第一章函数极限连续映射与

1、第一章第一章 函数、极限与连续函数、极限与连续1.1.1 1 映射与函数映射与函数一、集合、区间与邻域一、集合、区间与邻域具有某种特定性质并且可以彼此区别的事物的具有某种特定性质并且可以彼此区别的事物的集合里的每一个事物称为集合的集合里的每一个事物称为集合的元素元素.总体，称为总体，称为集合集合. .,;xAxA 若某个元素 属于集合则记作若某个元素 属于集合则记作,.xAxA 若某个元素 不属于集合则记作若某个元素 不属于集合则记作24.RN 例如：，例如：，特点：确定、互异、无序特点：确定、互异、无序.无限集合无限集合.N例4全体自然数. 常记为例4全体自然数. 常记为例2全体实数.例2全

2、体实数.R常记为常记为.R 例3全体正实数. 常记为例3全体正实数. 常记为 (二)、集合的表示法(二)、集合的表示法1.列举法：按任意顺序列出集合的所有元素，列举法：按任意顺序列出集合的所有元素，并用花括号括起来.并用花括号括起来.2320.xx 例例1 1方方程程的的根根有限集合有限集合 , , ,1,2 .Aa b c dB例如：，例如：， 2.P aa描述法：设为某个与 有关的条件或描述法：设为某个与 有关的条件或 AP aa法则， 为满足的一切 构成的集合，法则， 为满足的一切 构成的集合， .Aa P a 则记为则记为 21,Ax xnnN例如例如 2320Bx xx 1,2 .

3、表示集合与集合之间关系的图形称为表示集合与集合之间关系的图形称为文氏图.文氏图.(三)、全集与空集(三)、全集与空集由所研究的所有对象构成的集合称为由所研究的所有对象构成的集合称为全集全集，,. 不含任何元素的集合称不含任何元素的集合称空集 记作空集 记作为为 210,x xxR例如:例如:(四)、子集(四)、子集. AB称称 是是则则的子集.的子集.，AB如如果果集集合合 的的任任一一元元素素都都是是集集合合的的元元素素,.ABBA或或记作记作I记记作作,.ABABBA与 相等 记作或与 相等 记作或.AA 空集为任意集合 的子集，即空集为任意集合 的子集，即(五)、集合的运算(五)、集合的

4、运算 ;ABx xAxB 且且交集:交集:ABA BABBA 若若 与与 互互为为子子集集，即即且且称称 ;ABx xAxB 或或并集:并集: 51,2,4,62,4,7 .AB例设，例设， 1,2,4,6,7 , AB 2,4 .AB 6120 .AxxBx x例设，例设， 1ABx x 则，则， 02 .ABxx 7125 .Ax xBxx例设，例设， 1,25 ,ABx xx 则或则或.AB AB .ABx xAxB且且差集:差集:AB 81,2,4,62,4,7 .AB例设，例设， 1,6 ,AB则则 7 .BA .Ax xUxA 且且补集：补集：AA .AAUAA 显然，显然，CAA

5、 也可记作也可记作,ABxAyB设 与 是两个非空集合所有设 与 是两个非空集合所有 ,x yA二元有序元素组构成的集合，称为 与二元有序元素组构成的集合，称为 与,ABB 笛卡尔乘积 记作笛卡尔乘积 记作的即的即 91,2,3 ,2,3 .AB例设例设 1,2 , 1,3 , 2,2 , 2,3 , 3,2 , 3,3AB则则 2,2 , 2,3 , 3,2 , 3,3BB ,.ABx y xA yB六、集合的笛卡尔乘积六、集合的笛卡尔乘积或直积或直积 ,RRx y xR yRxoy 表示平面上表示平面上2,.RRR 所有点的集合常记作所有点的集合常记作N-自然数集自然数集Z-整数集整数集Q

6、-有理数集有理数集R-实数集实数集.元素全部是数的集称为元素全部是数的集称为数集数集合合（七）、（七）、（八）、逻辑量词（八）、逻辑量词：或对所有的或对所有的: 表示存在表示存在: 表示对每一个或对任意的表示对每一个或对任意的nN 例如：，例如：，00 xxxRxxx ，.xR 九、绝对值九、绝对值区间区间: : 是指介于某两个实数之间的全体实数是指介于某两个实数之间的全体实数. .,.a bRab且且x axb称为开区间称为开区间, ,( , ).a b记作记作oxab这两个实数叫做区间的端点这两个实数叫做区间的端点. .x axb称为闭区间称为闭区间, , .a b记作记作（十）、（十）、

7、 区间区间x axb称为半开区间称为半开区间, , , ).a b记作记作x axb称为半开区间称为半开区间, ,( , .a b记作记作 ,)ax ax (, )bx xb oxaoxb无限区间无限区间有限区间有限区间ab（十一）、邻域（十一）、邻域: :0,0.x 设 与 是两个实数且设 与 是两个实数且0,x邻邻点点做做域域的的中中心心叫叫. 邻邻域域做做的的半半径径叫叫 0,U x 0 ,U x 记作记作0,x 点 的去心的 邻域点 的去心的 邻域 00 ,0.U xxxx00,xxxx 数集称为数集称为点 的 邻域点 的 邻域00.x xxx xx00 x 0 x 二、二、 映射与函

8、数映射与函数D定义：若 是一个非空实数集合，设有一个定义：若 是一个非空实数集合，设有一个fxD 对应规则 ，使每一个，都有一个确定对应规则 ，使每一个，都有一个确定yfD的实数 与之对应，则称为定义在 上的一的实数 与之对应，则称为定义在 上的一yx.个函数，或称变量 是变量 的函数个函数，或称变量 是变量 的函数 yfxxD.记作，记作，1111AB 数数 集集集集集集映映 射射函函 数数对对 应应多多多多xy称为自变量， 称为因变量.称为自变量， 称为因变量. DD f .集合 称为函数的定义域，也可以记作集合 称为函数的定义域，也可以记作 000,xD fxy 当时 与对应的数值称为函

9、数当时 与对应的数值称为函数 000,yfxxxyfx在处的函数值 记作在处的函数值 记作00.x xyy 或或 ,Zfy yfxxD f全体函数值的集合全体函数值的集合.称为函数的值域称为函数的值域 ,;DRZRfx当时为一元函数当时为一元函数2,DRZRf当时为二元函数当时为二元函数,nDRZRfn当时为 元函数当时为 元函数 12,.nyfx xx 记为记为 12,;yfx x 记为记为函数的两个要素：函数的两个要素：两个函数只要两个函数只要 f 和和 相同，则这两个函数相同，则这两个函数 D f ;D f对应规律对应规律 f ; 定义域定义域必相等必相等.例如例如 1,fxx 与与 2

10、2sincos,h xxxx ,.表现形式不同 却是两个相同的函数表现形式不同 却是两个相同的函数定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值。数值。2xyxyx与不是相同的函数，因为定义域不同.与不是相同的函数，因为定义域不同.211525xx 解：解：2111arcsin.525xyx 例求函数的定义域例求函数的定义域155xx 4655xx 45x 4, 5D 即即 lg 32.1xyx 例求函数的定义域例求函数的定义域3010 xx 解解311xxx 或或113xx 或或 , 11,3D 即即32253lg.4xxxye 例例求求函函数数的的

11、定定义义域域2514xx 解解254xx2540 xx14x 1, 4D 即即 241111.fxxxff afxfffxy 例设，求，例设，求， 1f 解解21111 21f aaa 21111fxxx231xx21111fyyy 2111yy 21ffxfxfx 222111xxxx4321xx定义定义:( , )( ),Cx y yf xxD点集称为点集称为如果自变量在定义域内任取一个数值时，如果自变量在定义域内任取一个数值时，22yx 例如：例如：( ).yf x 函数的图形函数的图形对应的函数值总是只有一个，叫做对应的函数值总是只有一个，叫做单值函数单值函数，否则叫做否则叫做多值函数

12、多值函数221,0,( )1,0 xxf xxx 例如例如在自变量的不同变化范围中在自变量的不同变化范围中, , 对应法则用不同的对应法则用不同的式子来表示的函数式子来表示的函数, ,称为称为分段函数分段函数. . ,D 22025( )241 ,2 ,3 ,1 .xxf xxxDffffx 例设，例设，求 及求 及 0,22,4D 解解 21201211214xxfxxx 2113135xxxx 0,4 1123,f 2224,f 2339f 631 .fxx例用分段函数表示例用分段函数表示解 由绝对值定义知，解 由绝对值定义知，101xx当，即时，当，即时， 11xx 101xx当，即时，

13、当，即时，11xx 311311xxfxxx 2141xxxx 1,0,sgn0,0,1,0.xyxxx 符号函数符号函数: :例例: 5/7= 0, -2.8=-3, 1.42=1 : 5/7= 0, -2.8=-3, 1.42=1 取整函数取整函数: 设设 为任一函数为任一函数,不超过不超过 的最大整数的最大整数 为为 的取整部分的取整部分,计为计为 xxxx ,0F x y 对应规则是用一个方程表示的函数对应规则是用一个方程表示的函数称为称为隐函数.隐函数.2241sin0.xxyxyexy 例例如如：，等等0,00,:( )1,.ttvttt 单位函数单位函数三、反函数三、反函数一、反

14、函数一、反函数 yfxyZf设，若有一个确定的且满足设，若有一个确定的且满足 yfxxD f的与之对应，其对应规则记作的与之对应，其对应规则记作 11fZfxfy ，这个定义在上的函数称为，这个定义在上的函数称为 yfx. 的反函数，或称它们互为反函数的反函数，或称它们互为反函数 yfx 也称为直接函数.也称为直接函数. 直接函数与反函数的图形关于直线直接函数与反函数的图形关于直线 对称对称. .yx ,0,( ),xa bD fMf xM 若有成立若有成立（一）、函数的有界性（一）、函数的有界性: : ( ),.f xa b则则称称函函数数在在上上有有界界否否则则称称无无界界abab三、函数

15、的几种简单性质三、函数的几种简单性质（二）、函数的单调性（二）、函数的单调性: : 1212,xxa bD fxx若、当时，若、当时， ( ),;f xa b则则称称函函数数在在区区间间上上是是单单调调增增加加的的12()(),f xf x 恒有恒有ab ( ),f xa b则则称称函函数数在在区区间间上上是是单单调调减减少少的的. .12()(),f xf x 恒有恒有 1212,xxa bD fxx若、当时，若、当时， yfx xyab（三）、函数的奇偶性（三）、函数的奇偶性: : ,D fxD f 设关于原点对称若有设关于原点对称若有()( )fxf x ( )f x则称为偶函数.则称为

16、偶函数.偶偶函函数数 ,D fxD 设关于原点对称若有设关于原点对称若有()( )fxf x ( )f x则称为奇函数.则称为奇函数.奇函数奇函数 221cos2132xxxfxxxfxxeefx 例讨论下列函数的奇偶性例讨论下列函数的奇偶性 1fx解解 2cosxx2cosxx fx fx为偶函数为偶函数 2fx 21xx 21xx fx fx为奇函数为奇函数 3fx 解： （ ）解： （ ） 2xxee 2xxee 2xxee fx fx为奇函数为奇函数 32xxeefx （四）、函数的周期性（四）、函数的周期性: : 0yfxafxfxa 设，若，使得设，若，使得 yfx. 恒成立，则称

17、为周期函数恒成立，则称为周期函数a满足这个等式的最小正数 ，称为函数的周期.满足这个等式的最小正数 ，称为函数的周期.（一）、基本初等函数（一）、基本初等函数 log1,0 ,ayxaa三角函数和反三角函数三角函数和反三角函数.（二）、初等函数（二）、初等函数 由基本初等函数经过有限次四则运算和有限次由基本初等函数经过有限次四则运算和有限次yC ，xya ，的函数复合步骤所构成，并可用一个式子表示的函数复合步骤所构成，并可用一个式子表示的函数，称为的函数，称为初等函数初等函数. 五、五、初等函数初等函数yx ，复合函数复合函数 ,yf uuxyfx设称是由设称是由,.ux称称 为为 中中 间间

18、 变变 量量为为 自自 变变 量量sinyx 例如：例如：sin(ln )yx ,.yf uux 复合而成的函数复合而成的函数sin ,;yu ux是由复合而成的函数是由复合而成的函数sin ,ln;yu ux是由复合而成的函数是由复合而成的函数cot2xy ,yu cot ,uv .2xv 21sinxye ,uye 2,uv sin,vw 1.wx 复合函数的分解：复合函数的分解： 由外到内逐层分解，力求使由外到内逐层分解，力求使每一层为基本初等函数，至少为简单函数。简单每一层为基本初等函数，至少为简单函数。简单函数指的是由基本初等函数经四则运算后形成的函数指的是由基本初等函数经四则运算后形成的函数。函数。双曲函数双曲函数,(,),(,).2xxffeeyshxDz 双双曲曲正正弦弦函函数数: :,(,),1,).2xxffeeychxDz 双双曲曲余余弦弦函函数数: :,(,),( 1,1).xxffxxeeythxDzee 双双曲曲正正切切函函数数: :双曲函数常用公式双曲函数常用公式();sh xyshxchy