第5章 随机过程通过线性系统(1)

1、第五章第五章 随机过程通过线性系统随机过程通过线性系统 确定信号通过线性时不变系统，我们已经很熟悉。确定信号通过线性时不变系统，我们已经很熟悉。例如：例如： 确知信号确知信号x(t), 线性时不变系统线性时不变系统h(t)：n时域：时域： 非因果系统：非因果系统： 因果系统：因果系统： dtxhty)()()( dtxhty 0)()()()(th)(tx)(ty 频域：频域： 若若 物理可实现，且物理可实现，且x(t)有界，则有：有界，则有： 。 所以对于确定信号，总可以用数学式或列表形式给定其所以对于确定信号，总可以用数学式或列表形式给定其时域的描述，或用变换的方式给出其时域的描述，或用变

2、换的方式给出其“频域频域”的表述，而且的表述，而且对于其通过线性时不变系统的表述为：对于其通过线性时不变系统的表述为：问题：问题：随机信号通过线性系统情况如何呢？其输入、输出以随机信号通过线性系统情况如何呢？其输入、输出以及与系统函数间的关系如何？及与系统函数间的关系如何？ dtth)()()( Hth)()( Xtx)()()()()()( HXYthtxty )()()( XHY 随机信号随机信号函数值无法用数学式或列表形式确切的表述。函数值无法用数学式或列表形式确切的表述。其原因是：其原因是： 1.1.随机性随机性，即任何时刻点上的取值不能预先确定。因为，即任何时刻点上的取值不能预先确定

3、。因为随机过程（信号）是随机过程（信号）是随时间或依时序组成的随时间或依时序组成的每个时间点上每个时间点上的的随机变量随机变量的集合，所以随机信号每个时间点上对应的函的集合，所以随机信号每个时间点上对应的函数值都是一个数值都是一个随机变量随机变量。即便通过一个具体的实验所得到。即便通过一个具体的实验所得到的确定的确定函数函数，也只能是该随机过程的一个样本，也只能是该随机过程的一个样本函数函数 ，它也它也无法表征整个随机过程的行为无法表征整个随机过程的行为 。 2.2.波及性波及性，随机过程可以认为是某个随机系统中某一个，随机过程可以认为是某个随机系统中某一个端口的输出，各时间点上随机变量的取值

4、往往具有前后的端口的输出，各时间点上随机变量的取值往往具有前后的波及影响，既不同时间点上随机变量间的关联性。这种波波及影响，既不同时间点上随机变量间的关联性。这种波及或关联性是由随机系统的各种及或关联性是由随机系统的各种惯性惯性决定的。决定的。),(itx 针对随机信号所具有的随机性和波及性，可针对随机信号所具有的随机性和波及性，可用统计方法来描述其随时间变化的函数关系：用统计方法来描述其随时间变化的函数关系： 1. 对于每一时间点上的函数值是随机变量的对于每一时间点上的函数值是随机变量的特征，可用一维统计特性来描述：特征，可用一维统计特性来描述： 函数值的概率密度、均值、方差等；函数值的概率

5、密度、均值、方差等； 2. 对于各时间点随机变量的波及性，用多维对于各时间点随机变量的波及性，用多维统计特性来描述：统计特性来描述： 函数值的多维概率密度、相关函数等。函数值的多维概率密度、相关函数等。随机过程通过线性时不变系统的表示随机过程通过线性时不变系统的表示 随机过程的一个样本随机过程的一个样本 , 若若 是有界的，则对于是有界的，则对于线性时不变系统线性时不变系统 ：n 时域表示：时域表示： 非因果系统：非因果系统： 因果系统：因果系统：即，系统输出即，系统输出 也只能是随机过程的一个样本且有界。也只能是随机过程的一个样本且有界。其无法代表系统输出随机过程的全体。只有当每个输入样本其

6、无法代表系统输出随机过程的全体。只有当每个输入样本 都是有界的，才有都是有界的，才有 dtxhtyii),()(),( ),(itx dtxhtyii),()(),(0 ),(ity ),(itx )(th),( tx dtXhtY)()()( 频域表示：频域表示： 随机过程随机过程 是无限时宽，无限能量，非周期的是无限时宽，无限能量，非周期的, , 的付氏变换、的付氏变换、Z Z变换以及付氏级数都不存在，变换以及付氏级数都不存在，故不能用频谱表述。故不能用频谱表述。 但是，若随机过程是平稳的，则但是，若随机过程是平稳的，则其频域特性可用功率其频域特性可用功率谱来描述。谱来描述。平稳随机过程通

7、过平稳随机过程通过线性时不变系统线性时不变系统：平稳条件：平稳条件： = 常数；常数；)(tXE )(2tXE)(tX 122121),()()(),(ttRtxtxEttRXX )(tXn 由此可知：由此可知：随机过程只能用统计的方法来表征，不存随机过程只能用统计的方法来表征，不存 在频谱，但可用功率谱描述。在频谱，但可用功率谱描述。 问题的提出：用统计的方法如何来具体地表征随机过问题的提出：用统计的方法如何来具体地表征随机过程通过线性时不变系统的行为，从中我们能获得什么结程通过线性时不变系统的行为，从中我们能获得什么结论？论？由于随机过程的自相关函数，自协方差函数绝对可积，由于随机过程的自

8、相关函数，自协方差函数绝对可积，故其存在故其存在Z变换，或付氏变换。变换，或付氏变换。物理解释：物理解释：能量无限的信号，一般功率有限。能量无限的信号，一般功率有限。一、平稳随机过程通过线性时不变系统的时域分析一、平稳随机过程通过线性时不变系统的时域分析n1系统输出系统输出Y(t)的均值的均值: ，其中，其中 输出过程的均值输出过程的均值=输入过程的均值输入过程的均值H(0)常数。常数。n2. 系统输出系统输出Y(t) 的自相关函数的自相关函数:输出过程输出过程 RY() 只与时间差只与时间差 有关，而与时间起点有关，而与时间起点 t 无关。无关。)0()()(HmdhmtYEXX )0()(

9、Hdh )()()()()()()()()()(),( YXYRddRhhddtXtXEhhtYtYEttR dtXhtY )()()(由由 EY(t) 常数和常数和 RY() 可知：可知： 平稳随机过程通过线性时不变系统的输出过程也是平稳的。平稳随机过程通过线性时不变系统的输出过程也是平稳的。且有：且有：)0()(HmtYEX )()()()( hhRRXY)()()( )()()()()()()()()()( XXXXYRhhdRhhddRhhddRhhR n3. 系统输入与输出之间的互相关函数系统输入与输出之间的互相关函数: dhRdhtXtXEdtXhtXEtYtXEttRXXY)()

10、()()()()()()()()(),(_ 同理可证，同理可证，)()()()()( hRhRRXXYX)()()()()()()()( hRhRhhRRYXXYXY )()()( hRRXXY 当当X(t)为白噪声，即为白噪声，即 时，则时，则)() 2/()(0tNRX )() 2/()()() 2/()()()(00 hNhNhRRXXY 即有即有 )(2)(0 XYRNh 该式说明：该式说明：如果能用互相关函数测量设备测得如果能用互相关函数测量设备测得 ，则可用功率谱密度为则可用功率谱密度为 的白噪声激励线性系统来估计的白噪声激励线性系统来估计该线性系统的冲击响应。该线性系统的冲击响应

11、。)( XYR2/0N)(th)(tX)(tY相相关关器器)( XYR)(2)(0 NRX 4物理可实现物理可实现(因果因果)系统的响应系统的响应n 物理可实现系统的条件：物理可实现系统的条件： 因果性因果性 将该条件代入上述关系式，可得将该条件代入上述关系式，可得 注意：卷积关系不再成立。注意：卷积关系不再成立。0,0)( tth)0()()(0HmdhmtYEXX ddRhhRXY)()()()(00 dhRRXXY)()()(0 n平稳随机过程通过线性时不变系统的时域分析小结：平稳随机过程通过线性时不变系统的时域分析小结：X(t)：平稳随机过程：平稳随机过程h(t)：线性时不变系统的冲击

12、响应：线性时不变系统的冲击响应 )()()();()()()()()()()()()()()0()( hRRhRRhRhRhhRRHmtYEXYXXXYYXXYXYX 注意：物理可实现系统的条件。注意：物理可实现系统的条件。)(th)(tX)(tY二、平稳随机过程通过线性时不变系统的频域分析二、平稳随机过程通过线性时不变系统的频域分析1系统输出系统输出Y(t)的功率谱密度的功率谱密度 deRhhdddeRGjXjYY 00)()()()()(令 ，则 ,dd ，令：令： ，则，则其中，其中，|H()|2称为称为系统的功率传输函数。系统的功率传输函数。所以，所以， 系统的输出功率系统的输出功率=

13、系统的输入功率系统的输入功率 |H()| 2 2。 )()()()()(*)()()()(200 XXjXjjYGHGHHdeRdehdehG 系统输出系统输出Y(t)的自相关函数的自相关函数系统的输出的均方值或平均功率系统的输出的均方值或平均功率 deGHdeGRjXjYY)()(21)(21)(2 dGHRtYEXY)()(21)0()(222. 系统输入与输出之间的互谱密度系统输入与输出之间的互谱密度 )()()( hRRXXY )()()( hRRXYX 由付氏变换性质可得由付氏变换性质可得:)()()( HGGXXY )()()( HGGXYXv 当当X(t)为白噪声，即为白噪声，即

14、GX()=N0/2时时，则，则)(2)(0 HNGXY ，或，或 )(2)(0 HNGYXn上式说明：上式说明：如果能设法获得如果能设法获得GXY() 或或GYX() ，则可估计，则可估计 线性系统的传输函数线性系统的传输函数 H() 。n平稳随机过程通过线性时不变系统的频域分析小结：平稳随机过程通过线性时不变系统的频域分析小结：GX() ：输入平稳随机过程输入平稳随机过程X(t)的功率谱密度的功率谱密度;H() ： 线性时不变系统的传输函数线性时不变系统的传输函数;|H()|2 ：线性时不变系统的功率传输函数：线性时不变系统的功率传输函数;GY() ：输出平稳随机过程：输出平稳随机过程Y(t

15、)的功率谱密度；的功率谱密度；)(tX)(tY)(H )(GX )(GY GXY() ：输入：输入X(t)与输出平稳随机过程与输出平稳随机过程Y(t)的互谱密度。的互谱密度。 )()()()()()()()(21)0()()()(21)()()()(2222 HGGHGGdGHRtYEdeGHRGHGXYXXXYXYjXYXY三、多个随机过程之和通过线性系统三、多个随机过程之和通过线性系统设设 X1(t) 和和 X2(t)单独平稳，且联合平稳，单独平稳，且联合平稳，则线性系统的输则线性系统的输出出Y(t)的特性为：的特性为：1输出输出Y(t)的均值的均值21)(YYYmmtYEm )t (h)

16、t (X)t (X)t (X21 )t (Y)t (Y)t (Y21 2输出输出Y(t)的自相关函数和功率谱密度的自相关函数和功率谱密度 )()()()()()()()()()()(122121122121 hhRRRRRRRRRXXXXXXYYYYYYY 2)()()()()()(122121 HGGGGGXXXXXXY 推论：推论： 若若X1(t) 和和 X2(t)互不相关互不相关，则则 )()(2)()()(2121 hhmmRRRXXXXY 2)()(4)()()(2121 HmmGGGXXXXY 若若X1(t) 和和 X2(t)互不相关，且均值为零，则互不相关，且均值为零，则3输入输

17、入X(t) 与输出与输出Y(t) 的互相关函数和互谱密度的互相关函数和互谱密度 )()()()()()()(2121 YYXXYRRhhRRR )()()()()(22122111 YXYXYXYXXYRRRRR )()()()()()(21212 YYXXYGGHGGG )()()()()(22122111 YXYXYXYXXYGGGGG 四、白噪声通过线性系统四、白噪声通过线性系统 设白噪声的功率谱密度为设白噪声的功率谱密度为 ， 线性时不变系统的传输函数为线性时不变系统的传输函数为 ，则系统输出，则系统输出 的的功率谱密度为功率谱密度为:),(,)(2)(20 HNGY)( H)(tY，

18、。 双边功率谱密度双边功率谱密度， 。 单边功率谱密度单边功率谱密度 系统输出功率谱密度不再是均匀的，其完全取决于系统输出功率谱密度不再是均匀的，其完全取决于 系统的频率特性系统的频率特性H()。系统输出。系统输出Y(t)也不再是白噪声。也不再是白噪声。 ), 0(,)()(20 HNFY),(, 2/)(0 NGX 02020)(2)(221)0( dHNdHNRY GY()、 RY()的求解都需要知道的求解都需要知道|H()|，因此，因此 |H()|越复杂，越复杂， GY()和和 RY()的计算就越困难。的计算就越困难。系统输出系统输出Y(t) 的平均功率为的平均功率为:1等效噪声带宽等效

19、噪声带宽n等效思想：等效思想：对于对于理想系统和实际系统，当输入相同的理想系统和实际系统，当输入相同的白噪声时，用输出噪声平均功率相等的方法，寻求一白噪声时，用输出噪声平均功率相等的方法，寻求一个在频带中心的功率传输函数值与实际系统相等的，个在频带中心的功率传输函数值与实际系统相等的，且具有矩形传输函数特性的理想系统来代替实际系统。且具有矩形传输函数特性的理想系统来代替实际系统。以简化系统分析中的运算。以简化系统分析中的运算。 设理想低通线性系统的功率传输函数为设理想低通线性系统的功率传输函数为 eeIHH ,0,)0()(22则实际系统的等效噪声带宽则实际系统的等效噪声带宽 定义为定义为e

20、202)0()(HdHe 2)( H e 0e 设理想带通线性系统的功率传输函数为设理想带通线性系统的功率传输函数为 2/,02/,)()(00202eeIHH 其中，其中， 为带通线性系统的中心频率，则实际系统的等效为带通线性系统的中心频率，则实际系统的等效噪声带宽为噪声带宽为e 2002)()( HdHe e 表示：表示：系统对噪声功率谱的选择性系统对噪声功率谱的选择性。0 2)( H e o 0o 线性系统通频带的一般定义：线性系统通频带的一般定义：系统频率特性曲线半功系统频率特性曲线半功率点的通频带宽率点的通频带宽 （也称为三分贝带宽）。其表示系（也称为三分贝带宽）。其表示系统对有用信

21、号的选择性。统对有用信号的选择性。 因为因为 ， 都取决于系统的传输函数都取决于系统的传输函数 ，所以一旦所以一旦 确定，则确定，则 和和 也就确定了，因而也就确定了，因而 和和 必然有确定的关系。不同结构的系统必然有确定的关系。不同结构的系统 和和 的关系如下：的关系如下： e )( H)( H e e e 窄带单调谐电路系统：窄带单调谐电路系统： ；双调谐电路系统：双调谐电路系统： ；高斯频率特性的电路系统：高斯频率特性的电路系统： ；级联调谐电路越多的电路系统，级联调谐电路越多的电路系统， 和和 两者越接近。两者越接近。 57.12e 22. 1e 05. 1e e 线性系统的通频带宽与

22、等效噪声带宽线性系统的通频带宽与等效噪声带宽 的关系的关系e 2白噪声通过理想线性系统白噪声通过理想线性系统 有了等效噪声带宽的概念，就可以用带宽为等效噪有了等效噪声带宽的概念，就可以用带宽为等效噪声带宽的理想系统来等效或逼近实际系统。声带宽的理想系统来等效或逼近实际系统。v 白噪声通过理想白噪声通过理想低通低通线性系统线性系统 理想低通线性系统的传输函数正半轴部分为：理想低通线性系统的传输函数正半轴部分为： 2/, 02/0,)(0 KH系统输入白噪声系统输入白噪声单边单边功率谱密度为：功率谱密度为：,)(0XNF ), 0( 系统输出特性如下：系统输出特性如下：1) 输出单边功率谱密度输出

23、单边功率谱密度 2/, 02/0,)()(20020 KNHNFY2) 输出相关函数输出相关函数 22sin4cos)(21)(2000 KNdFRYY3) 输出平均功率输出平均功率 4)0(200 KNRY4) 输出输出Y(t)的的自相关系数自相关系数 22sin)0()()0()()( YYYYYRRCC5) 输出输出Y(t)的的相关时间相关时间 0002122sin)(fddY 输出随机过程的相关时间与系统的带宽成反比。输出随机过程的相关时间与系统的带宽成反比。 ，输出过程随时间变化越快；反之则越慢。，输出过程随时间变化越快；反之则越慢。 0 fv 白噪声通过理想白噪声通过理想带通带通线

24、性系统线性系统理想带通线性系统的传输函数正半轴部分为：理想带通线性系统的传输函数正半轴部分为： 2/, 02/,)(000 KH若系统输入白噪声单边功率谱密度为：若系统输入白噪声单边功率谱密度为：0)(NFY ， ), 0( 则系统输出特性如下：则系统输出特性如下：1) 输出单边功率谱密度输出单边功率谱密度 2/, 02/,)()(0020020 KNHNFY 若系统满足条件若系统满足条件 时，则该系统称为时，则该系统称为窄带窄带 系统系统； 若随机过程的功率谱密度满足条件若随机过程的功率谱密度满足条件 时，时， 则该随机过程称为则该随机过程称为窄带过程窄带过程。0 0 2) 输出相关函数输出

25、相关函数 0200222000cos2sincos21cos)(21)(00 KNdKNdFRYY令令 )2(4222sin422sin)(200200200 SaKNKNKNa则则 。 0cos)()(aRY 由于由于)( a的变化只与的变化只与 有关，因此若满足有关，因此若满足02/ 条件，条件，则则)( a的变化将比的变化将比 0cos的变化慢得多。一般的变化慢得多。一般)( a为为 0cos的包络。的包络。 称称).2(4cos)(21)(2000 SaKNdFRYY且且低通低通输出相关函数为输出相关函数为 当当 时，则时，则 。其除了差一个系数。其除了差一个系数2外，外，与低通系统输

26、出相关函数完全一样。与低通系统输出相关函数完全一样。这说明，这说明，一个窄带系一个窄带系统（满足统（满足 ）输出平稳过程的相关函数等于相应的等）输出平稳过程的相关函数等于相应的等效低通系统输出的相关函数效低通系统输出的相关函数 与与 的乘积。的乘积。00 )()( aRY 3) 输出平均功率输出平均功率 2)0(200KNRY 4) 输出输出 的自相关系数的自相关系数 0cos)2()0()()0()()( SaRRCCYYYYY)(tY0 )( a 0cos自相关系数也可以分成快、慢变化两部分。自相关系数也可以分成快、慢变化两部分。窄带系统输出相关函数窄带系统输出相关函数=2等效低通系统输出

27、相关函数等效低通系统输出相关函数 cos05) 输出输出Y(t)的相关时间的相关时间 00021)2()(fdSadY 注意：注意：上式利用窄带过程的条件，由上式利用窄带过程的条件，由 的包络定义的包络定义相关时间。相关时间。因此因此 反映的是窄带过程包络的相关时间。反映的是窄带过程包络的相关时间。输出随机过程的相关时间与系统的带宽成反比。则由此输出随机过程的相关时间与系统的带宽成反比。则由此可知可知 ，输出过程，输出过程包络包络随时间变化越快；反之则随时间变化越快；反之则越慢。越慢。)( Y0 0 f白噪声通过具有高斯频率特性的线性系统白噪声通过具有高斯频率特性的线性系统高斯频率特性线性系统

28、的传输函数正半轴部分为：高斯频率特性线性系统的传输函数正半轴部分为： 0,00,)(2202)(0 eKH若系统输入白噪声若系统输入白噪声单边单边功率谱密度为：功率谱密度为：0)(NFY ， ), 0( 则则系统输出特性如下：系统输出特性如下：1） 输出单边功率谱密度输出单边功率谱密度 0,00,)()(220)(20020 eKNHNFY2) 输出相关函数输出相关函数 00200coscos)(212cos)()( dHNaRLY 0420000200cos2coscos2122222 eKNdeKN2202202002)(0)( eKeKHL其中，其中， 为等效低通传输函数。为等效低通传输

29、函数。窄带系统输出相关函数窄带系统输出相关函数=2 cos0 等效低通系统输出相关函数等效低通系统输出相关函数4) 输出输出Y(t)的自相关系数的自相关系数 04cos)0()()0()()(22 eRRCCYYYYY5) 输出输出Y(t)的等效噪声带宽的等效噪声带宽 00)(2022/)()(220 dedHHe3) 输出平均功率输出平均功率 2)0(200KNRY 五、线性系统输出随机过程的概率分布五、线性系统输出随机过程的概率分布一般情况一般情况: 很难从理论上找到一般的求解输出随机过程很难从理论上找到一般的求解输出随机过程 的概率分布。多采用实验估计方法。的概率分布。多采用实验估计方法

30、。特殊情况：特殊情况：1）输入为高斯过程，输出也是高斯过程）输入为高斯过程，输出也是高斯过程； 2）输入为非高斯过程，但输入过程的带宽）输入为非高斯过程，但输入过程的带宽 远大于线性系统的带宽。则线性系统输远大于线性系统的带宽。则线性系统输 出随机过程的概率分布都服从高斯过程。出随机过程的概率分布都服从高斯过程。 1高斯过程通过线性系统的输出过程高斯过程通过线性系统的输出过程Y(t)的分布的分布若若X(t)是一高斯过程，则是一高斯过程，则Y(t)也是一高斯过程。也是一高斯过程。 kkkkhtXdtXhtYk )()(lim)()()(000 由于由于X(t)是高斯过程，故是高斯过程，故 亦为高

31、斯随机变量。亦为高斯随机变量。)(ktX 因为因为 为一时刻点，而为一时刻点，而 为确知量，所以为确知量，所以 kt kkh )(kkkkhtXtYk )()(lim)(00 表示：表示：任一时刻任一时刻 t 的的Y(t)是无限多个高斯随机变量是无限多个高斯随机变量 的和。而多维高斯随机变量的线性组合仍的和。而多维高斯随机变量的线性组合仍为多维高斯随机变量，故高斯过程为多维高斯随机变量，故高斯过程X(t)通过线性系统的输出通过线性系统的输出Y(t)也是一高斯过程。也是一高斯过程。但是必须注意：但是必须注意：虽然输出过程是高斯过程，但其数字特征已虽然输出过程是高斯过程，但其数字特征已改变。改变。

32、kkkhtX )()( 2宽带非高斯过程通过窄带线性系统输出过程的分布宽带非高斯过程通过窄带线性系统输出过程的分布 若输入非高斯过程若输入非高斯过程X(t)的功率谱带宽的功率谱带宽 与与线性系统带宽线性系统带宽 满足：满足： 则系统输出则系统输出Y(t) 的概率分布趋于高斯分布。的概率分布趋于高斯分布。kkkkthXtYk )()(lim)(00 由中心极限定理可知，大量统计独立的随机变量之和的由中心极限定理可知，大量统计独立的随机变量之和的概率分布趋于高斯分布。概率分布趋于高斯分布。Xf ffX f 的统计独立性的统计独立性 Xf 10 ，当当 足够大，以使足够大，以使 ，则可认为输入过程各

33、，则可认为输入过程各取样值取样值 相互统计独立。相互统计独立。)(kX Xf k 0)(kX 构成构成y(t)的累加性的累加性 系统的对输入信号的响应（建立）时间系统的对输入信号的响应（建立）时间 ty与系统的与系统的 带宽带宽f 也也 成反比关系，即成反比关系，即 fty /1 当当f 足够窄，以使响应时间足够窄，以使响应时间 ，则可认为输出，则可认为输出 过程过程y(t)由输入过程各取样值由输入过程各取样值 经足够长的时间累加经足够长的时间累加 构成。构成。)(kX kyt )(kX 综上所述，当满足综上所述，当满足 条件时，条件时，Y(t)的概率分布的概率分布将趋于高斯分布。由将趋于高斯

34、分布。由 可知，可知，Y(t)的概率分布趋于高的概率分布趋于高斯分布的条件为：斯分布的条件为： 。即，即，线性系统输入随机过程线性系统输入随机过程X(t)的功率谱带宽的功率谱带宽fX 远大于远大于系统带宽系统带宽f 时，输出随机过程时，输出随机过程Y(t)的概率分布将趋于高的概率分布将趋于高斯分布，而与输入随机过程是否为高斯分布无关。斯分布，而与输入随机过程是否为高斯分布无关。0 kyt0 ytffX 六、随机序列通过离散线性系统六、随机序列通过离散线性系统*其中：其中：x(n)、y(n)分别为系统的输入与输出，分别为系统的输入与输出， H(z)为系统传输函数。为系统传输函数。1离散线性系统的

35、分类离散线性系统的分类)(zH)(nh)(nx)()()(nhnxny qllpiilnxbknyany01)()()(1 z1 z1 z 0b1b2bqb)n(x)n( x1 )n(x2 )qn(x 1 z1 z1 zpa1a2a)pn(y )n(y1 )n( y2 )n( y由由Z Z变换可得其模型传递函数为：变换可得其模型传递函数为： )()(1)()()(10zAzBzazbzXzYzHpiiiqlll 该模型称为该模型称为自回归滑动平均（自回归滑动平均（ARMAARMA：Autoregresive Autoregresive Moving AverageMoving Average）

36、模型）模型。如果如果 ，则，则 qlllnxbny0)()()()()()(0zBzbzXzYzHqlll 该模型称为该模型称为滑动平均（滑动平均（MAMA：Moving AverageMoving Average）模型）模型.), 2, 1( , 0piai 1 z1 z1 z 0b1b2bqb)n( x)n( x1 )n( x2 )qn( x qll)ln( xb)n( y0如果如果 ，而，而 ，则，则10 b.), 2, 1(, 0qlbl (y1 0b)n(x1 z1 z1 z)pn(y )n)n(y2 )n(y1a2apa)()()(1nxinyanypii )(111)()()(1

37、zAzazXzYzHpiii 该模型称为该模型称为自回归（自回归（ARAR：AutoregresiveAutoregresive）模型。）模型。2随机序列通过离散线性系统的时域分析随机序列通过离散线性系统的时域分析 若离散线性系统的输入是随机序列若离散线性系统的输入是随机序列X(n)，则上述三，则上述三种系统种系统模型的输出分别为：模型的输出分别为：ARMAARMA模型：模型： qllpiilnXbinYanY01)()()( ；)()(1)()()(10zAzBzazbzXzYzHpiiiqlll ARAR模型：模型： )()()(1nXinYanYpii ；)(111)()()(1zAzazXzYzHpiii MAMA模型：模型： qlllnXbnY0)()()()()()(0zBzbzXzYzHqlll MAMA模型模型 qlllnXbnY0)()(的自相关函数的自相关函数 qwwqllYwknXblnXbEknYnYEkR00)()()()()( qlqwwlwknXlnXEbb00 )()( qlqwXwlwlkRbb00)( 若若X(n)为白序列，则为白序列，则)()(2kkRXX kqlkllXqlqwXwlYbbwlkRbbkR0200)()( A