天体运动中的相遇急追及问题

1、天体运动中的相遇急追及问题地面上的物体常常出现追及相遇问题，关键是找出它们的位移、速度和时间等关系，运动路线应该在同一轨道上。天体运动中也有追及相遇问题，它与地面上的追及相遇问题在思维有上相似之处，即也是找出一些物理量的关系，但它也不同之处，MmvUr二用一n U二万有引力提供向心力，即 对应的圆周轨道会发生相应的变化，所以天体不可能能在同一轨道上追及或相遇。分析天体运动的追及相遇重点是角度、角速度和时间等关系的判断。？1 1 .追及问题例 1 1 如图 1 1 所示，有A B两颗行星绕同一颗恒星M做圆周运动， 旋转方向相同，A行星的周期为T1,B行星的周期为T2,在某一时刻 两行星相距最近，

2、则经过多长时间，两行星再次相距最近经过多 长时间，两行星第一次相距最远分析与解答：A、B两颗行星做匀速圆周运动，由万有引力提供向r =7 =I-,因此TIT2。可见当A运动完一周时，B还没有达到一周，但是要它们的相距最近，只有A、B行星和恒星M的连线再次在一条直线上，且A B在同侧，从角度看，在相同时间内，A比B多转了 2 2n;如果A、B在异侧，则它们相距最远，从角度看，在相同时间内，A比B多转了n。所以再次相距最近的时间tl，由1一-；第一次相距最远的时间t2,由2=歼与耳=i。如果在问题中把“再次”或“第一次”这样的词去 掉，那么结果如何2 2.相遇问题例 2 2 设地球质量为M绕太阳做

3、匀速圆周运动，有一 质量为m的飞船由静止开始从P点沿PD方向做加速度为a的匀加速直线运动，1 1年后在D点飞船掠过地球上空，再过 3 3 个月又在Q处掠过地球上空，如图 2 2 所示（图中“S”表 示太阳）。根据以上条件，求地球与太阳之间的万有引力大 小。分析与解答：飞船开始与地球相当于在D点相遇，经过e =x因此在这段时间内，地球与太阳的连线转过的角度- 期为T,飞船由静止开始做加速度为a的匀加速直线运动，则DQ= PQ-PD=a =返理=也&丁地球的公转半径为？-3 3 个月后，它们又在Q点相遇,360 = 90。设地球的公转周，所以当天体速度增加或减少时,GMQ例 3 3 阅读下

4、列信息，并结合该信息解题：(1 1)开普勒从 16091609 年16191619 年发表了着名的开普勒行星运动三定律，其中第一定律 为：所有的行星分别在大小不同的椭圆轨道上围绕太阳运动，太阳在这个椭圆的一个焦点上。第三定律：所有行星的椭圆轨道的半长轴的三次方跟公转周期的平方的比值都相等。实践证明，开普勒三定律也适用于其他中心天体的卫星运动。(2 2)从地球表面向火星发射火星探测器，设地球和火星都在同一平面上绕太阳做圆周运动，火星轨道半径 RnRn 为地球轨道半径R的 1 1 . 500500 倍，简单而又比较节省能量的发射过程可分为 两步进行：第一步，在地球表面用火箭对探测器进行加速，使之获

5、得足够动能，从而脱离地 球引力作用成为一个沿地球轨道运动的人造卫星；第二步是在适当时刻点燃与探测器连在一起的火箭发动机，在短时间内对探测器沿原方向加速，使其速度数值增加到适当值，从而使得探测器沿着一个与地球轨道及火星轨道分别在长轴两端相切的半个椭圆轨道正好射到火 星上。当探测器脱离地球并沿地球公转轨道稳定运行后，在某年 3 3 月 1 1 日零时测得探测器与火星之间的角距离为 6060,如图 3 3 所示，问应在何年何月何日点燃探测器上的火箭发动机 方能使探测器恰好落在火星表面(时间计算仅需精确到日)，已知地球半径为：&二&4x12胸.J(1.5严二1.840.(1.25/ =

6、1.400 ; ;分析与解答：为使探测器落到火星上， 必须选择适当时机点燃探测器上的发动机，使探测器沿椭圆轨道到达火星轨道的相切点， 同时，火星也恰好运行到该点与探测器相遇， 为此 必须首先确定点燃时刻两者的相对位置。如图4 4 所示。因探测器在地球公转轨道运行周期Td与地球公转周期Te相等，即Td= =Te=365=365 天由开普勒第三定律 得探测器在椭圆轨道上运行周期天 = = = = 2%2%天因此探测器从点火到达火星所需时间二火星公转周期 天火星绕太阳转动的角速度-由于探测器运行至火星需 255255 天，在此期间火星绕太阳运行的角度q二 =0 5377/天心乃天二1ST所以 地球与太阳之间的万有引力大小为探测器在点火前绕太阳转动角速度- =09砧/天365探测器沿椭圆轨道的半长轴即探测器在椭圆轨道近日点点火时，火星在远日点的切点之前137137，亦即点燃火箭发动机时，探测器与火星角距离应为e e2=180=180 e e1=43=43故点燃发动机时刻应为当年3 3 月 1 1 日后 3838 天，即 4 4 月 7 7 日。已知某年 3 3 月 1 1 日零时，探测器与火星角距离为6060（火星在前，探测器在后），为使其角距离