动频率为自由振动频率为 ： EJmgl483g0单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动取平衡位置取平衡位置以梁承受重物时的静平以梁承受重物时的静平衡位置为坐标原点建立衡位置为坐标原点建立坐标系坐标系静变形静变形348mlEJmh0l/2l/2x静平衡位置静平衡位置32撞击时刻为零时刻，则撞击时刻为零时刻，则 t=0 时，有：时，有： 0 x则自由振动振幅为则自由振动振幅为 ：20020 xxA梁的最大扰度：梁的最大扰度： Amax)sin()cos()(00000txtxtx 单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动h22

15、ghx20mh0l/2l/2x静平衡位置静平衡位置33例：圆盘转动例：圆盘转动圆盘转动惯量圆盘转动惯量 I在圆盘的静平衡位置上任意选一根在圆盘的静平衡位置上任意选一根半径作为角位移的起点位置半径作为角位移的起点位置0kI Ik /0 扭振固有频率扭振固有频率020 单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动为轴的扭转刚度，定义为使得圆盘为轴的扭转刚度，定义为使得圆盘产生单位转角所需的力矩产生单位转角所需的力矩)/(radmN kkI由牛顿第二定律：由牛顿第二定律：34由上例可看出，除了选择了坐标不同之外，由上例可看出，除了选择了坐标不同之外，角振动角振动与与直线振直线振动动的数学描述是完全相同的

16、。如果在弹簧质量系统中将的数学描述是完全相同的。如果在弹簧质量系统中将 m、k 称为广义质量及广义刚度，则弹簧质量系统的有关结论完称为广义质量及广义刚度，则弹簧质量系统的有关结论完全适用于角振动。以后不加特别声明时，弹簧质量系统是广全适用于角振动。以后不加特别声明时，弹簧质量系统是广义的义的 。0 kxxm mk /0单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动0kI Ik /0 kI0mx静平衡位置静平衡位置弹簧原长位置弹簧原长位置k35从前面两种形式的振动看到，单自由度无阻尼系统总包含着从前面两种形式的振动看到，单自由度无阻尼系统总包含着惯性元件惯性元件和和弹性元件弹性元件两种基本元件，惯性元

17、件是感受加速度两种基本元件，惯性元件是感受加速度的元件，它表现为系统的质量或转动惯量，而弹性元件是产的元件，它表现为系统的质量或转动惯量，而弹性元件是产生使系统恢复原来状态的恢复力的元件，它表现为具有刚度生使系统恢复原来状态的恢复力的元件，它表现为具有刚度或扭转刚度度的弹性体。同一个系统中，若惯性增加，则使或扭转刚度度的弹性体。同一个系统中，若惯性增加，则使固有频率降低，而若刚度增加，则固有频率增大。固有频率降低，而若刚度增加，则固有频率增大。 单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动0 kxxm mk /00kI Ik /0 kI0mx静平衡位置静平衡位置弹簧原长位置弹簧原长位置k36例：复

18、摆（物理摆）例：复摆（物理摆）刚体质量刚体质量 m对悬点的转动惯量对悬点的转动惯量 0I重心重心 C 求：求：复摆在平衡位置附近做微振动时的微分方程和固有频率复摆在平衡位置附近做微振动时的微分方程和固有频率 单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动mg0Ia0C37解：解：由动量矩定律由动量矩定律 ：0sin0mgaI 因为微振动：因为微振动：sin则有则有 ：00mgaI 00/Imga固有频率固有频率 ：实验确定复杂形状物体的转动惯量的一个方法实验确定复杂形状物体的转动惯量的一个方法 若已测出物体的固有频率若已测出物体的固有频率 ，则可求出，则可求出 ，再由移轴定，再由移轴定理，可得物质绕

19、质心的转动惯量：理，可得物质绕质心的转动惯量： 00I20maIIc单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动mg0Ia0C38单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动例：弹簧质量系统沿光滑斜面做自由振动例：弹簧质量系统沿光滑斜面做自由振动斜面倾角斜面倾角 300质量质量 m=1kg弹簧刚度弹簧刚度 k=49N/cm开始时弹簧无伸长，且速度为零开始时弹簧无伸长，且速度为零求：求： 系统的运动方程系统的运动方程m300k重力角速度取重力角速度取 9.839单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动解：解：x0以静平衡位置为坐标原点以静平衡位置为坐标原点建立坐标系建立坐标系振动固有频率：振动固有频率：

20、)/(70 1/1049 /20sradmk 振动初始条件：振动初始条件：0030sin mgkx)(1 . 00cmx 考虑方向考虑方向)sin()cos()(00000txtxtx 00 x 初始速度：初始速度：运动方程：运动方程：)()70cos(1 . 0)(cmttx m300k40 能量法能量法对于不计阻尼即认为没有能量损失的单自由度系统，也可以对于不计阻尼即认为没有能量损失的单自由度系统，也可以利用利用能量守恒原理能量守恒原理建立自由振动的微分方程，或直接求出系建立自由振动的微分方程，或直接求出系统的固有频率。统的固有频率。无阻尼系统为无阻尼系统为保守系统保守系统，其，其机械能守

21、恒机械能守恒，即动能，即动能 T 和势能和势能 V 之和保持不变之和保持不变 ，即：，即：constVT0VTdtd或：或：单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动4142弹簧质量系统弹簧质量系统 动能：动能：221xmT 势能：势能：mgx （重力势能）（重力势能）（弹性势能）（弹性势能）dxxkx0)(0VTdtd0)( xkxxm dxxkmgxVx0 不可能恒为不可能恒为 0 x 0 kxxm 单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动kmg 221kxxkmgx221kx0mx静平衡位置静平衡位置弹簧原长位置弹簧原长位置k43如果将坐标原点不是取在系统的静平衡如果将坐标原点不是取在系统

22、的静平衡位置，而是取在弹簧为自由长时的位置位置，而是取在弹簧为自由长时的位置 动能：动能：221xmT 势能：势能：xkxdxmgxV00 xkxxmgxxm 0VTdtdmgkxxm 设新坐标设新坐标 kmgxy0 kyym 单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动221 kxmgx x0mx静平衡位置静平衡位置k44单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动45考虑两个特殊位置上系统的能量考虑两个特殊位置上系统的能量 静平衡位置上，系统势静平衡位置上，系统势能为零，动能达到最大能为零，动能达到最大021max2maxmaxVxmT最大位移位置，系统动最大位移位置，系统动能为零，势能达到最大能

23、为零，势能达到最大2maxmaxmax210kxVTconstVT)sin()(0tAtxmk /0max0maxxx单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动maxmaxVTmax0max对于转动：对于转动：x 是广义的是广义的0mx静平衡位置静平衡位置k静平衡位置静平衡位置最大位移位置最大位移位置xmax0mxk46例：如图所示是一个倒置的摆例：如图所示是一个倒置的摆 摆球质量摆球质量 m刚杆质量忽略刚杆质量忽略 每个弹簧的刚度每个弹簧的刚度 2k求求:(1) 倒摆作微幅振动时的固有频率倒摆作微幅振动时的固有频率(2) 摆球摆球 时，测得频率时，测得频率 为为 ， 时，测时，测得频率为得频率

24、为 ， 问摆球质量为多少千克时恰问摆球质量为多少千克时恰使系统处于不稳定平衡状态？使系统处于不稳定平衡状态？ kgm9 . 0fHZ5 . 1kgm8 . 1HZ75. 0单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动lmak/2k/247解法解法1：广义坐标广义坐标动能动能2222121mlIT势能势能maxmaxUTmax0max220mlmglka 平衡位置平衡位置1cos1212122mglakV零平衡位置零平衡位置1单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动)(21 222mglka22222sin2112121 mglka22)(21 mglka lmak/2k/248解法解法2：平衡位置

25、平衡位置2动能动能2222121mlIT势能势能cos212122mglakV0)(2222 mglkaml 0 UTdtd0)(2222mglkaml 220mlmglka 零平衡位置零平衡位置2单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动2sin2121 222mglka2222121 mglmglkamglmglka22)(21 lmak/2k/249单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动例：均质圆柱例：均质圆柱质量质量m，半径，半径R与地面纯滚动与地面纯滚动在在A、B点挂有弹簧点挂有弹簧确定系统微振动的固有频率确定系统微振动的固有频率k1abRk1k2k2AB50平面运动刚体的动能平面运

26、动刚体的动能 刚体的平面运动可以分刚体的平面运动可以分解为随质心的平移和相对于质心平移参考系的转动。解为随质心的平移和相对于质心平移参考系的转动。根据柯希尼定理根据柯希尼定理222121zCJmvT平面运动刚体的动能等于刚体随质心平移的动平面运动刚体的动能等于刚体随质心平移的动能与相对于质心平移参考系的转动动能之和。能与相对于质心平移参考系的转动动能之和。 iriiCivmvmT22i21)(2151单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动解：解：k1abRk1k2k2AB广义坐标：圆柱微转角广义坐标：圆柱微转角圆柱做一般运动，由柯希圆柱做一般运动，由柯希尼定理，动能：尼定理，动能：22)23

27、(21mRT C点为运动瞬心点为运动瞬心势能：势能：CA点速度：点速度：)(aRvAB点速度：点速度：)(bRvB)(aRxA)(bRxB222221)(2(21)(2(21bRkaRkU任何质点组的总动能都可以等于质点组全任何质点组的总动能都可以等于质点组全部质量集中质心而运动时的动能与质点组部质量集中质心而运动时的动能与质点组中各质点相对质心运动时的动能之和中各质点相对质心运动时的动能之和 52单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动解：解：k1abRk1k2k2AB动能：动能：22)23(21mRT 势能：势能：C222221)(2(21)(2(21bRkaRkUmax0maxmaxma

28、x,UT)1 ()1 (342/3)()( 222212222120RbkRakmmRbRkaRk)1 ()1 (3422210RbkRakm53单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动k1Rk2M m 例：例：铅垂平面内一个滑轮铅垂平面内一个滑轮- -质量质量- -弹簧系统弹簧系统确定系统微振动的固有频率确定系统微振动的固有频率滑轮为匀质圆柱滑轮为匀质圆柱 ，绳子不可伸，绳子不可伸长，且与滑轮间无滑动，绳右下长，且与滑轮间无滑动，绳右下端与地面固结。端与地面固结。 54单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动解：解：k1Rk2M m 广义坐标：质量块的垂直位移广义坐标：质量块的垂直位移 x动

29、能：动能：x2222)2)(21(21)21(2121RxMRxMxmT2)8141(21xMMm2)83(21xMm2122)21(2121xkxkU势能：势能：212)41(21xkk 55单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动解：解：k1Rk2M m 广义坐标：质量块的垂直位移广义坐标：质量块的垂直位移 x动能：动能：x2)83(21xMmT势能：势能：212)41(21xkkUmMkk83822120max0maxmaxmax,UTmMkk838221056 瑞利法瑞利法利用能量法求解固有频率时，对于系统的动能的计算只考虑利用能量法求解固有频率时，对于系统的动能的计算只考虑了惯性元件

30、的动能，而忽略不计弹性元件的质量所具有的动了惯性元件的动能，而忽略不计弹性元件的质量所具有的动能，因此算出的固有频率是实际值的上限。这种简化方法在能，因此算出的固有频率是实际值的上限。这种简化方法在许多场合中都能满足要求，但有些工程问题中，弹性元件本许多场合中都能满足要求，但有些工程问题中，弹性元件本身的质量因占系统总质量相当大的比例而不能忽略，否则算身的质量因占系统总质量相当大的比例而不能忽略，否则算出的固有频率明显偏高。出的固有频率明显偏高。单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动mkx057例如：弹簧质量系统例如：弹簧质量系统设弹簧的动能设弹簧的动能: 221xmTtt 系统最大动能：系

31、统最大动能： 2max2maxmax2121xmxmTt系统最大势能：系统最大势能： 2maxmax21kxVmax0maxxxtmmk 0若忽略若忽略 ，则，则 增大增大 tm0单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动2max)(21xmmttm弹簧等效质量弹簧等效质量 mtmkx058 等效质量和等效刚度等效质量和等效刚度方法方法1：选定广义位移坐标后，将系统得动能、势能写成如下形式：选定广义位移坐标后，将系统得动能、势能写成如下形式： 221xMTe 221xKVe 当当 、 分别取最大值时：分别取最大值时：x x则可得出：则可得出： maxTT maxVV eeMK /0 Ke：简化系

32、统的等效刚度：简化系统的等效刚度Me：简化系统的等效质量：简化系统的等效质量 这里等效的含义是指简化前后的系统的动能和势这里等效的含义是指简化前后的系统的动能和势能分别相等能分别相等 单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动59动能动能2221mlT 势能势能220mlmglka 22)(21mglkaV2mlMemglkaKe2单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动零平衡位置零平衡位置1lmak/2k/260单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动k1abRk1k2k2AB动能动能势能势能22)23(21mRT 223mRMe22221)(2()(2(21bRkaRkU2221)(2()(

33、2(bRkaRkKe2/3)()( 22222120mRbRkaRk61单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动k1Rk2M m x动能动能势能势能2)83(21xMmT212)41(21xkkUmMkk83822120MmMe831241kkKe62方法方法2：定义法：定义法等效刚度：等效刚度：使系统在选定的坐标上产生单位位移而需要在此使系统在选定的坐标上产生单位位移而需要在此坐标方向上施加的力，叫做系统在这个坐标上的坐标方向上施加的力，叫做系统在这个坐标上的等效刚度等效刚度等效质量：等效质量：使系统在选定的坐标上产生单位加速度而需要在使系统在选定的坐标上产生单位加速度而需要在此坐标方向上施

34、加的力，叫做系统在这个坐标上此坐标方向上施加的力，叫做系统在这个坐标上的等效质量的等效质量 单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动63例：串联系统例：串联系统11kP22kP总变形：总变形： Pkk)11(21212121kkkkPKe 21111kkKe 在质量块上施加力在质量块上施加力 P弹簧弹簧1变形：变形： 弹簧弹簧2变形：变形： 根据定义：根据定义： 或或 P mk1k2单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动使系统在选定的坐标上产生单位位移而需要在此坐标方向上使系统在选定的坐标上产生单位位移而需要在此坐标方向上施加的力，叫做系统在这个坐标上的等效刚度施加的力，叫做系统在这个坐标上

35、的等效刚度64例：并联系统例：并联系统两弹簧变形量相等：两弹簧变形量相等：受力不等：受力不等：11kP 22kP 在质量块上施加力在质量块上施加力 P由力平衡：由力平衡：)(2121kkPPP 根据定义：根据定义：21kkPKe 并联弹簧的刚度是原来各个弹簧刚度的总和并联弹簧的刚度是原来各个弹簧刚度的总和 P mk1k2单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动 mk1k2使系统在选定的坐标上产生单位位移而需要在此坐标方向上使系统在选定的坐标上产生单位位移而需要在此坐标方向上施加的力，叫做系统在这个坐标上的等效刚度施加的力，叫做系统在这个坐标上的等效刚度65例：杠杆系统例：杠杆系统杠杆是不计质量

36、的刚体杠杆是不计质量的刚体求：求：系统对于坐标系统对于坐标 x 的等效质量和等效刚度的等效质量和等效刚度 单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动k1k2m1m2l1l2l3x66解法解法1：能量法：能量法动能：动能：212221)(2121xllmxmT 势能：势能：213221)(2121xllkxkV221221mllmMe 221231kllkKe eeMK /0 单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动2221221)(21xmllm2221231)(21xkllk 等效质量：等效质量：等效刚度：等效刚度：固有频率：固有频率：k1k2m1m2l1l2l3x67解法解法2：定义法：定义

37、法设使系统在设使系统在x方向产生单位加速度需要施加力方向产生单位加速度需要施加力P2122111)() 1(lllmlmPl 221221mllmPMe 设使系统在设使系统在x坐标上产生单位位移需要施加力坐标上产生单位位移需要施加力P3132111)() 1(lllklkPl 221231kllkPKe 单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动则在则在m1、m2上产生惯性力，对支座取矩：上产生惯性力，对支座取矩： 则在则在k1、k2处将产生弹性恢复力，对支点取矩：处将产生弹性恢复力，对支点取矩： P122llm 11m1x 11k132llk P1xk1k2m1m2l1l2l3x68 阻尼自由

38、振动阻尼自由振动前面的自由振动都没有考虑运动中阻力的影响，实际系统前面的自由振动都没有考虑运动中阻力的影响，实际系统的机械能不可能守恒，因为总存在着各种各样的阻力。振的机械能不可能守恒，因为总存在着各种各样的阻力。振动中将阻力称为阻尼，例如摩擦阻尼，电磁阻尼，介质阻动中将阻力称为阻尼，例如摩擦阻尼，电磁阻尼，介质阻尼和结构阻尼。尽管已经提出了许多数学上描述阻尼的方尼和结构阻尼。尽管已经提出了许多数学上描述阻尼的方法，但是实际系统中阻尼的物理本质仍然极难确定。法，但是实际系统中阻尼的物理本质仍然极难确定。最常用的一种阻尼力学模型是最常用的一种阻尼力学模型是粘性阻尼粘性阻尼。在流体中低速运。在流体

39、中低速运动或沿润滑表面滑动的物体，通常就认为受到粘性阻尼。动或沿润滑表面滑动的物体，通常就认为受到粘性阻尼。 单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动6970粘性阻尼力与相对速度称正比，即：粘性阻尼力与相对速度称正比，即： cvPdc：为粘性阻尼系数，或阻尼系数：为粘性阻尼系数，或阻尼系数 msN/单位：单位：0kxxcxm 动力学方程：动力学方程：02200 xxx 或写为：或写为：mk0kmc2固有频率固有频率相对阻尼系数相对阻尼系数 mkc单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动建立平衡位置，并受力分析建立平衡位置，并受力分析mxcxm x0kx71动力学方程：动力学方程：02200 x

40、xx mk0kmc2令：令：tex特征方程：特征方程：022002特征根：特征根：12002, 1 三种情况：三种情况：111欠阻尼欠阻尼过阻尼过阻尼临界阻尼临界阻尼单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动72第一种情况：第一种情况：1欠阻尼欠阻尼动力学方程：动力学方程：02200 xxx 特征方程：特征方程：022002特征根：特征根：12002, 1 di02, 1特征根：特征根：201d阻尼固有频率阻尼固有频率有阻尼的自由振动频率有阻尼的自由振动频率 )sincos()(210tctcetxddt振动解：振动解：c1、c2：初始条件决定：初始条件决定单自由度系统自由振动单自由度系统自由振

41、动两个复数根两个复数根731欠阻尼欠阻尼)sincos()(210tctcetxddt振动解：振动解：设初始条件：设初始条件：0)0(xx0)0(xx)sincos()(00000txxtxetxdddt则：则：)sin()(0tAetxdt或：或：200020)(dwxxxA00001xxxtgd单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动741欠阻尼欠阻尼振动解：振动解：201d阻尼固有频率阻尼固有频率阻尼自由振动周期：阻尼自由振动周期：ddT2T0：无阻尼自由振动的周期：无阻尼自由振动的周期阻尼自由振动的周期大于无阻尼自由振动的周期阻尼自由振动的周期大于无阻尼自由振动的周期 单自由度系统自由

42、振动单自由度系统自由振动2012201T)sin()sincos()(000000tAetxxtxetxdtdddt75tAe0tAe0dTt)(txAA01欠阻尼欠阻尼响应图形响应图形单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动振动解：振动解：)sin()sincos()(000000tAetxxtxetxdtdddt欠阻尼是一种振幅逐渐衰减的振动欠阻尼是一种振幅逐渐衰减的振动=0 1时间时间位置位置76不同阻尼，振动衰减的快慢不同不同阻尼，振动衰减的快慢不同单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动不同阻尼大小下的振动衰不同阻尼大小下的振动衰减情况减情况：阻尼小：阻尼小：阻尼大：阻尼大阻尼大，则

43、振动衰减快阻尼大，则振动衰减快阻尼小，则衰减慢阻尼小，则衰减慢77评价阻尼对振幅衰减快慢的影响评价阻尼对振幅衰减快慢的影响1ii与与 t 无关，任意两个相邻振幅之比均为无关，任意两个相邻振幅之比均为 衰减振动的频率为衰减振动的频率为 ，振幅衰减的快慢取决于，振幅衰减的快慢取决于 ，这两个重要，这两个重要的特征反映在特征方程的特征根的实部和虚部的特征反映在特征方程的特征根的实部和虚部 d0di02, 1减幅系数减幅系数单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动定义为相邻两个振幅的比值：定义为相邻两个振幅的比值： )(00diiTttAeAedTe0)sin()sincos()(000000tAet

44、xxtxetxdtdddttAe0tAe0dTt)(txAA078ddiiTTttiieAeAe000 )(1减幅系数：减幅系数：含有指数项，不便于工程应用含有指数项，不便于工程应用实际中常采用实际中常采用对数衰减率对数衰减率 ：diiT01lnln单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动tAe0tAe0dTt)(txAA079实验求解实验求解利用相隔利用相隔 j 个周期的两个个周期的两个峰值峰值 进行求解进行求解jiijiijln1得：得：20012diiT01lnln20122 ddT当当 较小时（较小时（ ） 2 . 02单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动)()(1211jijii

45、iiij2 dTiie01212tAe0tAe0dTt)(txAA080第二种情况：第二种情况：1 过阻尼过阻尼动力学方程：动力学方程：02200 xxx 特征方程：特征方程：022002特征根：特征根：12002, 1 *02, 1 特征根：特征根：120* 两个不等的负实根两个不等的负实根 振动解：振动解：c1、c2：初始条件决定：初始条件决定)()(*2*10tshctchcetxt单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动2xxeeshx2xxeechx811 过阻尼过阻尼振动解：振动解：设初始条件：设初始条件：0)0(xx0)0(xx则：则：)()(*2*10tshctchcetxt)

46、()(*000*00tshxxtchxetxt一种按指数规律衰减的非周期蠕动，没有振动发生一种按指数规律衰减的非周期蠕动，没有振动发生 单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动响应图形响应图形)(tx0 xt082第三种情况：第三种情况：1 临界阻尼临界阻尼动力学方程：动力学方程：02200 xxx 特征方程：特征方程：022002特征根：特征根：12002, 1 02, 1 特征根：特征根：二重根二重根振动解：振动解：c1、c2：初始条件决定：初始条件决定)()(210tccetxt单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动83振动解：振动解：)()(210tccetxt1 临界阻尼临界阻尼0

47、)0(xx0)0(xx则：则：仍然是按指数规律衰减仍然是按指数规律衰减的非周期运动的非周期运动)()(00000txxxetxt kmc2临界阻尼系数临界阻尼系数crckmccr2单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动设初始条件：设初始条件：响应图形响应图形)(tx0 xt084tx(t)2 . 014 . 1临界也是按指数规律衰减的非周期运动，但比过阻尼衰减快些临界也是按指数规律衰减的非周期运动，但比过阻尼衰减快些 三种阻尼情况比较：三种阻尼情况比较：111欠阻尼欠阻尼过阻尼过阻尼临界阻尼临界阻尼欠阻尼是一种振幅逐渐衰减的振动欠阻尼是一种振幅逐渐衰减的振动过阻尼是一种按指数规律衰减的非周期

48、蠕动，没有振动发生过阻尼是一种按指数规律衰减的非周期蠕动，没有振动发生 85小结：小结：0kxxcxm 动力学方程动力学方程1欠阻尼欠阻尼1过阻尼过阻尼1临界阻尼临界阻尼)sincos()(00000txxtxetxdddt201d)()(*000*00tshxxtchxetxt120* 按指数规律衰减的非周期蠕动按指数规律衰减的非周期蠕动 )()(00000txxxetxt kmccr2按指数规律衰减的非周期运动，比过阻尼衰减快按指数规律衰减的非周期运动，比过阻尼衰减快 振幅衰减振动振幅衰减振动86例：阻尼缓冲器例：阻尼缓冲器静载荷静载荷 P 去除后质量块越过去除后质量块越过平衡位置得最大位

49、移为初始平衡位置得最大位移为初始位移的位移的 10 求：求：缓冲器的相对阻尼系数缓冲器的相对阻尼系数 单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动kcx0 x0Pm平衡位置平衡位置87解：解：由题知由题知 0)0(x 设设0)0(xx)sincos()(00000txxtxetxdddt求导求导 ：textxdtdsin)(0020设在时刻设在时刻 t1 质量越过平衡位置到达最大位移，这时速度为：质量越过平衡位置到达最大位移，这时速度为： 0sin)(102010textxdtddt1即经过半个周期后出现第一个振幅即经过半个周期后出现第一个振幅 x121010011)(exextxxt单自由度系统

50、自由振动单自由度系统自由振动kcx0 x0Pm平衡位置平衡位置88由题知由题知 %102101exx解得：解得：59. 021010011)(exextxxt单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动89例：例：单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动刚杆质量不计刚杆质量不计求：求：（1）写出运动微分方程）写出运动微分方程（2）临界阻尼系数，阻尼固有频率）临界阻尼系数，阻尼固有频率小球质量小球质量 mlakcmb90解：解：单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动阻尼固有频率：阻尼固有频率：无阻尼固有频率：无阻尼固有频率：m广义坐标广义坐标0bbkaacllm 力矩平衡：力矩平衡：0222kbc

51、aml 220mlkbmklb0222mlca0222mlcakmmlbca22201d42222421aclkmbml1mkablccr22受力分析受力分析acbklm 02200 xxx 0kxxcxm lakcmb91 等效粘性阻尼等效粘性阻尼 阻尼在所有振动系统中是客观存在的阻尼在所有振动系统中是客观存在的单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动 大多数是非粘性阻尼，其性质各不相同大多数是非粘性阻尼，其性质各不相同 非粘性阻尼的数学描述比较复杂非粘性阻尼的数学描述比较复杂处理方法之一：处理方法之一： 采用能量方法将非粘性阻尼简化为等效粘性阻尼采用能量方法将非粘性阻尼简化为等效粘性阻尼原

52、则：原则：92单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动通常假设在简谐激振力作用下非粘性阻尼系统的稳态响应仍然通常假设在简谐激振力作用下非粘性阻尼系统的稳态响应仍然为简谐振动为简谐振动该假设只有在非粘性阻尼比较小时才是合理的该假设只有在非粘性阻尼比较小时才是合理的粘性阻尼在一个周期内消耗的能量粘性阻尼在一个周期内消耗的能量 可近似地利用无阻尼可近似地利用无阻尼振动规律计算出：振动规律计算出：E dxxcE)sin()(0 tAtx TdttAc002220)(cos220Ac 目的是为了采用该式计算等效粘性阻尼系数目的是为了采用该式计算等效粘性阻尼系数讨论以下几种非粘性阻尼情况：讨论以下几种非粘

53、性阻尼情况：干摩擦阻尼干摩擦阻尼平方阻尼平方阻尼结构阻尼结构阻尼20Tcx dt 0TdEF dx93单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动（1）干摩擦阻尼）干摩擦阻尼220AcE 库仑阻尼库仑阻尼摩擦力：摩擦力：xFFNdsgn ：摩擦系数：摩擦系数NF：正压力：正压力x sgn：符号函数：符号函数 0 , 10 , 00, 1sgnxxxx摩擦力一个周期内所消耗地能量：摩擦力一个周期内所消耗地能量：AFEN4 等效粘性阻尼系数：等效粘性阻尼系数：AFcNe04 94单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动（2）平方阻尼）平方阻尼220AcE 工程背景：低粘度流体中以较大速度运动地物体工程

54、背景：低粘度流体中以较大速度运动地物体xxcFdd sgn2 dc：阻力系数：阻力系数等效粘性阻尼系数：等效粘性阻尼系数：阻尼力与相对速度地平方成正比，方向相反阻尼力与相对速度地平方成正比，方向相反摩擦力：摩擦力：在运动方向不变的半个周期内计算耗散能量，再乘在运动方向不变的半个周期内计算耗散能量，再乘2： dxxxcEd sgn2 4/4/32TTddtxc 22038Acd Accde038 )sin()(0 tAtx95单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动（3）结构阻尼）结构阻尼220AcE 由于材料为非完全弹性，在变形过程中材料的内摩擦所引起由于材料为非完全弹性，在变形过程中材料的内

55、摩擦所引起的阻尼称为的阻尼称为结构阻尼结构阻尼2AE ：比例系数：比例系数等效粘性阻尼系数：等效粘性阻尼系数：特征：应力应变曲线存在滞回曲线特征：应力应变曲线存在滞回曲线内摩擦所耗散的能量等于滞回环内摩擦所耗散的能量等于滞回环所围的面积：所围的面积：0 ec加载和卸载沿不同曲线加载和卸载沿不同曲线应变应变应力应力 加载加载卸载卸载096【思路思路】： 【例例】: : 有一阻尼单自由度系统，测得质量有一阻尼单自由度系统，测得质量m=5kgm=5kg，刚度系数，刚度系数k=500N/mk=500N/m。 试试 验测得在验测得在6 6个阻尼自然周期内振幅由个阻尼自然周期内振幅由0.02m0.02m衰

56、减到衰减到0.012m0.012m，试求系统的阻尼比，试求系统的阻尼比和阻尼器的阻尼系数。和阻尼器的阻尼系数。根据根据 得到系统的阻尼比得到系统的阻尼比2对数衰减率对数衰减率根据根据 得到阻尼器的阻尼系数得到阻尼器的阻尼系数/cc c【关键关键】： 正确求出对数衰减率正确求出对数衰减率有阻尼单自由度系统的自由振动有阻尼单自由度系统的自由振动971lniixx0.08560.02m0.012miixx0.0850.013522阻尼比20.0135 2 5 5001.35 N s/mccCmk阻尼器的阻尼系数：12lniixx23lniixx23lniixx56lniixx125123666ln(

57、)ln()iiiiiiiiiixxxxxxxxxx【解解】： 有阻尼单自由度系统的自由振动有阻尼单自由度系统的自由振动98 简谐激励下简谐激励下无阻尼无阻尼系统的系统的受迫振动受迫振动 简谐激励下简谐激励下有阻尼有阻尼系统的系统的受迫振动受迫振动第一章：单自由度系统的振动第一章：单自由度系统的振动受迫振动受迫振动99简谐激励下无阻尼系统的受迫振动简谐激励下无阻尼系统的受迫振动受迫振动受迫振动: :( )( )( )( )mx tcx tkx tf t受迫振动方程：受迫振动方程： 系统在持续的系统在持续的外界控制外界控制的激励的作用下所发生的振动。的激励的作用下所发生的振动。激励受激励受外界控制

58、，与振动系统本身无关外界控制，与振动系统本身无关自激振动方程（颤振）：自激振动方程（颤振）： ( )( )( )( ( ), ( ), ( )mx tcx tkx tf x tx tx t激励受激励受系统系统控制，受振动系统的运动控制控制，受振动系统的运动控制自激振动自激振动: : 系统在系统在自身控制自身控制的激励的作用下所发生的振动。的激励的作用下所发生的振动。100km0sinft0( )( )sinmx tkx tft受迫振动方程：受迫振动方程： 20( )( )sinnfx tx ttm非齐次通解非齐次通解齐次通解齐次通解非齐次特解非齐次特解=12( )cossinnnx tatat

59、齐次方程通解：齐次方程通解： 简谐激励下无阻尼系统的受迫振动简谐激励下无阻尼系统的受迫振动理解共振现象的数学本质理解共振现象的数学本质101n1.1.如果如果 *01222( )( )( )cossinsin()nnnfx tx tx tatattm非齐次方程通解：非齐次方程通解： 由初始条件和外力引起的 自由振动部分 与外激励频率相同的受迫 振动部分 20( )( )sinnfx tx ttm特解：特解： *12( )sincosxtCtCt0122()nfCm待定常数：待定常数： 20C 简谐激励下无阻尼系统的受迫振动简谐激励下无阻尼系统的受迫振动102n2.2.如果如果 特解：特解： *

60、0( )cos2nnfx tttm*12( )(cossin)nnx tt CtCt特解的形式：特解的形式： 非齐次方程通解：非齐次方程通解： *012( )( )( )cossincos2nnnnfx tx tx tatatttm20( )( )sinnfx tx ttm012nfCm 待定常数：待定常数： 20C简谐激励下无阻尼系统的受迫振动简谐激励下无阻尼系统的受迫振动103【思考思考】：实际系统在共振时，其振幅会是无限大么？实际系统在共振时，其振幅会是无限大么？ 1.1.实际系统都存在实际系统都存在阻尼阻尼，阻尼能够使系统在共振时维持，阻尼能够使系统在共振时维持有限的振幅有限的振幅。