复变函数留数ppt课件

1、第五章 留数一.孤立奇点的分类(一类特殊的奇点)二.留数(孤立奇点的数字特征)三.利用留数定理计算定积分留数的运用 留数定理计算复变函数积分的根本方法预备知识上解析，则在若Rzzzf 00)(nnnzzczf)()(0 处的罗朗展开式：在0zzf)( !nzzznzennnz2120 z111120 zzzzzznnn !)!()(sin5312153120zzznzznnn z !)!()(cos421214220zznzznnn znnnzznzfzfzzf)(!)()()()(0000 解析，泰勒级数：在若5.1 解析函数的孤立奇点点（不解析点）引例：求下列函数的奇)3)(1(3)()1

2、(2 zzzzf3, 121 zz1-3zzf sin1)()2( 为奇点，0 z也是奇点，, 211 kkz5.1.1 孤立奇点的定义及分类内解析，不解析，但在）在若 00zzzzf0 (.)(的一个孤立奇点为则称zfz0定义：0z,)(孤立奇点为若zfz0.)(上解析的去心邻域（圆环域）在则 000zzzzf上的罗朗展开式在 00zzzf)(nnzzc)(-n 0存在我们根据罗朗展式中负幂项的多少，对孤立奇点进展分类：,)()(负幂项中不含有可去奇点：若罗朗展式01zz .)(的可去奇点为我们称zfz0这时, f (z)= c0 + c1(z-z0) +.+ cn(z-z0)n +. 0|

3、z-z0|d ,那么在圆域|z-z0|d 内就有 f (z)=c0+c1(z-z0)+.+cn(z-z0)n +.,从而函数 f (z)在z0就成为解析的了.所以z0称为可去奇点.)(lim00czfzz 显然，00czf )(补充定义 42!51!311zz的可去奇点。为)(zfz0 zzzfsin)( ：例1内的罗朗级数为去心邻域在 zzzf00)()!51!31(1sin53 zzzzzz的奇点，是)(zfz0 孤立奇点。负幂项；限多个极点：罗朗级数中含有)()(02zz 假设在罗朗级数中只需有限多个假设在罗朗级数中只需有限多个z-z0z-z0的负幂项的负幂项, ,且其且其中关于中关于(

4、z-z0)-1(z-z0)-1的最高幂为的最高幂为 (z-z0)-m, (z-z0)-m, 即即f (z)=c-m(z-z0)-m+.+c-2(z-z0)-2+c-1(z-z0)-f (z)=c-m(z-z0)-m+.+c-2(z-z0)-2+c-1(z-z0)-1+c0+c1(z-z0)+. 1+c0+c1(z-z0)+. (m (m1, c-m1, c-m0),0),那么孤立奇点那么孤立奇点z0z0称为函数称为函数 f (z) f (z)的的m m阶极点阶极点. . 上式也可写成01( )( )()mf zg zzz， （ ） 其中 g (z) = c-m+ c-m+1(z-z0) + c

5、-m+2(z-z0)2 +. , 在 |z-z0|d 内是解析的函数, 且 g (z0) 0 . 反过来, 当任何一个函数 f (z) 能表示为(*)的方式, 且g(z)在 解析，g (z0) 0 时, 那么z0是 f (z)的m阶极点.0z假设z0为 f (z)的极点, 由(*)式, 就有0lim( ).zzf z 321122)()( zzzzf：例为孤立奇点。iz , 1)12()1(1)(23 zzzzf012112122 zzzzzz解析，且在的三阶极点。为)(zfz1 的一阶极点。为类似，)(zfiz 解：的几阶极点？是问题：zzcos12 3. 3. 本性奇点本性奇点 假设在罗朗

6、级数中含有无穷多假设在罗朗级数中含有无穷多z-z0z-z0的负幂的负幂项项, ,那么孤立奇点那么孤立奇点z0z0称为称为 f (z) f (z)的本性奇点的本性奇点. .为它的本性奇点以例如：111 zzzfsin)(上的罗朗展式为的去心邻域在因为 10111zzzsin1201112111 nnnznz)()!()(sin有无穷多负幂项。）。也不为不存在 ()(limzfzz0本性奇点为)(zfz0 1231112111311111nnznzz)()!()()(!)(!113 zezf)(：例nnzzne)1(1!1011 解: 奇点为1 z内对应的罗朗级数为的去心邻域在Rzzzf 101)

7、(.)(的本性奇点是zfz1 111limzze, 0lim111 zze或11的右侧趋向于沿实轴从点z11的左侧趋向于沿实轴从点z.)(的本性奇点是zfz1 极限不存在，且不为111zzelim综上所述:我们可以利用上述极限的不同情形来判别孤立奇点的类型.内解析，则在若函数Rzzzf 00)(定理5.1存在且有限的可去奇点为)(lim)(zfzfzzz00 )(lim)(zfzfzzz00的极点为 不存在且不为的本性奇点为)(lim)(zfzfzzz00例4 断定以下函数的孤立奇点的类型。zez11 )(为孤立奇点0 z)()(limlimzezezzzz1100 10 zzelim为可去奇

8、点。1 z洛比塔法那么42zzsin)(为孤立奇点0 z)()(sinlimsinlim4040zzzzzz 303zzzcoslim为极点。1 z5.1.2 零点与极点的关系定义5.1：的零点为解析函数则称，的邻域内解析，若在设)()()(zfzzfzzf0000 :阶零点m能表示成数若不恒等于零的解析函)(zf)1()()(0 mzzzzfm）， .)(,)()(阶零点的为则称解析且在其中mzfzzzz0000 例4： 多项式函数是最简单的解析函数。则重根的次多项式是若),()(nmmzPnzn 0)()()(zQzzzPmnmn 0次多项式，是一个)()(n-mzQmn ,)(000 z

9、Qzmn解析，且在所以，问题：0 zzzzfsin)( 零点的阶数？阶零点。的是mzPzn)(0处的泰勒级数为在0zzf)()()()(zzzzfm0 即 )()(00zfzf, 0)(0) 1( zfm. 0)(00)( azfm阶零点的是mzfz)(0充要条件）推论( )()(00zfzf, 0)(0)1( zfm. 0)(0)( zfm证明：阶零点的是若mzfz)(0反之,!)(nzfcnn0（泰勒级数的系数） , 0110 mccc, 0 mc 1010)()()(mmmmzzczzczf)()(010 zzcczzmmm)()(,)( 0100zzaazzz泰勒级数：处解析在 202

10、10100mmmzzazzazzazf)()()()()()(zgzzm0 000 mczgzzgzg)()()(解析，在为对应的和函数，在原点的性质：考察函数例zzzfsin)( 5解：解析在0 zzf)(00 )(fzzfcos)( 1zzfsin)( zzfcos)( 00 )( f00 )(f010 )( f的三阶零点。是所以，)(zfz0 零点与极点间的关系？ )()()(0zzzzfm )(1)()(10zzzzfm )()(10zgzzm 。解析，且在000 )()(zgzzg阶零点的是mzfz)(0.)(阶极点的是mzfz10定理5.3这个定理为判别函数的极点提供了一个较为简单

11、的方法.例6。的孤立奇点并指出类型求函数zzfcos)(1 解：这些点是的点的奇点是满足,cos)(0 zzf),(102 kkzk0 kkzzzzzzsin)(cos因为的一阶零点是所以，zzkcos的一阶极点。是zzkcos1阶零点阶与为）分别以与设例nmazzz ()( 7 azzzzz )()() )()(在、）问21有何性质？可设解)()(1zazzm ）)()(1zazzn ）.)() )(),(01111 aaazzz（解析，在其中),()()()()(111zzazzznm ）)()()()()() 211zzazzznm .)()(阶零点的nmzz 为az 阶零点，的为时，当

12、)()()(nmzzaznm 阶极点，的为时，当)()()(mnzzaznm .)()(的可去奇点为时，当zzaznm 阶极点的判定：m1定义内的罗朗级数的去心邻域在计算 000zzzzf)(m负幂项次数最高为若其中含有负幂项，且)()()()(zgzzzfm012 若。解析，且在其中，000 )()(zgzzg3根据零点与极点间的关系，定理5.3，定理5.2的推论(4) 例7的结论阶零点，的为时，当)()()(nmzzaznm 阶极点，的为时，当)()()(mnzzaznm .)()(的可去奇点为时，当zzaznm 则阶零点阶与）的与分别是若, ()( nmzzaz 数。如果是极点，指出其阶

13、下列函数有什么奇点？例821)()1zezfz 解奇点为. 0 z0)1( , 01(00 zzzzee）, 0)( , 0)(020202 zzzzzz的一级零点，是10 zez.)(的一级极点是zfz0 或21)(zezfz ,)!2(110nnznz .)(的一级极点是zfz0 内的洛朗级数的去心邻域在100 zzzf)(的二级零点，是20zz ),(nm 217见例定义)!(1102 nnnzz32zzz sin) !753142zz.为可去奇点0 z或0)(sin, 0)(sin, 0)(sin, 0)(sin0)3(000 zzzzzzzzzzzz的三级零点。是)(sinzzz 0

14、的三级零点。是30zz .为可去奇点0 z解：奇点为0 z朗级数为：的去心邻域内对应的罗函数在0 z3zzz sin3012121zznznnn )!()(),(nm 37见例332213)(sin)()zzzzf ）0sinz, 2, 1, 0kznz0 kzzz)(sin又的三级零点，是3)(sin zzzk 的一级零点是112 zz的三级零点，）是（322 zz的二级极点，是)(zfz1 是可去奇点，2 z， 43, 2, 0z.)( 的三级极点是zf解:奇点的一级零点是32211)( zzz的三级零点，）（是32212 zzz)(),(nm 317见例),(nm 37见例),(nm 3

15、07见例的定义及分类孤立奇点 315 .间隔原点无限远的点，统称为无穷远点 ，记作 由于函数在无穷远点没有定义，所以无穷远点总是一个奇点。我们关怀的是，在怎样的情况下，构成孤立奇点？定义： )()( 的为内解析，则称在若zfzRzf 定义：孤立奇点。无穷远点的去心邻域则的孤立奇点为若,)(zf 上的罗朗展式存在在 zRzf)(nnnzczf )(zw1 令)()(wfzf1 )(w z0 w nnnwcw)( zRRw10 上的罗朗展式在Rww10 )(定义5.2如果阶极点或本性奇点的可去奇点、为称,)(mzfz 阶极点或本性奇点的可去奇点、是相应地mww)(0 nnnzczf )( nnnw

16、cw)()的负幂项（无为可去奇点ww0 )的正幂项（无为可去奇点zz )的有限多负幂项（含有为极点ww0 )的有限多正幂项（含有为极点zz )的无限多负幂项（含有为本性奇点ww0 )的无限多正幂项（含有为本性奇点zz0 的类型。多少判定上罗朗展式中正幂项的在根据 zRzf)(例:断定以下函数在 处奇点的类型 zzz114sin),zw1 解：令wwzzsinsin4411 的三阶极点，是wwwsin410 的一阶零点是wwsin0 的四阶零点是40ww 为三阶极点。 z或上的罗朗展式在 zRzz14sinzz14sin120411211 nnnznz)!()()!( 5341511311zzzz zzz15133!由于含有有限多正幂项，且最高次数为三次，为三阶极点。 z125 zz),zw1 解：令455111111wwwwzz)()( 的四阶极点是411