1995考研数四真题及解析

1、 Born to win1995年全国硕士研究生入学统一考试数学四试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)(1) 设,则常数 .(2) 设,可导,则 .(3) 设,则 .(4) 设,是的伴随矩阵,则 .(5) 设是一个随机变量,其概率密度为则方差 .二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)(1) 设为可导函数,且满足条件,则曲线在点处的切线斜率为 ( )(A) (B) (C) (D) (2) 下列广义积分发散的是 ( )(A) (B) (C) (D) (3) 设维行向量,矩阵,其中为阶单位矩阵,则等于 ( )(A) (B) (C) (D) (4) 设矩阵的秩为,为阶

2、单位矩阵,下述结论中正确的是 ( )(A) 的任意个列向量必线性无关(B) 的任意一个阶子式不等于零 (C) 通过初等行变换,必可以化为的形式(D) 非齐次线性方程组一定有无穷多组解(5) 设随即变量服从正态分布,则随的增大,概率 ( )(A) 单调增大 (B) 单调减少 (C) 保持不变 (D) 增减不定三、(本题满分6分)设,试讨论在处的连续性和可导性.四、(本题满分6分)求不定积分.五、(本题满分7分)设、在区间()上连续,为偶函数,且满足条件(为常数).(1) 证明；(2) 利用(1)的结论计算定积分.六、(本题满分6分)设某产品的需求函数为,收益函数为,其中为产品价格,为需求量(产品

3、的产量),为单调减函数.如果当价格为,对应产量为时,边际收益,收益对价格的边际效应,需求对价格的弹性.求和.七、(本题满分5分)设在区间上连续,在内可导.证明：在内至少存在一点,使.八、(本题满分9分)求二元函数在由直线、轴和轴所围成的闭区域上的极值、最大值与最小值.九、(本题满分8分)对于线性方程组讨论取何值时,方程组无解、有惟一解和有无穷多组解.在方程组有无穷多组解时,试用其导出组的基础解系表示全部解.十、(本题满分8分)设三阶矩阵满足,其中列向量,.试求矩阵.十一、(本题满分8分)假设一厂家生产的每台仪器,以概率0.70可以直接出厂；以概率0.30需进一步调试,经调试后以概率0.80可以

4、出厂；以概率0.20定为不合格品不能出厂.现该厂新生产了台仪器(假设各台仪器的生产过程相互独立).求： (1) 全部能出厂的概率；(2) 其中恰好有两台不能出厂的概率； (3) 其中至少有两台不能出厂的概率.十二、(本题满分7分)假设随机变量服从参数为2的指数分布.证明：在区间上服从均匀分布.1995年全国硕士研究生入学统一考试数学四试题解析一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)(1)【答案】2【解析】等式左端是型未定式求极限,等式右端是求一个定积分,可以用分部积分法求得. .由题设有,解得.【相关知识点】分部积分公式：假定与均具有连续的导函数,则 或者 (2)【答案】【解析】根

5、据复合函数求导法则,可得,.所以 .【相关知识点】复合函数求导法则：的导数为.(3)【答案】【解析】在中令,则,从而.(4)【答案】【解析】由,有,故.而 ,所以 .(5)【答案】【解析】 ,.【相关知识点】连续型随机变量的数学期望和方差的定义：.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)(1)【答案】(D)【解析】因 所以应选(D).(2)【答案】(A)【解析】由计算知,且泊松积分,故应选(A).注：对于本题选项(A),由于当时,故在积分区间中是瑕点,反常积分应分解为两个反常积分之和:,而且收敛的充要条件是两个反常积分与都收敛.由于广义积分 ,即发散,故发散. 在此不可误以为是奇函

6、数,于是,从而得出它是收敛的错误结论.(3)【答案】(C)【解析】利用矩阵乘法的分配律、结合律,有 .由于 ,所以.故应选(C).(4)【答案】(D)【解析】表示中有个列向量线性无关.有阶子式不等于零,并不是任意的,因此(A)、(B)均不正确.经初等变换可把化成标准形,一般应当既有初等行变换也有初等列变换,只有一种不一定能化为标准形.例如,只用初等行变换就不能化成的形式,故(C)不正确.关于(D),因为为矩阵,且,故增广矩阵的秩必为,那么,所以方程组必有无穷多组解,故选 (D).(5)【答案】(C)【解析】由于将此正态分布标准化,故,计算看出概率的值与大小无关.所以本题应选(C).三、(本题满

7、分6分)【解析】这是一道讨论分段函数在分界点处的连续性和可导性的问题.一般要用连续性与可导性的定义并借助函数在分界点处的左极限与右极限以及左导数和右导数.,故,即在处连续.即,故在处可导,且.四、(本题满分6分)【解析】当被积函数仅仅为反三角函数时,这种积分肯定要用分部积分法.方法一： 方法二：令,则五、(本题满分7分)【解析】(1)由要证的结论可知,应将左端积分化成上的积分,即,再将作适当的变量代换化为在上的定积分.方法一：由于 ,在中令,则由,得,且,所以 .方法二：在中令,则由,得,且 .所以 (2)令,可以验证和符合(1)中条件,从而可以用(1)中结果计算题目中的定积分.方法一：取,.

8、由于满足,故 .令,得,即.于是有 .方法二：取,于是.(这里利用了对任何,有)以下同方法一.六、(本题满分6分)【解析】本题的关键在于和之间存在函数关系,因此既可看作的函数,也可看作的函数,由此分别求出及,并将它们与弹性联系起来,进而求得问题的解.由是单调减函数知,从而需求对价格的弹性,这表明题设应理解为.又由是单调减函数知存在反函数且.由收益对求导,有,从而 ,得.由收益对求导,有,从而 ,于是.七、(本题满分5分)【解析】由于本题中要证的结论中出现了,所以应考虑辅助函数.因为.令,则在上连续,在内可导,满足拉格朗日中值定理条件,从而在内至少存在一点,使,即 .八、(本题满分9分)【解析】

9、首先在区域内求驻点.令在内仅有唯一驻点.在点处,有于是,因此点是极大值点,且极大值.在的边界和上,.在的边界上,把代入可得.由于所以点是这段边界上的最小值点,最小值.综合以上讨论知在的边界上的最大值是,最小值是.比较内驻点的函数值和在的边界上的最大值和最小值可得在上的最大值和最小值分别是,.【相关知识点】1.驻点：凡是能使,同时成立的点称为函数的驻点.具有偏导数的函数的极值点必定是驻点.但函数的驻点不一定是极值点.例如,点是函数的驻点,但函数在该点并无极值.2.判定一个驻点是否是极值点的定理：定理：设函数在点的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数,又,令,则在处是否取得极值的条件如下：(1)

10、时具有极值,且当时有极大值,当时有极小值；(2) 时没有极值；(3) 时可能有极值,也可能没有极值,还需另作讨论.3.具有二阶连续偏导数的函数的极值的求法如下：第一步：解方程组,求得一切实数解,即可求得一切驻点.第二步：对于每一个驻点,求出二阶偏导数的值、和.第三步：定出的符号,按上述定理的结论判定是不是极值、是最大值还是最小值.九、(本题满分8分)【解析】对增广矩阵作初等行变换,有当且时,方程组有唯一解.当时,方程组无解.当时,方程组有无穷多组解.其同解方程组为：.令,得到特解.令及得到导出组的基础解系因此,方程组的通解是其中是任意常数.十、(本题满分8分)【解析】由知是矩阵的不同特征值的特征向量,它们线性无关.利用分块矩阵,有由线性无关,知矩阵可逆,故而 故 十一、(本题满分8分)【解析】对于新生产的每台仪器,设事件表示“仪器需要进一步调试”,表示“仪器能出厂”,则“仪器能直接出厂”,“仪器经调试后能出厂”.且,与互不相容,应用加法公式与乘法公式,且由条件概率公式,有 .设为所生产的台仪器中能出厂的台数,则服从二项分布.由二项分布的概率计算公式,可得所求概率为(1) ；(2) (3) 【相关知识点】二项分布的概率计算公式：若,则, .十二、(本题满分7分)【解析】要证明在区间上服从均匀分布,只需证明随机变量的概率密度