经济数学-偏导数及其在经济中的应用)

1、一、偏导数的定义及其计算方法一、偏导数的定义及其计算方法二、偏导数的几何意义及函数偏二、偏导数的几何意义及函数偏 导数存在与函数连续的关系导数存在与函数连续的关系三、高阶偏导数三、高阶偏导数第二节第二节 偏导数及其偏导数及其 在经济分析中的应用在经济分析中的应用五、小结五、小结 思考题思考题四、偏导数在经济分析中的应用四、偏导数在经济分析中的应用 交叉弹性交叉弹性一、偏导数的定义及其计算法xyxfyxxfx ),(),(lim00000),(yxfz ),(00yx如果如果存在，则称此极限为函存在，则称此极限为函数数在点在点处对处对x的偏导数的偏导数(partial derivative)，记

2、为，记为),(),(0000yxfyxxf 00yyxxxz ，00yyxxxf ，00yyxxxz 或或),(00yxfx.如果函数如果函数),(yxfz 在区域在区域D内任一点内任一点),(yx处对处对x的偏导数都存在，那么这个偏导数的偏导数都存在，那么这个偏导数就是就是x、y的函数，它就称为函数的函数，它就称为函数),(yxfz 对对自变量自变量x的偏导数，的偏导数， 记作记作xz ，xf ，xz或或),(yxfx.同理可以定义函数同理可以定义函数),(yxfz 对自变量对自变量y的偏导的偏导数，记作数，记作yz ，yf ，yz或或),(yxfy.偏导数的概念可以推广到二元以上函数偏导数

3、的概念可以推广到二元以上函数如如 在在 处处 ),(zyxfu ),(zyx,),(),(lim),(0 xzyxfzyxxfzyxfxx ,),(),(lim),(0yzyxfzyyxfzyxfyy .),(),(lim),(0zzyxfzzyxfzyxfzz 注意：注意：实际求实际求 的偏导数时，因为始终只的偏导数时，因为始终只有一个自变量在变动，另一个自变量可看作有一个自变量在变动，另一个自变量可看作常量，所以仍旧用一元函数的微分方法求解常量，所以仍旧用一元函数的微分方法求解.),(yxfz 求解求解xf 求导数求导数暂时看作常量而对暂时看作常量而对把把xyyf 求导数求导数暂时看作常量

4、而对暂时看作常量而对把把yx例例 1 1 求求 223yxyxz 在点在点)2 , 1(处的偏导数处的偏导数解解 xz;32yx yz.23yx 21yxxz,82312 21yxyz.72213 例例 2 2 设设yxz )1, 0( xx， 求求证证 zyzxxzyx2ln1 .证证 xz,1 yyx yz,ln xxyyzxxzyx ln1xxxyxyxyylnln11 yyxx .2z 原结论成立原结论成立例例 3 3 设设22arcsinyxxz ，求，求xz ，yz .解解 xz xyxxyxx2222211322222)(|yxyyyx .|22yxy |)|(2yy yz yy

5、xxyxx222221132222)()(|yxxyyyx yyxx1sgn22 )0( y00 yxyz不存在不存在偏导数偏导数xu 是一个整体记号，不能拆分是一个整体记号，不能拆分;).0, 0(),0, 0(,),(,yxffxyyxfz求求设设例例如如 有关偏导数的几点说明：有关偏导数的几点说明：.求分界点、不连续点处的偏导数要用求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求；定义求；解解xxfxx0|0|lim)0 , 0(0 0 ).0 , 0(yf 例例 4 4 已知理想气体的状态方程已知理想气体的状态方程RTpV （R为常数） ，求证：为常数） ，求证：1 pTTVVp.证证 VRTp

6、;2VRTVp pRTV;pRTV RpVT;RVpT pTTVVp2VRT pR RV . 1 pVRT 二、偏导数的几何意义 及函数偏导数存在与函数连续的关系 偏导数偏导数),(00yxfx就是曲面被平面就是曲面被平面0yy 所截得的曲线在点所截得的曲线在点0M处的切线处的切线xTM0对对x轴的轴的斜率斜率. 偏导数偏导数),(00yxfy就是曲面被平面就是曲面被平面0 xx 所截得的曲线在点所截得的曲线在点0M处的切线处的切线yTM0对对y轴的轴的斜率斜率.1 1几何意义几何意义图示图示,),(),(,(00000上一点上一点为曲面为曲面设设yxfzyxfyxM 2.偏导数存在与连续的关

7、系偏导数存在与连续的关系例如例如,函数函数 0, 00,),(222222yxyxyxxyyxf,依定义知在依定义知在)0 , 0(处，处，0)0 , 0()0 , 0( yxff.但函数在该点处并不连续但函数在该点处并不连续. 偏导数存在偏导数存在 连续连续.一元函数中在某点可导一元函数中在某点可导 连续，连续，多元函数中在某点偏导数存在多元函数中在某点偏导数存在 连续，连续，),(22yxfxzxzxxx ),(22yxfyzyzyyy ),(2yxfyxzxzyxy ),(2yxfxyzyzxyx 函函数数),(yxfz 的的二二阶阶偏偏导导数数为为纯偏导纯偏导混合偏导混合偏导定义：二阶

8、及二阶以上的偏导数统称为高阶定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数偏导数.三、高阶偏导数例例 5设设13323 xyxyyxz，求求22xz 、xyz 2、yxz 2、22yz 及33xz .解解xz ,33322yyyx yz ;9223xxyyx 22xz ,62xy 22yz ;1823xyx 33xz ,62y xyz 2. 19622 yyxyxz 2, 19622 yyx例例 6 6 设设byeuaxcos ，求求二二阶阶偏偏导导数数.解解,cosbyaexuax ;sinbybeyuax ,cos222byeaxuax ,cos222byebyuax ,sin2byabey

9、xuax .sin2byabexyuax 问题：问题：混合偏导数都相等吗？具备怎样的条件才混合偏导数都相等吗？具备怎样的条件才相等？相等？例例 7 7 验证函数验证函数22ln),(yxyxu 满足拉普拉满足拉普拉斯方程斯方程 . 02222 yuxu解解),ln(21ln2222yxyx ,22yxxxu ,22yxyyu ,)()(2)(222222222222yxxyyxxxyxxu .)()(2)(222222222222yxyxyxyyyxyu 22222222222222)()(yxyxyxxyyuxu . 0 四、偏导数在经济分析中的应用交叉弹性(cross elastic)在一

10、元函数微分学中在一元函数微分学中,我们引出了边际我们引出了边际和弹性的概念和弹性的概念,来分别表示经济函数在来分别表示经济函数在一点的变化率和相对变化率一点的变化率和相对变化率,这些概念这些概念也可以推广到多元函数微分学中去也可以推广到多元函数微分学中去,并并被赋予了丰富的经济含义被赋予了丰富的经济含义.实例实例某种品牌的电视机营销人员在开拓市场时某种品牌的电视机营销人员在开拓市场时,除除关心本品牌电视机的价格取向外关心本品牌电视机的价格取向外,更关心其他更关心其他品牌同类型电视机的价格情况品牌同类型电视机的价格情况,以决定自己的以决定自己的营销策略营销策略.即该品牌电视机的销量即该品牌电视机

11、的销量 是它的是它的价格价格 和其他品牌电视机价格和其他品牌电视机价格 的函数的函数.AQAPBP BAAPPfQ, APBP通过分析其边际通过分析其边际 及及 可知道可知道, 随随着着 及及 变化的规律变化的规律.AQAAPQ BBPQ AAAAPQPQ 进一步分析其弹性进一步分析其弹性,可知这种变化的灵敏度可知这种变化的灵敏度.BABAPQPQ 及及的弹性的弹性对对AAPQ的弹性的弹性对对BAPQ性性弹弹叉叉交交的的对对BAPQ亦称为亦称为解解:15 XYPQ2401015152120 YQ625. 02401015 YXXYXYQPPQE则则时时商商品品的的交交叉叉弹弹性性，求求当当，某

12、某商商品品的的需需求求函函数数为为例YXXYYPPPPQ解：解：BBPABPBAQPPQ 0.85 5%4.25%BBPABPABQPQP 即即交叉弹性的经济意义交叉弹性的经济意义;为为替替代代品品与与交交叉叉弹弹性性大大于于零零，称称YX为为互互补补品品；与与交交叉叉弹弹性性小小于于零零，称称YX相相互互独独立立的的商商品品与与交交叉叉弹弹性性等等于于零零，称称YX经经济济意意义义的的相相关关性性，具具有有明明确确的的映映了了两两种种商商品品之之间间不不同同交交叉叉弹弹性性的的值值，反反一般定义一般定义 的的相相对对改改变变量量函函数数对对存存在在处处偏偏导导数数在

13、在设设函函数数xyxyxfz, yxfyxfyxxfzzx, 之比之比的相对改变量的相对改变量与自变量与自变量xxx xxzzx .,两点间的弹性两点间的弹性到到从从对对称为函数称为函数xxxxyxf 即即.lim0zxxzxxzzEExxxzx ,0时时当当 xxxzzx 记作记作的弹性的弹性处对处对在在的极限称为的极限称为,xyxyxf,xzxEE或或 .lim0zyyzyyzzEEyyyzy 的弹性的弹性处对处对在在类似地可定义类似地可定义yyxyxf, .,表表示示需需求求对对收收入入的的弹弹性性需需求求对对价价格格的的弹弹性性，表表示示表表示示消消费费者者收收入入，则则表表示示价价格

14、格，表表示示需需求求量量，中中特特别别地地，如如果果yxyxzyxfz 偏导数的定义偏导数的定义偏导数的计算、偏导数的几何意义偏导数的计算、偏导数的几何意义高阶偏导数高阶偏导数（偏增量比的极限）（偏增量比的极限） 纯偏导纯偏导混合偏导混合偏导（相等的条件）（相等的条件）五、小结偏导数在经济分析中的应用偏导数在经济分析中的应用思考题思考题思考题解答思考题解答不能不能.,),(22yxyxf 在在)0 , 0(处处连连续续,但但 )0 , 0()0 , 0(yxff 不存在不存在.例如例如,练练 习习 题题八、八、X X 公司和公司和 Y Y 公司是机床行业的两个竞争者，这公司是机床行业的两个竞争

15、者，这两家公司的主要产品的需求曲线分别为：两家公司的主要产品的需求曲线分别为： YYXXQPQP41600;51000 公司公司 X X、Y Y 现在的销售量分别是现在的销售量分别是 100100 个单位和个单位和250250 个单位。个单位。 (1)X(1)X 和和 Y Y 当前的价格弹性是多少？当前的价格弹性是多少？ (2)(2)假定假定 Y Y 降价后，使降价后，使YQ增加到增加到 300300 个单位，同时个单位，同时导致导致 X X 的销售量的销售量XQ下降到下降到 7575 个单位，试问个单位，试问 X X 公公司产品的交叉价格弹性是多少？司产品的交叉价格弹性是多少？ (3)(3)

16、假定假定 Y Y 公司目标是谋求销售收入极大，你认为公司目标是谋求销售收入极大，你认为它降价在经济上是否合理它降价在经济上是否合理？ 九九、假设市场由、假设市场由 A A、B B 两个人组成，他们对商品两个人组成，他们对商品 X X的需求函数分别为：的需求函数分别为： XBBBXAAYAPIKDPIKPD/;/ )( (1)(1)商品商品 X X 的市场需求函数；的市场需求函数； (2)(2)计算对商品计算对商品 X X 的市场需求价格弹性；若的市场需求价格弹性；若 Y Y 是是另外一种商品，另外一种商品，YP是其价格，求商品是其价格，求商品 X X 对对 Y Y的需求交叉弹性。的需求交叉弹性。 (3)(3)设设BAII 、是是 A A 和和 B B 的收入，设在总收入不变的收入，设在总收入不变的情况下，通过收入的再分配使的情况下，通过收入的再分配使B B