高等数学下第十章练习题答案

1、高等数学第十章自测题解答高等数学第十章自测题解答 1,)3( LdsxyL 是是连连接接点点)3 , 3(A和和点点)1 , 3( B 的的直直线线段段. 直线方程：直线方程：)3(313 xy,310311122dxdxdxyds .1012310)3(9(33 dxxx原式原式一、计算下列曲线积分一、计算下列曲线积分 2. ,422 LyxxdyydxL 是是正正向向椭椭圆圆1422 yx. Lyxxdyydx224 Lydxxdy41.2121 （用曲线积分求面积）（用曲线积分求面积） 3. ,)(2 LydyxeydxL 是以是以),0 , 1(),0 , 0(BA),1 , 1(C

2、)1 , 0(D为顶点的正方形边界，取逆时针为正向为顶点的正方形边界，取逆时针为正向. oxyABCD2122)(22 dxdydxdyyPxQdyxeydxDDLy直接用格林公式直接用格林公式 4 ,)cos()1sin(dyxyedxyyexLx L 是 以 点是 以 点)0 , 5(),0 , 1(BA为直径的两端点的下半圆周，且从为直径的两端点的下半圆周，且从 A到到 B 为正方向为正方向. oyxAB15, 415 dxQdyPdxBA又又,42 dxdydxdyyPxQQdyPdxDDBAL, 1cos, 1cos,cos, 1sin yexQyeyPxyeQyyePxxxx设设

3、BABALxLxdyxyedxyye)1(4)cos()1sin( （补上线段，用格林公式）（补上线段，用格林公式）二二、已知曲线段已知曲线段)10(2 xxy上任意一点处的线密度上任意一点处的线密度在数值上与该点横坐标相同，求此曲线段的质量在数值上与该点横坐标相同，求此曲线段的质量. ,),(xyx LdsyxM),( .15512141328141418141102102210223 xxdxdxxxxdsL（第一类曲线积分，（第一类曲线积分， 直接计算）直接计算）三三、质点沿曲线质点沿曲线 20tztyx从点从点(0,0,0)移动到点移动到点(0,1,1)，求，求在此过程中，力在此过程中

4、，力kj yixF 41所作的功所作的功 W. LdzydydxxW41 .21210:1010 tdtdtttt（第二类曲线积分，直接计算）（第二类曲线积分，直接计算）四、已知曲线四、已知曲线 L 的极坐标方程为的极坐标方程为)20( r，曲，曲线线 L 上任意一点处的线密度为上任意一点处的线密度为211)( ， 求此曲线， 求此曲线关于极轴的转动惯量关于极轴的转动惯量. .61822cos1sin111sin2020220222222 ddddsyILx（分部积分）（分部积分）（用极坐标计算第一类曲线积分）（用极坐标计算第一类曲线积分） 五、设有一半径为五、设有一半径为a的物质球面，其上任

5、意一点的物质球面，其上任意一点处的面密度等于该点到此球的一条直径距离的平处的面密度等于该点到此球的一条直径距离的平方，试求此球面的质量方，试求此球面的质量. .38324coscossin4sin488430302230222022222221aadttatataatardrrarardrraarddxdyyxaayxMaaD 令令,),(,222222yxzyxazyx 面密度面密度设球面方程设球面方程 122228),(dSyxdSyxdSzyxM 则则dxdyyxaadxdyzzdSyxayzyxaxzyxazyxyx2222222222222211,: （第一类曲面积分，直接计算）（第

6、一类曲面积分，直接计算） dSxzdSzydSyxM22222231简便方法：简便方法： dSzyx22232.38432324222aaadSa 六、计算六、计算 ,2222zyxdxdyzxdydz是由曲面是由曲面 )0(,222 RRzRzRyx所围的立体表面的外侧所围的立体表面的外侧. xyzoR-R尽管尽管 为封闭曲面，但不可直接用高斯公式为封闭曲面，但不可直接用高斯公式.,直接计算续，表达式较复杂，且不连 zRxP )()(222222后后柱柱前前柱柱柱柱zyxxdydzzyxxdydz,21arctan2212222022222222222222222RRzRRzRdzdyyRd

7、ydzzRyRdydzzRyRdydzzRyRRRRRRDDDyzyzyz .210222222222RRyxdxdyRRyxdxdyRxyxyDD 原原式式):,:(21222221RzRzzyxdxdyz 七、计算七、计算 dxdyzxyzdzdxxzdydzx2222，其中，其中是是曲面曲面222yxz 上在上在21 z部分的上侧部分的上侧. 1 xozy.11:221取下侧取下侧补上平面补上平面 yxz dvzxzxxzdxdyzxyzdzdxxzdydzx222222221则则drzrdzdzrrdrdzdvxrr2222212103022122100221cos12cos123 ,

8、1652452312221622103 drrr,4412214cos410230222211 drrddxdyxdxdyzxxyD又又.169416511 原式原式八、计算八、计算 dzdydxyx32，其中曲线，其中曲线 是抛物面是抛物面zayx 222与平面与平面0 z相交的圆周， 若从相交的圆周， 若从 z 轴正向轴正向看去，这圆周取逆时针方向为正向看去，这圆周取逆时针方向为正向. xyo 0222zayx为平面曲线为平面曲线 dzdydxyx32 dydxyx32 Ddxdyyx223.8sincos126022502adrrda 九、设空间闭区域九、设空间闭区域 由曲面由曲面222yxaz 与平面与平面0