2019届高考数学(浙江版)一轮配套讲义：4.4三角函数的最值与综合应用

1、 4.4 三角函数的最值与综合应用考纲解读分析解读1.三角函数的最值问题是三角函数性质和三角恒等变换的综合应用，是数形结合的较好体现是高考的热点2. 三角函数是基本初等函数，它是描述周期现象的重要模型，在数学和其他领域中具有重要的作用，在高考命题中，单摆、弹簧振子、圆上一点的运动，以及音乐、波浪、潮汐、四季变化等周期现象是新的命题背景，借此突出数学的应用性质，也是高考命题的关注点.3. 预计 2019 年高考试题中，本节内容是高考命题的热点，复习时应引起高度重视.五年高考考点 三角函数的最值与综合应用1.(2017 课标全国川文，6,5 分)函数 f(x)= sin +cos 的最大值为()6

2、H 1A. B.1 C. D.答案 A2.(2016 课标全国 I ,12,5 分)已知函数 f(x)=sin( w x+ $ )：一亠d,x=- 为 f(x)的零点,x= 为 y=f(x)fTTSir、图象的对称轴，且 f(x)在：上单调，则 w的最大值为()A.11B.9 C.7 D.5答案 B3.(2017 课标全国 n 文,13,5 分)函数 f(x)=2cosx+sinx的最大值为_答案4.(2017 课标全国 n 理答案 13,14,5 分)函数 f(x)=sin2x+cosx-罔碣)的最大值是5.(2017 北京文,16,13分)已知函数 f(x)= cos，-2sinxcosx

3、.(1) 求 f(x)的最小正周期；(2) 求证:当 x M 可时,f(x) -2.解析本题考查三角恒等变换，三角函数的性质(1)f(x)=/33cos2x+ sin 2x-s in2x=sin 2x+cos2x=sin；.所以 f(x)的最小正周期 T= = n .ITIT证明：因为- x sin，=- .IT IT所以当 x 还刘时,f(x)n(2)将函数 y=f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的 2 倍(纵坐标不变),再将得到的图象向左平移个单fitSir位，得到函数 y=g(x)的图象，求 g(x)在.上的最小值解析本题考查了 y=Asin( 3 x+ $ )的图象和性质及最值fi

4、troTT ir由题设知 r =0,所以 -=k n ,k 乙故 3 =6k+2,k 乙又 0 3 3,所以 3 =2.IT3nlnr nr 2irlHl,所以 x-辽 PE,K ITITJ当 x-：=-,即 x=-时,g(x)取得最小值-.7.(2014 重庆,17,13 分)已知函数 f(x)= sin( 3 x+ $ )：uW 的图象关于直线 x=对称，且图象上 相邻两个最高点的距离为n.(1)求 3 和$的值；若 f：；=,求 cos 的值.2TT解析(1)因为 f(x)的图象上相邻两个最高点的距离为n ,所以 f(x)的最小正周期 T=n ,从而 3 =2.又因为 f(x)的图象关于

5、直线 x=对称,所以 2 +$ =k n + ,k=0, 1, 2,.6.(2017 山东理,16,12 分)设函数 f(x)=sin(1)求 3；+sin,其中 OS 3.已知 f =0.(1)因为 f(x)=sin因为 x +sin所以f(x)=sin 3 x-cos 3 x-cos 3 x=.sin(2)由(1)得 f(x)=所以 g(x)= . sin卜易.TTTT由-v $ 得 k=0,所以，函数 f(x)的单调递增区间为,k 乙TT 2ir IT所以 0 =L- . =-.(2)由得 f 隹)*sin P 餐)=愛所以 sin =.ITn ir由 ya 得 0 a -: ,教师用书

6、专用(8 11)22(日8.(2015 天津，15,13 分)已知函数 f(x)=sin x-sin ,x R.(1)求 f(x)的最小正周期；1irnl求 f(x)在区间灯可上的最大值和最小值所以,f(x)的最小正周期 T= = n .(2)因为 f(x)在区间ITTT1fIT上是减函数，在区间召可上是增函数，f (3=-可,=f=- ,r=：.所以,f(x)在IT7T区间-.上的最大值为：,最小值为.9.(2014 四川,16,12 分)已知函数 f(x)=sin(1)求 f(x)的单调递增区间a 的值.解析(1)因为函数 y=sinx 的单调递增区间为专+2kn 舟+2&水ZTT

7、IT K由-+2k nW 3x+ W +2kn ,k 乙 得ir 2knTT 2kir-+ W xW+ ,k Z.=sin a =sin因此COS1311-cos2x= : sin2x- cos2x= sinl-cos2xf(x)=是第二象限角,f:= coscos2 a ,求 cos a -sin所以 COS =品1H)=M)皆=cos sin2x-sincos2x=sin (1)f(x)的最小正周期为 T= =n , 即函数 f(x)的最小正周期为 n .IT 0W xw ,IT IT Sir - w 2x-w.由正弦函数的性质，IT ITTV当 2x-:=,即 x=时,f(x)取得最大值

8、 1.n IT1当 2x-:=-:,即 x=0 时,f(0)=-,IT 5IT当 2x- = n ,即 x=时，所以 sinacos +cosasinCDSKCOS?-siuasinS J:1(cosa-sina).4即 sina+cosa= (cosa-sina)(Sina+cosa).UTT当 sina+cosa=0 时，由a是第二象限角，知 a = +2k n ,k 乙此时,COS a -sin a =- .5当 sin a +cos a丰0 时，有(cos a -sin a )2=:.由 a是第二象限角，知 cos a -sin a 0,此时 COS a -sin a =- 综上所述,

9、cos a -sin a =- 或-.COSX.-T万10.(2013 陕西,16,12 分)已知向量 a=,b=(sinx,cos2x),xR,设函数 f(x)=a b.(1)求 f(x)的最小正周期；求 f(x)在上的最大值和最小值.=.cosxsinx-cos2xsin 2x- cos2xA.1-B.1 +C. D.2 f(x)的最小值为-.因此,f(x)11.(2014I. .上的最大值是 1,最小值是-匚.天的温度(单位：C)随时间 t(单位:h)的变化近似满足函数关系：在湖北,17,11 分)某实验室.cos t-sin t,t 0,24).f(t)=10-(1) 求实验室这一天的

10、最大温差；(2) 若要求实验室温度不高于11 C ,则在哪段时间实验室需要降温解析(1)因为 f(t)=10-2二：J：*=10-2si n,TT IT IT 7n( IT , 7T又 0 t24,所以 w币 t+ ,-1 11时实验室需要降温.由(1)得 f(t)=10-2sin故有10-2sin7711111 1纠又 0 t24,因此. t+ ，,即 10t18.在 10 时至 18 时实验室需要降温.三年模拟A 组 20162018 年模拟基础题组考点 三角函数的最值与综合应用1.(2018 浙江“七彩阳光”1 cABC=a：则的最大联盟期初联考,8)已知 a,b,c 分别为 ABC 的

11、内角 A,B,C 所对的边，其面积满足 S2.(2017 浙江“七彩阳光” 新高考研究联盟测试，5)函数 f(x)=2cosxsin的最大值为()答案 A3.(2016 浙江名校不可能是(STTA.B. n7irC. D.2 n(柯桥中学)交流卷四,4)已知函数 y=2sinx 的定义域为a,b,值域为-2,1,则 b-a 的值答案 D点个数为_答案 1+12k,k N;85.(2017 浙江高考模拟训练冲刺卷四,11)若函数 f(x)=asinx+bcosx(abb则=_,f(0)的值为_.答案 ;-26.(2018 浙江“七彩阳光”联盟期中,18)已知函数 f(x)=2sin cosx.(

12、1)求函数 f(x)的最大值和最小正周期；1设厶 ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 c=2 ,f(C)=.若 sin B=2s in A,求 a,b 的值.解析(1)f(x)sinxcosx-cosin2=sin，(4 分) f(x)的最大值为，最小正周期为 n .(6 分)由(1)知,f(C)=sin-=,则 sin =1.TT IT 1 In/ 0Cn , 02C2n , - y2C , 2C-二， C= .(9 分)/ sinB=2sinA, b=2a.(11 分) 由余弦定理得 c2=a2+b2-2abcos ,即 a +b-ab=12,(13 分)由解得 a=

13、2,b=4.(15 分)7.(2017 浙江五校联考(5 月)已知函数 f(x)=(sinx+- cosx) (cosx- . sinx).(1)求函数 f(x)的单调递增区间； 若 f(x0)= ,x0II,求 cos2x0的值.解析(1)f(x)=(sinx+cosx) (cosx- sinx)=2sinIT 2TT717nTT令 2k n - W 2x+ W 2k n + (k Z),得 k n - x0)的一段图象如图所示， ABC 顶点 A 与坐标原 点 O 重合,B是f(x)的图象上一个最低点,C在x轴上，若内角A,B,C所对边长分别为a,b,c,且厶ABC的面积 S满足12S=b

14、2+c2-a2,将 f(x)的图象右移一个单位得到 g(x)的图象，则 g(x)的表达式为()1 1A.g(x)=cos x B.g(x)=-cos xC.g(x)=si nD.g(x)=si n (鹑答案 D2.(2017 浙江杭州质检,9)在厶 ABC 中，角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 b=5,+=0,则a+c=()A.6 B.7 C.8 D.9答案 B二、填空题3.(2017 浙江金华十校调研,17)若函数 f(x)=|asinx+bcosx-1|+|bsinx-acosx|(a,b2 2a +b =_.答案 50 R)的最大值为 11,则2TT4.(2016 浙江镇海

15、中学测试(五),15)要在一块圆心角为，半径为 1 的扇形纸片中截出一块矩形，则该矩形面积的最大值是_ .答案三、解答题出溟25.(2018 浙江浙东北联盟期中,18)已知函数 f(x)= - sin2x-cos x-m.(1)求函数 f(x)的最小正周期与单调递增区间；Sir2T当 x1时，函数 f(x)的最大值为 0,求实数 m 的值.解析(1)f(x)= sin 2x-cos 分)2x-msin2x-m=sinm，则函数 f(x)的最小正周期 T=n .(4/ cos2x0=COS又 Xocos j,由-+2k n W 2x- +2kn ,k乙得-=+k n W x W +k n ,k乙

16、故函数 f(x)的单调递增区间为皆 k 呼叫 k 乙(7 分)Sir Mit因为 x- .|,所以 2x- 囲，（9 分）则当 2x-=,即 x=时,函数取得最大值0,（12 分）1 1即 1-m- =0,解得 m= .（14 分）6. （2018 浙江名校协作体期初,18）已知函数 f（x）=sin（1）求 3 的值；将函数 y=f（x）的图象上各点的横坐标缩短为原来的1（纵坐标不变），得到函数 y=g（x）的图象，求函数C 组 20162018 年模拟方法题组方法 1 关于三角函数值域或最值的解题策略1.（2017 浙江台州调研,18）在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 xy=g（x）在

17、区间上的最值.sin+ .（4 分）解析（1）f（x）=2nT= ：=n ,故 3 =1.(6 分)根据题意知 g(x)=f(2x)=R3TT TT+ ,(8 分)-0当 x 列时,4x+耳可可,(10 分)2;g(x)max=g(0)=1.(14 分)所以 g(x)min=g7.(2017 浙江温州 2 月模拟,18)已知函数 f(x)= . sinxcosx+cos2x.(1)求函数 f(x)的最小正周期；TE5若-a 0,f( a )=,求 Sin2 a 的值.解析（1）f（x）=sin 2x+函数 f（x）的最小正周期是Qf(a )=sincos2x+1=sin、n .(6 分)+ =

18、 , sin，= ,(8 分)in+ .(4 分)TTSnK Kfya 0, -0,+ , cos、： = ,(10 分)f t、s；cos：2a + = I 00)的最小正周期为 n .,将向量绕原点 O 按逆时针方向旋转弧度得到向量 .(1)若 x=,求点 Q 的坐标;已知函数 f(x)=.,令 g(x)=f(x)71IT IT解析 (1)由已知得XQ=COS：1=cos cos -sinfir, TTn n IT n卓+ 肩yQ=sin=sinCOS+COSsin =,f nX l+cos2x迴于是，g(x)=cosx COS=- sin2x=因为-1 w sin 1,所以 g(x)的值域为象向左平移个单位后得到的图象所对应的函数为奇函数(1)求 f(x)的解析式；在锐角 ABC 中，角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且满足(2c-a)cosB=bcosA,求 f(A)的取值范围解析TfJ=-f(x), f(x+ n )=-f=f(x),IT T=n , o =2,设 f(x)的图象向左平移个单位后得到的图象所对应的函数为g(x),