《平面向量》word版

1、.三、平面向量 命题人：越秀区教育发展中心 余建炜一、平面向量的实际背景与基本概念 B AC O F D E图11（人教版P85例2） 如图1，设O是正六边形的中心，分别写出图中与、相等的向量。变式1：如图1，设O是正六边形的中心，分别写出 B AC O F D E 图2图中与、共线的向量。解：变式2：如图2，设O是正六边形的中心，分别写出图中与的模相等的向量以及方向相同的向量。解：二、平面向量的线性运算2.（人教版第96页例4） D CA B如图，在平行四边形ABCD中，a ，b ，你能用a，b表示向量 ，吗？变式1：如图，在五边形ABCDE中， D E C A Ba ，b ，c ，d ，试

2、用a ，b ， c ， d表示向量和.解：( a + b + d ) D C OA B( d + a + b +c )变式2：如图，在平行四边形ABCD中，若，a ，b则下列各表述是正确的为（ ）A B Ca + b D(a + b)正确答案：选D变式3：已知=a，=b, =c,=d, 且四边形ABCD为平行四边形，则（ ）A. a+b+c+d=0 B. ab+cd=0C. a+bcd=0 D. abc+d=0正确答案：选A变式4：在四边形ABCD中，若，则此四边形是()A平行四边形B菱形C梯形 D矩形正确答案：选C变式5：已知a、b是非零向量，则|a|=|b|是(a+b)与(ab)垂直的（

3、）A充分但不必要条件 B必要但不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件正确答案：选C变式6：在四边形ABCD中，=a+2b，=4ab，=5a3b，其中a、b不共线，则四边形ABCD为（ ）A.平行四边形B.矩形C.梯形D.菱形【解析】 =8a2b=2，.四边形ABCD为梯形.正确答案：选C变式7：已知菱形ABCD，点P在对角线AC上（不包括端点A、C），则等于（ ）A.(+),(0,1) B.(+),(0,)C.(),(0,1)D.(),(0,)【解析】 由向量的运算法则=+，而点P在对角线AC上，所以与同向，且|,=(+),(0,1).正确答案：选 A变式8：已知D、E、F分别是ABC的边

4、BC、CA、AB的中点，且=，=，=,则下列各式： = = + = + +=其中正确的等式的个数为（ ）A.1 B.2 C.3 D.4正确答案：选B3（人教版第98页例6） ba如图，已知任意两个非零向量a 、b ，试作a + b，a + 2b，a + 3b，你能判断A、B、C三点之间的位置关系吗？为什么？变式1：已知a + 2b，2a + 4b，3a + 6b (其中a 、b是两个任意非零向量) ，证明：A、B、C三点共线证明：a + 2b，2a + 4b， 所以，A、B、C三点共线变式2：已知点A、B、C在同一直线上，并且a + b，a + 2b，a + 3b (其中a 、b是两个任意非零

5、向量) ，试求m、n之间的关系解：a + b ，a + 2b由A、B、C三点在同一直线上可设，则 所以 即 为所求4（人教版第102页第13题） D C E FA B已知四边形ABCD，点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，求证：变式1：已知任意四边形ABCD的边AD和BC的中点分别为E、F，求证：.证明：如图，连接EB和EC ， 由和可得， （1） 由和可得， （2）（1）+（2）得， （3）E、F分别为AD和BC的中点，代入（3）式得，三、平面向量的基本定理及坐标表示2.（人教版第109页例6）已知a = (4，2)，b = (6，y)，且a / b ，求 y 变式1：与向量

6、a = (12，5) 平行的单位向量为（ ）A BC 或 D 或正确答案：选C变式2：已知a，b，当a+2b与2ab共线时，值为 （ ）A1 B2 C D正确答案：选D变式3：已知A(0,3) 、B(2,0) 、C(1,3) 与方向相反的单位向量是( )A(0,1) B(0,1) C (1,1) D(1,1) 正确答案：选A 变式4：已知a = (1，0)，b = (2，1) 试问：当k为何实数时， kab与a+3b平行, 平行时它们是同向还是反向？ 解：因为 kab ，a+3b由已知得， 解得 ，此时，kab ，a+3b，二者方向相反2.（人教版第110页例8）设点P是线段上的一点，、的坐标

7、分别为，(1) 当点P是线段上的中点时，求点P的坐标；(2) 当点P是线段的一个三等分点时，求P的坐标变式1：已知两点，则P点坐标是 （ ）A B C D正确答案：选BOAPQBab变式2：如图，设点P、Q是线段AB的三等分点，若a，b，则 ， (用a、b表示)四、平面向量的数量积5（人教版第116页例3）已知|a|6，|b| 4且a与b的夹角为，求 (a + 2b)·(ab) 变式1：已知那么与夹角为A、 B、 C、 D、正确答案：选C变式2：已知向量a和b的夹角为60°，| a | 3，| b | 4，则（2a b）·a等于 （A）15 （B）12 （C）6

8、（D）3正确答案：选B变式3：在ABC中，已知|=4，|=1，SABC=，则·等于（ ）A.2B.2C.±2D.±4正确答案：选C变式4：设向量与向量的夹角为钝角，求实数t的取值范围. 解：，故，解之 另有，解之，2.（人教版第116页例4）已知|a|3，|b| 4且a与b不共线，k为何实数时，向量a + kb 与ab互相垂直？变式1：已知ab ，|a|2，|b| 3，且向量3a + 2b与kab互相垂直，则k的值为（ ）A B C D1正确答案：选B变式2：已知|a|1，|b| 且（ab）a，则a与b夹角的大小为 45º 解：2.（人教版第119页 第

9、11题）已知a = (4，2)，求与向量a 垂直的单位向量的坐标变式1：若i = (1,0), j =(0,1)，则与2i+3j垂直的向量是 ( )A3i+2j B2i+3j C3i+2j D2i3j正确答案：选C变式2：已知向量，若与垂直，则实数=（ ）A1B1C0D2 正确答案：选B变式3：若非零向量互相垂直，则下列各式中一定成立的是（ ）ABCD正确答案：选B变式4：已知向量a（3，4），b（2，x）， c（2，y）且ab，ac求|bc|的值解： ab， 3x80 x b（2， ） ac， 64y0 y c（2， ）而bc （2，）（2，）（0，）， |bc| （人教版第118页例5）已

10、知A (1，2)，B (2，3)，C (，5)，试判断的形状，并给出证明变式1：是所在的平面内的一点，且满足，则 一定为（ ）A正三角形 B等腰直角三角形 C直角三角形 D斜三角形正确答案：选C变式2：已知A、B、C三点不共线，O是ABC内的一点，若0，则O是ABC的（ ）A 重心 B 垂心 C 内心D 外心正确答案：选A变式3：已知，则ABC一定是（ ）A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D等腰直角三角形正确答案：选B变式4：四边形中， （1）若，试求与满足的关系式；（2）满足（1）的同时又有，求的值及四边形的面积。 解： （1） 则有 化简得： （2） 又 则 化简有： 联立解得 或 则四边形为对角线互相垂直的梯形当 此时当 此时 五、平面向量应用举例（人教版第121页 例1）题目意图：用平面向量的方法证明平面几何命题：平行四边形两条对角线的平方和等于其两条邻边的平方和的两倍变式1：如图，矩形ABCD内接于半径为r的圆O，点P是圆周上任意一点，求证：PA2+PB2+PC2+PD2=8r2. 证明： ， ， ， ， 以上各式相加可证变式2：已知ABC中，若，求证：ABC为正三角形. 证明：， ， 又， ，故 ， 知a=b， 同理可知b=c ， 故a=b=c ， 得证变式3：