数学概念,命题的教学PPT精选文档

1、1一一 数学概念及其教学数学概念及其教学二二 数学命题及其教学数学命题及其教学三三 数学推理、证明及其教学数学推理、证明及其教学2数学概念概述数学概念概述数学概念学习的心理分析数学概念学习的心理分析数学概念教学的基本要求和教法数学概念教学的基本要求和教法探讨探讨3数学概念概述数学概念概述 反映数学对象本质属性的思维形式叫做“数学概念”。 “属性”与“本质属性” ；概念及其名称和符号 （1）从现实模型直接得来； （2）经过多级抽象概括得来； （3）从数学内部需要产生出来；4 概念的概念的内涵内涵亦称内包，指概念所反映的对象的亦称内包，指概念所反映的对象的特有特有属性、本质属性属性、本质属性。 概

2、念的概念的外延外延亦称外包，指概念所反映的对象的亦称外包，指概念所反映的对象的总和总和。 例：例：“ABCABC的顶点的顶点” 内涵内涵是指点的性质和其中任一点同在这个三角形是指点的性质和其中任一点同在这个三角形两边之上这个性质；两边之上这个性质； 外延外延是指是指 A A、B B、C C三点的集合。三点的集合。注：注：（1 1）数学概念的内涵和外延是在一定的数学科学数学概念的内涵和外延是在一定的数学科学体系中来认识的。例如，体系中来认识的。例如，角角的概念在平面几何中和的概念在平面几何中和在平面三角中的内涵和外延均不同。在平面三角中的内涵和外延均不同。 （2 2）概念的内涵和外延是发展的）概

3、念的内涵和外延是发展的5概念间的关系（概念外延间的同异关系）概念间的关系（概念外延间的同异关系）1、相容关系、相容关系（1）同一关系（全同关系或重合关系）同一关系（全同关系或重合关系） 外延完全重合，内涵可以不同。外延完全重合，内涵可以不同。 例如例如：数数0是扩大的自然数集中最小的数，又是正数是扩大的自然数集中最小的数，又是正数 与负数的分界数，在数的运算中它又是两个相等数与负数的分界数，在数的运算中它又是两个相等数 的差等；的差等； 等腰三角形底边上的高线、中线以及顶角的平分线等腰三角形底边上的高线、中线以及顶角的平分线 的外延都是同一条线段，而内涵也各不相同。的外延都是同一条线段，而内涵

4、也各不相同。 注注：研究概念间的同一关系，可以对概念所反映的对：研究概念间的同一关系，可以对概念所反映的对 象得到较深刻、较全面的认识。另外，在推理证明中象得到较深刻、较全面的认识。另外，在推理证明中 具有全同关系的概念可以互相代换，使得论证简明。具有全同关系的概念可以互相代换，使得论证简明。)(BA6 如果甲概念的外延如果甲概念的外延 真包含真包含乙概念的外延乙概念的外延 ，如，如下图所示，那么，这两个概念具有下图所示，那么，这两个概念具有从属关系从属关系。其中，外延较其中，外延较大大的那个概念叫做的那个概念叫做属概念属概念，外延，外延较较小小的那个概念叫做的那个概念叫做种概念种概念。这两个

5、概念的外。这两个概念的外延延 和和 的关系可以写成的关系可以写成BAABABBA注：内涵和外延的注：内涵和外延的反比反比关系关系正方形内涵正方形内涵 矩形内涵矩形内涵 平行四边形内涵平行四边形内涵 四边形内涵四边形内涵正方形外延正方形外延 矩形外延矩形外延 平行四边形外延平行四边形外延四边形外延四边形外延7 如果两个概念的外延有且只有部分重合，如果两个概念的外延有且只有部分重合，那么这两个概念具有那么这两个概念具有交叉关系交叉关系或者叫做部分或者叫做部分重合关系，如下图。用集合符号表示概念的重合关系，如下图。用集合符号表示概念的交叉关系，可设两个概念的外延分别是集合交叉关系，可设两个概念的外延

6、分别是集合 和集合和集合 ，如果，如果 是非空集合而且不是非空集合而且不是是 ，那么这两个概念具有，那么这两个概念具有交叉交叉关系。关系。ABBABA或AB8 如果两个概念的外延间没有任何一部分重合如果两个概念的外延间没有任何一部分重合的关系，那么这两个概念具有的关系，那么这两个概念具有全异关系全异关系，这，这种关系又叫做种关系又叫做“拳异关系拳异关系”或或“排斥关系排斥关系”。 全异关系又分为全异关系又分为反对关系反对关系和和矛盾关系矛盾关系。AB矛盾关系AB反对关系CBABACBABA9 把概念的内涵用语言表达出来，就是给概念下定义。把概念的内涵用语言表达出来，就是给概念下定义。原始概念原

7、始概念 点、线、面、空间、集合、元素、对应等。点、线、面、空间、集合、元素、对应等。数学中常用的几种定义方式数学中常用的几种定义方式（1）属概念属概念加加种差种差的定义方式的定义方式 四边形四边形+两组对边分别平行两组对边分别平行=平行四边形平行四边形（2）发生发生定义方式定义方式 在平面上，射线绕它的端点旋转所成的图形叫做在平面上，射线绕它的端点旋转所成的图形叫做角。角。10（3）揭示）揭示外延外延的定义方式的定义方式 整数和分数统称为有理数。整数和分数统称为有理数。（4）约定式定义）约定式定义 我们规定我们规定“ ” 。(5)关系定义：有的种差是被定义概念所反关系定义：有的种差是被定义概念

8、所反映的对象与另一对象之间关系，或它与另映的对象与另一对象之间关系，或它与另一对象对第三者的关系。如：偶数就是被一对象对第三者的关系。如：偶数就是被2整除的整数。整除的整数。)0( 10aa11下定义的基本要求下定义的基本要求 （1）定义应当相称）定义应当相称 无理数：有理数开不尽的方根。无理数：有理数开不尽的方根。 平行线：两条不相交的直线。平行线：两条不相交的直线。 （2）定义不能恶性循环（直线垂直和直角）定义不能恶性循环（直线垂直和直角） （3）定义）定义一般一般不用否定形式不用否定形式 不是有理数的数是无理数。不是有理数的数是无理数。 （4）定义应当简明）定义应当简明 两组对边平行的平

9、面四边形是两组对边平行的平面四边形是平行四边形平行四边形。 四个角都是直角的平行四边形叫做四个角都是直角的平行四边形叫做矩形矩形。 （5）定义一般不用比喻说法）定义一般不用比喻说法12概念的划分和分类概念的划分和分类 把一个属概念分为若干个不相容种概念的逻辑把一个属概念分为若干个不相容种概念的逻辑方法叫做概念的划分。方法叫做概念的划分。 概念的分类是划分的特殊形式，是根据概念所概念的分类是划分的特殊形式，是根据概念所反映对象的本质属性或特征所进行的划分。反映对象的本质属性或特征所进行的划分。概念分类的要求：概念分类的要求：i）所分成的种概念之间应是全异关系，）所分成的种概念之间应是全异关系，

10、ii）分类应是相称的）分类应是相称的 iii）每次分类都应按照同一个根据进行）每次分类都应按照同一个根据进行iv）分类不应越级）分类不应越级13概念的划分和分类概念的划分和分类（3）二分法）二分法二分法是一种常用的分类方法，是把一个概二分法是一种常用的分类方法，是把一个概念的外延中具有某个属性的对象作为一类，念的外延中具有某个属性的对象作为一类，把不具有这个属性的对象作为另一类换言把不具有这个属性的对象作为另一类换言之，是把属概念分成两个矛盾的种概念之，是把属概念分成两个矛盾的种概念14概念学习的基本形式概念学习的基本形式1.概念的概念的形成形成 概念形成就是让学生从大量同类事物的不同例证中概

11、念形成就是让学生从大量同类事物的不同例证中独立发现同类事物的本质属性，从而形成概念。因独立发现同类事物的本质属性，从而形成概念。因此，数学概念的形成实质上是抽象出数学对象的共此，数学概念的形成实质上是抽象出数学对象的共同本质特征的过程。可概括如下：同本质特征的过程。可概括如下：（1）辨别辨别各种刺激模式，通过比较，在知觉水平上各种刺激模式，通过比较，在知觉水平上进行分析、辨认，根据事物的外部特征进行概括。进行分析、辨认，根据事物的外部特征进行概括。15（2）分化分化出各种刺激模式的属性。出各种刺激模式的属性。（3）抽象抽象出各个刺激模式的共同属性。出各个刺激模式的共同属性。（4）在特定的情境中

12、检验假设，）在特定的情境中检验假设，确认确认关键属性。关键属性。（5）概括概括，形成概念。，形成概念。（6）把新概念的共同关键属性）把新概念的共同关键属性推广推广到同类事物中到同类事物中去。去。（7）用习惯的形式）用习惯的形式符号表示符号表示新概念。新概念。16“函数函数”概念的形成过程：概念的形成过程：1、观察实例，写出变量间的关系表达式：、观察实例，写出变量间的关系表达式：（1）以每小时）以每小时80千米的速度匀速行使的汽车，所驶千米的速度匀速行使的汽车，所驶过的路程和时间过的路程和时间（2）由某一天气温变化的曲线所揭示的气温和时刻）由某一天气温变化的曲线所揭示的气温和时刻（3）用表格给出

13、的某水库的贮水量与水深。）用表格给出的某水库的贮水量与水深。2、找出上例中两变量之间关系的共同本质、找出上例中两变量之间关系的共同本质3、辨别正反例，找出本质属性（一一对应）、辨别正反例，找出本质属性（一一对应）4、概括出函数定义、概括出函数定义5、练习巩固成形、练习巩固成形172.2.概念的概念的同化同化 概念同化的学习形式是利用学生认知结构中的原有概念同化的学习形式是利用学生认知结构中的原有概念，以定义的方式直接向学生揭示概念的本质属概念，以定义的方式直接向学生揭示概念的本质属性。性。 由奥苏伯尔的有意义接受学习理论可知，要使学生由奥苏伯尔的有意义接受学习理论可知，要使学生有意义地同化新概

14、念，必须：有意义地同化新概念，必须： 第一第一，新概念具有，新概念具有逻辑意义逻辑意义；第二第二，学生的认知结，学生的认知结构中构中具备具备同化新概念的同化新概念的适当知识适当知识；第三第三，学生，学生积极积极主动主动地使这种具有潜在意义的新概念与他认知结构地使这种具有潜在意义的新概念与他认知结构中的有关观念发生中的有关观念发生相互作用相互作用，改造旧知识，使新概，改造旧知识，使新概念与已有认知结构中的相关知识进一步分化和融会念与已有认知结构中的相关知识进一步分化和融会贯通。贯通。18概念同化的阶段概念同化的阶段（1）揭示揭示概念的概念的关键属性关键属性，给出定义、名称和符号；，给出定义、名称

15、和符号；（2）对概念进行特殊的）对概念进行特殊的分类分类，讨论这个概念所包含，讨论这个概念所包含的各种特例，突出概念的本质特征；的各种特例，突出概念的本质特征；（3）使新概念与已有认知结构中的有关观念建立联）使新概念与已有认知结构中的有关观念建立联系，把新观念纳入到已有概念体系中，系，把新观念纳入到已有概念体系中，同化同化新概念；新概念；（4）用肯定例证和否定例证让学生辨认，使新概念）用肯定例证和否定例证让学生辨认，使新概念与已有认知结构中的相关概念与已有认知结构中的相关概念分化分化；（5）把新概念纳入到相应的概念体系中，使有关概）把新概念纳入到相应的概念体系中，使有关概念念融会贯通融会贯通，

16、组成一个整体。，组成一个整体。 19如如“一次函数一次函数”的概念的概念给出名称、定义、符号：函数给出名称、定义、符号：函数特例特例： 等等把一次函数与函数概念、一次多项式概念等作把一次函数与函数概念、一次多项式概念等作比较比较用肯定、否定用肯定、否定例证例证让学生让学生辨认辨认：Rbkbkxy,其中0,ybyxykxy1, 0, 1yybxyxy) 0( 3,2axayxyxy20 教学过程中要注意：教学过程中要注意：（1）同化方式学习概念，实际上是用演绎方）同化方式学习概念，实际上是用演绎方式来理解和掌握概念。因为它是从抽象定义式来理解和掌握概念。因为它是从抽象定义出发来学习的，所以应注意

17、出发来学习的，所以应注意及时利用实例及时利用实例，使抽象概念获得具体例证的支持；使抽象概念获得具体例证的支持；（2）学习中必须经过）学习中必须经过概念分类概念分类这一步，使学这一步，使学生从外延角度进一步对概念进行理解；生从外延角度进一步对概念进行理解；（3）在引入概念的同时，要求学生掌握一定）在引入概念的同时，要求学生掌握一定的的智力动作智力动作，以防止出现知道概念的定义而，以防止出现知道概念的定义而不知如何将它用于解题的情况；不知如何将它用于解题的情况；21（4）为学生及时提供应用概念进行）为学生及时提供应用概念进行推理推理、论论证证的机会，在应用中强化概念，以防止由于的机会，在应用中强化

18、概念，以防止由于没有经历概念形成的原始过程而出现的概念没有经历概念形成的原始过程而出现的概念加工不充分、理解不深刻的情况；加工不充分、理解不深刻的情况；（5）一定要将所学概念）一定要将所学概念纳入纳入到到已有认知结构已有认知结构中，形成概念系统。中，形成概念系统。22概念教学的基本要求和教法探讨概念教学的基本要求和教法探讨概念的引入概念的引入概念的明确概念的明确概念的系统化概念的系统化概念的运用概念的运用1、概念的引入、概念的引入（1）原始概念）原始概念 一般采用描述法和抽象化法或用直观说明或指一般采用描述法和抽象化法或用直观说明或指明对象的方法来明确。明对象的方法来明确。 “针尖刺木板针尖刺

19、木板”的痕迹引入的痕迹引入“点点”、用、用“拉紧拉紧的绳的绳”或或“小孔中射入的光线小孔中射入的光线”来引入来引入“直线直线”的方法是的方法是直观说明直观说明法，法，“1，2，3，叫做叫做自自然数然数”是是指明对象指明对象法。法。23（2）对于用概念的形成来学习的概念对于用概念的形成来学习的概念 一般可通过一般可通过观察实例观察实例，启发学生抽象出本质属性，启发学生抽象出本质属性，师生共同进行讨论，最后再准确定义。师生共同进行讨论，最后再准确定义。（3）对于用概念的同化来学习的概念）对于用概念的同化来学习的概念（a）用属加种差定义的概念）用属加种差定义的概念 新概念是已知概念的特例，新概念可以

20、从认知结构新概念是已知概念的特例，新概念可以从认知结构中原有的具有较高概括性的概念中繁衍出来。中原有的具有较高概括性的概念中繁衍出来。（b）由概念的推广引入的概念）由概念的推广引入的概念 讲清三点：推广的讲清三点：推广的目的和意义目的和意义； 推广的推广的合理性合理性； 推广后更加广泛的推广后更加广泛的含义含义。24（c）采用对比方法引入新概念）采用对比方法引入新概念 当新概念与认知结构中已有概念不能产生从当新概念与认知结构中已有概念不能产生从属关系，但与已有的旧概念有相似之处时可属关系，但与已有的旧概念有相似之处时可采用此法。采用此法。 关键是讲清不同之处，防止概念的负迁移。关键是讲清不同之处，防止概念的负迁移。（d）根据逆反关系引入新概念）根据逆反关系引入新概念 多项式的乘法引入多项式的因式分解、由乘多项式的乘法引入多项式的因式分解、由乘方引入开方、由指数引入对数等。方引入开方、由指数引入对数等。 关键是讲清逆反关系。关键是讲清逆反关系。25(4)发生式定义发生式定义 通过观察实例或引导学生思考，进行讨论，自然得通过观察实例或引导学生思考，进行讨论，自然得出构造过程，即揭示出定义的合理性。出构造过程，即揭示出定义的合理性。2、概念的明确、概念的明确 （1）定义的必要理解；）定义的必要理解；对定义的逻辑意义的理解需要在分析定义时加以必要对定义的