2019届高考数学(浙江版)一轮配套讲义：10.5曲线与方程

1、 10.5 曲线与方程考纲解读考点考纲内容要求浙江省五年高考统计20132014201520162017曲线与方程了解方程的曲线与曲线的 方程的对应关系.理解21(1),6 分7(文),5 分分析解读1.求曲线方程的题目往往出现在解答题中，并 且 以 第 一 小 题 的 形 式 出 现，难 度 适 中2.预计2019年高考试题中，求曲线的方程会有所涉及五年高考考点曲线与方程1. (2017 课标全国H理,20,12 分)设 O 为坐标原点,动点 M 在椭圆 C：. +y2=1 上，过 M 作 x 轴的垂线,垂足为 N,点 P 满足：=. (1)求点 P 的轨迹方程；设点 Q 在直线 x=-3

2、上,且 .=1.证明：过点 P 且垂直于 OQ 的直线 I 过 C 的左焦点 F.解析本题考查了求轨迹方程的基本方法和定点问题.(1)设 P(x,y),M(xo,yo),则 N(xo,O),=(x-xo,y),=(0,y0).由二工得 xo=x,y0= y.因此点 P 的轨迹方程为 x2+y2=2.由题意知 F(-1,0).设 Q(-3,t),P(m,n), 贝 U=(-3,t),； =(-1-m,-n),- -=3+3m-tn,=(m,n),=(-3-m,t-n).由 =1 得-3m-m2+tn-n2=1,又由(1)知 mf+n2=2,故 3+3m-tn=0.所以. ； =0,即.丄.又过点

3、 P 存在唯一直线垂直于 OQ 所以过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点 F.2 22. (2016 课标全国I,20,12 分)设圆 x +y +2x-15=0 的圆心为 A,直线 l 过点 B(1,0)且与 x 轴不重合，1 交圆 A 于 C,D 两点，过 B 作 AC 的平行线交 AD 于点 E.(1)证明|EA|+|EB|为定值，并写出点 E 的轨迹方程；设点 E 的轨迹为曲线 C1,直线 l 交 C1于 M,N 两点，过 B 且与 I 垂直的直线与圆 A 交于 P,Q 两点，求四边形 MPN 西积的取值范围.解析 (1)因为 |AD|=|AC|,EB / AC,故/

4、 EBDN ACD2ADC.所以 |EB|=|ED|,故|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|.又圆 A 的标准方程为(x+1)2+y2=16,从而|AD|=4,所以 |EA|+|EB|=4.(2 分)x2由题设得 A(-1,0),B(1,0),|AB|=2,由椭圆定义可得点E 的轨迹方程为丨+ =1(y丰0).(4 分)当 I 与 x 轴不垂直时，设 I 的方程为 y=k(x-1)(k丰0), M(x1,y1),N(x2,y2).由得(4k2+3)x2-8k2x+4k2-12=0.因为 M(X0,y0)在 C 上，所以=1.由题意，可得 =36-20(1+t2)0(*),x 计 X

5、2=:呼 24k：J 2贝yxi+x2=：；叮亠亠 x1X2=,12(k2+l)所以 |MN|=-；|xi-x2|=：；亠* .(6 分)1孑孑|斗 k；+ 3过点 B(1,0)且与 I 垂直的直线 m:y=-L(x-1),A 到 m 的距离为：,所以|PQ|=2：=4 I .故四边形 MPN 啲面积S= |MN|PQ|=12 .:.(10 分)可得当 I 与 x 轴不垂直时，四边形 MPN 画积的取值范围为(12,8 ).当 I 与 x 轴垂直时，其方程为 x=1,|MN|=3,|PQ|=8,四边形 MPNQ 勺面积为 12.综上，四边形 MPNQ积的取值范围为12,8- ).(12 分)3

6、. (2016 课标全国川,20,12 分)已知抛物线 C:y2=2x 的焦点为 F,平行于 x 轴的两条直线 I1,12分别交 C 于 A,B 两点，交 C的准线于 P,Q 两点.(1) 若 F 在线段 AB 上,R 是 PQ 的中点，证明 AR/ FQ;(2) 若厶 PQF 的面积是厶 ABF 的面积的两倍，求 AB 中点的轨迹方程.解析由题设知 F-.二.设 11:y=a,l2：y=b,则 ab0,所以 X1=0(舍去),或洛=1.(8 分)设满足条件的 AB 的中点为 E(x,y).卄 h而 =y,所以 y2=x-1(x丰1).当 AB 与 x 轴垂直时,E 与 D 重合.所以，所求轨

7、迹方程为 y2=x-1.(12 分)2 24.(2015 广东,20,14 分)已知过原点的动直线I与圆C:x +y -6x+5=0相交于不同的两点A,B.(1) 求圆 G 的圆心坐标；求线段 AB 的中点 M 的轨迹 C 的方程；(3)是否存在实数 k,使得直线 L:y=k(x-4)与曲线 C 只有一个交点？若存在，求出 k 的取值范围；若不存在，说 明理由.解析(1)圆 C1的方程 x2+y2-6x+5=0 可化为(x-3)2+y2=4,所以圆心坐标为(3,0).(2) 设 A(X1,yJ,B(x2,y2)(x 严 X2),M(x0,y0),贝 U Xo=:,y0=.由题意可知直线 I 的

8、斜率必存在，设直线 I 的方程为 y=tx.记过 A,B 两点的直线为 l,则 I 的方程为 2x-(a+b)y+ab=0.(3 分) (1)证明：由于 F 在线段 AB 上，故 1+ab=0.记 AR 的斜率为 k1,FQ 的斜率为 k2,贝U誦七 严丄-ah%=：| =：；，=!=_b=k2.所以 AR/ FQ.(5 分)1设 I 与 x 轴的交点为 D(X1,0),则SAABF=|b-a|FD|=|b-a|S呼由题设可得2x|b-a|当 AB 与 x 轴不垂直时，由 kAB=kDE可得(x 工 1).由题意，可得 =36-20(1+t2)0(*),x 计 X2=:将上述方程代入圆C1的方

9、程，化简得(1+t2)x2-6x+5=0.633t所以，代入直线 l 的方程，得 yo .22% 一, 9% 149因为 + =丨 .+ 丨 .=0 / = . =3xo,所以：+ =.45由(*)解得 t2 0,所以xo0(故点 M 的轨迹 C 的方程为 y2=12在点 M 的轨迹 C 中，记 C:y =4x,C2：y=0(x0),依题意，可设直线 l 的方程为 y-仁 k(x+2).fy-l-k(x+2由方程组.I 可得 ky2-4y+4(2k+1)=0.1i)当 k=0 时,y=1 .把 y=1 代入轨迹 C 的方程，得 x=.故此时直线 l:y=1 与轨迹 C 恰好有一个公共点.ii)

10、 当 2 0 时，方程的判别式为 =-16(2k2+k-1).设直线 I 与 x 轴的交点为(X0,0),贝y21 叶 1由 y-仁 k(x+2),令 y=0,得 X0=-.pg1若 由解得 k ,即当 k (- g ,-1) U卩丿时，直线|与C没有公共点，与 G 有一个公共点，故此时直线 I 与轨迹 C 恰好有一个公共点.卩匸 Q fo(f n1若 或 则由解得 k . 或- k0.,与 C2有一个公共点当 k 申)时 ,直线 I 与 Ci有两个公共点，与 a 没有公共点，故当 k ：U 时 ,直线 I 与轨迹 C 恰好有两个公共点.1 1 若 则由解得-1k-或 0kb0)的一个焦点为(

11、,0),离心率为：(1)求椭圆若动点解析(1) a=3,b2=a-c2=4,即当 k 直线 I 与 Ci只有一个公共点综上，点 P 的轨迹方程为 x2+y2=13.三年模拟A 组 20162018 年模拟基础题组考点曲线与方程1. (2018 浙江镇海中学阶段性测试，8)在圆 C:x2+y2+2x-2y-23=0 中，长为 8 的弦中点的轨迹方程为()2222A.(x-1)+(y+1) =9B.(x+1) +(y-1)=92222C.(x-1)+(y+1) =16D.(x+1) +(y-1)=16答案 B32. (2017 浙江温州十校期末联考，6)点 P 为直线 y= x 上任一点，F1(-

12、5,0),F2(5,0),则下列结论正确的是A.|PF1|-|PF2|8 B.|PF1|-|PF2|=8C.|PF1|-|PF2|8D.以上都有可能答案 C3. (2016 浙江镇海中学测试卷四,13)在直角坐标系 xOy 上取两个定点 A(-2,0),A2(2,0),再取两个动点N(0,m),N2(0,n),且 mn=3.则直线 AN 与 ANb的交点 M 的轨迹方程为 _.答案 丨+=1(x 工土 2)2 24. (2017 浙江稽阳联谊学校联考(4 月),21)已知两个不同的动点A,B 在椭圆：+ =1 上,且线段 AB 的垂直平分线恒过点 P(0,-1).求：(1) 线段 AB 的中点

13、 M 的轨迹方程；(2) 线段 AB 的长度的最大值.解析(1)设 A(X1,yJ,B(x2,y2),M(x0,y0).易知直线 AB 的斜率存在，y请 y；圧由题意可知，：+ I =1,：+ I =1,则：+=0,yi-y2光得亚=_丽.又=-1,得 yo=-2.从而，线段 AB 的中点 M 的轨迹方程为 y=-2(-、x0）,求动点 M 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线.解析 设 M（x,y）,则|MN|=J：I” 厂=1.（2017 浙江镇海中学一轮阶段检测,7）已知二次函数2y=ax +bx+c（ac丰0）图象的顶点坐标由题设知-=入，两边平方整理得（1（1-=0,由得入=1,（8 分

14、） 当入=1 时,方程化为 4x-5=0,表示一条垂直于 x 轴的直线;（10 分）* =入，（5 分）2 2入）X +（1-2 2 2 2入）y +4 入 x-（1+4 入）=0（入 0） ,（7/1+彎心 2 入 1+3V当入 (0,1)U(1,+ g)时,方程可变形为 x+yYx-=0,配方得-+=*,方程表示一个圆.(14 分)2 2 2 2 2 2 _综上,动点 M 的轨迹方程为(1-入)x +(1-入)y + 4 入 x-(1+4 入)=0(入0),当入=1 时,它表示一条垂直于 x 轴的直线；当入 (0,1)U(1,+g)时，它表示一个圆.(15 分)C 组 20162018 年

15、模拟方法题组方法 1 直接法求轨迹方程11.在厶 ABC 中，：丄 I =(0,-2),M 在 y 轴上，且=(：丨+ ),C 在 x 轴上移动.求点 B 的轨迹方程. 解析设B(x,y),C(a,0),M(0,b),a丰0,1A 初=2(准+At), M 是 BC 的中点，可得 I 2 - a=-x,b= 2,又工=(-a,-2),i-=(x-a,y),二匚丄1, -ax+a2-2y=0,把 a=-x 代入中，得 y=x2(x丰0),所以点 B 的轨迹方程为 y=x2(x丰0).2. 已知 ABC 中,AB=2,AC=. BC,求顶点 C 的轨迹方程解析 以直线 AB 为 x 轴，线段 AB

16、 的垂直平分线为 y 轴，建立平面直角坐标系，则 A(-1,0),B(1,0).设 C(x,y),由 AC= BC 得，二：；幕 f平方整理得(x-3)2+y2=8, A B C 三点为三角形的顶点， y丰0,顶点 C 的轨迹方程为(x-3) +y =8(y丰0).方法 2 定义法求轨迹方程3. 已知 A(0,7),B(0,-7),C(12,2), 以 C 为焦点的椭圆过 A,B 两点，则椭圆的另一个焦点F 的轨迹方程为( )2 / 2 /A.y2-：=1(yW-1) B.y2-：=1(y-1)/2C.y2-=1D.x2- I =1答案 A方法 3 相关点法求轨迹方程4.过点(1,0)的直线 I 与中心在原点、 焦点在 x 轴上且离心率为的椭圆 C 相交于 A B 两点，直线 y= x 过 线段 AB 的中点，同时椭圆 C 上存在一点与右焦点关于直线 I 对称，试求直线 I 与椭圆 C 的方程.交匚 就八1解析 设椭圆 C 的方程为:+ =1(ab0),由 e=,得=,从而 a2=2b2,所以 c=b.故椭圆 C 方程为 x2+2y2=2b2,设 A(X1,y”、B(x2,y2),