振型截断法----振动力学

1、 振型叠加法中，需要求出各个阶的固有频率 和与之对应的主振型 ，然后分析响应x(t)。 若系统自由度数n很大时， 及 不便于也不可能全部求出。 若激励频率主要包含低频成分，可撇去高阶振型及固有频率对响应的贡献，只利用较低的前面若干项 及主振型近似分析系统的响应，这就是工程上常采用的振型截断法振型截断法。 振型叠加法 振型截断法撇去高阶 及 对响应的贡献利用较低的前面若干项 及iiii12, niiii振型截断法振型位移法振型加速度法1LiLiisx 211( )iiiits-1xK P 主要知识点：1）以上两类方法的介绍及对比； 2）如何进行截断，即阶数s的确定。1,2,TLs 若记由前知，有

2、坐标变换公式： i0(0)1( )(0)cossin( )sin(t)dtiiiiiiipiitttQM(i=1,2，s) 假设已求得系统较低的前s阶固有频率 (i=1,2，s)及相应的主振型 (i=1,2，s)，由第4章知系统在第 i 个主坐标的响应为：1.1.振型位移法振型位移法ii则有：1 (5.89)sLiLiix 撇去高阶振型部分，就可以得到下列近似的系统响应：其中111222222 (5.91)plppsspsdiagMMM C 由于在上式中响应是由主振型及主坐标的位移叠加组成的，因而这种振型截断法称为振型位移法。i 如果考虑系统的阻尼，并且假定其主阻尼矩阵 是对角阵，那么只需要确

3、定前s阶的振型阻尼比 (i=1,2,s)，而将高阶的阵型阻尼比 (i=s+1,s+2,n)都假定为零，即有：pCi (5.90)pplC0C00这时，第i (i=1,2，s)个主坐标的响应式为：1 1）考虑阻尼时，系统的响应）考虑阻尼时，系统的响应：di()di0(0)(0)( )(0)cossint1( )sin(t)diiiitiiiiiididittipiditetQeM 而表示系统的阻尼矩阵的表达式为：12()() (5.92)TiiiiipiMsCMM( ) tMxKxP上式可变为：(t) (5.93)-1-1xK PK Mx 已知强迫振动的振动方程为：2.2.振型加速度法振型加速度

4、法将式（5.89）代入上式，并结合下式：L-1-1LLK M 21( ) ( )1 ( ) (5.94)LLsiiiittt-1-1L-1-1LL-1xK PK M K P K P可得到系统的响应近似地为： 上式右端第一项是伪静态响应，第二项是由前s阶主振型及主坐标的加速度叠加而成的，因而这种方法称为振型加速度法。 由于第二项有 存在，比较起振型位移法，振型加速度法改善了收敛性，即可用更少的主振型和固有频率求出同样精度的响应。式（5.94）中的 可以用积分号下的微分法算出为：21ii20( )(0)cos(0)sin( ) +( )sin() (5.95)iiiiiiitiiiippitttQ

5、 tQtdMM 221siiii(t) -1-1xK PK Mx 利用分部积分，上式也可写为(备后用)：20( )(0)cos(0)sin(0)1 +cos( )cos() (5.96)iiiiiiitiiiipipitttQtQtdMM 当考虑阻尼时，式（5.93）成为：将式（5.89）代入上式，近似地得：结合第四章公式：故而由式（5.92）及主振型的正交性，上式右端第二项为：21()-1K M(t) (5.97)-1-1-1xK PK CxK Mx(t) (5.98)LLLL-1-1-1xK PK CK M 2 2）考虑阻尼时，系统的响应）考虑阻尼时，系统的响应：21121 2siiipi

6、iipiisiiiiiMM于是系统的响应近似地为：21121=(t)- (5.99)ssiiiiiiiii-1x K P1112()()2 ()()sTiiLLiiLLipisTiiiiLLipiMM-1-1K CKMMK MM下面通过例5.8来观察使用振型截断法时如何选取阵型的个数s。例5.8：如下图所示，四层楼建筑，简化为刚性楼板和弹性支柱。其余四张为不同的振型图。 已知：顶层楼板上作用有简谐激振力： ； 若激振频率分别为： 1costP010.531.31） ； 2） ； 3） 1( )x t分别用振型位移法和振型加速度法计算顶层楼板的响应 。其中各主振型的归一化是使最大的元素为1。11

7、00132080002530037K1000020000200003M1.000001.000000.901450.154360.779100.099631.000000.448170.496550.539890.158591.000000.235060.437610.707970.63688211222233244176.72 13.294879.70 29.6601687.46 41.0793122.79 55.882系统刚度矩阵、质量矩阵、固有频率及振型矩阵已知如下。解： 由公式 求出主质量、主刚度：2piTpiiipiiMKMM112233442.87288, 507.6952.177

8、32, 1915.394.36658, 7368.433.64239, 11374.4ppppppppMKMKMKMK已知激振力向量为：1( )000 costPtP由第4章知：假设 简谐激振力P P(t) 与响应同频率，即：( )sintt0PP其中 是激振力幅的常数列向量；0P则系统在主坐标下对该激振力的稳态响应幅值为：0T0Q P故激振力幅为：011021031041, ,0.90145 , 0.15436QPQPQPQP 又由第4章知，此时主坐标的稳态响应为：02cos (a)(1)iipiiQtK（1）当采用阵型位移法时，系统的的响应近似为：ii1( ) (s4)siiitx其中顶层

9、楼板的响应为：111(t)( ) (s4) (b)siiixt 因为振型叠加法有n项，下面只截取前4项，将 写出；并指出当所截取振型个数为s=1,s=2及s=3时的响应部分，即：1(t)x其中此时，激振频率分别取：1121212121.0cos( )507.695(1/176.72)1.0cos 1915.39(1/879.70)( 0.90145)( 0.90145cos) 7368.43(1/1687.46)(0.15436)(0.15436cos) 11374.4(1/3122.79)Ptx tPtPtPt (c)2s3s 1s 130,0.56.6468,1.353.402.将上述顶层

10、楼板的响应表示为：11( )cosx tPt下表列出了不同频率下系数 的值 ：可以看出： 当振型个数取s=1时，振型位移法得到的响应对三种激振频率的任何一种都存在较大的误差； 取s=3时，响应在 时是相当精确的，但在时，响应的误差任较大。这是因为 接近于 （前），第四阶主坐标的响应在 中占重要成分，而振型截断法却没有包括它。100.5或31.331.341( )x t（2）当采用振型加速度法计算响应时，先算出柔度矩阵：32.604171.354170.729170.312501.354171.354170.729170.31250100.729170.729170.729170.312500.

11、312500.312500.312500.31250-1FK由式（5.94），顶层楼板的响应近似为：111 11211( )cost (s4)siiiix tf P 将式(a)代入上式，得：2111 1121( )cost (s4) (d)siiiix tf P 为与精确解比较，仍将上式按（c）的形式写为：311212212( )2.60417*10cos1.0cos 176.72 507.695(1/176.72)1.0cos 879.701915.39(1/879.70) x tPtPtPt212212( 0.90145)( 0.90145cos) 1687.467368.43(1/168

12、7.46)(0.15436)(0.15436cos) (e)3122.79 11374.4(1/3122.79)PtPt2s3s 1s 将上述顶层楼板的响应表示为：下表列出了不同频率下系数 的值 ：11( )cosx tPt从上表可以看出： 对于 的静态载荷，振型加速度法得到精确解，实际上由式(d)得知，这个精确解是由伪静态响应给出的；010.5 对于 的低频情况，振型个数取s=1时已经得到相当好的近似解；取s=2时，响应的精度相当于振型位移法中取s=3时的精度；31.3 而 时，出于与振型位移法相同的原因，振型加速度法同样得不到精度较好的解。 根据上例可知，在使用振型截断法求系统响应时，必须

13、把分布在激振频率 附近的固有频率 所对应的主振型都包括在内。 工程实践当中，当计入激振频率值20%范围内的固有频率对应的主振型时，一般已能得到较好的近似解。 另，有结论：对于低频激振力，振型加速度法求出的响应比振型位移法所得到的更好一些。 下面以无阻尼系统为例说明原因：第4章有公式 ： (m-k)( ) TpiipiiiMKtP主坐标下的系统 从而得21( )TiiiipitM P 将上式代入(5.94)，得到：1111( )( )1 () ( ) (5.100)ssTiiiiiipisTLiiipixttKtK-1-1LK PPKP211( )siiiit-1xK Pn 根据第4章柔度矩阵的

14、模态展开式可知，上式右端第二项圆括号中的部分可以写为：11111)1 = (5.101)nsTTiiiiiipipinTiiHi spiKKK F 于是式(5.100)可表示为：( ) (5.102)LtLHx F P 称为剩余柔度矩阵，上式右端第二项正是振型加速度法比振型位移法多出的部分。HF 先考虑振型位移法中撇去的高阶振型部分：021121isin(1)1 () (t)(1)TnniHiiii si spiinTiii spiHPtKK P 对于低频激振力，当 (i=s+1,s+2,，n)时，上式近似为i11() ( )( ) (5.103)nTHHiii spittK H PF P 正因为振型加速度法中增添了对高阶振型部分的近似项 ，因而求出的响应比振型位移法求出的要好。( ) tHF P 振型截断法中包括的主振型个数不仅与激振频率有关，而且与激振力的空间分布有关。 如果某些主