数字电路第2章

1、第二章 逻辑代数基础第二章第二章 逻辑代数基础逻辑代数基础第二章 逻辑代数基础逻辑变量及基本逻辑运算逻辑变量及基本逻辑运算逻辑函数及其表示方法逻辑函数及其表示方法 逻辑代数的运算公式和规则逻辑代数的运算公式和规则2-1 逻辑代数基础逻辑代数基础第二章 逻辑代数基础一、逻辑变量一、逻辑变量取值：逻辑取值：逻辑0 0、逻辑、逻辑1 1。逻辑。逻辑0 0和逻辑和逻辑1 1不代不代表表数值大小数值大小，仅表示相互矛盾、相互对立，仅表示相互矛盾、相互对立的的两种逻辑状态。两种逻辑状态。二、基本逻辑运算二、基本逻辑运算与运算与运算或运算或运算非运算非运算逻辑变量及基本逻辑运算逻辑变量及基本逻辑运算事物的因

2、果关系，可用逻事物的因果关系，可用逻辑代数来描述辑代数来描述逻辑代数中的变量逻辑代数中的变量第二章 逻辑代数基础逻辑表达式逻辑表达式F= A B = AB与逻辑真值表与逻辑真值表与逻辑关系表与逻辑关系表开关开关A 开关开关B灯灯F断 断断 合合 断合 合灭灭灭亮ABF1 01 10 10 00010只有决定某一事件的只有决定某一事件的所有条件所有条件全全部具备，这一事件才能发生。部具备，这一事件才能发生。与逻辑运算符，也有用与逻辑运算符，也有用“ ”、“”、“”、“&”&”表示表示AB 逻辑符号（国家）逻辑符号（国家）F真值表特点：全真值表特点：全“1”得得“1”,有有“0”得

3、得“0”ABF逻辑符号（国际）逻辑符号（国际）与运算与运算逻辑变量的全部取逻辑变量的全部取值及运算后的结果值及运算后的结果列成表列成表第二章 逻辑代数基础逻辑表达式逻辑表达式F= A + B或逻辑真值表或逻辑真值表ABF 1逻辑符号（国家）逻辑符号（国家）决定某一事件的决定某一事件的一个或一个以上的一个或一个以上的条件条件具备，这一事件就发生。具备，这一事件就发生。ABF1 01 10 10 01110N个输入：个输入：F= A + B+ .+ N或逻辑运算符，也有或逻辑运算符，也有用用“”、“”表示表示或运算或运算国际标准国际标准ABF全全“0”得得“0” ,有有“1”得得“1”第二章 逻辑

4、代数基础非逻辑真值表非逻辑真值表逻辑符号（国际）逻辑符号（国际）AF1AF0110逻辑表达式逻辑表达式AF非运算非运算当决定某一事件的条件满足时，当决定某一事件的条件满足时，事件不发生；反之事件发生。事件不发生；反之事件发生。AF三种基本的逻辑运算三种基本的逻辑运算第二章 逻辑代数基础三、复合逻辑运算三、复合逻辑运算第二章 逻辑代数基础逻辑表达式逻辑表达式F= (ABC) 与非逻辑真值表与非逻辑真值表ABCF00001111001100110101010111111110逻辑符号（国家）逻辑符号（国家）FBCA真值表特点：真值表特点：全全“1”得得“”有有“0”得得“” F逻辑符号（国际）逻辑

5、符号（国际）BCA与非运与非运算算第二章 逻辑代数基础逻辑表达式逻辑表达式F= (A+B+C) 或非逻辑真值表或非逻辑真值表逻辑符号（国家）逻辑符号（国家）F1BCA真值表特点：真值表特点：全全“”得得“”有有“”得得“”ABCF00001111001100110101010110000000逻辑符号（国际）逻辑符号（国际）FBCA或非运或非运算算第二章 逻辑代数基础逻辑表达式逻辑表达式F= (AB+CD) 与或非逻辑真值表与或非逻辑真值表真值表特点：真值表特点：AB全全“1”或或CD全全“1”得得“0”，其余得其余得“1”ABCDF000000001111111100001111000011

6、11001100110011001101010101010101011110111011100000逻辑符号（国际）逻辑符号（国际）F逻辑符号（国家）逻辑符号（国家）与或非运算与或非运算第二章 逻辑代数基础ABF1 01 10 10 01100异或运异或运算算逻辑符号（国家）逻辑符号（国家）逻辑表达式逻辑表达式BABABAF“ ”异或逻辑运算异或逻辑运算符符A,BA,B有一个具备，另一有一个具备，另一个不具备，则个不具备，则F F发生。发生。异或逻辑真值表异或逻辑真值表真值表特点：真值表特点：A、B同得同得“0”A、B异得异得“1”ABF=1逻辑符号（国家）逻辑符号（国家）第二章 逻辑代数基础

7、异或逻辑公式异或逻辑公式(1) A 0=A(2)AA1(3) A A=0(4)1AA(5) A B =C; A C = B; B C = A 第二章 逻辑代数基础逻辑表达式逻辑表达式F=AF=A B=(B=(A A B)B) =AB+A=AB+A B B ABF1 01 10 10 00011“”同或逻辑同或逻辑运算符运算符同或运算同或运算逻辑符号逻辑符号（国际）（国际）ABF=逻辑符号（国家）逻辑符号（国家）真值表特点：真值表特点：A、B同得同得“1”A、B异得异得“0”同或逻辑真值表同或逻辑真值表第二章 逻辑代数基础(2) A 1 = A(3) A A = 1(1) A 0 = A (4)

8、 A A = 0(5) A B = C; A B= (A B) (1)(1)互为反函数互为反函数(2)(2)互为对偶式互为对偶式A C = B;B C = A A B与与A B互为对偶互为对偶公式：公式：同或与异或运算的关系：同或与异或运算的关系：第二章 逻辑代数基础0V3V工作原理工作原理 A、B中有一中有一个或一个以上个或一个以上为低电平为低电平0V， 只有只有A、B全全为高电平为高电平3V，二极管与门电路二极管与门电路0V3V3VABF3V3V3V3V0V0V0V3V0V0V0V0V四、四、正逻辑正逻辑与与负逻辑负逻辑则输出则输出F就为低就为低电平电平0V。则输出则输出F才为才为高电平高

9、电平3V。ABFVL VLVLVLVHVLVL VHVH VLVH VH电电平平关关系系3V第二章 逻辑代数基础ABFVL VLVLVLVHVL1 11ABF1 00 10 00000ABF0 10 01 01 1111VL VHVH VLVH VH电平关系电平关系正逻辑正逻辑负逻辑负逻辑正与正与 = 负或负或正或正或 = 负与负与正与非正与非 = 负或非负或非正或非正或非 = 负与非负与非正、负逻辑间关系正、负逻辑间关系高电平高电平VH用逻辑用逻辑1表示，表示，低电平低电平VL用逻辑用逻辑0表示表示四、四、正逻辑正逻辑与与负逻辑负逻辑（与门）（与门）（或门）（或门）高电平高电平VH用逻辑用逻

10、辑0表示，表示，低电平低电平VL用逻辑用逻辑1表示表示正异或正异或 = 负同或负同或正同或正同或 = 负异或负异或第二章 逻辑代数基础一、逻辑函数一、逻辑函数 用有限个与、或、非逻辑运算符，按某种逻辑关系将逻用有限个与、或、非逻辑运算符，按某种逻辑关系将逻辑变量辑变量A、B、C、.连接起来，所得的表达式连接起来，所得的表达式F = f（A、B、C、.）称为逻辑函数。称为逻辑函数。二、二、逻辑函数的表示方法逻辑函数的表示方法真值表真值表逻辑函数式逻辑函数式 逻辑图逻辑图波形图波形图输入变量输入变量不同取值组合不同取值组合与与函函数值数值间的对应关系列成表格间的对应关系列成表格用用逻辑符号逻辑符号

11、来表示来表示函数式的运算关系函数式的运算关系取值：逻辑取值：逻辑0、逻辑、逻辑1。逻辑。逻辑0和逻辑和逻辑1不代表不代表数值大小数值大小，仅，仅 表示相互矛盾、相互对立的表示相互矛盾、相互对立的两种逻辑状态两种逻辑状态。反映反映输入和输出波形变输入和输出波形变化的化的图形又叫时序图图形又叫时序图逻辑函数及其表示方法逻辑函数及其表示方法输入变量输入变量输出变量输出变量输入变量输入变量与与输出变量输出变量之间的之间的逻辑关系用与、或、非等逻逻辑关系用与、或、非等逻辑运算符号连接起来的式子辑运算符号连接起来的式子第二章 逻辑代数基础ABCF000001001011100110111011断断“0”合

12、合“1”亮亮“1”灭灭“0”C开，开，F灭灭0000C合，合，A、B中中有一个合，有一个合，F亮亮11C合，合，A、B均均断，断，F灭灭0逻辑函数式逻辑函数式 挑出函数值为挑出函数值为1的项的项1 101111101111 每个函数值为每个函数值为1 1的输入变量取值组合写成一个的输入变量取值组合写成一个乘积项乘积项 这些乘积项作这些乘积项作逻辑加逻辑加输入变量取值为输入变量取值为1 1用用原变量原变量表表示；反之，则用示；反之，则用反变量反变量表示。表示。A A BCBC、ABAB C C、ABCABCF= A A BC+ABBC+AB C+ABCC+ABC注：变量取值组合按二注：变量取值组

13、合按二进制由小到大列出。进制由小到大列出。第二章 逻辑代数基础逻辑图逻辑图乘积项乘积项用用与门与门实现，实现，和项和项用用或门或门实现。实现。波形图波形图010011001111F= A A BC+ABBC+AB C+ABCC+ABC第二章 逻辑代数基础三、各种表示方法间的互相转换三、各种表示方法间的互相转换1、从真值表写出逻辑式、从真值表写出逻辑式(标准与或表达式标准与或表达式)第二章 逻辑代数基础第二章 逻辑代数基础2、从逻辑式列出真值表、从逻辑式列出真值表第二章 逻辑代数基础例：例：Y=A+B C+A BC逻辑式逻辑式AB CBC00001001010011000010101101101

14、110A BCY0010111010001010真值表真值表第二章 逻辑代数基础3、从逻辑式画出逻辑图、从逻辑式画出逻辑图逻辑式逻辑式Y=AB+A BC+A BCABC逻辑图逻辑图第二章 逻辑代数基础4、从逻辑图写出逻辑式、从逻辑图写出逻辑式ABY逻辑图逻辑图逻辑式逻辑式Y=(A+B) +(A +B ) 第二章 逻辑代数基础5、波形图与真值表的相互转换、波形图与真值表的相互转换tttAOBOCOYOt00000010100010110100011011011111CYB000010100110000011101111A00001111真值表真值表第二章 逻辑代数基础 公理、定律与常用公式公理、

15、定律与常用公式公理公理交换律交换律结合律结合律分配律分配律0 0 = 00 1 =1 0 = 0 1 1 = 10 + 0 = 00 + 1 =1 + 0 = 1 1 + 1 = 1A B = B A A + B = B + A (A B ) C = A (B C) (A+ B ) + C = A + (B+ C) A ( B + C ) = A B + A C A + B C = ( A + B) (A+ C )逻辑代数的运算公式和规则逻辑代数的运算公式和规则第二章 逻辑代数基础 A B C BC A+BC A+BA+C(A+B) (A+C)0 0 0 0 0 0 0 00 0 1 0 0

16、0 1 00 1 0 0 0 1 0 00 1 1 1 1 1 1 11 0 0 0 1 1 1 11 0 1 0 1 1 1 11 1 0 0 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1证：证：第二章 逻辑代数基础(A+B)( A + C )(B+C)= (A+B)(A +C)A+ A B =A+B A (A + B) =A B A + A B = A A (A+B) = AA B+ A B =A (A+ B) (A+ B ) =A (A B) = A +B (A+ B) =A B A A = A A + A=AA 1 = A A + 0 = AA A =0 A+A =1A 0 = 0 A

17、 + 1 = 1 (A ) = AAB+ A C +BC= AB+ A C 定律与常用公式定律与常用公式0-1律律重叠律重叠律互补律互补律还原律还原律反演律反演律自等律自等律吸收律吸收律消因律消因律包含律包含律合并律合并律r47逻辑代数的运算公式和规则逻辑代数的运算公式和规则第二章 逻辑代数基础利用真值表利用真值表例：用真值表证明反演律例：用真值表证明反演律A B000110111110111010001000 证明方法证明方法(A B) = A +B (A+ B) =A B (A B) A +B A B (A+ B) 第二章 逻辑代数基础BCCAABB)C(1AC)AB(1CAAB等式右边等

18、式右边由此可以看出：与或表达式中，两个乘积项分别包由此可以看出：与或表达式中，两个乘积项分别包含含同一因子同一因子的的原原变量和变量和反反变量，而两项的剩余因子变量，而两项的剩余因子组成第三个乘积项，则第三项是多余的。组成第三个乘积项，则第三项是多余的。CAABBCDECAAB公式可推广：公式可推广：例：证明包含律例：证明包含律CAABBCCAAB成立成立BC)AA(CAAB利用基本定律利用基本定律BCAABCCAAB第二章 逻辑代数基础例：证明吸收律例：证明吸收律A + AB = A与与 变量变量A和包含和包含A的和相乘时，结果等于的和相乘时，结果等于 A，即可以将和消掉。，即可以将和消掉。

19、 第二章 逻辑代数基础例：证明消因律例：证明消因律A+ A B =A+B A+ A B =(A+ A )(A+B) 或或 A+ A B =A+AB+ A B =A+(A+A )B=A+B 两个乘积项相加时，如果一项取反后是两个乘积项相加时，如果一项取反后是另一项的因子，则此因子是多余的，可另一项的因子，则此因子是多余的，可以消去。以消去。 A (A + B) =A B第二章 逻辑代数基础 三个基本运算规则三个基本运算规则 代入规则代入规则：任何一个含有某变量的等式，如果任何一个含有某变量的等式，如果等式等式中所有出现此中所有出现此变量变量的位置均代之以一个的位置均代之以一个逻辑函数式逻辑函数式

20、，则此等式依然成立。，则此等式依然成立。例：例：BCBC替代替代B B得得)CB(A)CB(ACBA由此反演律能推广到由此反演律能推广到n n个变量：个变量：n21n21n21n21AAA)AA(AAAA)A A (A利用反演律利用反演律逻辑代数的运算公式和规则逻辑代数的运算公式和规则(A B) = A +B 第二章 逻辑代数基础那么得到的那么得到的新函数式新函数式称为原函数式称为原函数式F F的的反函数式反函数式, ,记为记为F F 。 反演规则反演规则：对于任意一个逻辑函数式对于任意一个逻辑函数式F F，做如下处理：，做如下处理： 若把式中的运算符若把式中的运算符“. .”换成换成“+ +

21、”, “”, “+ +” ” 换成换成“. .”;”; 常量常量“0 0”换成换成“1 1”，“1 1”换成换成“0 0”； 原原变量换成变量换成反反变量，变量，反反变量换成变量换成原原变量变量注：注： 保持原函数的运算次序：先括号，然后与，最后或，保持原函数的运算次序：先括号，然后与，最后或， 必要时适当地加入括号。必要时适当地加入括号。 不属于单个变量上的反号有两种处理方法：不属于单个变量上的反号有两种处理方法： 反号保留，而反号下面的函数式按反演规则变换。反号保留，而反号下面的函数式按反演规则变换。 将反号去掉，而反号下的函数式保留不变。将反号去掉，而反号下的函数式保留不变。例：例：F(

22、AF(A，B B，C)C)CBA)B)CA(BA其反函数为其反函数为)CBA()BCA()BA(F或或)CBA(B)CA()BA(F第二章 逻辑代数基础DCBAY3 、)DC()BA()DCBA(Y D)C)BA(Y4 、BA)BA(YBAY1 、BA)BA(YBAY2 、D)C)BA()D)C)BA(Y 第二章 逻辑代数基础 对偶式对偶式： 对于任意一个逻辑函数，做如下处理：对于任意一个逻辑函数，做如下处理：1 1）若把式中的运算符）若把式中的运算符“. .”换成换成“+ +”，“+ +”换成换成“. .”；2 2）常量）常量“0 0”换成换成“1 1”，“1 1”换成换成“0”0”得到新函

23、数式为原函数式得到新函数式为原函数式F F的对偶式的对偶式F FD D，也称对偶函数，也称对偶函数 对偶规则：对偶规则：如果两个函数式相等，则它们对应的对偶式也相如果两个函数式相等，则它们对应的对偶式也相等。即等。即 若若 F F1 1 = F = F2 2 则则F F1 1D D= F= F2 2D D。使公式的数。使公式的数目增加一倍。目增加一倍。 求对偶式时求对偶式时运算顺序不变运算顺序不变，且它只，且它只变变换换运运算符和常量算符和常量，其，其变量变量是是不变不变的。的。注：注： 函数式中有函数式中有“ ”和和“”运算符，求反函运算符，求反函数及对偶函数时，要将运算符数及对偶函数时，要

24、将运算符“ ”换成换成“”， “ “”换成换成“ ”。 例：例： B1)CAAB(F 其对偶式其对偶式)B 0() )CA()BA(FD返返 回回例：例：ABBAG证明：证明：FD=G,BABAF)BA()BA(FDBBBAABAAGBAAB第二章 逻辑代数基础函数表达式的常用形式函数表达式的常用形式逻辑函数的标准形式逻辑函数的标准形式2-2 逻辑函数的标准形式逻辑函数的标准形式第二章 逻辑代数基础 五种常用表达式五种常用表达式F(A，B，C)CAAB“与与-或或”式式)BA)(CA(“或或-与与”式式)CA()AB( “与非与非-与非与非”式式 )BA()CA( “或非或非-或非或非”式式)

25、BACA(“与与或或非非”式式基本形式基本形式 表达式形式转换表达式形式转换CA AB F )CAAB( )CA()AB( 利用还原律利用还原律利用反演律利用反演律函数表达式的常用形式函数表达式的常用形式第二章 逻辑代数基础逻辑函数的标准形式逻辑函数的标准形式最小项：最小项：n个变量有个变量有2n个最小项，记作个最小项，记作mi3个变量有个变量有23（8）个最小项个最小项CBACBAm0m100000101CBABCACBACBA CAB ABC m2m3m4m5m6m7010011100101110111234567在逻辑函数中，有在逻辑函数中，有n个变量为个变量为A1An，m是是这这n个变

26、量的个变量的与项与项，若，若与项与项m是包括是包括全部全部n个变量的个变量的乘积项乘积项（每个变量必须而且只能（每个变量必须而且只能以原变量或反变量的形式出现一次）。以原变量或反变量的形式出现一次）。一、一、 最小项最小项和和最大项最大项乘积项乘积项和项和项最小项最小项二进制数二进制数十进制数十进制数编号编号最小项编号下标最小项编号下标i：将变量按序排列，将变量按序排列，原变量用原变量用1表示，表示，反变量用反变量用0表示，表示，得到一组二进制数，得到一组二进制数，将其变换为等值的将其变换为等值的十进制数。十进制数。第二章 逻辑代数基础0 0 1A B C0 0 0m0CBAm1m2m3m4m

27、5m6m7CBACBABCACBACBA CAB ABC 1 -20iinmF1000000001000000110 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1000000000000100000010000001000000100000010000001111111三变量的最小项：三变量的最小项： 最小项的性质：最小项的性质： 同一组变量取值任意同一组变量取值任意两个不同两个不同最小项的最小项的乘积乘积为为0，即：，即： mi mj = 0 (ij) 全部全部最小项之最小项之和和为为1，即：，即： 120ii1mn 在输入变量的任意取值下，在输入变量的任意取值下，必有一个且只有

28、一个必有一个且只有一个最小项的最小项的值为值为1，其它最小项的值均为，其它最小项的值均为0。两个最小项只有一个因子不同，两个最小项之和可两个最小项只有一个因子不同，两个最小项之和可 合并成一项并消去一对不同的因子合并成一项并消去一对不同的因子具有相邻性具有相邻性第二章 逻辑代数基础n个变量有个变量有2n个最大项，记作个最大项，记作i。在逻辑函数中，有在逻辑函数中，有n个变量为个变量为A1An，M是这是这n个个变量的变量的或项或项，若，若或项或项M包括包括全部全部n个变量（每个个变量（每个变量必须而且只能以原变量或反变量的形式出变量必须而且只能以原变量或反变量的形式出现一次）。现一次）。最大项：

29、最大项：最大项编号下标最大项编号下标i：把或项中的原变量把或项中的原变量记做记做“0”，反变量反变量记做记做“1”，得到一组二进制数，变换为等值的十进制数。得到一组二进制数，变换为等值的十进制数。三变量的最大项三变量的最大项 CBA CBAM0M100000101CBACBAM2M3M4M5M6M7010011100101110111234567CBACBACBACBA第二章 逻辑代数基础 同一组变量取值任意同一组变量取值任意两个不同两个不同最大项的最大项的和和为为1，即，即Mi + Mj = 1 (ij) 全部全部最大项之最大项之积积为为0，即，即 在输入变量的任意取值下，在输入变量的任意取

30、值下，必有一个且只有一个必有一个且只有一个最大项的值为最大项的值为0，其它最大项的值均为，其它最大项的值均为1;最大项的性质：最大项的性质： 120ii0Mn 最小项与最大项的关系最小项与最大项的关系(1) 相同编号的最小项和最大项存在互补关系相同编号的最小项和最大项存在互补关系即即: mi =Mi Mi =mi CBA1mCBAM1)(1CBAm如：如：1MCBA 两个最大项只有一个因子不同，两个最大项之积可两个最大项只有一个因子不同，两个最大项之积可合并成一项并消去一对不同的因子合并成一项并消去一对不同的因子第二章 逻辑代数基础三变量的最小项：三变量的最小项： 三变量的最大项三变量的最大项

31、 CBACBAM0M100000101CBACBAM2M3M4M5M6M7010011100101110111234567CBACBACBACBACBACBAm0m100000101CBABCACBACBA CAB ABC m2m3m4m5m6m7010011100101110111234567第二章 逻辑代数基础 最小项与最大项的关系最小项与最大项的关系 例：例：7531mmmm)7 ,5 ,3 , 1(F iiim)mmm(mF7531m1 m3 m5 m7= 7531MMMM =(2) 若干个最小项之和表示的表达式若干个最小项之和表示的表达式 F，其反函数，其反函数F 可可用等同个与这些

32、最小项相对应的最大项之积表示。用等同个与这些最小项相对应的最大项之积表示。即：即：ikkikkiMmmF可推出：可推出：)7 , 5 , 3 , 1( iMiiiiMF; mFikkimF; mF Mi =mi 第二章 逻辑代数基础1、最小项之和形式（也称、最小项之和形式（也称标准与标准与或式或式）任何一个逻辑函数都可以表示成唯一的任何一个逻辑函数都可以表示成唯一的一组最小项之和，称为一组最小项之和，称为标准与或表达式标准与或表达式，也称为，也称为最最小项表达式小项表达式。方法：方法：首先将逻辑函数式化为若干乘积项之和的首先将逻辑函数式化为若干乘积项之和的形式形式(与或式与或式)，任何对于不是

33、最小项表达式的乘积项，任何对于不是最小项表达式的乘积项都可用公式都可用公式 A+A =1和和A(B+C)ABAC 将缺少将缺少的因子补全来配项展开成最小项表达式。的因子补全来配项展开成最小项表达式。逻辑函数的标准形式逻辑函数的标准形式第二章 逻辑代数基础ACABCY )7 , 6 , 5i (mmmmCABABCABC) BB(ACABCACABCYii576 第二章 逻辑代数基础)15,14,11,10, 9 , 7 , 3i (mCDABCDABABCDABCDCDBABCDADCAB) DD(CAB) DD(ABCCDBABCDADCABC) BB(ACD) BB( ADCABYii 式

34、式展展开开为为最最小小项项之之和和的的形形将将逻逻辑辑函函数数例例ACCDADCABY : 第二章 逻辑代数基础如果列出了函数的真值表，则只要将函数值为如果列出了函数的真值表，则只要将函数值为1的那些最小的那些最小项相加，便是函数的最小项表达式。项相加，便是函数的最小项表达式。A B CY最小项0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 101110100m0m1m2m3m4m5m6m7m1A B Cm5AB Cm3A BCm2A BC CABBCABCACBA)5,3,2,1(mmmmmY5321 将真值表中函数值为将真值表中函数值为0的那些最小项相加，便可

35、得到的那些最小项相加，便可得到反函数反函数的最小项表达式。的最小项表达式。第二章 逻辑代数基础、最大项之积形式（也称、最大项之积形式（也称标准或标准或与式与式）4310MMMM)CBA)(CBA)(CBA)(CBA(Y 第二章 逻辑代数基础例：例：与与或式为：或式为：则或则或与式为：与式为：)CBA)(CBA)(CBA)(CBA)(CBA(MMMMMMYik43210k 7 , 6 , 5immmmABCCABCBAYi765 第二章 逻辑代数基础本节小结本节小结逻辑代数逻辑代数是分析和设计数字电路的重要工是分析和设计数字电路的重要工具。利用逻辑代数，可以把实际逻辑问题抽象具。利用逻辑代数，可

36、以把实际逻辑问题抽象为为逻辑函数逻辑函数来描述，并且可以用来描述，并且可以用逻辑运算逻辑运算的方的方法，解决逻辑电路的分析和设计问题。法，解决逻辑电路的分析和设计问题。与、或、非与、或、非是是3种基本逻辑关系，也是种基本逻辑关系，也是3种种基本逻辑运算。与非、或非、与或非、异或则基本逻辑运算。与非、或非、与或非、异或则是由与、或、非是由与、或、非3种基本逻辑运算复合而成的种基本逻辑运算复合而成的4种常用逻辑运算。种常用逻辑运算。逻辑代数的逻辑代数的公式和定理公式和定理是推演、变换及化是推演、变换及化简逻辑函数的依据。简逻辑函数的依据。第二章 逻辑代数基础公式公式化简函数化简函数图解法化简函数图

37、解法化简函数 2-3 逻辑函数的化简逻辑函数的化简第二章 逻辑代数基础逻辑函数最简逻辑函数最简的标准的标准 逻辑电路所用门的数量少逻辑电路所用门的数量少 每个门的输入端个数少每个门的输入端个数少 逻辑电路构成级数少逻辑电路构成级数少 逻辑电路保证能可靠地工作逻辑电路保证能可靠地工作降低成本降低成本提高电路的工作提高电路的工作速度和可靠性速度和可靠性第二章 逻辑代数基础显然，两电路的功能完全一样。显然，两电路的功能完全一样。第二章 逻辑代数基础化简的要求化简的要求第二章 逻辑代数基础ACAB)BB(C)CC(BA)CBBCCBBC(A)CBCBBC(ACABCBAABCY Y第二章 逻辑代数基础

38、 非号最少、并且每个非号里面乘积项中的变非号最少、并且每个非号里面乘积项中的变量也最少的与非量也最少的与非-与非表达式。与非表达式。方法：方法：第二章 逻辑代数基础在最简与或表达式的基础上在最简与或表达式的基础上两次取反两次取反；第二章 逻辑代数基础括号最少、并且每个括号内相加的变量也最少的或与表达式。括号最少、并且每个括号内相加的变量也最少的或与表达式。CABAY ACBACBACBA)CA)(BA()CABA(Y )CA)(BA(Y 求出反函数的求出反函数的最简与或表达式最简与或表达式利用反演规则写出函利用反演规则写出函数的最简或与表达式数的最简或与表达式第二章 逻辑代数基础非号最少、并且

39、每个非号里面相加的变量也最少的非号最少、并且每个非号里面相加的变量也最少的或非或非-或非表达式。或非表达式。)CA)(BA(CABAY 求最简或与表达式求最简或与表达式两次取反两次取反用摩根定律去掉里用摩根定律去掉里面的非号面的非号) )CA)(BA( )CA()BA( 第二章 逻辑代数基础5、最简与或非表达式、最简与或非表达式非号里面相加的乘积项最少、并且每个乘积项中非号里面相加的乘积项最少、并且每个乘积项中相乘的变量也最少的与或非表达式。相乘的变量也最少的与或非表达式。)ACBA( 求最简或非求最简或非-或非表达式或非表达式用摩根定律去掉大用摩根定律去掉大非号里面的非号非号里面的非号)CA

40、()BA( CABAY 第二章 逻辑代数基础一、并项法一、并项法ABC+ABC=AC(B+B)=AC公式化简函数公式化简函数第二章 逻辑代数基础CDBA)CDB(AY1 CDABAACDBAY2 CBCACBAY3 BCDDCBDBCDCBY4 若两个乘积项中分别若两个乘积项中分别包含同一个因子的原变量包含同一个因子的原变量和反变量，而其他因子都和反变量，而其他因子都相同时，则这两项可以合相同时，则这两项可以合并成一项，并消去互为反并成一项，并消去互为反变量的因子。变量的因子。)CDB)CDB(A A CDB )CDB(A)CDB(A C C)BA(CBA C)BA(C)BA( B )CDDC

41、(B)DCDC(B )DC(B)DC(B 第二章 逻辑代数基础二、吸收法二、吸收法AB+ABCD(E+F)=AB第二章 逻辑代数基础ADABD)C)BA(Y1 )DC(ABABDCABABY2 BC)DCB(A()BC(A(AY3 例：例：)B)AD()CD(B(AY4 AD ADADB)C)BA( )DC(DCABAB AB BCA )DCB(A)(BCA()BCA( )BCDB()ADA( BADBCDA BA 第二章 逻辑代数基础三、消项法三、消项法ABC+CD+ABD =ABC+CD第二章 逻辑代数基础)CB(BAACY1 EDCAE)BA(DCBAY2 EDBCDBCADBADBAA

42、BCCBAY3 例：例：CBAC CBBAAC E)BA(DCBA A)E)(DC(E)BA(DC)BA( )EA(BDCD)BA(C)BA( )EA(DBCD)BABA(C)ABBA( D)BA(C)BA( 第二章 逻辑代数基础)GEA)(GC)(EC)(GADB)(DB(Y4 解解：先求出先求出Y的对偶函数的对偶函数YD，并对其进行化简。，并对其进行化简。AEGGCCEDAGBDBYD4 求求YD的对偶函数，便得的最简或与表达的对偶函数，便得的最简或与表达式。式。)GC)(EC)(DB(Y4 GCCEDB 第二章 逻辑代数基础四、消元法四、消元法AB+(AB)C=AB+C第二章 逻辑代数基

43、础ABCBY1 BABBAY2 DCDAACY3 例：例：C)B(AB ACB BABA BA D)AC(AC D)CA(AC DAC 第二章 逻辑代数基础五、配项法五、配项法为某一项配上其所缺的变量，以便用其为某一项配上其所缺的变量，以便用其它方法进行化简。它方法进行化简。ABBCCBBAY )CC(AB)AA(BC)AA(CB)CC(BA )AA(CB CABABCBCAABCCBACBACBACBA ABCBCA CBA CABBCACBACBA ABC )BB(CA )CC(AB 第二章 逻辑代数基础)CBACBA()CBAABC( 例：例：A+A=在函数式中重复写入某一项，以达到进在

44、函数式中重复写入某一项，以达到进一步简化的目的。一步简化的目的。（重叠律）（重叠律）CBACBAABCY 、利用公式、利用公式)CC(BA)BB(AC BAAC )BC(A 第二章 逻辑代数基础例：例：DEBADBCA)CB(ADCDBCBACY DCDBCBA )DBCA,AABA( 消去消去根据根据DEBA)CB(ADCDBCBAC )CB()CB(A,BABAA(因子因子中的中的消去消去根据根据 DEBAADCDBCBAC )DEBAAC,AABA( 和和消去消去根据根据DBCBA )DC,CAABBCCAAB( 消去消去根据根据第二章 逻辑代数基础卡诺图化简法卡诺图化简法一、什么是卡诺

45、图一、什么是卡诺图将将n变量的全部变量的全部最小项最小项各用一个小方块表示，各用一个小方块表示，并使具有并使具有逻辑相邻性逻辑相邻性的最小项在几何位置上也相邻的最小项在几何位置上也相邻的排列，所得到的图形称为的排列，所得到的图形称为n变量最小项的变量最小项的卡诺图卡诺图。 因为这种表示方法由美国工程师因为这种表示方法由美国工程师卡诺卡诺（M.Karnaugh）首先提出，因此这种）首先提出，因此这种图形称为图形称为卡诺图卡诺图（Karnaugh Map）。）。两个最小项仅有一个变量是不同，其余的相同第二章 逻辑代数基础m3m0m1m2二、卡诺图的画法二、卡诺图的画法1. 二变量卡诺图二变量卡诺图

46、每个最小项有每个最小项有2个个最小项与它相邻最小项与它相邻第二章 逻辑代数基础00011110m0m1m2m3m4m5m6m7每个最小项有三个每个最小项有三个最小项与它相邻最小项与它相邻确保几何位置相邻的两个最小项逻辑上相邻第二章 逻辑代数基础BD000001011110m0m1m2m3m4m5m6m71110m12m13m15m14m8m9m11m10每个最小项有每个最小项有4个个最小项与它相邻最小项与它相邻最左列的最小项与最左列的最小项与最右列的相应最小最右列的相应最小项也是相邻的项也是相邻的最上面一行的最小最上面一行的最小项与最下面一行的项与最下面一行的相应最小项也是相相应最小项也是相邻

47、的邻的第二章 逻辑代数基础三、用卡诺图表示逻辑函数三、用卡诺图表示逻辑函数(一一) 由逻辑函数画出卡诺图由逻辑函数画出卡诺图 1. 根据根据标准与标准与或式或式画卡诺图画卡诺图方法：方法： 将逻辑函数化成最小项之和形式；将逻辑函数化成最小项之和形式； 在卡诺图上，对应于函数式中最小项的位置在卡诺图上，对应于函数式中最小项的位置填填1，其余位置填，其余位置填0。即任何一个逻辑函数都等于它的卡诺图即任何一个逻辑函数都等于它的卡诺图中填入中填入1的那些最小项之和。的那些最小项之和。 逻辑函数最小项表达式中含有的逻辑函数最小项表达式中含有的最小项最小项，在，在卡诺图相应小方格中填卡诺图相应小方格中填“

48、1”，其余则填，其余则填“0”。此。此时的卡诺图就是对应于该函数的卡诺图。时的卡诺图就是对应于该函数的卡诺图。第二章 逻辑代数基础例：画例：画Y=A+BC的卡诺图。的卡诺图。解：最小项之和形式为：解：最小项之和形式为：34567mmmmmBCACABCABABCABCBCAABCCABCABABCABC) AA(BC) CC)(BB(AY 卡诺图为：卡诺图为：11110100第二章 逻辑代数基mmmmmmmDCABCDABDCABCDABCDABABCDDBCABCDADCBA) DD)(CC( ABCD) BB(AD) CC(BADCBAY 解：解：最小项之和形式为

49、：最小项之和形式为：的卡诺图。例：画ABACDBDADCBAYBD00000101111001001010111000101111m1m4m6m15m8m9m11m10第二章 逻辑代数基础2. 由由一般逻辑式一般逻辑式直接画卡诺图直接画卡诺图先将函数变换为与或表达式（先将函数变换为与或表达式（不必变换为不必变换为最小项之和的形式最小项之和的形式），然后在卡诺图上与每一个），然后在卡诺图上与每一个乘积项所包含的那些最小项（该乘积项就是这些乘积项所包含的那些最小项（该乘积项就是这些最小项的公因子）相对应的方格内填入最小项的公因子）相对应的方格内填入1，其余，其余的方格内填入的方格内填入0。解：解：

50、这是四变量逻辑函数，画四变量卡诺图。这是四变量逻辑函数，画四变量卡诺图。第二章 逻辑代数基础分项看：分项看：1111111111第二章 逻辑代数基础)CB)(DA(Y CBDAY ABC D00011110001100010000111001101101变换为与变换为与或表达式或表达式公因子为公因子为 公因子为公因子为 说明说明：如果求得了函数的反函数：如果求得了函数的反函数 ，则对则对 中所包含的各个最小项，在卡诺图相中所包含的各个最小项，在卡诺图相应方格内填入应方格内填入0，其余方格内填入，其余方格内填入1。第二章 逻辑代数基础ABCCABCABY ABCBCABCACBACBAY 第二章

51、 逻辑代数基础四、用卡诺图化简逻辑函数四、用卡诺图化简逻辑函数、化简的依据、化简的依据A+AB=A因为卡诺图上下左右任意相邻的两格因为卡诺图上下左右任意相邻的两格之间，只改变一个变量，因此，当两个相之间，只改变一个变量，因此，当两个相邻项为邻项为“”时，可合并为一项。其依据时，可合并为一项。其依据是是基本公式：基本公式：第二章 逻辑代数基础、化简的方法、化简的方法 圈相邻圈相邻2个个“”，可消去改变值的，可消去改变值的1个个变量；变量； 圈相邻圈相邻4个个“”，可消去改变值的，可消去改变值的2个个变量；变量； 圈相邻圈相邻8个个“”，可消去改变值的，可消去改变值的3个个变量；变量； 圈相邻圈相

52、邻n个个“”，可消去改变值的，可消去改变值的n个个变量；变量；第二章 逻辑代数基础例：圈相邻例：圈相邻2个个“”,可以合并为一项，并消去一个可以合并为一项，并消去一个变量（消去变量（消去互为反变量互为反变量的因子，保留公因子）的因子，保留公因子） 。CB)AA(CBCABCBAY CDB)AA( CDBCDABCDBAY ABD)CC( ABDABCDDABCY 第二章 逻辑代数基础DBDB)AA(D)CC( ABD)CC( BACDABDCABCDBADCBA 11 11BDBD)AA(D)CC(ABD)CC(BAABCDDABCBCDADBCA DBBDDBY 第二章 逻辑代数基础 ABC

53、 D00011110000110011001111001100110B DBDBDBY 第二章 逻辑代数基础 ABCD00011110000100011111110110100100 AB C000111100111110110CC) ABABBABA(CABABCBCACBA BB)ACACCACA(ABCABCBCABCA BADCBDCBY BDDCBAY 第二章 逻辑代数基础DY DY DAY 1111第二章 逻辑代数基础第二章 逻辑代数基础 先圈大，后圈小，即先圈先圈大，后圈小，即先圈8格，后圈格，后圈4格、格、2格格保证所得乘积项数目最少且每个乘积项保证所得乘积项数目最少且每个乘积

54、项包含的因子最少；包含的因子最少； 必须是相邻方格的必须是相邻方格的“1”，才能圈起来；，才能圈起来； 允许方格重叠被圈允许方格重叠被圈(A+A=A)，但每个圈内，但每个圈内必须有一个以上（含）的必须有一个以上（含）的“1”未被其它圈圈过；未被其它圈圈过； 没有相邻项的没有相邻项的“1”，要单独圈出。，要单独圈出。 不能漏掉任何一个标不能漏掉任何一个标“1”的方格。的方格。画圈的原则：画圈的原则：第二章 逻辑代数基础3、卡诺图化简举例、卡诺图化简举例步骤：步骤：根据逻辑函数式画卡诺图；根据逻辑函数式画卡诺图；合并最小项；合并最小项；化成最简与或表达式；化成最简与或表达式；第二章 逻辑代数基础CDABBCDDABCDBCACBAY CDABCBABDY 第二章 逻辑代数基础)15,13,12,11, 9 , 6 , 5 , 3 , 1 , 0(),( imDCBAF