2020-2021学年北师大版必修1第二章2.3映射学案

1、2. 3 映射预习素目新学生用书 P26)新知提炼1.映射映射的含义两个非空集合 A 与 B 间存在着对应关系 f,而且对于 A 中的每一个元素 x, B 中总有唯 二的一个元素 y 与它对应，就称这种对应为从A 到 B 的映射，记作 f:ATB.(2)像与原像的概念在映射f:ATB 中，A 中的元素 x 称为原像,B 中的对应元素 y 称为 x 的像，记作 f：XTy.(3)映射 f：ATB 的概念一一映射是一种特殊的映射，它满足：1A 中每一个元素在 B 中都有唯一的像与之对应.2A 中的不同元素的像也不同.3B 中的每二个元素都有原像.一一映射也叫作一一对应.2.函数与映射的关系映射 f

2、: ATB,其中 A B 是两个“非空集合”，而函数 y= f(x), x A 为“非空数集”，其值域也是非空数集于是，函数是数集到数集的映射.由此可知，映射是函数的推广，函数是一种特殊的映射.自我尝试尸1判断正误(正确的打“V”，错误的打“X”)(1)函数一定是映射，映射一定是函数.()(2)无论是映射还是函数，均要求涉及的集合为非空集合.()对于映射 f： ATB，像组成的集合为集合 B 的子集；对于一一映射 f：ATB, 的集合与集合 B 相等.(答案：(1)X(2)V2.已知集合 A= a,)XVb，集合 B = 0 , 1，下列对应不是 A 到 B 的映射的是(像组成)答案：C3.设

3、 f：XTx2是集合 M 到集合 N 的映射，若 N= 1 , 2，则 M 不可能是(A . - 1C. 1 , .2, 2 解析：选 C.若 x= 2,B.- 0, B= R，对应关系 f: y2= x, x A, y B.(4) A = xx2 , B = y|y= x2 4x+ 3, x R, f: y= x 3, x A, y B.【解】(1)是映射，且是函数，但不是一一映射，因为 A 中的任何一个元素，在 B 中 都能找到唯一的元素与之对应 ，又 A、B 均为非空数集，所以此映射是函数，因为 x 以及 x 的相反数在 B 中的对应元素相同，所以不是一一映射.不是从集合 A 到集合 B

4、 的映射，更不是函数或者一一映射因为A 中的元素 0,在集合 B 中没有对应的元素.(3)不是从集合 A 到集合 B 的映射，更不是函数或者一一映射，因为任何正数的平方根 都有两个值，即集合 A 中的任何元素，在集合 B 中都有两个元素与之对应.当 x2 时，x 3 1,而 y= x2 4x+ 3= (x 2)2 1 1,因而能构成映射，且是 函数，并且 B 中每一个元素在 A 中都有唯一的一个原像，所以又是一一映射.1 两个集合之间只有一对一，多对一才是映射，其中一对一为-映射.2 并非所有映射都是函数，只有集合 A、B 都是非空数集时，映射才是函数.Y 齡眯:泗谨 1.(1)已知集合 A=

5、 0 , 4, B= 0 , 2,按对应关系 f 不能构成从 A 至 U B 的映射的是()1A . f:XTy=B.f:XTy=x2C.f:XTy=xD.f:XTy=|x2|x(2)已知 A= 1 , 2, 3，9 , B= R，从集合 A 到集合 B 的映射 f:XT-. I1与A中元素 1 相对应的 B 中的元素是什么？2与 B 中元素 4 相对应的 A 中的元素是什么？解：(1)选 B.因为在对应关系 f:XTy = x 2 的作用下，A 中元素 0 的对应元素为一 2, 但-2 不在集合 B 中，故按此对应关系不能构成从A 到 B 的映射.探究x11一A 中元素 1,即 x= 1,代

6、入对应关系得=-,即与 A 中元素 1 相对2x+12X1+131应的 B 中的元素是 34x44B 中元素 4，即才=4，解得 x= 4,因此与 B 中元素 4 相对应的 A 中的元素是 4.92x+ 1 99:；1兀 hl? 像与原像的求解学生用书 P27鋤 2已知映射 f: ATB 中，A = B = (x, y)|x R, y R, f： (x, y)(2x 3y+ 1 ,4x+ 3y+ 1).(1) 求 A 中元素(1 , 2)的像；(2) 求 B 中元素(1 , 2)的原像.【解】(1)当 x= 1, y= 2 时，2x 3y+ 1 = 3, 4x + 3y+1 = 11, 故 A

7、 中元素(1, 2)的像为(一 3, 11).2x 3y+ 1 = 1,令 4x+ 3y+ 1 = 2,得1 1故 B 中兀素(1 , 2)的原像是-,-.69x= 2 ,所以即原像为(2 , 1).y=1,选 C.当 x3= 0 时，x= 0 , 当 x2= 1 时 x= 1 , 当 x2= 4 时 x= 2 , 所以 A 中元素最多有 5 个.3 对于 A 中元素求像只需将原像代入对应关系即可；对于 B 中元素求原像可先设出原像然后利用对应关系列出方程组求解.Y 瑟踢创軽 2.(1)点(x , y)在映射 f:ATB 作用下的像是(x+ y , x y),则点(3 , 1)在 f 作用下的

8、原像是()A . (2 ,1)B . (4 , 2)C.(1,2)D. (4 , 2)已知 f:XTx1 2是集合 A 到集合 B = 0, 1, 4的一个映射贝 U 集合A 中的元素个数最多有()A. 3 个C. 5 个解析：(1)选 A.由题意知x+y=3,xy=1,x= 61素养提升_ 规范解答映射的综合应用_疑些 J （本题满分 12 分）已知映射 f:ATB 中，A= B= （x, y）|x R , y R, f: 元素（x，y）对应到 B 中的元素（3x 2y+ 1, 4x+ 3y 1）.（1）是否存在这样的元素（a, b）,它的像仍是自己？若存在，求出这个元素；若不存在, 说明理

9、由；（2）判断这个映射是不是一一映射.【解】（1）假设存在元素（a, b）,它的像仍是（a, b）.3a 2b + 1 = a,由（3 分）4a + 3b 1 = b,a = 0,得 1（5 分）b = 2.一 1所以存在兀素 0,1使它的像仍是自己.（6 分）（2）由题知对任意的（a, b）（a R, b R）,3x 2y + 1 = a,方程组有唯一解，（8 分）4x + 3y 1 = b这说明 B 中任意元素（a, b）在 A 中有唯一的原像，（10 分）所以映射 f: ATB 是A到 B 的一一映射.（12 分）（1）根据像仍是本身列方程组，处易出现不会用数学式子表达而列不出方程组的情

10、况 这是解题关键点也是失分点；（2）处易出现对一一映射不理解而无法判断，造成失分；（3）理解像、原像及一一映射的概念是关键点.当堂检测1.下列对应中，是映射的个数为（）A 中的A . 0B. 1C. 2D. 3解析：选 C.由映射的定义知，为映射；中 M 中的元素 b 没有像，不是映射； 对，M中的元素 c 在 P 中有两个元素与之对应，不符合映射的定义，故选 C.2._如果(x, y)在映射 f 作用下的像是(x + y, x y),则(1, 2)的像是_.x= 1,解析：由得 x+ y= 3, x y= 1,y=2所以(1 , 2)的像是(3, 1).答案：(3, 1)3下列集合 A 到集

11、合 B 的映射 f 不是函数的有 _.A= 1, 0, 1, B = 1, 0, 1, f: A 中的数平方；2A= 0,1 , B= 1, 0, 1, f: A 中的数开方；3A= N , B= Q , f: A 中的数取倒数.解析：当 x A 时，y= x2 B,是函数，当 x= 1, y= 1,不是函数，当 x= 0 时，像不存在.答案：学生用书 P105(单独成册)A基础达标解析：选 D.A、B 中原像集合中的元素 2 无像；C 中原像集合中元素 1 有两个元素与之 对应，所1.下列各个对应关系中，能构成映射的是()以 A、B、C 均不符合映射的定义，故选 D.2.若 A 为含三个元素

12、的数集，B= 1, 3, 5，使得 f: Xi2x 1 是从 A 到 B 的映射， 则 A等于()A . 1, 2, 3B. 1, 0, 2C. 0 , 2, 3D. 0 , 1 , 2解析：选 C.由映射的概念，A 中的元素在关系 xi2x 1 下，成为一 1 , 3, 5,则 A = 0 , 2, 3.7. 已知从 A 到 B 的映射是XT2x+ 1,从 B 到 C 的映射是 yT孑孑一 1,其中 A , B , C? R ,则从 A 到 C 的映射是_.解析：设 x A , y B , z C ,则 y= 2x+ 1 , z=1,1 1 1所以 z= 1(2x+ 1) 1 = x 2.所

13、以从 A 到 C 的映射是 XTx -.1答案：XTx1&设 M = a , b, N= 2 , 0 , 2,则从 M 到 N 的映射中满足 f(a)f(b)的映射 f 的 个数为 .解析：当 f(a) f(b)时有三种：f(a) = 0 , f(b) = 2;f(a) = 2 , f(b) = 0;f(a) = 2 , f(b) = 2.当 f(a) = f(b)时，有 f(a)= f(b) = 0 , 2, 2,共 3 种可能.综上所述,满足条件 f(a) f(b)的映射有 6 个.答案：69设集合 P= Q= (x , y)|x ,y R,从集合 P 到集合 Q 的映射为 f:

14、(x , y)T(x+ y , xy) 求 (1)集合 Q 中与集合 P 中元素(3 , 2)对应的元素；3.F 列对应是集合M= N= R, f:M = N= R , fC. M = N= R , fM 到集合 N 的一一映射的是()1XTy= -，x M, y Nx XTy=x2,xM,yN1D.解析：选 D.A 中集合 M 的元素 0 ,在 N 中没有元素与之对应，所以这个对应不是映射；B 中集合 M 的元素 ,在 f 下的像都是 1 ,故这个对应不是-映射； C 中，负实数及 0 在f 下没有元素和它对应，故这个对应不是映射，故选 D.4.设集合 A = a, b , B= 0, 1,

15、则从 A 到 B 的映射共有（）A. 2 个C. 4 个 解析：选 C.如图.M= N= R, f:5.已知 a, b 为实数，集合 M = x 映射到集合 N 中仍为 x,A.1C. 1解析: 选 Ca = 1,所以 ba =0,a,1,N=a,0, a贝 U a+ b 的值为(B.D.因为 f:XTx,所以 M = N.（时f: XTx 表示把集合 M 中的元素6. 在映射 f: ATB 中，集合 A= B = （x ,B 中的元素（一 1 , 3）在集合 A 中的原像为 _xy=1,解析：由题意得x+ y= 3 ,答案：（1, 2）所以y)|x, y R，且 f: (x, y)(xy,

16、x+ y)，则x=1,即原像为(1 , 2).y=2,n解得a=1,所以 a+ b = 1.b= 0.集合 P 中与集合 Q 中元素(3, 2)对应的元素.解：(1)由 3+ 2 = 5, 3X2= 6 可得到集合 Q 中与集合 P 中元素(3, 2)对应的元素为(5, 6).(2)设集合 P 中与集合 Q 中元素(3, 2)对应的元素为(x, y),x+ y = 3,x = 2,x= 1,则解得或xy= 2,y = 1y= 2.所以集合 P 中与集合 Q 中元素(3, 2)对应的元素为(2, 1)或(1, 2).10. 若 A=a, b, c, B = 1 , 2，从集合 A 到集合 B 可

17、以建立多少个不同的映射？ 从集合 B到集合 A 呢？(2)已知集合 A = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , B= 1 , - 2，设映射 f:B,如果 B 中的元素都是 A 中的元素在 f 下的像，这样的映射有几个？解：(1)A= a , b , c , B= 1 , 2,则从 A 到 B 的映射共有：23= 8 个.反过来从 B 到 A 的映射共有：32= 9 个.(2)由题意知，从集合 A 到集合 B 的映射总个数是 25= 32 个，因为 B 中的元素都是 A 中 的元素在 f 下的像，所以要除去 A 中 1 , 2 , 3 , 4 , 5 都对应一 1 和 1 , 2 , 3

18、, 4 , 5 都对应一 2 这两个，故满足题意的映射共有 32 2= 30 个.B 能力提升11. 若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么函数解析式为y= 2x2+ 1，值域为5, 1 , 19的“孪生函数”共有()A . 4 个B . 6 个C. 8 个D . 9 个解析：选 D.当 2x2+ 1 = 5 时，x= 2,当 2x2+ 1 = 1 时，x= 0,当 2x2+ 1 = 19 时，x= 3,定义域中含 3 个元素时有 4 种，定义域中含 4 个元素时有 4 种，定义域中含 5 个元素时有 1 种.综上，“孪生函数”共有 4+ 4+ 1 = 9 个.12. 若 A = a, b, c, B = 1 , 2，从 A 到 B 建立映射 f,使 f(a) + f(b) + f(c) = 4,则满足条件的映射个数是 _ .解析：由题意知 a、b、c 中有两个像为 1，一个像为 2，所以这样的映射有 3 个.答案：313.已知：集合 A=x| 2 xw2, B = x| 1 x 1.对应关系 f:y= ax若在 f的作用下能够建立从 A 到 B 的映射 f: ATB,求实数 a 的取值范围.解：当 a0 时，由2wxw2 得2awaxw2a.若能够建立从 A 到 B 的映射，则2a, 2a?