第七章弯曲强度(1)

1、2返回总目录返回总目录3返回总目录返回总目录4返回返回5 桥式吊车的大梁桥式吊车的大梁可以简化为两端饺支可以简化为两端饺支的简支梁。在起吊重的简支梁。在起吊重量量(集中力集中力FP)及大梁自及大梁自身重量身重量(均布载荷均布载荷q)的的作用下作用下,大梁将发生弯大梁将发生弯曲。曲。 67 火车轮轴支撑在铁轨上，火车轮轴支撑在铁轨上，铁轨对车轮的约束，可以看作铁轨对车轮的约束，可以看作铰链支座，因此，火车轮轴可铰链支座，因此，火车轮轴可以简化为两端外伸梁。由于轴以简化为两端外伸梁。由于轴自身重量与车厢以及车厢内装自身重量与车厢以及车厢内装载的人与货物的重量相比要小载的人与货物的重量相比要小得多，

2、可以忽略不计，因此，得多，可以忽略不计，因此，火车轮轴将发生弯曲变形。火车轮轴将发生弯曲变形。8l1）弯曲变形弯曲变形 910l外力垂直于杆轴作用l这种受力方式的杆称为梁l轴线变为平面曲线11l 弯曲变形弯曲变形载荷载荷垂直于垂直于杆的轴线，杆的轴线，以以弯曲变形弯曲变形为主的杆件为主的杆件轴线由轴线由直线直线曲线曲线称为称为梁梁。l 对称弯曲对称弯曲若梁若梁(1) 具有纵向对称具有纵向对称面面;(2) 所有外力都作所有外力都作用在纵向对称用在纵向对称则轴线变形后也是该对称面内的曲线。则轴线变形后也是该对称面内的曲线。面内。面内。F1F2123 静定梁的基本形式静定梁的基本形式主要研究主要研究

3、等直梁等直梁。u 简支梁简支梁u 外伸梁外伸梁u 悬臂梁悬臂梁13返回返回1415 应用截面法确定某一指定横截面上的剪力和弯应用截面法确定某一指定横截面上的剪力和弯矩，首先，需要用假想横截面从指定横截面处将梁矩，首先，需要用假想横截面从指定横截面处将梁截为两部分。然后，考察其中任意一部分的受力，截为两部分。然后，考察其中任意一部分的受力，由平衡条件，即可得到该截面上的剪力和弯矩。由平衡条件，即可得到该截面上的剪力和弯矩。 16FPllABCDMO=2FPl17FPFPllABCDMO=2FPlMA0AClFPMA018FQCMCFPMA0FPllABCDMO=2FPlCAFPlMA019FPM

4、A0FPllABCDMO=2FPlAFPMA0llMO=2FPlD20FPMA0FPllABCDMO=2FPlMDFQDAFPMA0llMO=2FPlD21FPMA0FPllABCDMO=2FPl22 剪力和弯矩剪力和弯矩下面求解梁弯曲时的内力。下面求解梁弯曲时的内力。u 例子例子已知已知：q = 20 kN/m, 尺寸尺寸如图。如图。求求：D截面处的内力。截面处的内力。x求内力的方法求内力的方法解解：建立建立x坐标如图。坐标如图。(1) 求支座反力求支座反力FRAFRAxFRC取整体，受力如图。取整体，受力如图。0X0AxRF23(1) 求支座反力求支座反力取整体，受力如图。取整体，受力如图

5、。0X0AxRFxFRAFRCFRAx0)(FCMkN80ARF0YkN40CRF(2) 求求D截面内力截面内力从从D处截开，取左段。处截开，取左段。xFRAFS横截面上的内力如图。横截面上的内力如图。FRAxFNMD240XAxRNFF0)(FDM2/xqxxFMAR0YqxFFARS(2) 求求D截面内力截面内力从从D处截开，取左段。处截开，取左段。横截面上的内力如图。横截面上的内力如图。0 xFRAFSMFNFRAxx208021080 xx规律规律FS = 截面一侧所有横向外力代数和截面一侧所有横向外力代数和M = 截面一侧所有外力对截面形心力矩的代数和截面一侧所有外力对截面形心力矩的

6、代数和25xFRAFRCFRAx若从若从D处截开，取右段。处截开，取右段。横截面上的内力如图。横截面上的内力如图。xFRAFSMNFRAxFRCFSM计算可得计算可得QD, MD的数值与取左段所得结果相同。的数值与取左段所得结果相同。但从图上看，它们的方向相反。但从图上看，它们的方向相反。 剪力剪力和和弯矩弯矩的正负号规则如何？的正负号规则如何？26l 剪力剪力和和弯矩弯矩的正负号规定的正负号规定FSFSu 剪力剪力使其作用的一使其作用的一段梁产生顺时段梁产生顺时针转动的剪力针转动的剪力为正。为正。u 弯矩弯矩使梁产生上凹使梁产生上凹(下凸下凸)变形的变形的弯矩为正。弯矩为正。2728 根据以

7、上分析，在一段杆上，内力按某一种函数规根据以上分析，在一段杆上，内力按某一种函数规律变化，这一段杆的两个端截面称为控制面（律变化，这一段杆的两个端截面称为控制面（control cross-section）。据此，下列截面均可为控制面：）。据此，下列截面均可为控制面： 集中力作用点的两侧截面；集中力作用点的两侧截面； 集中力偶作用点的两侧截面；集中力偶作用点的两侧截面； 均布载荷（集度相同）起点和终点处的截面。均布载荷（集度相同）起点和终点处的截面。 29 外力规律发生变化截面外力规律发生变化截面集中力、集中力偶集中力、集中力偶作用点、分布荷载的起点和终点处的横截面。作用点、分布荷载的起点和终

8、点处的横截面。303132qBAC33BACq34BACq35BACq36BACq37例例 2已知已知：简支梁如图。：简支梁如图。解解：求求：剪力方程，弯矩：剪力方程，弯矩方程，并作剪力图和方程，并作剪力图和弯矩图。弯矩图。(1) 求支反力求支反力,lFbFAR需分段求解。需分段求解。lPaRB(2) 求求剪力方程和弯矩方程剪力方程和弯矩方程分为两段：分为两段：AC和和CB段。段。u AC段段 取取x截面，左段受力如图。截面，左段受力如图。FFRBFRA38FRA需分段求解。需分段求解。lFbxFS)(2) 求求剪力方程和弯矩方程剪力方程和弯矩方程分为两段：分为两段：AC和和CB段。段。u A

9、C段段取取x截面，左段受力如图。截面，左段受力如图。FSM由平衡方程，可得由平衡方程，可得:)0(ax xlFbxM)()0(axu CB段段x取取x截面，截面，FFRBFRA39xFlFaxFS)(由平衡方程，可得由平衡方程，可得:)(lxa)()(xllFaxM)(lxau CB段段取取x截面，截面，FSM左段受力如图。左段受力如图。(3) 画画剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图FSxFFRBFRA40(3) 画画剪力图和剪力图和弯矩图弯矩图lFbxFS)()0(ax xlFbxM)()0(axlFaxFS)()(lxa)()(xllFaxM)(lxaFFRBFRAFSlFblFalFab41例

10、例 3已知已知：悬臂梁如图。：悬臂梁如图。解解：求求：剪力方程，弯：剪力方程，弯矩方程，并作剪力矩方程，并作剪力图和弯矩图。图和弯矩图。(1) 求支反力求支反力,qlFAR为使计算简单，为使计算简单，221qlMA(2) 求求剪力方程和弯矩方程剪力方程和弯矩方程取取x截面，右段受力如图。截面，右段受力如图。FRA42为使计算简单，为使计算简单，(2) 求求剪力方程和剪力方程和弯矩方程弯矩方程取取x截面，右段截面，右段受力如图。受力如图。FSM)()(xlqxFS由平衡方程，可得由平衡方程，可得:)(xM2xl2)(21xlq )(xlq FRA43)()(xlqxFS2)(21)(xlqxM(

11、3) 画画剪力图和剪力图和弯矩图弯矩图FSFRA44l 作剪力图和弯矩图的作剪力图和弯矩图的步骤步骤(1) 求支座反力；求支座反力；(2) 建立坐标系建立坐标系(一般以梁的左端点为原点一般以梁的左端点为原点)；(3) 分段分段 在在载荷变化处载荷变化处分段；分段；(4) 列出每一段的剪力方程和弯矩方程；列出每一段的剪力方程和弯矩方程；(5) 根据剪力方程和弯矩方程画出剪力图和根据剪力方程和弯矩方程画出剪力图和弯矩图。弯矩图。45例例 4 已知已知：外伸梁如图。：外伸梁如图。解解：求求：剪力方程，弯矩方程，并作剪力图和弯矩图：剪力方程，弯矩方程，并作剪力图和弯矩图.(1) 求支反力求支反力kN,

12、10ARFF=3KNFRAFRBKNFRB546F=3KNFRAFRB(1) 求支反力求支反力kN,10ARFkN5BRF需分段求解。需分段求解。(2) 求求剪力方程和弯矩方程剪力方程和弯矩方程分为分为3段：段：CA, AD和和DB段。段。FxFS)(u CA段段取取x截面，截面，左段左段受力如图。受力如图。由平衡方程，可得由平衡方程，可得:m)6 . 00( xFxxM)(m)6 . 00( xxkN3x347F=3KNFRAFRBu CA段段取取x截面，截面，左左段段受力如图。受力如图。由平衡方程，由平衡方程，可得可得:m)6 . 00( xxxM3)(m)6 . 00( xxkN3)(x

13、FSFFxFARS)(u AD段段取取x截面，截面，左段左段受力如图。受力如图。由平衡方程，可得由平衡方程，可得:m)2 . 16 . 0(xFxxM)(m)2 . 16 . 0(xkN767 x)6 . 0( xFAR48xFFxFARS)(u AD段段取取x截面，截面，左段左段受力如图。受力如图。由平衡方程，可得由平衡方程，可得:m)2 . 16 . 0(x)6 . 0()(xFFxxMARm)2 . 16 . 0(xkN767 xu DB段段取取x截面，右段受力如图。截面，右段受力如图。)4 . 2()(xqxFSm)4 . 22 . 1 (xx1019BRF49F=3KNFRAFRBx

14、u DB段段取取x截面，右段受力如图。截面，右段受力如图。BRSFxqxF)4 . 2()(m)4 . 22 . 1 (xx1019)4 . 2()(xFxMARm)2 . 16 . 0(x2)4 . 2( 5512xx2)4 . 2(21xq(3) 画画剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图50(3) 画画剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图F=3KNFRAFRB51返回返回5253 载荷集度、剪力和弯矩间的关系载荷集度、剪力和弯矩间的关系对图示的直梁对图示的直梁,考察考察dx 微段的微段的受力与平衡。受力与平衡。FS(x)FS(x)+dFS(x)54考察考察dx微段的受力与微段的受力与平衡平衡0Y)(xFS

15、)(d)(xFxFSS0)(dd)(xFxxqS)(d)(dxqxxFS0)(FCMC)(xMxxFSd)()(d)(xMxM2dd)(xxxqxxqd)(00FS(x)+dFS(x)FS(x)55)(d)(dxqxxFS0)(FCM)(xMxxFSd)()(d)(xMxM02dd)(xxxq略去高阶微量略去高阶微量)(dxMxxFSd)(0)(d)(dxFxxMS还可有：还可有：)(d)(d22xqxxMFS(x)+dFS(x)FS(x)56)(d)(dxqxxFS)(d)(dxFxxMS)(d)(d22xqxxMl q(x)、FS(x)和和M(x)间的间的微分关系微分关系上次例上次例 3

16、(书例书例4. 3) l 由由微分关系微分关系可得以下可得以下结论结论FSFRA57l 由由微分关系微分关系可得以下可得以下结论结论(1) 若若q(x) = 0FS(x) =常数，常数，剪力图为剪力图为水平线水平线；M(x) 为一次函数为一次函数，弯矩图为弯矩图为斜直线斜直线。(2) 若若q(x) = 常数常数FS(x)为一次函数为一次函数，剪力图为剪力图为斜直线斜直线；M(x) 为二次函数为二次函数，弯矩图为弯矩图为抛物线抛物线。FFRBFRAFSlFblFalFab58(2) 若若q(x) = 常数常数Q(x)为一次函数为一次函数，剪力图为剪力图为斜直线斜直线；M(x) 为二次函数为二次函

17、数，弯矩图为弯矩图为抛物线抛物线。当当q(x) 0(向上向上)时时,抛物线抛物线是是下凸下凸的；的；当当q(x) 0(向下向下)时时,抛物线抛物线是是上凸上凸的；的；(3) 在剪力在剪力Q为为零零处处,弯矩弯矩M取取极值极值。FRAFS59(4) 在在集中力集中力作用点：作用点：剪力图有剪力图有突变突变，突变值突变值即为集中力的数值，突即为集中力的数值，突变的方向沿着集中力的变的方向沿着集中力的方向方向(从左向右观察从左向右观察)；弯矩图在该处为弯矩图在该处为折点折点。(5) 在在集中力偶集中力偶作用点作用点:对剪力图形状无影响；对剪力图形状无影响；弯矩图有弯矩图有突变突变，突变值突变值即为集

18、中力偶的数值。即为集中力偶的数值。FSFRA60集中力偶为集中力偶为逆逆时针时针时，向时，向下下跳跳(从左向右从左向右看看);顺时针顺时针时，时，向向上跳上跳(从从左向右看左向右看).(5) 在在集中力偶集中力偶作用点作用点:对剪力图形状无影响；对剪力图形状无影响；弯矩图有弯矩图有突变突变，突变值突变值即为集中力偶的数值。即为集中力偶的数值。上次例上次例 4 F=3KNFRAFRB61l 根据根据微分关系微分关系作剪力图和弯矩图作剪力图和弯矩图(1) 求支反力；求支反力；(2) 建立坐标系建立坐标系(一般以梁的左端点为原点一般以梁的左端点为原点)；(3) 分段分段 确定确定控制面控制面；(4)

19、 求出控制面上的求出控制面上的FS、M值；值；(5) 根据根据微分关系微分关系连线，作出剪力图和弯矩图。连线，作出剪力图和弯矩图。62FA63OOFA64OOFA65OOFA66OOFA67qBA68qBAC69qBA70qBA71qBA72qxEqBA73qBA74qBA75xQFQ xqa/2qa/2FQFQqqMxMxqq76qqqqxFQxFQqaFQMxMxqa2/2qa2FQqq77qqFQ78例例 已知已知：外伸梁如图。：外伸梁如图。解解：求求： 利用微分关系作剪力图和弯矩图。利用微分关系作剪力图和弯矩图。(1) 求支反力求支反力kN,10ARFkN5BRFF=3KNFRAFRB

20、79F=3KNFRAFRBkN,10ARFkN5BRFC左左:FS=0M=0C右右:FS= -3KNM=0A左左:FS= -3KNM=-1.8KN.MA右右:FS= 7KNM=-1.8KN.MD右右:D左左:FS= 7KNM=2.4KN.MFS= 7KNM=-1.2KN.MB左左:FS= -5KNM=0B右右:FS=0M=0-3KN7KN-5KN-1.8KN.m2.4KN.m1.25KN.m80例例 5 已知已知：内力图。：内力图。解解：求求：利用微分：利用微分关系找出图中关系找出图中的错误并改正。的错误并改正。qaFAR41l 支反力支反力qaFBR47FRAFRBFS81FS例例 5 已知

21、已知：内力图。：内力图。解解：求求：利用微分：利用微分关系找出图中关系找出图中的错误并改正。的错误并改正。qaFAR41l 支反力支反力qaFBR47FRAFRB245qa23249qa82例例 6 ( 书习题书习题4.16(a) ) 已知已知：剪力图，且：剪力图，且梁上无集中力偶。梁上无集中力偶。解解：求求：载荷图和弯：载荷图和弯矩图。矩图。3kN4kN2kN3kNq=1kN/mFS83弯矩图弯矩图3kN4kN2kN3kNq=1kN/m6kNm4kNm 4.5kNmFS8485例例 4已知已知：组合梁：组合梁如图。如图。解解：求求：利用微分：利用微分关系作剪力图关系作剪力图和弯矩图。和弯矩图

22、。(1) 求支反力求支反力kN,75ARFmkN200AMMAFRAFRCkN25CRF86FSxMx解解：(1) 求支反力求支反力kN,75ARFkNm200AMMAFRAFRCkN25CRF752525(2) 剪力图剪力图(3) 弯矩图弯矩图200502587主要内容主要内容:1 静矩和形心静矩和形心2 惯性矩和惯性半径惯性矩和惯性半径3 惯性积惯性积4 平行移轴公式平行移轴公式5 转轴公式转轴公式 主惯性轴主惯性轴88I. 1 静矩和形心静矩和形心1 静矩静矩静矩：平面图形的静矩：平面图形的面积面积对坐标轴的对坐标轴的一次矩一次矩。定义为：定义为：AzAyS,dAyAzSd静矩的静矩的量

23、纲量纲为长度为长度的三次方。的三次方。2 形心形心892 形心形心理论力学中得到的均理论力学中得到的均质薄板的重心质薄板的重心(形心形心)坐标公式为：坐标公式为：AAyyAdAAzzAd用静矩表示：用静矩表示：,ASyzASzy90用静矩表示：用静矩表示：,ASyzASzyl 静矩也可表示为：静矩也可表示为：, yASzzASyl 组合物体的静矩组合物体的静矩,1niiizyASniiiyzAS1l 组合物体的形心组合物体的形心91l 组合物体的形心组合物体的形心,11niiniiiAyAyniiniiiAzAz11929394I. 2 惯性矩和惯性半径惯性矩和惯性半径1 惯性矩惯性矩惯性矩：

24、平面图形的惯性矩：平面图形的面积面积对坐标轴的对坐标轴的二次矩二次矩。定义为：定义为：AyAzI,d2AzAyId295惯性矩定义为：惯性矩定义为：AyAzI,d2惯性矩恒惯性矩恒大于零大于零；惯性矩的惯性矩的量纲量纲为长为长度的四次方。度的四次方。AzAyId22 惯性半径惯性半径工程上常将惯性矩写成如下的形式工程上常将惯性矩写成如下的形式:,2yyiAI2zziAI962 惯性半径惯性半径工程上常将惯性矩工程上常将惯性矩写成如下的形式写成如下的形式:,2yyiAI iy, iz 分别分别为图形对为图形对y轴和对轴和对z轴的惯性半径。轴的惯性半径。惯性半径的惯性半径的量纲量纲为长度的一次方为

25、长度的一次方。2zziAI或写为或写为:,AIiyyAIizz973 极惯性矩极惯性矩即：即：对对两根互相垂直的轴的惯性矩之和，等于两根互相垂直的轴的惯性矩之和，等于对该两轴交点的极惯性矩。对该两轴交点的极惯性矩。即为对与平面图形即为对与平面图形垂直的轴的惯性矩垂直的轴的惯性矩.APAId24 IP与与 Iy, Iz的关系的关系APAId2AAzyd)(22AAy d2AAz d2yzII 985 组合图形的惯性矩组合图形的惯性矩,1niyiyIInizizII16 几种常见图形的惯性矩几种常见图形的惯性矩3121bhIyu 矩形矩形3121hbIz?yIJ 问题问题99zyII u 圆形圆形

26、644DzyPIII324Du 圆环圆环看成是组合图形看成是组合图形zyII 644D644d)(6444dD PI324D324d)(3244dD 100I. 3 惯性积惯性积1 惯性积惯性积惯性积定义为：惯性积定义为：AyzAyzId惯性积的值可正，可负，惯性积的值可正，可负，可为零。可为零。惯性积的惯性积的量纲量纲为长度的为长度的四次方。四次方。2 对称图形的惯性积对称图形的惯性积设设z为对称轴，则为对称轴，则:0yzI101l当图形对于某一特定轴的惯性矩或惯性积已知时，如何求图形对于与之平行的另一轴的惯性矩或惯性积？l如何求组合图形的惯性矩或惯性积？102103104l注意事项:分清形心轴与非形心轴确定形心轴与非形心轴的位置对两对轴都是非形心轴时如何应用105计算对于形心轴yc的惯性矩Iyc106107l求组合图形对形心轴的惯性矩及惯