勾股定理的十六种证明方法大学论文

1、勾股定理的十六种证明方法【证法 1】I 此主题相关图片力如下：做 8 个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为 c，再做三个边长分别为a、b、c 的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b，所以面积相等.即 aA2+bA2+4*(ab/2)=cA2+4*(ab/2)整理得到：日人2+匕人2”人2。【证法 2】以 a、b 为直角边，以 c 为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab/2 .把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使 A、E、B 三点在一条直线上，B、F、C 三点在一条直线上，C、G D 三点 在一条

2、直线上./Rt HAE 幻 Rt EBF,/ ZAHE =ZBEF./ ZAEH +ZAHE = 90o,/ ZAEH +ZBEF = 90o ./ ZHEF = 180o90o= 90o .四边形 EFGH 是一个边长为 c 的正方形.它的面积等于 22./Rt GDH Rt HAE,/ ZHGD =/EHA./HGD + /GHD = 90o,/EHA + /GHD = 90o .又；/GHE = 90o,/DHA = 90o+ 90o= 180o .ABCD 是一个边长为 a + b 的正方形，它的面积等于(a+b)A2(a+bF2=cA2+4*(ab/2),/aA2+bA2=cA2。G

3、IF【证法 3】以 a、b 为直角边（ba），以 c 为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab/2 .把这四个直角三角形拼成如图所示形状./ Rt DAH 幻 Rt ABE,/ /HDA = / EAB./ /HAD + / HAD = 90o,/ /EAB + / HAD = 90o,ABCD 是一个边长为 c 的正方形，它的面积等于 cA2.EF = FG =GH =HE = ba ,ZHEF = 90o .EFGH 是一个边长为 ba的正方形，它的面积等于（b-aF2.（b-a）A2+4*（ab/2）=Z2,/aA2+bA2=cA2。GIF【证法 4】以 a、b 为直

4、角边，以 c 为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab/2.把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B 三点在一条直线上./RtAEAD 幻 RtACBE,/ ZADE =ZBEC./ ZAED +ZADE = 90o,/ ZAED +ZBEC = 90o./ ZDEC = 180o-90o= 90a A DEC 是一个等腰直角三角形，它的面积等于 CA2/2.又TZDAE = 90o,ZEBC = 90o,/AD / BC.ABCD 是一个直角梯形，它的面积等于（a+b）A2/2(a+bF2/2=2*ab/2+cA2/2,aA2+bA2=cA2。IF【证法 5】做四

5、个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为 a、b ,斜边长为 c多边形，使 D、E、F 在一条直线上.过 C 作 AC 的延长线交 DF 于点 P./ D、E、F 在一条直线上,且 Rt GEF 幻 Rt EBD,/ / EGF = / BED/EGF +ZGEF = 90/BED +ZGEF = 90/ /BEG =18090o= 90o .又vAB = BE = EG = GA = c,ABEG 是一个边长为 c 的正方形./ / ABC + /CBE = 90o./ Rt ABC 幻 Rt EBD,/ / ABC = / EBD/ / EBD + /CBE = 90o.即 /CBD

6、= 90o.又v/BDE = 90o,/ BCP = 90o,把它们拼成如图那样的一个BC = BD = aBDPC 是一个边长为 a 的正方形.同理，HPFG 是一个边长为 b 的正方形. 设多边形 GHCBE 勺面积为 S,则aA2+bA2=S+2*ab/2Z2=S+2*ab/2aA2+bA2=cA2。|此主题相关图片如下:【证法 6】做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（ ba），斜边长为 c.再做一个边长为 c的正方形.把它们拼成如图所示的多边形，使E、A C 三点在一条直线上.过点 Q 作 QP/ BC 交 AC 于点 P.过点 B 作 BMLPQ 垂足为 M 再

7、过点F 作 FNLPQ 垂足为 N./ZBCA = 90o，QP/BC.ZMPC = 90o/ BMLPQ/BMP = 90o,/ BCPM 是一个矩形，即/ MBC = 90o./ ZQBM +/MBA =ZQBA = 90o,/ABC + / MBA = / MBC = 90q/QBM =/ABC又；/BMP = 90o,ZBCA = 90o,BQ = BA = c,/Rt BM2 Rt BCA同理可证 Rt QNF 幻 Rt AEE从而将问题转化为【证法 4】（梅文鼎证明）.做三个边长分别为 a、b、c 的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H C B 三点在一条直线上，连结 BF、CD

8、过 C 作 CLXDE 交 AB 于点 M,交 DE 于点 L./AF = AC，AB = AD，/ FAB = / GAD/ FAB 幻 GAD/ FAB 的面积等于 aA2/2，IF【证法 7】C GAD 的面积等于矩形 ADLM 勺面积的一半，矩形 ADLM 的面积=日人2 .同理可证，矩形 MLEB 的面积=b2 ./正方形 ADEB 勺面积=矩形 ADLM 的面积+矩形 MLEB 的面积aA2+bA2=cA2。CIF【证法 8】如图，在 Rt ABC 中，设直角边 AC BC 的长度分别为 a、b,斜边 AB 的长为 c,过点 C 作 CDLAE,垂足是D.在AADC 和 ACE 中

9、,/ ZADC =ZACE = 90o,/ CAD = / EAC.ADCs ACBAD：AC = AC : AB即 ACA2=AD*AE同理可证， CDEs ACE 从而有 BCA2=BD*AE.ACA2+ECA2=(AD+ED)*AE=AEA2 即卩日人2+匕人2弋人2此主题相关图片如下:【证法 9】做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b (ba)，斜边长为 c.再做一个边长为 c 的正方形.把它们拼成如图所示的多边形 .过 A 作 AF 丄 AC AF 交 GT 于 F, AF 交 DT 于 R 过 B 作 BPLAF,垂 足为 P.过 D作 DE 与 CB 的延长线垂

10、直，垂足为 E, DE 交 AF 于 H./BAD = 90o,ZPAC = 90o,/ /DAH = /BAC.又T/DHA = 90o,/ BCA = 90o,AD = AB = c ,/ Rt DHA 幻 Rt BCA/ DH = BC = a , AH = AC = b .由作法可知，PBCA 是一个矩形，所以 Rt APB 幻 Rt BCA 即 PB =CA = b , AP= a，从而 PH = ba./ Rt DGT 幻 Rt BCA ,Rt DHA 幻 Rt BCA/ Rt DGT 幻 Rt DHA ./ DH = DG = a , / GDT = /HDA .又T/DGT =

11、 90o,/ DHF = 90o,【证法 10】/GDH =ZGDT +ZTDH =/HDA+/TDH = 90o,DGFH 是一个边长为 a 的正方形./ GF = FH = a . TF 丄 AF, TF = GTGF = b a TFPB 是一个直角梯形，上底 TF=b-a,下底 BP= b,高 FP=a + (ba)用数字表示面积的编号(如图)，则以c 为边长的正方形的面积为IFb + tx a+ iZ? a)L-rSs=SS9r2 1二禺+屛二b-寸斗笃把代入，得h 二爲+辩+戸_爲_辩+&+為=沪+禺+殆=护+仇Ab【证法 12】设直角三角形两直角边的长分别为 a、b (

12、ba),斜边的长为 c.做三个边长分别为 a、 它们拼成如图所示形状，使 A、E、G 三点在一条直线上.用数字表示面积的编号(如图)/TBE =ZABH = 90o,/ZTBH =/ABE.又T/BTH = / BEA = 90o,BT = BE = b ,/ Rt HBT 幻 Rt ABE/ HT = AE = a ./ GH = GT-HT = ba.又T/GHF + /BHT = 90o,/DBC + /BHT = /TBH + / BHT = 90o,/ /GHF = / DBC.TDB = EBED = b a,/HGF = /BDC = 90o,/ Rt HGF 幻 Rt BDC

13、即 S7=S2.过 Q 作 QMLAG 垂足是 M 由/BAQ = / BEA = 90o,可知 /ABE=/QAM 而 AB = AQ = c，所以 Rt ABE 幻 Rt QAM.又 Rt HBT 幻Rt ABE 所以 Rt HBT 幻 Rt QAM.即 S8=S5.由 Rt ABE 幻 Rt QAM 又得 QM = AE = a , /AQM= /BAE.T/AQM +/FQM = 90o / BAE + / CAR = 90o,/ AQM =/BAE/ /FQM = /CAR.又T/QMF = /ARC = 90o, QM = AR = a ,/ Rt QMF Rt ARC 即 S4=

14、S6此主题相关图片如下:b、c 的正方形，把I 此主题相关图片如下:ACAEAD= AB + BE、AB-BD c + ac a1即 b2=c2-a又T氐二匚 X*二八护二话+显+尿+爲+勰二“十氓+3 +十屯【证法 11】在 RtAABC 中，设直角边 BC = a , AC = b，斜边 AB = c.如图，以 B 为圆心 a 为半径作圆，交 AB 及 AB 的 延长线分别于 D、E，_KUBD = BE = BC = a .因为/BCA = 90o,点 C 在OB上，所以 AC 是。B 的切线.由 切割线定理，得二坊+隔+込+ 4+尿,=+,沪=区十旺十爲,【证法 12】在 RtAABC

15、 中，设直角边 BC = a , AC = b ,斜边 AB = c（如图）.过点 A 作 AD / CB,过点 B 作 BD / CA , 则 ACBD为矩形，矩形 ACBD 内接于一个圆.根据多列米定理，圆内接四边形对角线的乘积等于两对边乘 积之和，有此主题相关图片如下:T AB =DC = s AD = BC = a, AC =BD = b,AB2=BC2+AC2.即c3= a2+i3,【证法 13】在 RtAABC 中，设直角边 BC = a，AC = b，斜边 AB = c .（如图），设。O 的半径为 r.作 RtAABC 的内切圆。0,切点分别为 D、E、F/ AE = AF，B

16、F = BD，CD = CE，/ AC+BC-AB= (AE+CE) + (BD+CD ) - (AF-BF )=CE+CD= r + r = 2r,此主题相关图片如下:即 a -b-c = 2ra -b = 2r +c -a十b 2r 4-c 4-（；（r “=2二厂+心二4宀佔皿中/- 4r2+rc 1= 2ab,二 /+护+2亦=2必+宀二 /+/=/-【证法 14】如图，在 Rt ABC 中，设直角边 AC BC 的长度分别为 a、b,斜边 AB 的长为 c,过点 C 作 CDLAE,垂足是D此主题相关图片如下:又丁AAAB亡假设总$4沪 H 宀 即假设 AC24-C2AB2,则由AB2二肋曲二4EMD + ED =ABAD+ABBD可知 ACABAD 或者 BCABBD -即AD：ACAC：AK或者BD：BCBC1在AADC和AACE中，T ZA=ZA,二若AD,ACACEAB,贝QZADCZACB.在ACDB和AACE中，TZB= ZB,二若BD： BCBC： AB,则ZCDB#ZACB.又T ZACB = 90,二ZADC90, Z