第4章_随机变量的数字特征44_矩、协方差矩阵

1、一、基本概念一、基本概念二二、n 维正态变量的性质维正态变量的性质第四节矩、协方差矩阵第四节矩、协方差矩阵三、小结三、小结一、矩、协方差矩阵基本概念一、矩、协方差矩阵基本概念1.矩的概念矩的概念),(kXE.阶阶中中心心矩矩的的称称它它为为kX,是是随随机机变变量量和和设设YX若若,存在存在,阶阶原原点点矩矩的的称称它它为为kX.阶阶矩矩简简称称 k, 2 , 1 k,)(kXEXE 若若,存在存在, 3 , 2 k),(lkYXE,存在存在.阶混合矩阶混合矩的的和和称它为称它为lkYX 若若, 2 , 1, lk ,)()(lkYEYXEXE ,存在存在若若.阶阶混混合合中中心心矩矩的的和和

2、称称它它为为lkYX , 2 , 1, lk 说明说明 变量函数的数学期望；变量函数的数学期望；以上数字特征都是随机以上数字特征都是随机 )1(的的一一阶阶原原是是的的数数学学期期望望随随机机变变量量XXEX)()2(;的二阶混合中心矩的二阶混合中心矩与与Y,点矩点矩,方差为二阶中心矩方差为二阶中心矩XYX是是协协方方差差),Cov(,)3(在在实实际际应应用用中中.4阶的矩很少使用阶的矩很少使用高于高于主主要要用用来来衡衡量量随随三三阶阶中中心心矩矩)(3XEXE 主主要要用用来来衡衡量量随随四四阶阶中中心心矩矩 )( 4XEXE .机变量的分布是否有偏机变量的分布是否有偏.近的陡峭程度如何

3、近的陡峭程度如何机变量的分布在均值附机变量的分布在均值附2. 协方差矩阵协方差矩阵的的二二阶阶混混合合维维随随机机变变量量设设),(21nXXXn中心矩中心矩 ijc ,都存在都存在nji, 2 , 1, )()(jjiiXEXXEXE ),Cov(jiXX则称矩阵则称矩阵 C.协方差矩阵协方差矩阵维随机变量的维随机变量的为为nnccc11211nccc22221nnnnccc21例如例如 C的协方差矩阵为的协方差矩阵为二维随机变量二维随机变量),(21XX 22211211cccc其中其中11c,)(211XEXE 12c21c22c ),()(2211XEXXEXE ),()(1122XE

4、XXEXE .)(222XEXE .阵阵为为对对称称的的非非负负定定矩矩阵阵,), 2 , 1,(njiccjiij 由由于于所以协方差矩所以协方差矩协方差矩阵的应用协方差矩阵的应用协方差矩阵可用来表示多维随机变量的概协方差矩阵可用来表示多维随机变量的概率密度，从而可通过协方差矩阵达到对多率密度，从而可通过协方差矩阵达到对多维随机变量的研究维随机变量的研究概概率率密密度度 212112221)()1(21exp121x 22222212211)()(2xxx ),(21xxf现在将上式中花括号内的式子写成矩阵形式现在将上式中花括号内的式子写成矩阵形式,引入下面的列矩阵引入下面的列矩阵为此为此,

5、21 xxX.21 .),(21为为例例以以二二维维正正态态随随机机变变量量XX的的协协方方差差矩矩阵阵为为),(21XX C,22212121 ),1(det22212 C它它的的行行列列式式的的逆逆矩矩阵阵为为C 22211211cccc 1C的转置的转置是是这里矩阵这里矩阵经过计算可知经过计算可知)()(T xx)矩阵矩阵 21212122det1C)()(1TXCX 212211212112)(2)(11xxx 212121222211),(det1xxC 2211xx.)(22222 x的概率密度可写成的概率密度可写成于是于是),(21XX),(21xxf.)()(21exp)(de

6、t)2(11T2122 XCXC 引入列矩阵引入列矩阵 x nx2x1x和和 , n21)(nXE)(2XE)(1XE的的概概率率密密度度定定义义为为维维随随机机变变量量),(21nXXXn),(21nxxxf.)()(21exp)(det)2(11T212 XCXCn.),(21的协方差矩阵的协方差矩阵是是其中其中nXXXC 推广推广的概率密度可表的概率密度可表维随机变量维随机变量),(21nXXXn,),(21TnxxxX 其其中中),(21nxxxf.)()(21exp)(det)2(11212 XCXCTn示为示为 , n21)(nXE)(2XE)(1XE Cnccc11211nccc

7、22221nnnnccc21二、二、n 维正态变量的性质维正态变量的性质的的每每一一维维正正态态随随机机变变量量),(21nXXXn 1,且相互独立且相互独立,iX个个分分量量,反之反之,21都是正态随机变量都是正态随机变量若若nXXX维正态随机变维正态随机变是是则则nXXXn),(21.量量;, 2, 1都都是是正正态态随随机机变变量量ni 2维维正正服服从从维维随随机机变变量量nXXXnn),(21态分布的充要条件：态分布的充要条件：的的任任意意的的线线nXXX,21nnXlXlXl 2211性组合性组合.服从一维正态分布服从一维正态分布这一性质称为正态变量的这一性质称为正态变量的线性变换不变性线性变换不变性 3,),(21维维正正态态分分布布服服从从若若nXXXn设设,), 2 , 1(,1的的线线性性函函数数是是njXYYjk .),(21也服从多维正态分布也服从多维正态分布则则kYYY 4,),(1维维正正态态分分布布服服从从设设nXXn, 1X“则则两两两两“与与相相互互独独立立” , , ,212nnXXXXX. 是等价的是等价的不相关”不相关”三、小结三、小结2.正态变量是最重要的随机变量正态变量是最重要的随机变量， .),Cov(;)(;)