第7电磁感应与Maxwell方程组

1、1 法拉第法拉第（Michael Faraday, 1791-1867），伟大的英国物理学），伟大的英国物理学家和化学家。他创造性地提出场家和化学家。他创造性地提出场的思想，磁场这一名称是法拉第的思想，磁场这一名称是法拉第最早引入的。他是电磁理论的创最早引入的。他是电磁理论的创始人之一，于始人之一，于1831年发现电磁感年发现电磁感应现象，后又相继发现电解定律，应现象，后又相继发现电解定律，物质的抗磁性和顺磁性，以及光物质的抗磁性和顺磁性，以及光的偏振面在磁场中的旋转。的偏振面在磁场中的旋转。第七章第七章 电磁感应与麦克斯韦方程组电磁感应与麦克斯韦方程组2 7.1 7.1 电磁感应定律电磁感应

2、定律一、电磁感应现象一、电磁感应现象 (phenomena of electromagnetic induction)3 当穿过一个闭合导体回路所包围的面积内当穿过一个闭合导体回路所包围的面积内的磁通量发生变化时，回路中就出现电流的磁通量发生变化时，回路中就出现电流感应电流。感应电流。d dmBS 4二、二、楞次定律楞次定律 ( lenzs law)用楞次定律判断感应电流方向NBSvNSBvII5三、法拉第电磁感应定律：三、法拉第电磁感应定律： (Faradays law of electromagnetic induction)1.1.表述：表述：感应电动势的大小和通过导体回路的感应电动势的

3、大小和通过导体回路的磁通量的变化率成正比。磁通量的变化率成正比。d dd dt 6（N）磁链磁链d dd d()Nt 2.2.符号规则：符号规则：1）取原磁通）取原磁通 的的方向为正方向；方向为正方向；0dtd 3）若穿过回路的磁通量增大，）若穿过回路的磁通量增大， 则则 0，且为恒量，求管内，且为恒量，求管内外感生电场。外感生电场。BdtdB(1) R，22BElErRt 感感d dd dd d22RBErt 感d dd d2SBBsRtt d dd dd d EEEErRB 31 解解 ：连结连结oa、ob构成一闭合回路，构成一闭合回路，d dd dd dabElt 感d dd dd dd

4、 dd dd dBBSSttt （）2021130212cosSSSRR 扇方向方向 例例7-67-6 均匀磁场均匀磁场 分布在半径为分布在半径为R的圆柱形空间的圆柱形空间内，内， （C为常数）求导体为常数）求导体ab中的感生电动势。中的感生电动势。B0CdtdB 23412abR C （）223412RR R RRabdOf32应用实例电子感应加速器应用实例电子感应加速器利用感生电场对电子加速的装置。利用感生电场对电子加速的装置。33北京正负电子对撞机的储存环34直径直径2km的美国费米国立加速器鸟瞰图的美国费米国立加速器鸟瞰图353612ERt 感d dd d同时又受到所在处磁场的洛仑兹力

5、的作用，同时又受到所在处磁场的洛仑兹力的作用，2vvBemR 电子在环形真空室中受到感生电场的作用，电子在环形真空室中受到感生电场的作用，为使为使 (1)恒恒量量 eBmvR而而 (2)22d dd dd dd d()m veeER BtRt 感d（）B B必须满足一定条件必须满足一定条件式中式中 为电子圆形轨道区域内的平均磁感应强度。为电子圆形轨道区域内的平均磁感应强度。B3713d dd dd dd dBmvteRt （）（ ）对（对（1 1）求导得：）求导得：比较（比较（2）、（）、（3）两式，得）两式，得dtBd21dtdB 12BB B B必须满足一定条件必须满足一定条件38 7.4

6、7.4 自感自感 (self-induction)一、自感现象一、自感现象 (self-induction phenomenon) 当回路中电流随时间变化时，通过回路自身当回路中电流随时间变化时，通过回路自身的全磁通量也发生变化，因而在回路中产生感应的全磁通量也发生变化，因而在回路中产生感应电动势的现象称为电动势的现象称为自感现象自感现象，相应的电动势称为，相应的电动势称为自感电动势自感电动势。 二、自感电动势与自感（系数）二、自感电动势与自感（系数）L (self-induction electromotive force self-inductance ) 1.自感自感 L 当回路的几何形

7、状不变，其周围空间又不当回路的几何形状不变，其周围空间又不存在铁磁质时，存在铁磁质时， 39通过回路所围面积的磁通链通过回路所围面积的磁通链N与与I成正比，成正比， ILN L回路的自感（系数）回路的自感（系数） 决定于回路的几何形状及磁介质的磁导率决定于回路的几何形状及磁介质的磁导率 ）（1ILN - 回路自感的大小等于回路回路自感的大小等于回路中的电流为单位值时，通过该回中的电流为单位值时，通过该回路所围面积的磁通链数。路所围面积的磁通链数。 单位单位：亨利：亨利 1 H1W/A， H103H106H。 40()NLLIILLItttt （）d ddddddddddddddd回路的几何形状

8、及周围磁介质的磁导率不变时回路的几何形状及周围磁介质的磁导率不变时 0Lt d dd dLILt d dd d）（2dtdILL 定义式定义式( (普适普适) )2.自感电动势自感电动势L 41 L值是在值是在 dt 时间内，电流从时间内，电流从 I 改变到改变到 IdI 时的（即与电流值时的（即与电流值 I 相应的）自感值。相应的）自感值。 （1）、（）、（2）两式仅在）两式仅在L不变时才是一致不变时才是一致的。的。42例例77 一长直螺线管，一长直螺线管，充满磁导率为充满磁导率为 的均匀磁的均匀磁介质，长为介质，长为，半径为，半径为R，总匝数为总匝数为 N，试计算自感，试计算自感值。值。解

9、解：设线圈内通有恒定电流设线圈内通有恒定电流 I，NBI 22/NNBSN IRl 2222/NLNRln vn vI lSE43方法二：方法二：2222dd dd dd dd d/ )NLN IRldttNRIlt （当当I I变化时变化时222dddd/LLNRln vIt 441RI例例78 两个无限长同轴圆筒形导体组成的电缆，两个无限长同轴圆筒形导体组成的电缆，其间充满磁导率为其间充满磁导率为的均匀磁介质，内外筒上流过的均匀磁介质，内外筒上流过的电流的电流 I 等值反向，设内、外的半径分别为等值反向，设内、外的半径分别为R1、R2，求单位长度电缆的自感值。求单位长度电缆的自感值。解解：

10、2IB r rR1 R ：取一面元，取一面元，l ld dr rd BldrSPRQ2RlIrrd45212RLIlR ll ln n212122RRRIIll rrRddlnddln通过筒间长的截面的总磁通量为：通过筒间长的截面的总磁通量为：单位长电缆的自感值为：单位长电缆的自感值为：1RISPRQ2RlIrrd46互感电动势互感电动势 互感互感 在在 电流回电流回路中所产生的磁通量路中所产生的磁通量 1I2I2121 1M I 在在 电流回路电流回路 中所产生的磁通量中所产生的磁通量 1I2I12122M I 互感仅与两个线圈形状、大小、匝数、相互感仅与两个线圈形状、大小、匝数、相对位置以

11、及周围的磁介质有关对位置以及周围的磁介质有关（无铁磁质时为常无铁磁质时为常量量）.注意注意1 ）互感系数互感系数 （理论可证明理论可证明）2112122112MMMII 1B2B2I1I47211212MItIt EEd d d dd d d d 互感系数互感系数问：问：下列几种情况互感是否变化下列几种情况互感是否变化？ 1）线框平行直导线移动；线框平行直导线移动； 2）线框垂直于直导线移动线框垂直于直导线移动； 3）线框绕线框绕 OC 轴转动轴转动； 4）直导线中电流变化直导线中电流变化.OC2 ）互感电动势）互感电动势 tdIdM212 EtdIdM121 E48 7.57.5 磁场的能量

12、磁场的能量 (energy of magnetic field) 自感自感 为为L的线圈中通有电流的线圈中通有电流I时所储存的磁能时所储存的磁能等于该电流消失时自感电动势所作的功等于该电流消失时自感电动势所作的功.d dddddddddd dLiAi tLi tLi it 电流由起始值减到电流由起始值减到0时，自感电动势所作的总功时，自感电动势所作的总功.0212ddddIAALi iLI49212mWLI 磁 能载流长直螺线管载流长直螺线管0BnI 2Ln V n22202211221122mBWLIVBVBHV 具有自感具有自感L的线圈通有电流的线圈通有电流I时，所具有的磁能：时，所具有的

13、磁能：lr2ER50磁场能量体密度为：磁场能量体密度为：212mmWBV 普遍成立普遍成立对一般非均匀场，磁场的总能量为：对一般非均匀场，磁场的总能量为：212mmBWVV dddd51例例79一根很长的同轴电缆由半径为一根很长的同轴电缆由半径为 R1 的圆柱体的圆柱体与内半径为与内半径为 R2 的同心圆柱壳组成，电缆中央的导的同心圆柱壳组成，电缆中央的导体中通有电流体中通有电流 I，再经外层导体返回形成一闭合回，再经外层导体返回形成一闭合回路。试计算：（路。试计算：（1）长为）长为的一段电缆内的磁场中的一段电缆内的磁场中所储存的能量；（所储存的能量；（2）该段电缆的自感。）该段电缆的自感。

14、解解 ： 由安培环路定理可由安培环路定理可求得内、外导体间区域求得内、外导体间区域（R1 R2）区域）区域 B012RII2R1R52122RR2VmmRRln4lIrdr4lIdVW21 2mIL21W2 ）由由（122mRRln2IW2L 2222m8IB21）（ 1rdr4lIdrlr2r8IVW2222mm 2R1Rrdr53 麦克斯韦麦克斯韦（1831-1879）英）英国物理学家国物理学家 。 经典电磁理论的经典电磁理论的奠基人奠基人 , 气体动理论创始人之气体动理论创始人之一一 . 他提出了有旋场和位移电流他提出了有旋场和位移电流的概念的概念 , 建立了经典电磁理论建立了经典电磁理

15、论 , 并预言了以光速传播的电磁波的并预言了以光速传播的电磁波的存在存在 。在气体动理论方面。在气体动理论方面 , 他他还提出了气体分子按速率分布的还提出了气体分子按速率分布的统计规律。统计规律。54麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组 Maxwell equations 7.6 位移电流位移电流displacement current 稳恒电流情况下，磁场的安培环路定理稳恒电流情况下，磁场的安培环路定理 非稳恒？非稳恒？ 提出了提出了变化的电场激发磁场的假设变化的电场激发磁场的假设， 引入了引入了位移电流位移电流的概念，的概念， 麦克斯韦方程组，麦克斯韦方程组， 预言了电磁波的存在。预言了电磁波的存

16、在。 i0IldB以电容器的充、放电电路为例：以电容器的充、放电电路为例：55矛盾矛盾整个电路整个电路:传导电传导电流不连续的。流不连续的。 将安培环路定理将安培环路定理用于以用于以L为边界的不为边界的不同曲面同曲面 S1和和 S2 ，对对S1面：面： IldB0 0ldB对对S2面：面：+-I1S2SL56 平行板电容器极板上电荷面密度平行板电容器极板上电荷面密度D，dtdDSdtdSdtdqI 即导线中的电流即导线中的电流I等于极等于极板上的板上的tDSdtdqI 电容器极板上积累的电容器极板上积累的电荷速率电荷速率应与导体中的应与导体中的电流强度电流强度相等，相等，57充电时充电时： 与

17、与I方向一致；方向一致；Dtd dd dD充电充电cI- +D放电放电cI + 放电时放电时： 与与I方向一致；方向一致；Dtd dd d58导线中的电流导线中的电流I 变化的电场也是一种电流，称为变化的电场也是一种电流，称为位移电流位移电流tD）（DS位移电流密度：位移电流密度：dtDdjd 位移电流：位移电流：dtddtdDSID 59 传导电流与位移电流的传导电流与位移电流的比较比较自由电荷宏观自由电荷宏观定向运动定向运动变化电场和极化变化电场和极化电荷的微观运动电荷的微观运动产生焦耳热产生焦耳热只在导体中存在只在导体中存在无焦耳热，无焦耳热，在导体、电介质、在导体、电介质、真空真空 中

18、均存在中均存在都能激发磁场都能激发磁场起源起源特点特点共同点共同点传导电流传导电流Ic位移电流位移电流Id60 电场中某点的电场中某点的位移电流密度位移电流密度等于该点的等于该点的电电位移的时间变化率位移的时间变化率，通过电场中某截面的通过电场中某截面的位移电位移电流流等于通过该截面等于通过该截面电位移通量的时间变化率电位移通量的时间变化率。全电流全电流III全电流总是连续的全电流总是连续的-（全电流定律）（全电流定律） )sddtDdsd(IIldBSS0d0L 61+-I1S2SL对于对于S2面：面：IdtdqdtdIldB00D0Ld0 62（对称性）（对称性） 电介质中电介质中的电流主

19、要是的电流主要是位移电流位移电流，传导电，传导电流可忽略；而在流可忽略；而在导体中导体中主要是主要是传导电流传导电流，位移，位移电流可忽略。电流可忽略。 位移电流与传导电流存在位移电流与传导电流存在根本区别根本区别，只，只有在有在激发磁场激发磁场方面二者是方面二者是等效等效的，的，变化的电场变化的电场（涡旋场）（涡旋场）（涡旋场）（涡旋场）变化的磁场变化的磁场感感EI统一的电磁场统一的电磁场63 解解 ： 例例7 71010半径为半径为R R0.10.1的两块圆板，构成平行的两块圆板，构成平行板电容器，对其匀速充电，使极板间电场变化率板电容器，对其匀速充电，使极板间电场变化率为：为： 求求: : （1 1）两极板间的位移电流）两极板间的位移电流I I； （2 2）电容器内距两板中心连线为）电容器内距两板中心连线为（RR）处的）处的B B值。值。1310d dd dv/Emst A8 .2101085.81 .014.3dtdERdtdDSdtd）I11312202Dd （64 L02drrdtdErIr2HldHdtdE2