高等数学第八章

1、数量关系数量关系 第一部分第一部分 向量代数向量代数第二部分第二部分 空间解析几何空间解析几何 在三维空间中:空间形式空间形式 点点, , 线线, , 面面基本方法基本方法 坐标法坐标法; ; 向量法向量法坐标坐标, , 方程（组）方程（组）空间解析几何与向量代数 一、向量的概念一、向量的概念二、向量的线性运算二、向量的线性运算 机动 目录 上页 下页 返回 结束 向量及其线性运算 第八八章 .a 或 或表示法:向量的模 （范数）:向量的大小,21MM记作. r 向量:(又称矢量). 1M2M既有大小, 又有方向的量称为向量向径 (矢径): 起点为坐标原点的向量，记作有向线段 M1 M2 ,或

2、 a ,a或.a或或机动 目录 上页 下页 返回 结束 自由向量: 与起点无关的向量.单位向量: 模为 1 的向量,. e记作记作机动 目录 上页 下页 返回 结束 与向量 同方向的单位向量记作:.aea零向量: 模为 0 的向量,.00或，记作规定：零向量的方向是任意的。规定：零向量的方向是任意的。规定: 零向量与任何向量平行 ;若向量 a 与 b大小相等, 方向相同, 则称 a 与 b 相等,记作 ab ;若向量 a 与 b 方向相同或相反, 则称 a 与 b 平行, ab ;记作机动 目录 上页 下页 返回 结束 线的夹角（0）为a与b的夹角，记作平移非零向量 a 或 b，使起点重合，

3、称 它们所在射( , )a b 与 a 的模相同, 但方向相反的向量称为 a 的负向量,记作a ;机动 目录 上页 下页 返回 结束 因平行向量可平移到同一直线上, 故两向量平行又称 两向量共线 .若 k (3)个向量经平移可移到同一平面上 , 则称此 k 个向量共面 .1. 向量的加法向量的加法三角形法则:平行四边形法则:运算规律 : 交换律结合律机动 目录 上页 下页 返回 结束 bbabbacba )()(cbacbaabcba cb)(cbacba )(aaba ba 机动 目录 上页 下页 返回 结束 s3a4a5a2a1a54321aaaaas三角形法则可推广到多个向量相加 .三角

4、不等式机动 目录 上页 下页 返回 结束 ab)( ab有时特别当,ab aa )( aababaabababa0babaaa 是一个数 ,.a规定 :时，0，同向与aa,0时,0时.0a;aa;aa 与 a 的乘积是一个新向量, 记作，反向与aa总之:机动 目录 上页 下页 返回 结束 运算律 : 结合律)(a)(aa分配律a)(aa)(baba, 0a若ae 则有单位向量 则有单位向量 1.|aa因此|aaa e 机动 目录 上页 下页 返回 结束 设 a 为非零向量 , 则( 为唯一实数)证证: “ ”., 取 且abab设 abba取正号, 反向时取负号, a , b 同向时则 b 与

5、 a 同向,aa baab.ab故机动 目录 上页 下页 返回 结束 再证数 的唯一性 .则,0故.即设又有 b a ,0)(a,0a而“ ”则,0 时当,0 时当,0 时当已知 b a ,b0a , b 同向a , b 反向ab 机动 目录 上页 下页 返回 结束 由定理1的结论可知：若0, / , aba 且且那那么么|.abb e 机动 目录 上页 下页 返回 结束 b与a同向时取正号，反向时取负号。设 a 为非零向量 , 则( 为唯一实数)abab更一般地，有以下结论：OuuePu则：|ue OPOPue u推论：推论：对数轴上任意一点P，轴上有向线段OP 都可以惟一地表示为点P的坐标

6、与轴上单位向量的乘积：ue OPu机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 设 M 为MBACD解解:ABCD 对角线的交点,ba,aAB ,bDAACMC2MA2BDMD2MB2.,MDMCMBMAba表示与试用baab)(21baMA)(21abMB)(21baMC)(21abMD机动 目录 上页 下页 返回 结束 其中一个向量可以表示成其余两个向量的其中一个向量可以表示成其余两个向量的线性组合。线性组合。 定理定理2：三向量三向量 a, b, c 共面的充分必要条件是：共面的充分必要条件是： 推论：推论：三向量三向量 a, b, c 共面的充分必要条件是：共面的充分必要条件是：存在不

7、全为零的数存在不全为零的数123,使使 得得kkk1230.abc kkk机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理2的证明：的证明：个向量共线，那么结论显然成立。个向量共线，那么结论显然成立。首先，如果三个向量中至少有一个零向量或者有两首先，如果三个向量中至少有一个零向量或者有两下面设三个向量均为非零向量，且任意两个向量不共线，下面设三个向量均为非零向量，且任意两个向量不共线，充分性：充分性：假设假设00(,),c =ab 作向量作向量,MA =a MBb 机动 目录 上页 下页 返回 结束 MAaBbcc 是以是以MA，MB为邻边为邻边C的平行四边形的对角线的平行四边形的对角线MC，即三

8、向量即三向量,ab c共面共面aabb 而而与与 共共线线，与与 共共线线，所所以以, ,a b c共共面面。机动 目录 上页 下页 返回 结束 必要性：必要性：因为因为, ,a b c共面，所以可使它们有公共起点，作共面，所以可使它们有公共起点，作,MA = a MBb MCc 机动 目录 上页 下页 返回 结束 过点过点C作作/CAMBMAA 交交所所在在直直线线于于点点 ，/CBMAMBB 作作交交所所在在直直线线于于点点 ，则则MACB为平行四边形，且为平行四边形，且+cMCMA MB 其中其中|aMABCBCa |BCaa |bMBACACb |ACbb 机动 目录 上页 下页 返回

9、 结束 记记a记记b则有结论成立。则有结论成立。一、空间直角坐标系一、空间直角坐标系二、向量的坐标表示二、向量的坐标表示 机动 目录 上页 下页 返回 结束 点的坐标与向量的坐标 第八八章 三、向量的模，方向角三、向量的模，方向角 四、向量的投影四、向量的投影 xyz由三条互相垂直的数轴按右手规则组成一个空间直角坐标系. 坐标原点 坐标轴x轴(横轴)y轴(纵轴)z 轴(竖轴)过空间一定点 o ,o 坐标面 卦限(八个)面xoy面yozzox面1. 空间直角坐标系的基本概念空间直角坐标系的基本概念机动 目录 上页 下页 返回 结束 xyzo向径 11坐标轴上的点 P, Q , R ;坐标面上的点

10、 A , B , C点点 M特殊点的坐标 :有序数组),(zyx 11)0 , 0 ,(xP)0 , 0(yQ), 0 , 0(zR)0 ,(yxA), 0(zyB),(zoxC(称为点 M 的坐标坐标)原点 O(0,0,0) ;rr机动 目录 上页 下页 返回 结束 M坐标轴 : 轴x00zy00 xz轴y轴z00yx坐标面 :面yox0 z面zoy0 x面xoz0 y机动 目录 上页 下页 返回 结束 xyzo在空间直角坐标系下,设点 M , ),(zyxM则kzjyixrxoyzMNBCijkA,轴上的单位向量分别表示以zyxkji的坐标为此式称为向量 r 的标准分解式标准分解式 ,r任

11、意向量 r 可用向径 OM 表示.NMONOMOCOBOA机动 目录 上页 下页 返回 结束 , ixOA, jyOBkzOC沿三个坐标轴方向的分向量分向量.rkzjyix称为向量, ,rxyz 向量 的坐标表示式r在空间直角坐标系下，在空间直角坐标系下， 空间中任意一点空间中任意一点M对应一个向量对应一个向量r OM( , , )M x y z ,rxyz 点M关于原点的向径机动 目录 上页 下页 返回 结束 设,xyzaaaa ,xyzbbbb 则ba,xxyyzzabababa,xyzaaaab,0 时当aabxxabyyabzzabxxabyyabzzab平行向量对应坐标成比例:，为实

12、数机动 目录 上页 下页 返回 结束 在AB直线上求一点 M , 使解解: 设 M 的坐标为, ),(zyx如图所示ABMo11MAB, ),(111zyxA),(222zyxB及实数, 1得 ,xyz 11121212,xxyyzz 即.MBAMAMMBAMOAOM MBOMOB AOOM )(OMOB OMOBOA(机动 目录 上页 下页 返回 结束 得定比分点公式定比分点公式:,121xx,121yy121zz,1时当点 M 为 AB 的中点 ,于是得x,221xx y,221yy z221zz ABMoMAB ,xyz 11121212,xxyyzz xyz中点公式中点公式:机动 目录

13、 上页 下页 返回 结束 定理定理1：三向量三向量,abcxyzxyzxyza a ab b bc c c共面的充分必要条件是共面的充分必要条件是0 xyzxyzxyzaaabbbccc机动 目录 上页 下页 返回 结束 向量向量 a, b, c 共面共面证明：由定理证明：由定理1.2的推论可知的推论可知存在不全为零的数存在不全为零的数123,使使 得得kkk1230.abc kkk 齐次线性方程组齐次线性方程组123123123000. xxxyyyzzzk ak bk ck ak bk ck ak bk c有非零解组有非零解组0 xyzxyzxyzaaabbbccc机动 目录 上页 下页

14、返回 结束 P11 例题例题1. 向量的模与两点间的距离公式向量的模与两点间的距离公式222zyx ,rxyz 设设则有OMr 222OROQOPxoyzMNQRP由勾股定理得, rOM作OMr OROQOP机动 目录 上页 下页 返回 结束 ),(111zyxA因AB得两点间的距离公式:212121,xxyyzz212212212)()()(zzyyxx对两点与, ),(222zyxBBABAOAOBBA机动 目录 上页 下页 返回 结束 )7, 1 ,4(A等距解解: 设该点为, ),0,0(zM,BMAM因为 2)4(212)7(z 23252)2(z解得,914z故所求点为及)2,5,

15、3(B. ),0,0(914M思考思考: (1) 如何求在 xoy 面上与A , B 等距离之点的轨迹方程?(2) 如何求在空间与A , B 等距离之点的轨迹方程 ?离的点 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ABe (1) 设动点为, )0,(yxM利用,BMAM得,028814 yx(2) 设动点为, ),(zyxM利用,BMAM得014947zyx且0z例例6. 已知两点)5,0,4(A和, )3, 1 ,7(B解解:求1413 , 1 ,2 312,141414 BABA机动 目录 上页 下页 返回 结束 ABe oyzx设有两非零向量 ,ba任取空间一点 O ,aOA作,bOBO

16、AB称 =AOB (0 ) 为向量 ba,的夹角. ),(ab或类似可定义向量与轴, 轴与轴的夹角 . , , 0 ,rx y z 给给定定与三坐标轴的夹角 , , rr称为其方向角方向角.方向角的余弦称为其方向余弦方向余弦. 记作),(ba机动 目录 上页 下页 返回 结束 oyzxrcosrx222zyxxcosry222zyxycosrz222zyxz1coscoscos222方向余弦的性质:的单位向量向量 rrrer cos, cos, cos 机动 目录 上页 下页 返回 结束 已知向量的坐标可以求出其模和方向余弦（角）；已知向量的坐标可以求出其模和方向余弦（角）；反之，已知向量的模

17、和方向角，可以确定其的坐标：反之，已知向量的模和方向角，可以确定其的坐标：a |aa e |cos ,cos,cos a 机动 目录 上页 下页 返回 结束 )2,2,2(1M和, )0,3, 1(2M的模 、方向余弦和方向角 . 解解:,21,2302 计算向量 1, 1,2 222)2(1) 1(2,21cos,21cos22cos,32,34321MM12M M 21MM机动 目录 上页 下页 返回 结束 四、向量的投影四、向量的投影abOMN M 称有向线段称有向线段OM 为向量为向量 a 在向量在向量 b 上的投影向量。上的投影向量。(|cos )bOMOMe (|cos )bae

18、称数称数|cosa 为向量为向量 a 在向量在向量 b 上的投影，记作上的投影，记作Prjba机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 Prjba | ,OM 0;2 | ,OM ;2 0 ,;2 注意：投影是注意：投影是一个数，可正一个数，可正可负可零。可负可零。在上述投影的定义中，可将向量在上述投影的定义中，可将向量b b 换成数轴换成数轴Ou，相应的向量相应的向量 a 在轴在轴Ou上的投影记作上的投影记作Prj au|cosa 这里这里 表示向量表示向量a与与Ou轴的夹角。轴的夹角。 (|cos )uae 投影向量为投影向量为设向量设向量, xyzaaaa 其方向角依次为 ， ，其方向