2019版高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用第17讲定积分与微积分基本定理精选教案理

1、第17讲定积分与微积分基本定理高考解读GAOKAOJIEDU考名腰求考情分析命题趋势1. 了解定积分的实际背景、基本思想及概念.2. 了解微积分基本定理的含义.2015天津卷，112015湖南卷，112015陕西卷，16定积分与微积分基本定理难度不大，常常考查定积分的计算和求曲边形的面积.分值：5分板块i/考点清单*课前查漏知识梳理/1 .定积分的定义及相关概念一般地，如果函数f(x)在区间a,b上连续，用分点a=xo<xi<-<xii<xi<-<xn=b,将区间a,b等分成n个小区间，在每个小区间x1,xi上任取一点J(i=1,2,，n),nn_b-a作和

2、式Zf(Ei)Ax=Zf(L),当n-8时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间a,b上的定积分，记作fbf(x)dx.a在f(x)dx中，a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间a,b叫做积分区间，a函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量一f(x)dx叫做被积式.2 .定积分的几何意义f(x)f(x)dx的几何意义Jaf(x)>0表小由直线_x=a_,_x=b(awb)_,y=。及曲线y=f(x)所围成的曲边梯形的面积f(x)<0表小由直线_x=a_,_x=b(awb)_,y=。及曲线y=f(x)所围成的曲边梯形的面积的相反数f(x)在a,b上启正后负表小位于

3、x轴上方的曲边梯形的面积减去位于x轴卜方的曲边梯形的面积3 .微积分的性质(1)kf(x)dx=_kfbf(x)dx(k为常数)；a-a(2)/fi(x)±f2(x)dx=bfi(x)dx±bf2(x)dx;1a1a1afbf(x)dx_=fcf(x)dx+bf(x)dx(其中a<c<b).aac4.微积分基本定理一般地，如果f(x)是区间a,b上的连续函数，并且F'(x)=f(x),那么bf(x)dx=aF(b)F(a)_,这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿-莱布尼茨公式.5.定积分与曲边梯形面积的关系 S=f (x)dx； a(2) S=二fbf

4、(x)dx；a(3) S=_fcf(x)dx-fbf(x)dx_;ac(4) S=fbf(x)dx-fbg(x)dx=fbf(x)g(x)dx.'a'a'a6.定积分与变速直线运动的路程及变力做功间的关系(1) s=bv(t)dt;a(2) VW=_fbF(s)ds.a(7) 偶函数定积分的两个重要结论设函数f(x)在闭区间 a, a上连续,则有(1)若f (x)是偶函数,则f (x)d x = 2.a0f (x)d x；(2)若f(x)是奇函数,则 f (x)d x = 0.J a对点检型.1.思维辨析(在括号内打“或"x”).设函数y=f(x)在区间a,b

5、上连续，则fbf(x)dx=fbf(t)dt.(2)定积分一定是曲边梯形的面积.(X)(3)若f(x)dx<0,那么由y=f(x),x=a,x=b以及x轴所围成的图形一定在x轴下方.(X)解析(1)正确.定积分与被积函数、积分上限和积分下限有关，与积分变量用什么字母表示无关.(2)错误.不一定是，要结合具体图形来定.(3)错误.也有可能是在x轴上方部分的面积小于在x轴下方部分的面积.2.若 si=广x2dx, i212xs2=qdx,s3=edx,贝Us1,s2,s3的大小关系为(1x.1A. si<s2 Vs3B.S2<S1<S3C. s2Vs3<S1D.s3V

6、s2<S1.2s2= In x| 1= In 2 In 1 =ln 2<1,s3 = e，| 2 =解析因为si=；xi1=；(2313)=7<3333e2e>3,所以s2<s1<s3.3.直线y=4x与曲线y=x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为(D)A.22B.42C.2D.4y=4x,解析由,；y_x3得交点为(0,0),(2,8),(-2,8),所以S=(4xx3)dx=？x2：x4)2=4,故选D.4 .已知t>1,若(2x+1)dx=t2,则t=2.,解析ft(2x+1)dx=(x2+x)|；=t2+t2'1从而得方程t2+t2=

7、t2,解得t=2.5 .汽车以36km/h的速度行驶，到某处需要减速停车，设汽车以减速度a=2m/s2刹车，则从开始刹车到停车，汽车走的距离是25m.,解析t=0时，vo=36km/h=10m/s,刹车后，汽车减速行驶，速度为v(t)=v。一at=102t,由v(t)=0得t=5s,所以从刹车到停车，汽车所走过的路程为v(t)dt=5(10'0102t)dt=(10t12)|5=25(m).板族二/考法拓展*题型斛吗考法精讲.,除法一定积分的计算,答题模板计算定积分的步骤(1)把被积函数变形为募函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积或和或差.(2)把定积分用定积分性质变形为求被积

8、函数为初等函数的定积分.(3)分别用求导公式找到一个相应的原函数.(4)利用微积分基本定理求出各个定积分的值.(5)计算原始定积分的值.【例1】计算下列定积分.(1)广(一x2+2x)dx；(2)(sinxcosx)dx；,0'0(3)F+gdx；(4)/与小-sin2xdx.解析(1)1(x2+2x)dx=/1(x2)dx+12xdx'0-10'00+(x2)|10= 3+1=3.rtc2x 12 2x211 2xe +x dx= e dx+ xdx=2e(2)广(sinx-cosx)dx=sinxdx-pcosxdx,=(cosx)|0一sinx|0=2.2,214

9、1214121+lnx|1,=-e-2e+In2In1=-e-2e+ln2.兀"2"、1sin2xdx=07t7t2|sinxcosx|dx,=04(cosxsinx)dx+0兀2(sin7t4兀x cos x)d x, = (sin x+ cos x) 4 02+(cosx-sinx)兀,=W1+(1+低=2啦-2.考法二定积分几何意义的应用，归纳总结(1)利用定积分求平面图形面积的步骤：根据题意画出图形；借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定定积分的上、下限；把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和；计算定积分，写出答案.(2)根据平面图形的面积求参数的方法：先利用定

10、积分求出平面图形的面积，再根据条件构造方程（不等式）求解.【例2】（1）由曲线y=yx,直线y=x2及y轴所围成的图形的面积为（C）A.竺B.4316C.KD.63（2）如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型（图中虚线所示），则原始的最大流量与当前最大流量的比值为_1.2_.解析（1）作出曲线y=yx和直线y=x2的草图（如图所示），所求面积为阴影部分的面积.，由（y一十'得交点A（4,2）.J=x2因此y=血与y= x 2及y轴所围成的图形的面积为广小（x2）d x= ,0(6x+2)dx= '3x|-20-4 210=-X8-X16+2X4

11、=3216一V.，（2）建立如图所本的平面直角坐标系 3由抛物线过点（0,-2）,（-5,0）,（5,0）,得抛物线的函数表达式为y=；2x2-2,抛物25线与x轴围成的面积S=J_（2,梯形面积&=（6+一）X2=化最大流量比“5125/32为&：S=6：5.考法三定积分在物理中的应用归纳总结定积分在物理中的两个应用（1）求变速直线运动的路程：如果变速直线运动物体的速度为v=v（t）,那么从时刻t=2到t=b所经过的路程s=bv(t)dt.a(2)变力做功：一物体在变力F(x)的作用下，沿着与F(x)相同的方向从x=a移动到x=b时，力F(x)所做的功是WbF(x)dx.a【

12、例3】(1)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(t)=725一一3t+(t的单位：s,v的单位：m/s)行驶至停止.在此期间汽车行驶的距离(单位：m)是(CA.1+25ln511B.8+25ln3C.4+25ln5D.4+50ln2(2)(单位：N)的作用下沿与力 F相同的方向，从x5,0<x<2一物体在力F(x)=j3x+4,x>2=0处运动到x=4(单位：mX,则力F(x)做的功为_36_J.解析(1)由v(t)=73t+25=0,可得t=4+=舍去,因此汽车从刹车到停止一共行驶了4s,此期间行驶的距离为v(t)dt=0“，一3t+125dt=卜一

13、|t2+25ln(1+t0,=4+25ln5(m).,(2)由题意知，力F(x)所做的功为，W=F(x)dx=5dx+(3x+4)dx=5X2+1x2+4xj2,=1073232+付X4+4X4'X2+4X236J.递进题组1.定积分f/x(2-x)dx的值为(A)'0A.714B.712C.71D.解析令y=x(2x)则(x1)2+y2=1(y>0),由定积分的几何意义知，x(2-x),0dx的值为区域的面积，即为(x-12+y2=1(y>o)0<x<i2.计算：(x3cosx)dx=0解析y=x3cosx为奇函数，3丁一3(x3cosx)dx=0.3

14、.如图，由两条曲线2y=x12y=-4x及直线y=T所围成的平面图形的面积为！H43#.解析,y=-x2,由.y=1,得交点A(-1,-1),B(1,-1).1*y= 一 1，得交点q2,1),D(2,1).所以所求面积10口2.,4.如图，圆O：x2+y2=兀2内的正弦曲线y=sinx与x轴围成的区域记为M图中阴影部分)，随机向圆O内投一个点A,则点A落在区域M内的概率为！金#.兀解析阴影部分的面积为2sinxdx=2(cosx)|0=4,圆的面积为兀3,所以点A落在区域M内的概率是. 兀板块三/考息送检，易错警示易错点定积分的几何意义不明确错因分析：f(x)dx不一定表示面积，也可能是面积

15、的相反数，它可正，可负，也可a为零.与x轴围成的图形的面积.例1求曲线f(x)=sinx,xCJ0解析当xC0,兀时，f（x）0,当xe7t5/时，f(x)<0.则所求面积 S=sin x d x +05二兀 xsin4.、-.5xdx!=cosx|0+cosx|4兀1；=3呼2【跟踪训练1】（2018山东淄博一模）如图所示，曲线y=x2-1,x=2,x=0围成的阴影部分的面积为（A.|x211dx1dxC.2(x21)dx，0D.f1(x2-1)dx+(1-x2)dx解析由曲线y=|x2jx2-1|dx.01|的对称性知，所求阴影部分的面积与如下图形的面积相等,课时达标第17讲曲边梯形

16、的解密考纲本考点主要考查利用微积分基本定理以及积分的性质求定积分、面积，常与导数、概率相结合命题，通常以选择题的形式呈现，题目难度中等.、选择题1.exdx的值等于（C ） 0A.B.C.D.12(e 1)A. e22B.e 1解析f1exdx=ex|0=e1-e0=e-1,故选C.0C. e2D. e+1解析 e.12x + - dx=(x2+1n x)| e = e：故选 C. x3.求曲线y=x2与直线y=x所围成图形的面积，其中正确的是 （A ）A.S=(xx2)dx-0B.S=(x2x)dx-0C.S=(y2y)d y-0D.S= f1(y->/y)dy-0解析由图象可得S=r

17、（xx2）dx.4.曲线y=2与直线y=x1及直线x=4所围成的封闭图形的面积为（D）xA.21n 2B. 2-ln 2C.4-ln 2D. 421n 2解析由曲线y=2与直线y=xi及x=4所围成的封闭图形，如图中阴影部分所示,x故所求图形的面积为S=x 21nx)| 4= 4 21n 2.5.设f(x)=，1!xB.,xC(1,e（其中e为自然对数的底数），则/f（x）dx的值为0dx=1x3|0+ln3x|e=-1+1=g,故选A.33_ir 22A.一兀B.71D.71解析因为2cos x d x = sin x07t2故所求概率为兀1X2 兀2二、填空题7.兀2 (cos 0x si

18、n x)d x = 0解析2 (cos xsin x)dx= (sin0x+ cosx)7t2=0.1e8 .若函数 f (x) = x + ,则f(x)dx=! x.1一号#.+ ln x解析fewe e2+11 =29 .由曲线 y= sin x, y= cos.兀. x与直线x= 0, x = q所围成的平面图形(图中的阴影部分)的面积是！ ！ ！2x/2-2 #.解析由图可得阴影部分面积7tS= 2 4 (cosx sin x)dx= 2(sinx+ cos x)=2(也1).三、解答题10.求下列定积分.,(1)广 1x-x2+x dx； (2)0 兀(cosx + ex)d x.2

19、2,122221X2X解析x+xdx=xdxXdx+qdx=21-2=ln2-5.6 J ( (cosx + ex)dx= !cosd 兀r0 xxdx+exdx= sin一兀11.已知函数f(x)=x3-x2+x+1,求其在点(1,2)处的切线与函数g(x)=x2围成的图形的面积.解析(1,2)为曲线f(x)=x3x2+x+1上的点，设过点(1,2)处的切线的斜率为k则k=f'(1)=(3x2-2x+1)|x=1=2，在点(1,2)处的切线方程为y-2=2(x1),即y=2x,y=2x与函数g(x)=x2围成的y=x2,图形如图.，由i可得交点A(2,4).ly=2xy=2x与函数g(x)=