2016-2017届江西省赣州市高三（上）期末数学试卷（文科）（解析版）

1、2016-2017学年江西省赣州市高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）集合A=x|xa，B=1，2，AB=，则a的取值范围为（）A（，1）B（1，+）C（2，+）D（，2）2（5分）已知复数（其中aR，i为虚数单位）是纯虚数，则a+i的模为（）ABCD3（5分）已知变量x，y线性负相关，且由观测数据算得样本平均数，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（）Ay=0.4x+2.4By=2x+2.4Cy=2x+9.5Dy=0.3x+4.44（5分）已知函数f（x）=，若f（a）=f（1），

2、则实数a的值等于（）A0B1C0或1D0或15（5分）若ab0，那么下列不等式成立的是（）Aabb2Ba2b2Clg（ab）lg（a2）D226（5分）如图是一个正方体被切掉部分后所得几何体的三视图，则该几何体的体积为（）ABCD7（5分）已知非零常数是函数y=x+tanx的一个零点，则（2+1）（1+cos2）的值为（）A2BCD8（5分）函数y=（xx3）2|x|在区间3，3上的图象大致是（）ABCD9（5分）阅读如图程序框图，如果输出k=5，那么空白的判断框中应填入的条件是（）AS25BS26CS25DS2410（5分）如图，位于A处前方有两个观察站B，D，且ABD为边长等于3km的正三

3、角形，当发现目标出现于C处时，测得BDC=45°，CBD=75°，则AC=（）A156kmB15+6kmCkmDkm11（5分）将函数f（x）=cos2x的图象向右平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，若y=g（x）在上为减函数，则正实数的最大值为（）AB1CD312（5分）已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，准线为l，过点F的直线交抛物线于A，B两点（A在第一象限），过点A作准线l的垂线，垂足为E，若AFE=60°，则AFE的面积为（）ABCD二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13（5分）若单位向量满足，则在方向上投影为14（5分）实数x，

4、y满足，若2xym恒成立，则实数m的取值范围是15（5分）在四面体SABC中，SA平面ABC，ABC=90°，SA=AC=2，AB=1，则该四面体的外接球的表面积为16（5分）已知圆，经过椭圆C：=1（ab0）的左、右焦点F1，F2，且与椭圆C在第一象限的交点为A，且F1，E，A三点共线，则该椭圆的方程三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17（12分）已知数列an是各项均不为0的等差数列，Sn为其前n项和，且对任意正整数n都有an2=S2n1（1）求数列an的通项公式；（2）若数列是首项为1，公比为3的等比数列，求数列bn的前n项和Tn18

5、（12分）传统文化就是文明演化而汇集成的一种反映民族特质和风貌的民族文化，是民族历史上各种思想文化、观念形态的总体表征教育部考试中心确定了2017年普通高考部分学科更注重传统文化考核某校为了了解高二年级中国数学传统文化选修课的教学效果，进行了一次阶段检测，并从中随机抽取80名同学的成绩，然后就其成绩分为A、B、C、D、E五个等级进行数据统计如下：成绩人数A9B12C31D22E6根据以上抽样调查数据，视频率为概率（1）若该校高二年级共有1000名学生，试估算该校高二年级学生获得成绩为B的人数；（2）若等级A、B、C、D、E分别对应100分、80分、60分、40分、20分，学校要求“平均分达60

6、分以上”为“教学达标”，请问该校高二年级此阶段教学是否达标？（3）为更深入了解教学情况，将成绩等级为A、B的学生中，按分层抽样抽取7人，再从中任意抽取2名，求恰好抽到1名成绩为A的概率19（12分）如图甲所示，BO是梯形ABCD的高，BAD=45°，OB=BC=1，AD=3BC，现将等腰梯形ABCD沿OB折起如图乙所示的四棱锥POBCD，且PC=，点E是线段OP的中点（1）证明：OPCD；（2）在图中作出平面CDE与PB交点Q，并求线段QD的长度20（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2+y2=4和动直线l：x=my+1（1）证明：不论m为何值时，直线l与圆C都相交；（2

7、）若直线l与圆C相交于A，B，点A关于轴x的对称点为A1，试探究直线A1B与x轴是否交于一个定点？请说明理由21（12分）已知函数f（x）=lnx2ax，aR（1）若函数y=f（x）存在与直线2xy=0平行的切线，求实数a的取值范围；（2）已知a1设g（x）=f（x）+，若g（x）有极大值点x1，求证：x1lnx1ax12+10请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分选修4-4：坐标系与参数方程22（10分）在直角坐标系xOy中，直线l1的方程为y=x，曲线C的参数方程为（是参数，0）以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系（1）分别写出直线l1与曲线C的极坐标

8、方程；（2）若直线=0，直线l1与曲线C的交点为A，直线l1与l2的交点为B，求|AB|选修4-5：不等式选讲（共1小题，满分0分）23设实数a，b满足a+2b=9（1）若|92b|+|a+1|3，求a的取值范围；（2）若a，b0，且z=ab2，求z的最大值2016-2017学年江西省赣州市高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）（2016秋赣州期末）集合A=x|xa，B=1，2，AB=，则a的取值范围为（）A（，1）B（1，+）C（2，+）D（，2）【分析】由已知可得a

9、1，且a2，进而得到a的取值范围【解答】解：集合A=x|xa，B=1，2，若AB=，则a1，且a2，综上可得：a（，1），故选：A【点评】本题考查的知识点是集合的交集运算，转化思想，难度不大，属于基础题2（5分）（2016秋赣州期末）已知复数（其中aR，i为虚数单位）是纯虚数，则a+i的模为（）ABCD【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、纯虚数的定义、模的计算公式即可得出【解答】解：复数=+i是纯虚数，=0，0，a=，则|a+i|=故选：C【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、纯虚数的定义、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题3（5分）（2016秋赣州期末）已

10、知变量x，y线性负相关，且由观测数据算得样本平均数，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（）Ay=0.4x+2.4By=2x+2.4Cy=2x+9.5Dy=0.3x+4.4【分析】变量x与y负相关，可以排除A，B，样本平均数代入可求这组样本数据的回归直线方程【解答】解：变量x与y负相关，可以排除A，B；样本平均数，代入C符合，D不符合，故选：C【点评】本题考查数据的回归直线方程，利用回归直线方程恒过样本中心点是关键4（5分）（2016秋赣州期末）已知函数f（x）=，若f（a）=f（1），则实数a的值等于（）A0B1C0或1D0或1【分析】利用分段函数列出方程求解即可【解答】解：函数f（x）=

11、，若f（a）=f（1），当a0时，2a1=1，可得a=1当a0时，a+1=21，解得a=0，则实数a的值等于0或1故选：C【点评】本题考查分段函数的应用，考查方程的解，是基础题5（5分）（2016秋赣州期末）若ab0，那么下列不等式成立的是（）Aabb2Ba2b2Clg（ab）lg（a2）D22【分析】根据题意，对选项中的命题判断正误即可【解答】解：ab0时，abb2，A错误；a2abb2，B错误；ab0，负数没有对数，C错误；由题意，D正确故选：D【点评】本题考查了不等式的性质与应用问题，是基础题目6（5分）（2016秋赣州期末）如图是一个正方体被切掉部分后所得几何体的三视图，则该几何体的体

12、积为（）ABCD【分析】该几何体为正方体先切割得到的三棱柱后，再切割得到四棱锥，由此能求出该几何体的体积【解答】解：由三视图可知：该几何体为正方体先切割得到的三棱柱后，再切割得到四棱锥SABCD，如图所示，则其体积为：VSABCD=故选：B【点评】本题考查该几何体的体积的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养7（5分）（2016秋赣州期末）已知非零常数是函数y=x+tanx的一个零点，则（2+1）（1+cos2）的值为（）A2BCD【分析】由题意可得，tan=，利用二倍角公式可得（2+1）（cos2+1）=（1+tan2）（2cos2），化简可求【解答】解：由题意非零常数是函

13、数y=x+tanx的一个零点，可得，tan=，可得（2+1）（1+cos2）=（1+tan2）（2cos2）=2（cos2 ）×（+1）=2故选：A【点评】本题主要考查了三角函数的化简公式及二倍角公式的应用，属于基础试题8（5分）（2016秋赣州期末）函数y=（xx3）2|x|在区间3，3上的图象大致是（）ABCD【分析】利用函数的奇偶性，排除选项，然后利用特殊值判断函数的图形即可【解答】解：函数y=（xx3）2|x|在区间3，3上是奇函数，排除：C，又x=时，y=（）×=0即（，）在函数的图象上，排除B，D，故选：A【点评】本题考查函数的图象的判断，注意函数的奇偶性以及特

14、殊点的位置的判断与应用9（5分）（2016秋赣州期末）阅读如图程序框图，如果输出k=5，那么空白的判断框中应填入的条件是（）AS25BS26CS25DS24【分析】根据已知中的程序框图可得，该程序的功能是计算并输出变量k的值，模拟程序的运行过程，可得答案【解答】解：第一次执行循环体后，S=1，k=1，不满足输出的条件，k=2； 第二 次执行循环体后，S=0，k=2，不满足输出的条件，k=3； 第三次执行循环体后，S=3，k=3，不满足输出的条件，k=4； 第四次执行循环体后，S=10，k=4，不满足输出的条件，k=5； 第五次执行循环体后，S=25，k=5，满足输出的条件，比较四个答案，可得条

15、件为S24满足题意，故选：D【点评】本题考查的知识点是程序框图，当程序的运行次数不多或有规律时，可采用模拟运行的办法解答10（5分）（2016秋赣州期末）如图，位于A处前方有两个观察站B，D，且ABD为边长等于3km的正三角形，当发现目标出现于C处时，测得BDC=45°，CBD=75°，则AC=（）A156kmB15+6kmCkmDkm【分析】先利用正弦定理，求出DC，再用余弦定理，求出AC【解答】解：由题意，BCD=60°，=，DC=（3+），CDA=105°，AC=，故选C【点评】本题考查正弦、余弦定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题11（5分

16、）（2016秋赣州期末）将函数f（x）=cos2x的图象向右平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，若y=g（x）在上为减函数，则正实数的最大值为（）AB1CD3【分析】利用函数y=Asin（x+）的图象变换规律，求得g（x）的解析式，再利用诱导公式，正弦函数的单调性，求得实数的最大值【解答】解：将函数f（x）=cos2x的图象向右平移个单位，得到函数y=g（x）=cos2（x）=cos（2x）=sin2x的图象，若y=g（x）在上为减函数，则sin2x在上为增函数，2（），且2，求得1，故正实数的最大值为1，故选：B【点评】本题主要考查函数y=Asin（x+）的图象变换规律，诱导公式，正弦函

17、数的单调性，属于基础题12（5分）（2016秋赣州期末）已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，准线为l，过点F的直线交抛物线于A，B两点（A在第一象限），过点A作准线l的垂线，垂足为E，若AFE=60°，则AFE的面积为（）ABCD【分析】根据抛物线的性质，利用夹角公式，求出A 的坐标，即可计算三角形的面积【解答】解：抛物线的焦点为F（1，0），准线方程为x=1设E（1，2a），则A（a2，2a），kAF=，kEF=a，tan60°=，a=，A（3，2），AFE的面积为=4故选：A【点评】本题考查了抛物线的性质，三角形的面积计算，属于中档题二、填空题（每题5分，满分20分，将

18、答案填在答题纸上）13（5分）（2016秋赣州期末）若单位向量满足，则在方向上投影为1【分析】对两边平方，并进行数量积的运算即可求出的值，从而可求出在方向上的投影【解答】解：；即；在方向上的投影为故答案为：1【点评】考查单位向量的概念，向量数量积的运算及计算公式，向量投影的定义及计算公式14（5分）（2016秋赣州期末）实数x，y满足，若2xym恒成立，则实数m的取值范围是（，【分析】首先画出可行域，由2xym恒成立，即求2xy的最小值，设z=2xy，利用其几何意义求最小值【解答】解：x，y满足的平面区域如图：设z=2xy，则y=2xz，当经过图中的A时z最小，由，得A（）所以z的最小值为2&

19、#215;=所以实数m的取值范围是（，；故答案为：（，【点评】本题考查了简单线性规划问题；正确画出可行域，将恒成立问题求参数范围问题，转化为求4xy的最小值，属于基础题15（5分）（2016秋赣州期末）在四面体SABC中，SA平面ABC，ABC=90°，SA=AC=2，AB=1，则该四面体的外接球的表面积为8【分析】由题意，SC的中点为球心，计算三棱锥SABC的外接球的半径，由此可求三棱锥SABC的外接球的表面积【解答】解：由题意，SC的中点为球心，SA平面ABC，SA=AC=2，SC=2，球的半径为，该四面体的外接球的表面积为42=8故答案为：8【点评】本题考查球的表面积的计算，考

20、查学生分析解决问题的能力，属于基础题16（5分）（2016秋赣州期末）已知圆，经过椭圆C：=1（ab0）的左、右焦点F1，F2，且与椭圆C在第一象限的交点为A，且F1，E，A三点共线，则该椭圆的方程+=1【分析】F1，E，A三点共线，AF2x轴，|F1A|=2a把x=c代入椭圆方程解得A由O为线段F1F2的中点，利用中位线定理可得|AF2|=2|OE|，=2，=2a2，a2=b2+c2，解出即可得出【解答】解：F1，E，A三点共线，AF2x轴，|F1A|=把x=c代入椭圆方程可得：=1，解得y=，AO为线段F1F2的中点，|AF2|=2|OE|，=2，=2a2，a2=b2+c2，解得a=，b2

21、=5该椭圆的方程为：+=1故答案为：+=1【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、三角形中位线定理、圆的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17（12分）（2016秋赣州期末）已知数列an是各项均不为0的等差数列，Sn为其前n项和，且对任意正整数n都有an2=S2n1（1）求数列an的通项公式；（2）若数列是首项为1，公比为3的等比数列，求数列bn的前n项和Tn【分析】（1）设等差数列an的公差为d，an0对任意正整数n都有an2=S2n1，可得=a1，=S3=，解得a1，d，即可得出（2）=3

22、n1，可得bn=（2n3）3n1，利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出【解答】解：（1）设等差数列an的公差为d，an0对任意正整数n都有an2=S2n1，=a1，=S3=，解得a1=1，d=2，或1（舍去）an=1+2（n1）=2n1（2）=3n1，bn=（2n3）3n1，数列bn的前n项和Tn=1+3+3×32+（2n3）3n1，3Tn=3+32+3×33+（2n5）3n1+（2n3）3n，2Tn=1+2（3+32+3n1）+（2n3）3n=1+2×（2n3）3n，Tn=2+（n2）3n【点评】本题考查了“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式及

23、其求和公式、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题18（12分）（2016秋赣州期末）传统文化就是文明演化而汇集成的一种反映民族特质和风貌的民族文化，是民族历史上各种思想文化、观念形态的总体表征教育部考试中心确定了2017年普通高考部分学科更注重传统文化考核某校为了了解高二年级中国数学传统文化选修课的教学效果，进行了一次阶段检测，并从中随机抽取80名同学的成绩，然后就其成绩分为A、B、C、D、E五个等级进行数据统计如下：成绩人数A9B12C31D22E6根据以上抽样调查数据，视频率为概率（1）若该校高二年级共有1000名学生，试估算该校高二年级学生获得成绩为B的人数；（2）若等级A

24、、B、C、D、E分别对应100分、80分、60分、40分、20分，学校要求“平均分达60分以上”为“教学达标”，请问该校高二年级此阶段教学是否达标？（3）为更深入了解教学情况，将成绩等级为A、B的学生中，按分层抽样抽取7人，再从中任意抽取2名，求恰好抽到1名成绩为A的概率【分析】（1）由于这80人中，有12名学生成绩等级为B，所以可以估计该校学生获得成绩等级为B的概率为，即可得出该校高二年级学生获得成绩为B的人数（2）由于这80名学生成绩的平均分为：（9×100+12×80+31×60+22×40+6×20）（3）成绩为A、B的同学分别有9人，

25、12人，所以按分层抽样抽取7人中成绩为A的有3人，成绩为B的有4人由题意可得：P（X=k）=，k=0，1，2，3【解答】解：（1）由于这80人中，有12名学生成绩等级为B，所以可以估计该校学生获得成绩等级为B的概率为（2分）则该校高二年级学生获得成绩为B的人数约有1000×=150（3分）（2）由于这80名学生成绩的平均分为：（9×100+12×80+31×60+22×40+6×20）=59（4分）且5960，因此该校高二年级此阶段教学未达标（6分）（3）成绩为A、B的同学分别有9人，12人，所以按分层抽样抽取7人中成绩为A的有3人，

26、成绩为B的有4人（7分）则由题意可得：P（X=k）=，k=0，1，2，3P（X=0）=，P（X=1）=，P（X=2）=，P（X=3）=.10分）所以EX=0+1×+2×+3×=.10分）【点评】本题考查了平均数、分层抽样、超几何分布列概率计算公式及其数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题19（12分）（2016秋赣州期末）如图甲所示，BO是梯形ABCD的高，BAD=45°，OB=BC=1，AD=3BC，现将等腰梯形ABCD沿OB折起如图乙所示的四棱锥POBCD，且PC=，点E是线段OP的中点（1）证明：OPCD；（2）在图中作出平面CDE与PB交

27、点Q，并求线段QD的长度【分析】（1）推导出OPOC，OBOP，从而OP平面OPD，以O为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法推导出DE和SC不可能垂直（2）作出Q点，利用坐标系求出Q的坐标，利用空间距离公式求解即可【解答】证明：（1）如图甲所示，因为BO是梯形ABCD的高，BAD=45°，所以AO=OB，（1分）因为BC=1，OD=2OA，得OD=3，OC=，（2分）如图乙所示，OP=OA=1，OC=，PC=，所以有OP2+OC2=PC2，所以OPOC，（3分）而OBOP，OBOC=O，所以OP平面OPD，（4分）又OBOD，所以OB、OD、OP两两垂直故以O为原点，建立空间直角坐

28、标系，如图，则P（0，0，1），C（1，1，0），D（0，3，0）（5分）=（0，0，1），=（1，2，0），所以=0，所以OPCD（6分）解：（2）延长OB，DC，交于点M，连结EM，因为OD=3，BC=1，OB=1，所以BM=，（7分）EMPE=Q，则Q即为平面CDE与PB交点，如图：在平面xoz坐标系中，BP的方程为：x+z=1，ME的方程为：2x+6z=3（9分），由，解得x=，z=，在空间直角坐标系中，Q（，0，）连结DQ，|=（12分）【点评】本题考查空间向量的应用，直线与平面垂直的判断与性质定理的应用，空间距离公式的求法，考查转化思想以及计算能力20（12分）（2016秋赣州期末

29、）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2+y2=4和动直线l：x=my+1（1）证明：不论m为何值时，直线l与圆C都相交；（2）若直线l与圆C相交于A，B，点A关于轴x的对称点为A1，试探究直线A1B与x轴是否交于一个定点？请说明理由【分析】（1）圆C：x2+y2=4和动直线l：x=my+1联立方程组，利用判别式进行判断即可（2）直线l与圆C相交于A，B，设出A，B坐标，利用韦达定理建立关系，求解直线A1B方程，令y=0求解x的值s是一个定值即可【解答】证明：（1）由题意，圆C：x2+y2=4和动直线l：x=my+1联立方程组，消去x，可得：（m2+1）y2+2my3=0，由判别式=4m2+

30、12（m2+1）=16m2+120不论m为何值时，直线l与圆C都相交；解：（2）直线l与圆C相交于A，B，设A坐标为（x1，y1），B坐标为（x2，y2），点A关于轴x的对称点为A1，A的坐标为（x1，y1）直线A1B方程为：y+y2=（xx2）由（1）可得：（m2+1）y2+2my3=0，那么：，同理，消去y，可得：（m2+1）x22x+14m2=0那么：，令直线A1B方程：y+y2=（xx2）中的y=0，解得：x=是一个定值常数故得直线A1B与x轴交于一个定点为（，0）【点评】本题考查直线方程，考查直线与圆的位置关系，考查直线恒过定点，考查学生的计算能力，属于中档题21（12分）（2016

31、秋赣州期末）已知函数f（x）=lnx2ax，aR（1）若函数y=f（x）存在与直线2xy=0平行的切线，求实数a的取值范围；（2）已知a1设g（x）=f（x）+，若g（x）有极大值点x1，求证：x1lnx1ax12+10【分析】（1）求出函数的导数，问题转化为2+2a=在（0，+）上有解，求出a的范围即可；（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围，问题转化为证明x1lnx1+1a，令h（x）=x+xlnx+1，x（0，1），根据函数的单调性证明即可【解答】（1）解：因为f（x）=2a，x0，因为函数y=f（x）存在与直线2xy=0平行的切线，所以f（x）=2在（0，+上有解，即2a=2在（0，+

32、）上有解，也即2+2a=在（0，+）上有解，所以2+2a0，得a1，故所求实数a的取值范围是（1，+）；（2）证明：因为g（x）=x2+lnx2ax，因为g（x）=，当1a1时，g（x）单调递增无极值点，不符合题意，当a1或a1时，令g（x）=0，设x22ax+1=0的两根为x1和x2，因为x1为函数g（x）的极大值点，所以0x1x2，又x1x2=1，x1+x2=2a0，所以a1，0x11，所以g（x1）=2ax1+=0，则a=，要证明+a，只需要证明x1lnx1+1a，因为x1lnx1+1a=x1lnx1+1=x1+x1lnx1+1，0x11，令h（x）=x+xlnx+1，x（0，1），所以h（x）=+lnx，记p（x）=+lnx，x（0，1），则p（x）=3x+=，当0x时，p（x）0，当x1时，p（x）0，所以p（x）max=p（）=1+ln0，所以h（x）0，所以h（x）在（0，1）上单调递减，所以h（x）h（1）=0，原题得证【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，考查分类讨论思想，是一