解决问题的策略之转化

1、解决问题的策略转化赵丹丹教学内容：教科书第71 72页的例 1、 “试一试”和“练一练”，练习十四的第1 3题。教学目标：1、使学生初步学会运用转化的策略分析问题，灵活确定解决问题的思路，并能根据问题的特点确定具体的转化方法，从而有效地解决问题。2、使学生通过回顾曾经运用转化策略解决问题的过程，从策略的角度进一步体会知识之间的联系，感受转化策略的应用价值。3、 使学生进一步积累运用转化策略解决问题的经验，增强解决问题的策略意识，主动克服在解决问题中遇到的困难，获得成功的体验。框架：一、教学例题（揭示转化）二、回顾举例（揭示复杂转化简单）华罗庚的话三、图形题、试一试（变个形、画个图、从反面思考路

2、莎彼得的话）课堂练习。五、 全课小结。六、文化渗透（曹冲称象、爱迪生巧测灯泡容积的故事）教学过程：一、教学例题，揭示转化。1 请同学们看屏幕，老师这儿有两个平面图形，请你仔细观察，它们的面积相等吗？（停顿3 秒，给学生思考的时间）2你能一下子就看出来吗？哦，有的同学看出来了，有的同学还在思考，确实不容易看出来。没关系，同学们之间可以交流交流，相互启发一下。3. 讨论好了吗？哪位同学来说说你的想法？（电脑演示的问题）生：把左边图形上面的半圆往下移，拼成（变成）一个长方形。（师电脑演示：先分割出半圆。怎么移？（学生回答后再演示：向下平移）平移了几格？师：对，把这个半圆向下平移5 格，就把这个图形变

3、成了长方形。）右边图形的左右两个半圆往上移，也拼成（变成）一个长方形。（师电脑演示：先分割出两个半圆）怎么移的？（学生回答后再演示：旋转）师：对，把两个半圆分别旋转 180度，也把这个图形变成了长方形。（注意听学生发言，怎么移的？）4现在你能判断这两个图形的面积相等吗？生：相等5对，这两个图形的面积相等。下面，我们来回顾一下这个问题的解决过程，为什么刚开始看不出两个图形的面积相等，后来一下子就看出来呢？（多请几位同学）生：把不规则的图形变成规则图形，面积就容易比较了。（注意听学生发言）6那图形在变化 （转化）的过程中，面积有没有变？生：没有变。7师小结：对。正是由于面积没有变，从这两个长方形面

4、积相等，我们可以推 断，原来两个图形的面积相等。像这样，把不规则图形变成规则图形来解决问 题，这就是一种非常重要的解题策略转化。 （板书：转化）这就是我们今天要研究的内容。二、回顾举例，丰富转化。1 过渡：转化应用非常广泛。其实同学们在以往的数学学习中早就已经运用转化的策略解决过许多问题。请同学们来回顾一下，你能举个例子吗？A. 推导平行四边形的面积公式时，把平行四边形转化成与它面积相等的长方形来研究的。（对，把平行四边形转化成我们已经会求面积的长方形）B. 推导三角形的面积公式时，把两个完全一样的三角形（梯形）拼成一个平行四边形，把三角形转化成平行四边形。C. 推导圆面积公式时，把圆转化成近

5、似的长方形。D.推导圆柱的体积公式时，把圆柱转化成长方体。E. 推导圆锥的体积公式时，把圆锥转化成与它等底等高的圆柱。F. 推导圆柱的侧面积时，把它转化成长方形。（对，沿着圆柱的一条高剪开，然后把它展开就是一个长方形） （ 2）计算：（学生说不清，可以让他举例说明）A.通分。（对，把分母不同转化为分母相同。）B.计算小数乘法时，把小数乘法转化成整数乘法。（有道理，比如0.2 X 0.3先想 2乘 3=6， 再缩小 100倍， 就是0.06。 ）C. 计算分数除法时，把分数除法转化成分数乘法。D.百分数计算转化成小数计算。（师：对，这样就容易计算了。）E. 乘法分配律（简便计算）。 （师：你想得

6、很好，这也是一种转化）2过渡：从同学们所举的这些例子看来，转化是我们在研究新问题 的时候经常使用的一种解题策略。3那这些运用转化策略解决问题的过程有什么相同之处？（复杂化成简单，陌生化为熟悉）4师小结：对，转化就是把复杂的问题转化为简单的问题。（板书： 复杂、陌生一简单、熟悉）同学们的这些体会和数学家华罗庚是相同的，他曾经发出过这样的感叹（电脑出示）： “神奇化易是坦道，易化神奇不足提”。把复杂的问题转化为简单的问题就是“神奇化易”。三、尝试转化，感悟转化。1 过渡：现在老师这儿有一些复杂问题，同学们能不能来个“神奇化易”呢？2请看问题：一、用分数表示涂色部分。（动画不要）二、求下列图形的周长

7、。我们先来看第一个图形。涂色部分可以用哪个分数来表示？你是怎么想的？（1/4） （ 1/2）第二组题 : 求下列图形的周长。（ 1 ） 这是一个复杂图形，怎样求它的周长？A. 请学生上台指着说，学生边说老师边演示。B. 在转化的过程中，他的周长有没有变?（长5 宽 3，周长16）求出了这个长方形的周长也就知道了原来图形的周长。C. 你能列个算式求它的周长吗？知道了这个长方形的周长是16 厘米，也就知道了原来这个图形的周长是？（ 2）这个图形呢？1 米是指这两条线段（师指一指）之间的距离。A. 请学生上台指着说，学生边说老师边演示。B.快速算一算周长等于多少？ （ 1 X 4=4米）（ 3）回顾

8、小结：那我们来回顾一下，解决4 个问题的过程中，我们都用到了什么样的策略呢？（转化）怎么转化的？（平移、旋转）师小结：通过平移和旋转，我们把复杂图形变个形 转化成简单图形，原来的问题就迎刃而解了。（加强语气并板书：变个形）3过渡：老师这儿还有一个复杂的新问题，我们一起来看一看。（出示题目）4试一试。（ 1）请同学们仔细观察，这几个加数有什么特点？分子是1，分母是2 的倍数。（师：对，分母是有规律的。）分母是 2 的平方数再叫一个同学或者师：4 是 2 的平方， 8 不是，我们可以说有3 个 2 相乘， 16 是 4 个 2 相乘。（ 2） 你会计算吗？（通分，好，把异分母分数转化成同分母分数）

9、那你算算看，结果是多少？（ 3） 有更简单的方法吗？大部分同学有困难，那老师给一些提示：如果把这个大正方形看作“1”（点击）。（ 4） 看看图，你有新的想法吗？（生： =1-1/16=15/16 ）为什么你用1-1/16来计算？（空白部分也是1/16 ，从图上可以看出来，用1-空白部分就是涂色部分）（ 5） 师承接：有道理。这位同学没有直接计算这几个加数的和，而是从空白部分入手，把这个加法算式转化成一个减法算式也能求出它们的和。（ 6）如果我给这题再添上一个加数，加一个1/32 ，和是多少？再加1/64？如果这样加下去，一直加到1/1024 呢？按照这样的规律还可以加下去，算式看上去是复杂的，

10、但计算是简单的。（ 7） 师小结： 看来把复杂问题转化成简单问题，还需要我们画个图，换个角度，从反面思考。就象匈牙利著名数学家路莎彼得说过的那样：解题时，往往不对问题进行正面的攻击，而是将它不断变形，直至转化为已经能够解决的问题。（出示）四、课堂练习。1 过渡：下面，老师就请同学们运用转化的策略独立来解决问题。（屏幕显示）2求这个图形的周长。你是怎么想的？（演示：先分割再平移）（ 1）生1：把下面的一条曲线平移，拼成一个小圆。一个大圆周长的一半+一个小圆的周长。师：对，求原来这个复杂图形的周长问题就转化成求一个大圆周长的一半加一个小圆的周长。这个大圆周长的一半你会计算吗？（ 2）生2：这个图形

11、的周长就是一个大圆的周长。你是怎么想的？师：虽然从图上来看，我们无法再把它变个形，但经过进一步推导我们可以知道这个图形的周长就是半径为4 厘米的大圆的周长。感兴趣的同学下课以后可以继续研究。3涂色部分可以用哪个分数来表示？（ 1） （ 5/8 ）你是怎么想的？生 1：零碎拼法。师：你是想把涂色部分的面积正好凑成整格数，也就是把它变个形，那它占了大正方形的几分之几就一目了然了。很好。生 2： 先分割出4 个涂色直角三角形，再把其中2 个涂色直角三角形分别旋转后与另外两个涂色直角三角形拼在一起，得出5/8 。师 : （电脑演示）你说得是这样吗？也是把这个涂色部分变个形，问题就解决了。生3：把空白部

12、分的四个直角三角形通过旋转拼在一起，正好是6 格， （涂色部分占了10格，也就是10/16 即 5/8 ） ，占了大正方形的6/16，化简后是3/8，那涂色部分就是1-3/8=5/8 。师：这位同学从空白部分入手，从反面来思考，先求出空白部分占了大正方形的 3/8 ，由此推测，涂色部分占了大正方形的5/8 。 。4 过渡： 我们解决问题时，就要象同学们刚才那样，善于从正反两方面来思考。下面请同学们再来看一个有关足球比赛的问题。5 （出示题目）请一位学生读题。（ 1）什么叫单场淘汰制？（点击：每场比赛淘汰1 支球队）（ 2） 你说得是题目上的注解。单场淘汰制究竟是怎么回事呢？我们画图来看看。（电

13、脑演示）（ 3）解释：如果有4 支球队比赛，第一轮像这样比一比，决出2 个胜者；第二轮再 2 个胜者比一场，决出冠军。一共进行了3 场比赛。如果有 8 支球队比赛呢，第一轮像这样比一比，比了几场？淘汰了几支球队？（ 4 支）第二轮再这样比一比，比了几场？又淘汰了几支球队？（2 个）最后两个胜者比一比，就决出冠军。数一数，一共进行了几场比赛？（7 场）这就叫单场淘汰制，同学们明白了吗？（ 4）那16 支球队比赛，决出冠军要比几场呢？（电脑演示：16 支球队出来）同学们可以讨论讨论。（ 5） 生： 15 场。 你是怎么想的？对不对呢？我们看看图来验证一下，从图上看，要比赛几场啊？（15 场）（ 6

14、）生1： 8+4+2+1=15（场）可以看图来理解。生 2： 16-1=15（场） 说说你这样算的理由。（ 16支球队要产生一个冠军，也就是要淘汰15支球队， 而每场比赛淘汰1 支球队，也就要进行15 场比赛。 ）（ 7）大家听懂了吗？这位同学是从“要淘汰多少支球队”这个角度来思考“要进行多少场比赛”。 16 支球队最后只剩1 支冠军队，那就要淘汰15 支球队，根据单场淘汰制的比赛规则，所以要比赛16-1=15 场。C. 学生要是想不到“16-1 ”。老师的引导: 刚才几位同学说得都不错，他们都是从正面来思考“决出冠军要进行多少场比赛”。那能不能从淘汰的角度来想想呢？比赛到最后只剩1 支冠军队

15、。（ 7）那我们也来学一学，从淘汰这个角度去思考，64 支球队参加比赛，产生冠军要比赛几场呢？（63 场）（ 8） 如果有两种想法，小结： 有的同学从正面来思考，从图上数一数、加一加，解决了“一共要进行多少场比赛”；有的同学从淘汰的角度，反面来思考，淘汰了多少支球队就要进行多少场比赛。六、全课小结。今天我们研究了转化的解题策略，你有些什么收获呢？当然，转化的方法还有很多很多（板书：），我们要根据具体问题具体分析，灵活地运用转化 策略。七、数学文化。1 师：转化在我们解决问题的过程中普遍存在，古今中外转化的例子多得不胜枚举。比如，大家都熟悉的曹冲称象的故事里也用到了转化啊（电脑演示）。因为大象不能分割，所以当时用称不能直接称出它的重量。最后曹冲想了什么办法称出了大象的重量呢？对，用一块一块的石头来代替大象。在这个过程中，有个非常重要的细节，同学们你知道吗？（画标记）提示：看看图，这个人在 干什么？那为什么要画这个标记呢？对，有了这个标记，才能保证这些石头的 重量与大象的重量相等，那么曹冲称出了这些石头的重量，也就知道了这头大象的重量。2师：看，赵老师手里拿着什么？（灯泡）那大发明家爱迪生巧测灯泡容积的故事你听说过吗？（电脑演示