高等数学A-第5章-5-5

1、中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组高等数学A5 5. .5 5 曲面及其方程曲面及其方程5 5. .5 5 曲面及其方程曲面及其方程5.5.2 曲面方程的概念 5.5.1 曲面方程引例5.5.3 旋转曲面5.5.4 柱 面5.5.5 二次曲面5.5.15.5.1 曲曲面面及其及其方程方程引例引例),(0000zyxP 引例：在空间直角坐标系中，球心在引例：在空间直角坐标系中，球心在 ，半，半径为径为 R R 的球面上的点的球面上的点 满足什么条件？满足什么条件？点点 到到 的距离等于定值的距离等于定值R R，即，即， 构成一个中心轴为构成一个中心轴为Z Z轴的单位圆柱面。轴的单位圆柱面。

2、引例：在空间直角坐标系中，满足引例：在空间直角坐标系中，满足 的点构的点构成什么图形？成什么图形？ ),(zyxP),(zyxP),(0000zyxP2202020)()()(Rzzyyxx122 yx水桶的表面、台灯的罩子面等水桶的表面、台灯的罩子面等曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹曲面方程的定义：曲面方程的定义：如果曲面S与三元方程0),( zyxF有下述关系：（1） 曲面S上任一点的坐标都满足方程；（2）不在曲面S上的点的坐标都不满足方程；那么，方程0),( zyxF就叫做曲面S的方程，而曲面S就叫做方程的图形曲面的实例曲面的实例很多很多：

3、二二、曲面方程的概念、曲面方程的概念5 5. .5 5 曲面及其方程曲面及其方程以下给出几例常见的曲面以下给出几例常见的曲面. .例例 1 1 建建立立球球心心在在点点),(0000zyxM、半半径径为为R的的球球面面方方程程.解解设设),(zyxM是是球球面面上上任任一一点点，RMM |0根据题意有根据题意有 Rzzyyxx 202020 2202020Rzzyyxx 所求方程为所求方程为特殊地：球心在原点时方程为特殊地：球心在原点时方程为2222Rzyx 5.5.15.5.1 曲曲面面及其及其方程方程引例引例例例 2 2 求与原点求与原点O及及)4 , 3 , 2(0M的距离之比为的距离之

4、比为2:1的的点的全体所组成的曲面方程点的全体所组成的曲面方程.解解设设),(zyxM是是曲曲面面上上任任一一点点，,21|0 MMMO根据题意有根据题意有 ,21432222222 zyxzyx .911634132222 zyx所求方程为所求方程为例例 3 3 已已知知)3 , 2 , 1(A，)4 , 1, 2( B，求求线线段段AB的的垂垂直直平平分分面面的的方方程程.设设),(zyxM是是所所求求平平面面上上任任一一点点，根据题意有根据题意有|,|MBMA 222321 zyx ,412222 zyx化简得所求方程化简得所求方程. 07262 zyx解解zxyo例例4 4 方程方程

5、的图形是怎样的？的图形是怎样的？1)2()1(22 yxz根据题意有根据题意有1 z用用平平面面cz 去去截截图图形形得得圆圆：)1(1)2()1(22 ccyx 当当平平面面cz 上上下下移移动动时时，得得到到一一系系列列圆圆圆心在圆心在), 2 , 1(c，半径为，半径为c 1半径随半径随c的增大而增大的增大而增大.图形上不封顶，下封底图形上不封顶，下封底解解c以上几例表明研究空间曲面有以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题两个基本问题：（2 2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状）已知坐标间的关系式，研究曲面形状（讨论旋转曲面）（讨论旋转曲面）（讨论柱面、二次曲面）（讨论柱面、二次曲面）（

6、1 1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程定义定义这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴播放播放5.5.3 5.5.3 旋转曲面旋转曲面 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .xozy0),( zyf), 0(111zyM M),(zyxM设设1)1(zz （2）点点M到到z轴轴的的距距离离|122yyxd 旋转过程中的特征：旋转过程中的特征：如图如图将将 代入代入2211,yxyzz 0),(11 zyfd5.5.3 5.5.3 旋转曲面旋转曲面将将

7、代入代入2211,yxyzz 0),(11 zyf , 0,22 zyxfyoz坐坐标标面面上上的的已已知知曲曲线线0),( zyf绕绕z轴轴旋旋转转一一周周的的旋旋转转曲曲面面方方程程.得方程得方程同同理理：yoz坐坐标标面面上上的的已已知知曲曲线线0),( zyf绕绕y轴轴旋旋转转一一周周的的旋旋转转曲曲面面方方程程为为 . 0,22 zxyf5.5.3 5.5.3 旋转曲面旋转曲面例 5直线L绕另一条与L相交的直线旋转一周，所得旋转曲面叫圆锥面两直线的交点叫圆锥面的顶点，两直线的夹角 20叫圆锥面的半顶角试建立顶点在坐标原点，旋转轴为z轴，半顶角为 的圆锥面方程xozy解解 yoz面上直

8、线方程为面上直线方程为 cotyz ), 0(111zyM ),(zyxM圆锥面方程圆锥面方程 cot22yxz oxzy 5.5.3 5.5.3 旋转曲面旋转曲面例例6 6 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求生成的旋转曲面的方程生成的旋转曲面的方程（1）双曲线12222 czax分别绕x轴和z轴；绕绕x轴轴旋旋转转绕绕z轴轴旋旋转转122222 czyax122222 czayx旋转双曲面旋转双曲面5.5.3 5.5.3 旋转曲面旋转曲面（2）椭椭圆圆 012222xczay绕绕y轴轴和和z轴轴；绕绕y轴轴旋旋转转绕绕z轴轴旋旋转转122222 czxay1

9、22222 czayx旋转椭球面旋转椭球面（3）抛物线 022xpzy绕z轴；pzyx222 旋转抛物面旋转抛物面5.5.3 5.5.3 旋转曲面旋转曲面播放播放定义定义观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程: :平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面. .CL这条定曲线这条定曲线 叫柱面的叫柱面的准线准线，动直线，动直线 叫柱面的叫柱面的母线母线. .CL5.5.4 5.5.4 柱柱 面面柱面举例柱面举例xozyxozyxy22 抛物柱面抛物柱面xy 平面平面5.5.4 5.5.4 柱柱 面面从柱面方程看柱面的从柱面方程看柱

10、面的特征特征： 只只含含yx,而而缺缺z的的方方程程0),( yxF，在在空空间间直直角角坐坐标标系系中中表表示示母母线线平平行行于于z轴轴的的柱柱面面，其其准准线线为为xoy面面上上曲曲线线C.（其他类推）（其他类推）实实 例例12222 czby椭圆柱面椭圆柱面 / 轴轴x12222 byax双曲柱面双曲柱面 / 轴轴zpzx22 抛物柱面抛物柱面 / 轴轴y5.5.4 5.5.4 柱柱 面面二次曲面的定义：二次曲面的定义：三元二次方程所表示的曲面称之三元二次方程所表示的曲面称之相应地平面被称为相应地平面被称为一次曲面一次曲面讨论二次曲面性状的讨论二次曲面性状的截痕法截痕法： 用坐标面和平

11、行于坐标面的平面与曲面用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌加以综合，从而了解曲面的全貌以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面5.5.5 5.5.5 二次曲面二次曲面ozyx（一）椭球面（一）椭球面1222222 czbyax 椭球面与椭球面与三个坐标面三个坐标面的交线：的交线：,012222 yczax.012222 xczby,012222 zbyax5.5.5 5.5.5 二次曲面二次曲面椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化

12、. .椭球面与平面椭球面与平面 的交线为椭圆的交线为椭圆1zz 同理与平面同理与平面 和和 的交线也是椭圆的交线也是椭圆. .1xx 1yy 12122222122221)()(zzzccbyzccaxcz |15.5.5 5.5.5 二次曲面二次曲面椭球面的几种特殊情况：椭球面的几种特殊情况：,)1(ba 1222222 czayax旋转椭球面旋转椭球面12222 czax由椭圆由椭圆 绕绕 轴旋转而成轴旋转而成z旋转椭球面与椭球面的旋转椭球面与椭球面的区别区别：122222 czayx方程可写为方程可写为与平面与平面 交线为圆交线为圆.1zz )| (1cz 5.5.5 5.5.5 二次曲

13、面二次曲面,)2(cba 1222222 azayax球面球面.2222azyx .)(12122222 zzzccayx截面上圆的方程截面上圆的方程方程可写为方程可写为5.5.5 5.5.5 二次曲面二次曲面（二）抛物面（二）抛物面zqypx 2222（ 与与 同号）同号）pq椭圆抛物面椭圆抛物面用截痕法讨论：用截痕法讨论：（1 1）用坐标面）用坐标面 曲面相截曲面相截)0( zxoy截得一点，即坐标原点截得一点，即坐标原点)0 , 0 , 0(O设设0, 0 qp原点也叫椭圆抛物面的原点也叫椭圆抛物面的顶点顶点. .5.5.5 5.5.5 二次曲面二次曲面与平面与平面 的交线为椭圆的交线为

14、椭圆.1zz 11212122zzqzypzx当当 变动时，这种椭变动时，这种椭圆的圆的中心中心都在都在 轴上轴上.1zz)0(1 z与平面与平面 不相交不相交. .1zz )0(1 z（2 2）用坐标面）用坐标面 与曲面相截与曲面相截)0( yxoz 022ypzx截得抛物线截得抛物线5.5.5 5.5.5 二次曲面二次曲面与平面与平面 的交线为抛物线的交线为抛物线.1yy 121222yyqyzpx它的轴平行于它的轴平行于 轴轴z顶点顶点 qyy2, 0211（3）用坐标面用坐标面 ， 与曲面相截与曲面相截)0( xyoz1xx 均可得抛物线均可得抛物线. .同理当同理当 时可类似讨论时可

15、类似讨论.0, 0 qp5.5.5 5.5.5 二次曲面二次曲面zxyoxyzo椭圆抛物面的图形如下：椭圆抛物面的图形如下：0, 0 qp0, 0 qp5.5.5 5.5.5 二次曲面二次曲面特殊地：当特殊地：当 时，方程变为时，方程变为qp zpypx 2222旋转抛物面旋转抛物面)0( p（由（由 面上的抛物线面上的抛物线 绕它的轴绕它的轴旋转而成的）旋转而成的）xozpzx22 11222zzpzyx与平面与平面 的交线为圆的交线为圆.1zz )0(1 z当当 变动时，这种圆变动时，这种圆的的中心中心都在都在 轴上轴上.1zz5.5.5 5.5.5 二次曲面二次曲面zqypx 2222（

16、 与与 同号）同号）pq双曲抛物面（马鞍面）双曲抛物面（马鞍面）用截痕法讨论：用截痕法讨论：设设0, 0 qp图形如下：图形如下：xyzo5.5.5 5.5.5 二次曲面二次曲面（三）双曲面（三）双曲面单叶双曲面单叶双曲面1222222 czbyax（1）用坐标面）用坐标面 与曲面相截与曲面相截)0( zxoy截得中心在原点截得中心在原点 的椭圆的椭圆.)0 , 0 , 0(O 012222zbyax5.5.5 5.5.5 二次曲面二次曲面与平面与平面 的交线为椭圆的交线为椭圆.1zz 当当 变动时，这种椭变动时，这种椭圆的圆的中心中心都在都在 轴上轴上.1zz 122122221zzczby

17、ax（2）用坐标面）用坐标面 与曲面相截与曲面相截)0( yxoz截得中心在原点的双曲线截得中心在原点的双曲线. 012222yczax实轴与实轴与 轴相合，轴相合，虚轴与虚轴与 轴相合轴相合.xz5.5.5 5.5.5 二次曲面二次曲面 122122221yybyczax双曲线的双曲线的中心中心都在都在 轴上轴上.y与平面与平面 的交线为双曲线的交线为双曲线.1yy )(1by ,)1(221by x实轴与实轴与 轴平行轴平行,z虚轴与虚轴与 轴平行轴平行.,)2(221by z实轴与实轴与 轴平行轴平行,x虚轴与虚轴与 轴平行轴平行.,)3(1by 截痕为一对相交于点截痕为一对相交于点 的

18、直线的直线.)0 , 0(b5.5.5 5.5.5 二次曲面二次曲面,0 byczax.0 byczax,)4(1by 截痕为一对相交于点截痕为一对相交于点 的直线的直线.)0 , 0(b ,0 byczax.0 byczax（3）用坐标面）用坐标面 ， 与曲面相截与曲面相截)0( xyoz1xx 均可得双曲线均可得双曲线.5.5.5 5.5.5 二次曲面二次曲面单叶双曲面图形单叶双曲面图形 xyoz平面平面 的截痕是的截痕是两对相交直线两对相交直线.ax 5.5.5 5.5.5 二次曲面二次曲面双叶双曲面双叶双曲面1222222 czbyaxxyo5.5.5 5.5.5 二次曲面二次曲面曲面

19、方程的概念曲面方程的概念旋转曲面的概念及求法旋转曲面的概念及求法.柱面的概念柱面的概念( (母线、准线母线、准线) ). 0),( zyxF小结小结椭球面、抛物面、双曲面、椭球面、抛物面、双曲面、截痕法截痕法. .（熟知这几个常见曲面的特性）（熟知这几个常见曲面的特性）思考题思考题 1、 指出下列方程在平面解析几何中和指出下列方程在平面解析几何中和空间解析几何中分别表示什么图形？空间解析几何中分别表示什么图形？; 2)1( x; 4)2(22 yx. 1)3( xy 3254222xzyx2、方程方程表示怎样的曲线？表示怎样的曲线？思考题思考题1解答解答平面解析几何中平面解析几何中空间解析几何

20、中空间解析几何中2 x422 yx1 xy平平行行于于y轴轴的的直直线线平平行行于于yoz面面的的平平面面圆心在圆心在)0 , 0(，半半径径为为2的的圆圆以以z轴为中心轴的圆柱面轴为中心轴的圆柱面斜率为斜率为1的直线的直线平平行行于于z轴轴的的平平面面方程方程思考题思考题2解答解答 3254222xzyx.316422 xzy表示双曲线表示双曲线.二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义

21、 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转

22、曲面的曲面的轴轴二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转

23、曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一

24、条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴定义定义三、柱面三、柱面观察柱面的形观察柱面的形成过程成

25、过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面. .CL这条定曲线这条定曲线 叫柱面的叫柱面的准线准线，动直线，动直线 叫叫柱面的柱面的母线母线.CL定义定义三、柱面三、柱面观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面. .CL这条定曲线这条定曲线 叫柱面的叫柱面的准线准线，动直线，动直线 叫叫柱面的柱面的母线母线.CL定义定义三、柱面三、柱面观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线

26、移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面. .CL这条定曲线这条定曲线 叫柱面的叫柱面的准线准线，动直线，动直线 叫叫柱面的柱面的母线母线.CL定义定义三、柱面三、柱面观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面. .CL这条定曲线这条定曲线 叫叫柱面的柱面的准线准线，动直线动直线 叫柱叫柱面的面的母线母线.CL定义定义三、柱面三、柱面观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面. .CL这条定曲线这条定曲线 叫柱面的叫柱面的准线准线，动直线，动直线 叫叫柱面的柱面的母线母线.CL定义定义三、柱面三、柱面观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成