函数的单调性和奇偶性典型例题

1、函数的单调性和奇偶性例1  （1）画出函数y-x2+2x+3的图像，并指出函数的单调区间解：函数图像如下图所示，当x0时，y-x2+2x+3-（x-1）2+4；当x0时，y-x2-2x+3-（x+1）2+4在（-，-1和0，1上，函数是增函数：在-1，0和1，+）上，函数是减函数评析  函数单调性是对某个区间而言的，对于单独一个点没有增减变化，所以对于区间端点只要函数有意义，都可以带上（2）已知函数f（x）x2+2（a-1）x+2在区间（-，4上是减函数，求实数a的取值范围分析  要充分运用函数的单调性是以对称轴为界线这一特征解：f（x）x2+2（a-1）x+2x

2、+（a-1）-（a-1）2+2，此二次函数的对称轴是x1-a因为在区间（-，1-a上f（x）是单调递减的，若使f（x）在（-，4上单调递减，对称轴x1-a必须在x=4的右侧或与其重合，即1-a4，a-3评析  这是涉及逆向思维的问题，即已知函数的单调性，求字母参数范围，要注意利用数形结合例2  判断下列函数的奇偶性：（1）f（x） - （2）f（x）（x-1） 解：（1）f（x）的定义域为R因为f（-x）-x+1-x-1      x-1-x+1-f（x）所以f（x）为奇函数（2）f（x）的定义域为x-1x1，不关于原点对称

3、所以f（x）既不是奇函数，也不是偶函数评析  用定义判断函数的奇偶性的步骤与方法如下：（1）求函数的定义域，并考查定义域是否关于原点对称（2）计算f（-x），并与f（x）比较，判断f（-x）f（x）或f（-x）-f（x）之一是否成立f（-x）与-f（x）的关系并不明确时，可考查f（-x）±f（x）0是否成立，从而判断函数的奇偶性例3  已知函数f（x） （1）判断f（x）的奇偶性（2）确定f（x）在（-，0）上是增函数还是减函数?在区间（0，+）上呢?证明你的结论解：因为f（x）的定义域为R，又f（-x） f（x），所以f（x）为偶函数（2）f（x）在（-，0）上

4、是增函数，由于f（x）为偶函数，所以f（x）在（0，+）上为减函数其证明：取x1x20，f（x1）-f（x2） - 因为x1x20，所以x2-x10，x1+x20，x21+10，x22+10，得  f（x1）-f（x2）0，即f（x1）f（x2）所以f（x）在（-，0）上为增函数评析  奇函数在（a,b）上的单调性与在（-b,-a）上的单调性相同，偶函数在（a,b）与（-b,-a）的单调性相反例4  已知y=f（x）是奇函数，它在（0，+）上是增函数，且f（x）0，试问F（x） 在（-，0）上是增函数还是减函数?证明你的结论分析  根据函数的增减性的定义

5、，可以任取x1x20，进而判定F（x1）-F（x2） - 的正负为此，需分别判定f（x1）、f（x2）与f（x2）的正负，而这可以从已条件中推出解：任取x1、x2（-，0）且x1x2，则有-x1-x20yf（x）在（0，+）上是增函数，且f（x）0，f（-x2）f（-x1）0                 又f（x）是奇函数，f（-x2）-f（x2），f（-x1）-f（x1）      由、得 

6、 f（x2）f（x1）0于是F（x1）-F（x2） 0，即F（x1）F（x2），所以F（x） 在（-，0）上是减函数评析  本题最容易发生的错误，是受已知条件的影响，一开始就在（0，+）内任取x1x2，展开证明这样就不能保证-x1，-x2，在（-，0）内的任意性而导致错误避免错误的方法是：要明确证明的目标，有针对性地展开证明活动例5  讨论函数f（x） （a0）在区间（-1，1）内的单调性分析  根据函数的单调性定义求解解：设-1x1x2，则f（x1）-f（x2） -         

7、 x1，x2（-1，1），且x1x，x1-x20，1+x1x20，（1-x21）（1-x22）0于是，当a0时，f（x1）f（x2）；当a0时，f（x1）f（x2）故当a0时，函数在（-1，1）上是增函数；当a0时，函数在（-1，1）上为减函数评析  根据定义讨论（或证明）函数的单调性的一般步骤是：（1）设x1、x2是给定区间内任意两个值，且x1x2；（2）作差f（x1）-f（x2），并将此差式变形；（3）判断f（x1）-f（x2）的正负，从而确定函数的单调性例6  求证：f（x）x+ （k0）在区间（0，k上单调递减解：设0x1x2k，则f（x1）-f（x2）x1+ -x

8、2-           0x1x2k，x1-x20，0x1x2k2，f（x1）-f（x2）0f（x1）f（x2），f（x）x+ 中（0，k上是减函数评析  函数f（x）在给定区间上的单调性反映了函数f（x）在区间上函数值的变化趋势，是函数在区间上的整体性质因此，若要证明f（x）在a,b上是增函数（减函数），就必须证明对于区间a,b上任意两点x1，x2，当x1x2时，都有不等式f（x1）f（x2）（f（x1）f（x2）类似可以证明：函数f（x）x+ （k0）在区间k，+上是增函数例7  判断函数f（x） 的奇偶性分析  确定函数的定义域后可脱去绝对值符号解：由 得函数的定义域为-1，1这时，x-22-xf（x） ，f（-x） f（x）且注意到f（x）不恒为零，从而可知，f（x） 是偶函数，