均值不等式的应用精典讲解.docx

1、均值不等式应用均值不等式知识点：1. （1）假设“，人wR,那么a2+b2>2ab假设a,b" 那么（庭亡如当且仅当a = h时2取"二”）（1）假设ER”,那么彖2囱假设d,b e R”,那么a + bN2据当且仅当a = b时2取）（3）假设a,beR',那么沥4哮（当且仅当a = b时取“二） 假设x>0,那么工+上22（当且仅当x=l时取“二）；假设*0,那么2（当且仅xx当x = -l时取“二）假设工以），那么x + 1>2BPa- + 1>2x + 1<-2 （当且仅当a = b时取“二） XXX假设沥>0,那么凹+上

2、2 （当且仅当a = b时取“二）b a假设沥#0,那么- + ->2即刊+ °22或£ +（当且仅当。3时取“=）b a b a b a3. 假设ci,bwR,那么（虫）2匕土。当且仅当a = b时取“二）22注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时， 可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大.（2）求最值的条件“一正，二定，三取等（3）均值定理在求最值、比拟大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面 有广泛的应用.应用：求最值例1：求以下函数的值域（1）（2） 尸x+£解： y=3x2+p=

3、6 二值域为施,+°°）(2)当 x>0 时，y = x+?x § =2；当 xVO 时，y = x+二（X- ） W_2 x ' =2xxx.值域为一8, 2U2, +8）解题技巧：技巧一：凑项例1: X < -,求函数y = 4x-2 + 的最大值。4-4.X-5解：因4x-5<0,所以首先要“调整符号，又(4-2).不是常数，所以对42要进展 4x-5拆、凑项，5(I Avx<5-4a >0> /. y = 4x-2 + - 5-4x+ +3 <2 + 3 = 144x-5 I5-4xJ当且仅当5-4x =

4、i,即x = l时，上式等号成立，故当工=1时，ymM = 1 o5 4jc评注：此题需要调整项的符号，乂要配凑项的系数，使其积为定值。技巧二：凑系数例1.当0<工<4时，求y = x(S-2x)的最大值。解析：由知，8-2x>0,利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题 为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到2工+(8-2对=8为定值，故只需将y = x(S-2x) 凑上一个系数即可。当2x= 8-2x,即x = 2时取等号 当x = 2时，y = x(8-2x)的最大值为8。评注：此题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不 等

5、式求最大值。变式：设()<xV'|,求函数y = 4x(3-2x)的最大值。解：0 < x < | /. 3-2x > 0 /. = 4x(3-2x) = 2-2x(3-2x) < 2<2x + 2x =2当且仅当2x = 3-2x,即x =时等号成立。4 I 2)技巧三：别离Y2 + 7 r + 10例3.求I /+ %>_ 1)的值域。V+ 1擘析一：此题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有(x + 1)的项，再将其别 离。当x>-l,即工+1>0时，)修2(工+ 1)><史_+5 = 9当且仅当x = l

6、时取"=”号)。V x+1技巧四：换元解析二：此题看似无法运用均值不等式，可先换元，令t=x + l,化简原式在别离求最值。当 X > T ,即 t=x + 1 >。时，y > 2/x + 5 = 9 当 t=2 即 x=l 时取“=号)。评注：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利 用不等式求最值。即化为y = + M- + B(A>O,Z?>O), g(x)恒正或恒负的形式，然后运用均值不等式来求最值。技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，假设遇等号取不到的情况，应结合函数/(x) = x + -x 的单调性。例：

7、求函数)，=喜土的值域。lx2 +4解：令 yx2 +4 = t(t > 2),那么),一_了+5 =、/子+4_!_1=il(r>2)7774V?+4 t因，>0,« = 1,但，=，解得1 = ±1不在区间2,+w),故等号不成立，考虑单调性。因为)，= + ：在区间l,wo)单调递增，所以在其子区间2,+。)为单调递增函数，故y>|o5、所以，所求函数的值域为-,+00。2 J练习.求以下函数的最小值，并求取得最小值时，x的值.尸 + 3 Y + 1I(1) y =,(x>0)2) y = 2x +,x>3 (3) y = 2sin

8、x +,xe(0,)xx-3smx2. Ovxvl,求函数y = Jx(l-x)的最大值.；3. ()<x<|,求函数y = Jx(2-3x)的最大值. 条件求最值1.假设实数满足o + b = 2,那么3“+3”的最小值是.分析：“和”到“积”是一个缩小的过程，而且3“3去定值，因此考虑利用均值定理求最 小值，解：3“和3"都是正数，3“+3"32序瑚=2好= 6当3" =3”时等号成立，由a + b = 2R3a =3ha = b = 1即当=人=1时，3“+3”的最小值 是6.变式：假®log4x + log4y = 2,求的最小值.并

9、求x, y的值技巧六：整体代换：屡次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否那么就 会出错。192：工>0,y >0 ,且一+ = 1 ,求x+ y的最小值。x y错解：x > 0, y > 0 ,且+ = 1» x+y= + (x+y) 2J-2Jxy = 12 故. =12 。x yy) xy错因：解法中两次连用均值不等式，在x+yZ2庙等号成立条件是x=y,在1+2>2|1等号成立条件是4 = 2即y = 9x,取等号的条件的不一致，产生错误。因此，在利用均值不等式处理问题时，列出等号成立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一

10、种方法。正解：,.x>0,y>0,+ = 1» :.x+ y = (x+y) + = + + 10>6+10 = 16 X y" y) x y当且仅当2 =时，上式等号成立，X- + - = l,可得x = 4,y = 12时，(x+y) . =16。 x yx )，'7,n,n变式：(1)假设x,yeR+且2x+y = l,求1 + 1的最小值(2) a,b9x9yeR+ 且&2 = i，求x+y的最小值技巧七、x, *为正实数，且妒+普=1,求瑚有的最大值.o2-|-/ 分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式同时还应化简正成中V

11、前面的系数为f ,同时还应化简正成中V前面的系数为f ,l+y2 r2 丁 =带2下面将分别看成两个因式:2x'+勺即 x寸+_/X技巧八：务力为正实数，2力+湖+=30,求函数尸土的最小值.分析：这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问 题，再用单调性或根本不等式求解，对此题来说，这种途径是可行的；二是直接用根本不等 式，对此题来说，因条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用 根本不等式放缩后，再通过解不等式的途径进展。*30-2Z?, 30-2Z?, -2 &+30。法一：a=+F '沥=二亏 b= 什由 a&

12、gt;0 得，0VZ?V151 < t< 16， ab=1 < t< 16， ab= 2+34 £31=-2 3 +167+ 34." + | N.湖W18当且仅当1=4,即Z;=3, ,3=6时，等号成立。法二：由得：30-ab= 2b9：a+ 22Tab :. 30 湖令 u=yal） 那么 ti+22 一30W0, -52 WuW3 yab W3吏,沥W18,土点评：此题考察不等式岳 SbwR*）的应用、不等式的解法及运算能力；如何 2由不等式油=。+涉+ 30 （a,b g R）出发求得沥的范围，关键是寻找到i + Z?与沥之间的关系,由此想

13、到不等式业之如这样将条件转换为含c洒的不等式，进而解得c洒的范 2围.变式：l.a>0,力>0, ab （a+Z>） =1,求 a+Z?的最小值。2.假设直角三角形周K为1,求它的面积最大值。技巧九、取平方5、x, y为正实数，3*+2*=10,求函数W=® +而的最值.9_1_ k a 2 _1_ A 2解法一：假设利用算术平均与平方平均之间的不等关系，J厂，此题很简单何 + 而 W P何）_+而）2 =吏 /3x+2y =25解法二：条件与结论均为和的形式，设法直接用根本不等式，应通过平方化函数式为积的形 式，再向“和为定值条件靠拢。W>0, W2 = 3

14、*+2y+2何而=10 + 2修仞 W10+（修尸（而尸=10+（3*+2*） =20 WW的=2y5变式：求函数），= V5UT + VT云（；<xv：）的最大值。解析：注意到2工-1与5-2%的和为定值。又y>0,所以0<y2次当且仅当2x-l = 5-2x，即x = |时取等号。故奇=2岳评注：此题将解析式两边平方构造出“和为定值，为利用均值不等式创造了条件。总之，我们利用均值不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等，同时还要注意一些 变形技巧，积极创造条件利用均值不等式。应用二：利用均值不等式证明不等式1. a,b,c为两两不相等的实数，求证：ci +c >

15、cib + be + cci1)正数 a, b, c满足 a+Z?+c=l,求证：(1 a) (1 A) (1 c) 例 6： a> b、ci R,< 1 y i v 1>且。+/?+c = l。求证：1 -1 -1 >83 八b 八c J分析：不等式右边数字8,使我们联想到左边因式分别使用均值不等式可得三个“2连乘， 又»4 = 土2逅,可由此变形入手。a a a a解：.&、b、cc/T, ab+c=. .1-| = 1z£ = ±£>2£o 同理l_i>20 a a a ab be c上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得lYf 卜瓯.瓯乏也=8。当且仅当侦*里时取等号。侦人/? 7Vc ) a b c3应用三：均值不等式与恒成立问题1 o例：x>0,y>0且一 + = 1,求使不等式x+y>m恒成立的实数，的取值范围。(n a. 八 n 19x+y9x + 9y10y9x解：令工+、=化,工>0,)，>0, + = 1, .+ = 1. + + = 1xyk