2019年高考数学(文)一本策略复习名师公开课精品教案：第一讲坐标系与参数方程(选修4-4)含解析

1、第一讲坐标系与参数方程（选彳44）考情分析明确方向V年份卷别考查内容及考题位置命题分析2018I卷极坐标方程与直角坐标方程的互化、直线和圆的位置关系T221 .坐标系与参数方程是高考的选考内容之一，高考考查的重点主要有两个方圆：,是简单曲线的极坐标方程；二是参数方程、极坐标方程与曲线的综合应用.2 .全国课标卷对此部分内容的考查以解答题形式出现，难度中等，备考此部分内容时应注意转化思想的应用.n卷曲线的参数方程与直角坐标方程的互化、直线参数方程的几何意义T22出卷参数方程与直角坐标方程的互化T222017I卷参数方程与普通方程的互化、点到直线的距离T22n卷直角坐标与极坐标的互化、动点轨迹方程

2、的求法、三角形面积的最值问题T22出卷直线的参数方程与极坐标方程、动点轨迹方程的求法t222016I卷参数方程与普通方程的互化、极坐标方程与直角坐标方程的互化及应用T23n卷极坐标方程与直角坐标方程的互化及应用、直线与圆的位置关系T23出卷参数方程、极坐标方程及点到直线的距离、三角函数的最值T23讲练结合U考点一极坐标方程及应用授课提示：对应学生用书第67页悟通一一方法结论1 .圆的极坐标方程若圆心为M（0,盼，半径为r,则圆的方程为：1一26pcos（生）+（0r2=0.几个特殊位置的圆的极坐标方程：当圆心位于极点，半径为r：p=r;(2)当圆心位于M(a,0),半径为a：p=2acos0;

3、(3)当圆心位于M,2I半彳至为a：p=2asin0.2 .直线的极坐标方程若直线过点M(%),且极轴与此直线所成的角为出则它的方程为：psin(0a)=posin(a一心.几个特殊位置的直线的极坐标方程：(1)直线过极点：0=和。=兀+如(2)直线过点M(a,0)且垂直于极轴：pcos0=a;(3)直线过M(b，2,且平行于极轴：psin0=b.全练一一快速解答1. (2018高考全国卷I)在直角坐标系xOy中，曲线Ci的方程为y=k|x|+2.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为P2+2pcos。3=0.(1)求C2的直角坐标方程；(2)若C1与C2有且仅

4、有三个公共点，求C1的方程.解析：由x=pcos0,y=psin。得C2的直角坐标方程为(x+1)2+y2=4.(2)由(1)知C2是圆心为A(-1,0),半径为2的圆.由题设知，C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线.记y轴右边的射线为l1，y轴左边的射线为12.由于点B在圆C2的外面，故C1与C2有且仅有三个公共点等价于11与C2只有一个公共点且12与C2有两个公共点，或12与C2只有一个公共点且11与C2有两个公共点.当11与C2只有一个公共点时，点A到11所在直线的距离为2,所以喑±3=2,故kUk2+14=-或k=0.3经检验，当k=0时，I与C2没有公共点；4.当

5、k=4时，11与C2只有一个公共点，12与C2有两个公共点.3当12与C2只有一个公共点时，点A到12所在直线的距离为2,所以会含=2,故k=0或k=3.经检验，当k=0时，I与C2没有公共点；当k=3时，12与C2没有公共点.综上，所求Ci的方程为y=4|x|+2.32. (2017高考全国卷n)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线Ci的极坐标方程为pcos0=4.(1)M为曲线Ci上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|OP|=16,求点P的轨迹C2的直角坐标方程；(2)设点A的极坐标为2,3点B在曲线C2上，求OAB面积的最大值.解析：设P的极坐标

6、为(p,0)(仍0),M的极坐标为(a,。(股0).4由题设知|OP|=p,|OM|=P)=cos0由|OM|OP|=16得C2的极坐标方程P=4cosa仍0).因此C2的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4(xw0).(2)设点B的极坐标为(的矶田0),由题设知|OA|=2,旧=4cosa,于是OAB面积1S=2|OA|pesin/AOB= 4COS a=2|sin?a3；-乎|<2+3.当a=11时，S取得最大值2+陋.所以OAB面积的最大值为2+m.3. (2018长春二模)在直角坐标系xOy中，以。为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为pcos。3=1,M,N

7、分别为曲线C与x轴，y轴的交点.(1)写出曲线C的直角坐标方程，并求M,N的极坐标；(2)设M,N的中点为P,求直线OP的极坐标方程.解析：(1)pcos93i=1,pcos0cos3+psin0sin=1.又：x= pcos 依 ly= psin 0,1.32x+ 2 y=1,即曲线C的直角坐标方程为x+V3y-2=0,令y=0,则x=2；令x=0,则y=2-3.3.M(2,0),N,.M的极坐标为(2,0),N的极坐标为.胃3,2(2)/M,N连线的中点P的直角坐标为卜，坐,：,兀.P的极角为0=-,6直线OP的极坐标方程为0=6(pR).【类题通法】1 .极坐标方程与普通方程互化技巧(1

8、)巧用极坐标方程两边同乘以p或同时平方技巧，将极坐标方程构造成含有pcos0,由in0,p2的形式，然后利用公式代入化简得到普通方程.(2)巧借两角和差公式，转化岱in(。土0或pcos(9±a)的结构形式，进而利用互化公式得到普通方程.(3)将直角坐标方程中的x转化为pcos为将y换成psin仇即可得到其极坐标方程.2.求解与极坐标有关的问题的主要方法(1)直接利用极坐标系求解，可与数形结合思想配合使用.(2)转化为直角坐标系，用直角坐标求解.若结果要求的是极坐标，还应将直角坐标化为极坐标.讲练结合参数方程授课提示：对应学生用书第68页悟通方法结论几种常见曲线的参数方程圆x=a+r

9、cosa,以O'(a,b)为圆心，r为半径的圆的参数方程是i其中“是参数.|y=b+rsina,当圆心在(0,0)时，方程为x= rcos a, y=rsin a,其中a是参数.(2)椭圆22椭圆X2+，= 1(a> b> 0)的参数方程是x= acos（）, |y= bsin 也其中。是参数.椭圆b2+ 0?= 1(a> b> 0)的参数方程是x= bcos（）, ly= asin 也其中。是参数.(3)直线x=X0+tcos%经过点P°(x0,y°),倾斜角为a的直线的参数方程是i其中t是参数.y=y0+tSina,全练快速解答x=2co

10、s0,1. (2018高考全国卷n)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(0|y=4sin0x=1+tcosa,为参数)，直线l的参数方程为(t为参数).|y=2+tsina(1)求C和l的直角坐标方程；(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2),求l的斜率.22解析：(1)曲线c的直角坐标方程为：+1y6=1.当cos时0时，l的直角坐标方程为y=tanax+2tana,当cosa=0时，l的直角坐标方程为x=1.(2)将l的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t的方程(1+3cos2o)t2+4(2cosa+sin4t8=0.因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C

11、内，所以有两个解，设为L,t2,则t1+12=0.又由得,+匕=_4(28$讣：nQ故2cosa+$所a=0,于是直线l的斜率k=tana1+3cos=-2.x=3cos0,2. (2017高考全国卷I)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为i(0|y=sin0rx=a+4t,为参数)，直线l的参数方程为(t为参数).Iy=1t(1)若a=1,求C与l的交点坐标；(2)若C上的点到l距离的最大值为历，求a.解析：(1)曲线C的普通方程为:+y2=L当a=1时，直线l的普通方程为x+4y-3=0.从而C与1的交点坐标为(3,0)，(一含郢(2)直线l的普通方程为x+4y-a-4=0,故C上的点

12、(3cos0,sin。)到l的距离为|3cos0+4sin0a4|当a> 4时，d的最大值为a+ 9,17.a-I-9.由题设得竿9=师，解得a=8;,17当av4时，d的最大值为一产一;17a-I-1.由题设得=J17,.17解得a=16.综上，a=8或a=16.3. (2018惠州模拟)已知曲线C的极坐标方程是p=4cos。.以极点为平面直角坐标系的X=1+tcosa原点，极轴为X轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是(tly=tsina为参数).(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)若直线l与曲线C相交于A,B两点，且|AB|=J五，求直线l的倾斜角a的值.

13、解析：(1)由尸4cos。得f2=4pcos0.x2+y2=f2，x=pcos0,y=psin0,，曲线C的直角坐标方程为x2+y2-4x=0,即(x2)2+y2=4.r(2)将a0c代入曲线C的方程得(tcosa1)2+(tsina)2=4,化简得t22tcosaly=tsin-3=0.ti+t2=2C0Sa设A,B两点对应的参数分别为ti,t2,则tit2=-3 lABl=Iti3=yjgi+b2-412=yj4cos2什12=y14,.一2八AM兀i3兀 4cosa=2,cosa=埒-,a=4或1【类题通法】i.有关参数方程问题的2个关键点（i）参数方程化为普通方程的关键是消参数，要根据

14、参数的特点进行转化.（2）利用参数方程解决问题，关键是选准参数，理解参数的几何意义.2.利用直线的参数方程中参数的几何意义求解问题经过点P（xg,y。）,倾斜角为X=Xo+tC0Sa,a的直线l的参数方程为一.y=y。十tSin&（t为参数）.若A,B为直线l上两点，其对应的参数分别为ti,t2,线段AB的中点为M,点M所对应的参数为to,则以下结论在解题中经常用到：ti+t2(i)to=2ti+t2(2)|PM|=|to|=-；|AB|=|t2ti|;(4)|PA|PB|=|tit2|.u考点三饼练结合极坐标方程与参数方程的综合应用授课提示：对应学生用书第69页蜒例（20i7高考全国

15、卷出）（i0分）在直角坐标系xOy中，直线li的参数方程为X=2+t,y=ktx=2+m,（t为参数），直线l2的参数方程为Smly=7（m为参数）.设li与l2的交点为P,当k变化时，P的轨迹为曲线C.（i）写出C的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系,设l3:p(cos0+sin0)-V2=o,M为l3与C的交点，求M的极径.规范解答(1)消去参数t得li的普通方程li：y=k(x2);消去参数m得G的普通方程：y=1(x+2).(2分)设P(x,v),由题设得'y=k(x2)1”k(x+2)消去k得x2y2=4(yw0).所以C的普通方程为(2)C的极坐

16、标方程为x2y2=4(yw0).(4分)p2(cos2。一sin2)=4(0<0<2兀,/吊.联立J(cos0-sin20尸4,”(cos0+sin0*I(6分)得cos0-sin0=2(cos0+sin0).故tan0=32c9.2八1从而cos0=10，sin0=10j.一代入2(cos20sin20)=4得p2=5,所以交点M的极径为V5(8分)(10分)【类题通法】解决极坐标方程与参数方程综合问题的方法(1)对于参数方程或极坐标方程应用不够熟练的情况下，我们可以先化成直角坐标的普通方程，这样思路可能更加清晰.(2)对于一些运算比较复杂的问题，用参数方程计算会比较简捷.(3)

17、利用极坐标方程解决问题时，要注意题目所给的限制条件及隐含条件.练通一一即学即用1.(2018惠州模拟)已知曲线C:x=2cosa,(a为参数)和定点A(0,73),F1，F2是、y=V3sina此曲线的左、右焦点，以原点。为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求直线AF2的极坐标方程；(2)经过点F1且与直线AF2垂直的直线l交曲线C于M,N两点，求|MF1|NF1|的值.解析：(1)曲线C：'x2cosoc,乂2y?我.可化为x4+y3=1,故曲线C为椭圆,则焦点F1(一1,0),F2(1,0).所以经过点A(0,5)和F2(1,0)的直线AF2的方程为x+#3=1,即，3

18、x+y-V3=0,所以直线AF2的极坐标方程为炉(cos时由in0=3.(2)由(1)知，直线AF2的斜率为一®因为l，AF2,所以直线l的斜率为堂，即倾斜角3为30?,所以直线l的参数方程为x=-1+半t,1y=2t(t为参数),代入椭圆C的方程中，得13t21243t36=0.因为点M,N在点F1的两侧，所以|MF1|NF1|=|t1+t2|=2乎.132.(2018长郡中学模拟)在直角坐标系中，已知曲线M的参数方程为x=1+2*cos3,y=1+2*sin3(3为参数)，在极坐标系中，直线1i的方程为级=0,直线l2的方程为M兀=e+2.(1)写出曲线M的普通方程，并指出它是什

19、么曲线；(2)设11与曲线M交于A,C两点，12与曲线M交于B,D两点，求四边形ABCD面积的取值范围.x=1+2亚cos8解析：(1)由厂(3为参数)，消去参数以得曲线M的普通方程为(x)=1+2V2sin3,-1)2+(y-1)2=8,曲线M是以(1,1)为圆心，242为半径的圆.(2)设|OA|=p1,|OC|=便，.O，A，C二点共线，则|AC|=|也|=/(、+也j4仍例(*),将曲线M的方程化成极坐标方程，得任一2p(sin0+cos()6=0,代入(*)式得|AC|=428+4sin2a用时押替9,彳导|BD|=<284sin29,1_又l1_Ll2,S四边形ABCD2|A

20、C|BD|,S四边形ABCD=N(28+4sin2眼28-4sin2。尸249-sin220,sin220,1,.S四边形abcdC8乖,14./瞟后训练提升能力授课提示：对应学生用书第143页x=cos0,1.已知曲线Cl的参数方程为（。为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半|y=1+sin0轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为4sin（直线l的直角坐标方程为y3=Tx.（1）求曲线Ci和直线l的极坐标方程；（2）已知直线l分别与曲线C1、曲线C2相交于异于极点的A,B两点，若A,B的极径分别为例，求|俊一用的值.x=cos0,解析：（1）曲线C1的参数方程为（。为参数），y=1+s

21、in0其普通方程为x2+（y1）2=1,极坐标方程为p=2sin0.直线l的直角坐标方程为y=i33x,故直线l的极坐标方程为0=6（pR）.（2）曲线G的极坐标方程为p=2sin依直线l的极坐标方程为。=三6将0=入C1的极坐标方程得P1=1,将（弋入C2的极坐标方程得比=4,6二I位一例|=3.x=tcosa,2.（2018开封模拟）在直角坐标系xOy中，直线C1的参数方程为（t为参数），ly=tsina圆C2：（x2）2+y2=4,以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求C1,C2的极坐标方程和交点A的坐标（非坐标原点）；（2）若直线C3的极坐标方程为0=4（pR）,设

22、C2与C3的交点为B（非坐标原点）,求4OAB的最大面积.rx=tcosa,解析：（1）由,（t为参数）得曲线C1的普通方程为y=xtana,故曲线C1的极y=tsina坐标方程为0=a(pR).将x=pcos0,y=psin。代入(x2)2+y2=4,得C2的极坐标方程为p=4cos0.故交点A的坐标为(4cosa,a).(2)由题意知，B的极坐标为(22,4)._1_u兀兀S»A0AB=I2x2艰x4cosaXsin(44|=|2-j2sin(2a/2|,故OAB的最大面积是242+2.3. (2018长春*II拟)以直角坐标系的原点0为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，一，一.，一一、，一.，一一、，兀兀一已知点P的直角坐标为(1,2),点C的极坐标为(3,2),若直线l过点P,且倾斜角为"6,圆C以点C为圆心，3为半径.