第三章 静电场及其边值问题的解法

1、电磁场与波电磁场与波1电磁场与波电磁场与波2 本章内容本章内容 3.1 静电场基本方程与电位方程静电场基本方程与电位方程 3.3 静电场中的导体与电容静电场中的导体与电容 3.4 静电场的边界条件静电场的边界条件 3.5 静电场的边值问题，惟一性定理静电场的边值问题，惟一性定理 3.6 镜像法镜像法 3.7 分离变量法分离变量法 静态电磁场：静态电磁场：场量不随时间变化，包括：场量不随时间变化，包括： 静电场、恒定电场和恒定磁场静电场、恒定电场和恒定磁场 时变情况下，电场和磁场相互关联，构成统一的电磁场时变情况下，电场和磁场相互关联，构成统一的电磁场 静态情况下，电场和磁场由各自的源激发，且相

2、互独立静态情况下，电场和磁场由各自的源激发，且相互独立 电磁场与波电磁场与波3微分形式：微分形式：本构关系：本构关系：1. 基本方程基本方程积分形式：积分形式：3.1 静电场的基本方程和电位方程静电场的基本方程和电位方程0DEdd0SCqDSElDE由由即静电场即静电场可以用一个标量函数的梯度来表示，用一个标量函数的梯度来表示，标量函数标量函数 称为静称为静电场的标量电位或简称电位。电场的标量电位或简称电位。1. 电位函数的定义电位函数的定义3.1.2 电位定义电位定义0EE 电磁场与波电磁场与波31()11( )d()()d4411()()d4VVVr RE rVrVRRrVR 42. 电位

3、的表达式电位的表达式对于连续的体分布电荷，由对于连续的体分布电荷，由面电荷的电位：面电荷的电位： 故得故得点电荷的电位：点电荷的电位：线电荷的电位：线电荷的电位：Rrr31()RRR 1( )( )d4VrrVCR()1( )d4SSrrSCR( )1( )d4lCrrlCR( )4qrCRQ电磁场与波电磁场与波53. 电位差电位差两端点乘两端点乘 ，则有，则有将将上式两边从点上式两边从点P到点到点Q沿任意路径进行积分，得沿任意路径进行积分，得关于电位差的说明关于电位差的说明 P、Q 两点间的电位差等于电场力将单位正电荷从两点间的电位差等于电场力将单位正电荷从P点移至点移至Q 点点 所做的功，

4、电场力使单位正电荷由高电位处移到低电位处；所做的功，电场力使单位正电荷由高电位处移到低电位处； 电位差也称为电压，可用电位差也称为电压，可用U 表示；表示； 电位差有确定值，只与首尾两点位置有关，与积分路径无关。电位差有确定值，只与首尾两点位置有关，与积分路径无关。P、Q 两点间的电位差两点间的电位差电场力做电场力做的功的功E dldd(ddd )dEllxyyxyy dd( )( )QQPPElPQ 电磁场与波电磁场与波6 静电位不惟一，可以相差一个常数，即静电位不惟一，可以相差一个常数，即选参考点选参考点令参考点电位为零令参考点电位为零电位确定值电位确定值( (电位差电位差) )两点间电位

5、差有定值两点间电位差有定值 选择电位参考点的原则选择电位参考点的原则 应使电位表达式有意义；应使电位表达式有意义； 应使电位表达式最简单。若电荷分布在有限区域，通常取无应使电位表达式最简单。若电荷分布在有限区域，通常取无 限远作电位参考点；限远作电位参考点； 同一个问题只能有一个参考点。同一个问题只能有一个参考点。4. 电位参考点电位参考点 为使空间各点电位具有确定值，可以选定空间某一点作为参考为使空间各点电位具有确定值，可以选定空间某一点作为参考点，且令参考点的电位为零，由于空间各点与参考点的电位差为确点，且令参考点的电位为零，由于空间各点与参考点的电位差为确定值，所以该点的电位也就具有确定

6、值，即定值，所以该点的电位也就具有确定值，即()CC电磁场与波电磁场与波7在均匀介质中，有在均匀介质中，有5. 电位的微分方程电位的微分方程在在无源区域无源区域，标量泊松方程标量泊松方程拉普拉斯方程拉普拉斯方程vvDEE 2v 020导电物体上包含有效的尖点，则这些尖点处的电场导电物体上包含有效的尖点，则这些尖点处的电场的大小与平滑部分的电场大小相比，结果如何？的大小与平滑部分的电场大小相比，结果如何？很多静电场问题都是通过先求电位分布再来求电场分布。特别是，很多静电场问题都是通过先求电位分布再来求电场分布。特别是，在大多实际静电场问题中，空间中并不存在电荷，而只是在导体在大多实际静电场问题中

7、，空间中并不存在电荷，而只是在导体表面有面电荷分布，因而在空域中只需求解拉普拉斯方程。表面有面电荷分布，因而在空域中只需求解拉普拉斯方程。电磁场与波电磁场与波8bBaA两个相连的导体球两个相连的导体球一根细长导线将两个半径分别为一根细长导线将两个半径分别为a和和b的导体球连接起来，如右图所示。的导体球连接起来，如右图所示。将此组合充电至带电量将此组合充电至带电量Q，求每个，求每个球的带电量和其表面电场强度。球的带电量和其表面电场强度。 解解 假定二导体球假定二导体球A、B相距很远，相距很远，使二球上的电荷仍为均匀分布；并使二球上的电荷仍为均匀分布；并且连线很细，其上电荷可略，即且连线很细，其上

8、电荷可略，即 分别是分别是A A、B B球的带电量。球的带电量。abQQQaQ ,bQ对带电量对带电量Q Q的孤立导体球，容易求得球外离球心距离的孤立导体球，容易求得球外离球心距离r r处处M M点电点电场强度为场强度为24QErr取无穷远处为电位参考点，则其电位为取无穷远处为电位参考点，则其电位为2dd44MMrQQElrrrr电磁场与波电磁场与波9由此，由此，A A，B B球表面的电位分别为球表面的电位分别为,44ababQQab由于由于有细导线相连，二球的电位是相同有细导线相连，二球的电位是相同，即，即44abQQab考虑到考虑到 ，便可求得，便可求得abQQQ,ababQQ QQaba

9、b由由 知，知，A A，B B球表面的电场强度分别为球表面的电场强度分别为24QErr22,44()44()ababQQQQEEaa abbb ab关键点关键点电磁场与波电磁场与波 例例 3.1 求电偶极子的电位和电场强度。求电偶极子的电位和电场强度。 解解 利用利用 在球坐标系中在球坐标系中用二项式展开，由于，得用二项式展开，由于，得代入上式，得代入上式，得 表示电偶极矩，方向由表示电偶极矩，方向由负电荷指向正电荷负电荷指向正电荷。+q电偶极子电偶极子zodq2r1rr),(rP( )4qrCR2101201 211( )()44rrqqrrrrr221222(/ 2)cos(/ 2)cos

10、rrdrdrrdrdrd12cos ,cos22ddrrrr223000cos( )444qdrrrrrrpp qdp(1)1axax 电偶极子电偶极子: :一对等值异号的电荷相距一对等值异号的电荷相距一个小的距离一个小的距离d电磁场与波电磁场与波11 由球坐标系中的梯度公式，可得到电偶极子的远区电场强度由球坐标系中的梯度公式，可得到电偶极子的远区电场强度等位线等位线电场线电场线电偶极子的场图电偶极子的场图 11 ()sinE rrrrr 30 ( 2cossin )4qdrr电偶极子电场的特点：电偶极子电场的特点：1.1.远区电场按远区电场按 反比变化；反比变化；3.3.无无 分量远区电场具

11、有轴对称性分量远区电场具有轴对称性（对称轴为（对称轴为 ）。）。3rd2.2.各分量大小与方向各分量大小与方向 有关；有关；+qzodq2r1rr),(rP电磁场与波电磁场与波123.2 静电场中的导体与电容静电场中的导体与电容导体：含有大量自由电荷的物体。导体：含有大量自由电荷的物体。当导体至于静电场中时，导体中将呈现当导体至于静电场中时，导体中将呈现静电感应现象静电感应现象，形成导，形成导体中电荷的重新分布。在外加电场的作用下，正电荷将沿电场体中电荷的重新分布。在外加电场的作用下，正电荷将沿电场方向、负电荷沿其反方向向导体表面移动，同时，这些正负电方向、负电荷沿其反方向向导体表面移动，同时

12、，这些正负电荷又形成与外场反向的荷又形成与外场反向的二次电场来抵消电场的作用二次电场来抵消电场的作用。最终导致。最终导致导体中的导体中的合电场为零合电场为零，电荷运动停止，这种状态称为，电荷运动停止，这种状态称为静电平衡静电平衡。导体至于静电场中时，导体中自由电荷的运动情况？导体至于静电场中时，导体中自由电荷的运动情况？我们的讨论都限于达到平衡状态以后的现象。我们的讨论都限于达到平衡状态以后的现象。电磁场与波电磁场与波1.1.导体内部各处电场强度均为导体内部各处电场强度均为0 02. 2. 导体内部不存在任何净电荷，电荷都以面电荷形式分导体内部不存在任何净电荷，电荷都以面电荷形式分布于导体表面

13、布于导体表面3.3.导体为一等位体，其表面为等位面导体为一等位体，其表面为等位面4.4.导体表面切向电场为导体表面切向电场为0 0，而只有法向电场分量，而只有法向电场分量E En n133.2 静电场中的导体与电容静电场中的导体与电容静电场中的导体具有以下特征：静电场中的导体具有以下特征：/nsEn E电磁场与波电磁场与波14任何两个导体都可看作一电容器任何两个导体都可看作一电容器电容器广泛应用于电子设备的电路中：电容器广泛应用于电子设备的电路中： 在电子电路中，利用电容器来实现滤波、移相、隔直、旁在电子电路中，利用电容器来实现滤波、移相、隔直、旁 路、选频等作用；路、选频等作用； 通过电容、

14、电感、电阻的排布，可组合成各种功能的复杂通过电容、电感、电阻的排布，可组合成各种功能的复杂 电路；电路； 在电力系统中，可利用电容器来改善系统的功率因数，以在电力系统中，可利用电容器来改善系统的功率因数，以 减少电能的损失和提高电气设备的利用率；减少电能的损失和提高电气设备的利用率；如何求电容器的电容？如何求电容器的电容？电磁场与波电磁场与波15 电容是导体系统的一种基本属性，是描述导体系统电容是导体系统的一种基本属性，是描述导体系统 储存电荷储存电荷能力能力的物理量。的物理量。 孤立导体的电容定义为所带电量孤立导体的电容定义为所带电量q与其电位与其电位 的比值，即的比值，即1. 电容电容 孤

15、立导体的电容孤立导体的电容例：例： 真空中半径真空中半径a的孤立带电导体球，其表面电荷量为的孤立带电导体球，其表面电荷量为Q,则电位则电位 ？qC04qa电位参考点为电位参考点为无穷远处无穷远处04Ca电磁场与波电磁场与波16 两个带等量异号电荷（两个带等量异号电荷（ q）的导的导 体组成的电容器，其电容体组成的电容器，其电容为为 电容的大小只与导体系统的几何尺寸、形状和及周围电介质电容的大小只与导体系统的几何尺寸、形状和及周围电介质 的特性参数有关，而与导体的带电量和电位无关。的特性参数有关，而与导体的带电量和电位无关。12qqCUlsddlEsEC电磁场与波电磁场与波17 (1) 假定两导

16、体上分别带电荷假定两导体上分别带电荷+q 和和 -q ； (2) 计算两导体间的电场强度计算两导体间的电场强度E； 计算电容的步骤：计算电容的步骤： (4) 求比值求比值 ，即得出所求电容。，即得出所求电容。 (3) 由由 ，求出两导体间的电位差；，求出两导体间的电位差；21UE dlqCU或：或： (1) 假定两导体间电压假定两导体间电压U； (3) 根据根据 计算导体表面的电量；计算导体表面的电量； (2) 由由 ，求出电场强度，求出电场强度E；21UE dlsnssQdseEds (4) 求比值求比值 ，即得出所求电容。，即得出所求电容。qCU电磁场与波电磁场与波18 解：解：设内导体的

17、电荷为设内导体的电荷为q q，则由高斯定理可求得内外导体间的，则由高斯定理可求得内外导体间的电场电场同心导体间的电压同心导体间的电压球形电容器的电容球形电容器的电容当当 时，时，abo 例例3.2 同心球形电容器的内导体半径为同心球形电容器的内导体半径为a、外导体半径为、外导体半径为b，其，其间填充介电常数为间填充介电常数为的均匀介质。的均匀介质。求此球形电容器的电容。求此球形电容器的电容。孤立导体球的电容孤立导体球的电容4422qqDr,Errr0011d()44baqqbaUE rabab04abqCUbab 04Ca电磁场与波电磁场与波19 例例3.3 同轴线内导体半径为同轴线内导体半径

18、为a，外导体半径为为，外导体半径为为b，内外导体间，内外导体间填充的介电常数为填充的介电常数为 的均匀介质，的均匀介质，求同轴线单位长度的电容。求同轴线单位长度的电容。内外导体间的电位差内外导体间的电位差ll 解解 设同轴线的内、外导体单位长度带电量分别为设同轴线的内、外导体单位长度带电量分别为 和和 ，应用高斯定理可得到内外导体间任一点的电场强度为应用高斯定理可得到内外导体间任一点的电场强度为故得同轴线单位长度的电容为故得同轴线单位长度的电容为ab同轴线同轴线( )2lE1( )dd2bblaaUE ln( / )2lb a12F/mln( / )lCUb all电磁场与波电磁场与波20 例

19、例 3.4 如图所示的平行双线传输线，导线半径为如图所示的平行双线传输线，导线半径为a，两导线的，两导线的轴线距离为轴线距离为D，且，且D a，求传输线单位长度的电容。，求传输线单位长度的电容。l 解解 设两导线单位长度带电量分别为设两导线单位长度带电量分别为 和和 。由于。由于 ，故，故可近似地认为电荷分别均匀分布在两可近似地认为电荷分别均匀分布在两导线的表面上。应用高斯定理和叠加原导线的表面上。应用高斯定理和叠加原理，可得到两导线之间的平面上任一点理，可得到两导线之间的平面上任一点P 的电场强度为的电场强度为两导线间的电位差两导线间的电位差故单位长度的电容为故单位长度的电容为xyzxDal

20、lDa011( )()2lE xxxDx210011dd +dln2D aallaD aDaUElxxxDxa001F/mln()ln()lCUDaaD a电磁场与波电磁场与波213.4 静电场的边界条件静电场的边界条件电场强度和电位移矢量在不同媒质分界面上的边界条件电场强度和电位移矢量在不同媒质分界面上的边界条件或或若分界面上不存在面电荷，即若分界面上不存在面电荷，即S S0 0，则，则或或1212 ()()0Snn DDEE12120nnSttDDEE1212 ()0()0nn DDEE1212nnttDDEE若媒质若媒质1 1为介质，媒质为介质，媒质2 2为导体，则为导体，则或或110s

21、nn DE110nstDE电磁场与波电磁场与波22介质介质2 2介质介质1 121212E1En 在静电平衡的情况下，导体内部的电场为在静电平衡的情况下，导体内部的电场为0，则导体表面的，则导体表面的边界条件为边界条件为 或或 场矢量的折射关系场矢量的折射关系 介质与导体间的边界条件介质与导体间的边界条件111111222222/tantan/tnntnnEEDEED 介质介质1 1111E导体n 特例：场量只有法向分量，即特例：场量只有法向分量，即1= 2 =0110snn DE110nstDE注：媒质注：媒质1 1为介质，媒质为介质，媒质2 2为导体为导体电磁场与波电磁场与波 设设P1和和

22、P2是介质分界面两侧紧贴界面的相邻两点，其电位分是介质分界面两侧紧贴界面的相邻两点，其电位分别为别为?1和和? 2 若介质分界面上无自由电荷，即若介质分界面上无自由电荷，即 导体表面上电位的边界条件：导体表面上电位的边界条件：常数，常数， 11110limdDtAlADEEm l12D 2121Snn0s2121nnSn 静电位静电位的边界条件的边界条件由由 和和12 ()SnDD1媒质媒质2媒质媒质121l2ABDC当两点间距离当两点间距离l0时时,C与与D趋于同一趋于同一点，取作电位参考点点，取作电位参考点 22220limdCtBlBCEEm l电磁场与波电磁场与波24 例例 3.5 无

23、限长同轴线内外导体半径分别为无限长同轴线内外导体半径分别为a,b,外导体接地，内外导体接地，内导体电位为导体电位为U，内外导体间部分填充介电常数为，内外导体间部分填充介电常数为1的介质，其余部的介质，其余部分介电常数为分介电常数为2 ，(a)图中二介质层分界面半径为图中二介质层分界面半径为c；(b)图图 扇形区域填充扇形区域填充1介质。求内外导体间的电场强度及内外导体表面线介质。求内外导体间的电场强度及内外导体表面线电荷密度电荷密度解解： (a) 利用高斯定理可得利用高斯定理可得不难看出，上述条件满足分界面不难看出，上述条件满足分界面=c处边界条件：处边界条件：l1011111,22llDDE

24、 12ddcbacUEE abc12U当当ac:当当cb:22222,22llDDE 12nnDD(a)图图1211lnln2lcbac=?l电磁场与波电磁场与波25故将故将 用用U表示后得表示后得l12211lnlnlUcbac111221,lnlnlnlnUUEEcbcbacac内导体表面处为内导体表面处为 ，外导体内表面为，外导体内表面为 。对外总电荷为。对外总电荷为0，可见外导体起了屏蔽作用。可见外导体起了屏蔽作用。l-l电磁场与波电磁场与波ab2U11(b)图图(b) 利用高斯定理可得利用高斯定理可得11111111 1,llDDE 当当102222122lDE 当当12111 1d

25、lnblabUEa 从而得从而得1lnUEba2212dln2blabUEa 从而得从而得2lnUEba2212lD此结果表明，此结果表明， 处边界条件成立处边界条件成立12ttEE10,由前面二等式又得由前面二等式又得121 1122,lnlnllUUbbaa 电磁场与波电磁场与波273.5 静电场的边值问题，惟一性定理静电场的边值问题，惟一性定理3.5.1 3.5.1 静电场的边值问题静电场的边值问题边值问题：在给定的边界条件下，求解边值问题：在给定的边界条件下，求解位函数的泊松方程或位函数的泊松方程或 拉普拉斯方程拉普拉斯方程分布型问题分布型问题给定场源分布，给定场源分布，求任意点场强或

26、求任意点场强或位函数位函数边值型问题边值型问题给定边界条件，给定边界条件，求任意点位函数求任意点位函数或场强或场强静态场问题静态场问题第一类边界条第一类边界条件，狄利克雷件，狄利克雷问题问题第二类边界条第二类边界条件，诺伊曼问件，诺伊曼问题题第三类第三类边界条件边界条件一、二类边界条一、二类边界条件的线性组合，件的线性组合，即即111|()Sf S、222|()SfSn已知场域边界已知场域边界上各点电位的上各点电位的法向导数法向导数2|( )SfSn已知场域边界上各点电位值已知场域边界上各点电位值1|( )Sf S电磁场与波电磁场与波28 自然边界条件自然边界条件 （无界空间）（无界空间） 周

27、期边界条件周期边界条件 衔接条件衔接条件不同媒质分界面上的边界条件，如不同媒质分界面上的边界条件，如1212rS2(2 )limrr有限值211221,-=snn电磁场与波电磁场与波29例：例：（第一类边值问题）（第一类边值问题）0Ubaoxy0Ubaoxy0 x0 x（第三类边值问题）（第三类边值问题）例：例：22220 xy(0, )0, ( , )0ya y0( ,0)0, ( , )xx bU22220 xy00,0 xx axx0( ,0)0, ( , )xx bU电磁场与波电磁场与波30计算法计算法实验法实验法图解法图解法边值型问边值型问题解法题解法解析法解析法数值法数值法有限差分

28、法有限差分法有限元法有限元法边界元法边界元法矩量法矩量法镜像法镜像法分离变量法分离变量法复变函数法复变函数法格林函数法格林函数法电磁场与波电磁场与波313.5.2 惟一性定理惟一性定理惟一性定理的重要意义惟一性定理的重要意义给出了静态场边值问题具有惟一解的条件给出了静态场边值问题具有惟一解的条件为静态场边值问题的各种求解方法为静态场边值问题的各种求解方法( (试探解、解析解、数值试探解、解析解、数值解等）提供了理论依据解等）提供了理论依据为求解结果的正确性提供了判据为求解结果的正确性提供了判据惟一性定理的表述惟一性定理的表述 在场域在场域V 的边界面的边界面S上给定上给定 或或 的值，则空间中

29、的场的值，则空间中的场就惟一地确定了。就惟一地确定了。 n静电场边值问题归结于在给定边界条件下静电场边值问题归结于在给定边界条件下求解泊松方程和拉求解泊松方程和拉普拉斯方程普拉斯方程的问题。那么，在什么条件下方程的解是惟一的的问题。那么，在什么条件下方程的解是惟一的呢？呢？ 也就是说，也就是说，满足边界条件的泊松方程或拉普拉斯方程的解是满足边界条件的泊松方程或拉普拉斯方程的解是惟一的，惟一的，这就是这就是静电场惟一性定理静电场惟一性定理。电磁场与波电磁场与波32非均匀感应电荷产生的电位很难求非均匀感应电荷产生的电位很难求解，能否用等效电荷的电位替代？解，能否用等效电荷的电位替代？1. 问题问题

30、u接地导体板附近接地导体板附近有一个点电荷，上半有一个点电荷，上半空间的电位？空间的电位？q qqq非均匀感应电荷非均匀感应电荷等效电荷等效电荷 3.6 镜像法镜像法q qu点电荷在空间中点电荷在空间中的电位？的电位？04qa电磁场与波电磁场与波33 接地导体球附近有一个点电荷，如图。接地导体球附近有一个点电荷，如图。q q非均匀感应电荷非均匀感应电荷qq等效电荷等效电荷问题：这种等效电荷是否存在？问题：这种等效电荷是否存在？ 这种等效是否合理？这种等效是否合理？非均匀感应电荷产生的非均匀感应电荷产生的电位很难求解，能否用电位很难求解，能否用等效电荷的电位替代等效电荷的电位替代电磁场与波电磁场

31、与波342. 镜像法原理镜像法原理 用用位于场域边界外位于场域边界外虚设的较简单的虚设的较简单的镜像电荷镜像电荷分布来分布来等效替代等效替代该该边界上未知的较为复杂的电荷分布边界上未知的较为复杂的电荷分布，从而将原含该边界的非均，从而将原含该边界的非均匀媒质空间变换成无限大单一均匀媒质的空间，使分析计算过程匀媒质空间变换成无限大单一均匀媒质的空间，使分析计算过程得以明显简化的一种间接求解法。得以明显简化的一种间接求解法。 在导体形状、几何尺寸、带电状况和媒质几何结构、特性不在导体形状、几何尺寸、带电状况和媒质几何结构、特性不变的前提条件下，根据惟一性定理，变的前提条件下，根据惟一性定理，只要找

32、出的解答满足在同一只要找出的解答满足在同一泛定方程下问题所给定的边界条件，那就是该问题的解答，并且泛定方程下问题所给定的边界条件，那就是该问题的解答，并且是惟一的解答是惟一的解答。镜像法正是巧妙地应用了这一基本原理、面向多。镜像法正是巧妙地应用了这一基本原理、面向多种典型结构的工程电磁场问题所构成的一种有效的解析求解法。种典型结构的工程电磁场问题所构成的一种有效的解析求解法。3. 镜像法的理论基础镜像法的理论基础解的惟一性定理解的惟一性定理电磁场与波电磁场与波35 镜像电荷的个数、位置及其电量大小镜像电荷的个数、位置及其电量大小“三要素三要素” ；4. 镜像法应用的镜像法应用的关键点关键点5.

33、 确定镜像电荷的两条原则确定镜像电荷的两条原则等效求解的等效求解的“有效场域有效场域”。镜像电荷的确定镜像电荷的确定镜镜像电荷必须位于所求解的场区域以外的空间中；像电荷必须位于所求解的场区域以外的空间中；镜镜像电荷的个数、位置及电荷量的大小以满足所求解的场像电荷的个数、位置及电荷量的大小以满足所求解的场 区域区域 的边界条件来确定。的边界条件来确定。电磁场与波电磁场与波361. 点电荷对无限大接地导体平面的镜像点电荷对无限大接地导体平面的镜像满足原问题的边界条件，所得的结果是正确的。满足原问题的边界条件，所得的结果是正确的。3.6.1 接地导体平面附近的点（线）电荷接地导体平面附近的点（线）电

34、荷镜像电荷镜像电荷电位函数电位函数q qhhq 有效区域有效区域RR q qh,qq hh 11()04qzRR（）00=-zRRqq求此电荷在上半空间的场？求此电荷在上半空间的场？44qqRR边界条件：边界条件：z = 0时，时， =0P P(x,y,z)(x,y,z)P P0 0电磁场与波电磁场与波37上半空间上半空间( ( z0 ）的电位函数）的电位函数q qh 导体平面上的导体平面上的感应电荷密度感应电荷密度为为导体平面上的导体平面上的总感应电荷总感应电荷为为22222211( , , )4()()qx y zxyzhxyzh(0)z Sn 2223 2d dd2()iSSqhx yQ

35、Sxyh 222 3 200d d2()qhqh 可见可见，镜像电荷镜像电荷 代替了导体表面所有感应电荷对上半空间代替了导体表面所有感应电荷对上半空间的作用。的作用。q 求 此 电 荷 在求 此 电 荷 在上半空间的电场上半空间的电场强度？强度？导体平面上的总感应电荷为多少？导体平面上的总感应电荷为多少？222 3 22 ()qhxyh 2121Snn0zz 电磁场与波电磁场与波38h有效区域有效区域l线电荷在上半空间的电位和电场强度？线电荷在上半空间的电位和电场强度？电磁场与波电磁场与波393.6.2. 导体劈间的点电荷导体劈间的点电荷 如图所示，两个相互垂直相连的半无限大接地导体平板，点如

36、图所示，两个相互垂直相连的半无限大接地导体平板，点电荷电荷q 位于位于(d1, d2 )处。处。 显然，显然，q1 对平面对平面 2 以及以及q2 对平对平面面 1 均不能满足边界条件。均不能满足边界条件。对于平面对于平面1，有镜像电荷，有镜像电荷q1=q，位于，位于(d1, d2 )对于平面对于平面2，有镜像电荷，有镜像电荷q2=q，位于，位于( d1, d2 ) 只有在只有在(d1, d2 )处处再设置一再设置一镜像电荷镜像电荷q3 = q，所有边界条件才能，所有边界条件才能得到满足。得到满足。电位函数电位函数q d1d212RR1R2R3q1d1d2d2q2d1q3d2d11231111

37、()4qRRRR = /2 电磁场与波电磁场与波40导体劈间的点电荷在区间产生的电位？导体劈间的点电荷在区间产生的电位？4321011114rrrrq222222122222223412,1212,12rxyz rxyzrxyz rxyz电磁场与波电磁场与波413xBCq213456qqqqq导体劈间的点电荷在区间产生的电位？导体劈间的点电荷在区间产生的电位？电磁场与波电磁场与波423xBCq213456qqqqq 轮流找出镜像电荷及镜轮流找出镜像电荷及镜像电荷的镜像，直到最后像电荷的镜像，直到最后的镜像电荷与原电荷重合的镜像电荷与原电荷重合为止。为止。，镜像电荷的总数是对12 nNn只有只有

38、n为整数时，最后镜像才能和原电荷重合；为整数时，最后镜像才能和原电荷重合；导体交角内任一点的电场就等于导体交角内任一点的电场就等于N个镜像电荷与个镜像电荷与原电荷在该点产生场的总和。原电荷在该点产生场的总和。可见可见，; 1N，; 53N，注意注意：; 32N，q12电磁场与波电磁场与波练习：练习：一导体劈的劈角为一导体劈的劈角为6060度，角域内度，角域内x=1x=1，y=1y=1出有一出有一点电荷点电荷q q。请用镜像法求角域内电位。请用镜像法求角域内电位。电磁场与波电磁场与波二、点电荷与导体球二、点电荷与导体球点电荷位于接地导体球附近时，如何计算球外电场强度？点电荷位于接地导体球附近时，

39、如何计算球外电场强度？a af fp pr rrrd d电磁场与波电磁场与波球面上任意一点的电位为：球面上任意一点的电位为：qrrqrqrq44要使镜像电荷具有一个确定的值，需要使两个三角形相似要使镜像电荷具有一个确定的值，需要使两个三角形相似常数farr电磁场与波电磁场与波所以所以qfaq镜像电荷离球心的距离为镜像电荷离球心的距离为fad2电磁场与波电磁场与波 镜像法小结镜像法小结* * 镜像法的理论基础是镜像法的理论基础是静电场惟一性定理静电场惟一性定理；* * 镜像法的实质是用镜像法的实质是用虚设的镜像电荷替代边界上感应电虚设的镜像电荷替代边界上感应电荷荷的分布，使计算场域为无限大均匀介

40、质；的分布，使计算场域为无限大均匀介质；* * 镜像法的关键是镜像法的关键是确定镜像电荷的个数、位置及大小确定镜像电荷的个数、位置及大小； * * 应用镜像法解题时，应用镜像法解题时，注意：镜像电荷只能放在待求注意：镜像电荷只能放在待求场域以外的区域。场域以外的区域。叠加时，要注意场的适用区域，它只叠加时，要注意场的适用区域，它只对该区域等效。对该区域等效。电磁场与波电磁场与波483.7 分离变量法分离变量法 分离变量法是求解边值问题的一种经典方法分离变量法是求解边值问题的一种经典方法分离变量法的理论依据是惟一性定理分离变量法的理论依据是惟一性定理采用正交坐标系可用分离变量法得出拉普拉斯方程或

41、波动采用正交坐标系可用分离变量法得出拉普拉斯方程或波动方程的通解方程的通解只有当场域边界与正交坐标面重合只有当场域边界与正交坐标面重合( (或平行或平行) )时，才可确定时，才可确定积分常数，从而得到边值问题的特解积分常数，从而得到边值问题的特解电磁场与波电磁场与波4949解题的一般步骤：解题的一般步骤：(a)(a)根据边界形状选定坐标系，写出对应的边值问题（微分方根据边界形状选定坐标系，写出对应的边值问题（微分方程和边界条件）；程和边界条件）；(b)(b)分离变量，将一个偏微分方程分离成几个常微分方程分离变量，将一个偏微分方程分离成几个常微分方程, ,并并得出通解表达式；得出通解表达式；(c

42、)(c)利用给定的边界条件确定待定常数，最终得到电位函数利用给定的边界条件确定待定常数，最终得到电位函数的特解。的特解。直角坐标系直角坐标系二维问题二维问题电磁场与波电磁场与波50在直角坐标系中，位函数的拉普拉斯方程在直角坐标系中，位函数的拉普拉斯方程3.7.1 直角坐标系中的分离变量法直角坐标系中的分离变量法设设将其代入拉普拉斯方程，得将其代入拉普拉斯方程，得两边同除以两边同除以X(x) Y(y) ，有，有22220 xy( , )( ) ( )x yX x Y y2222d( )d( )( )( )0ddX xY yY yX xxy22221d( )1d( )0( )d( )dX xY y

43、X xxY yy可得可得0122dxXdXx对于二维问题，位函数与对于二维问题，位函数与z无关，则拉普拉斯方程为无关，则拉普拉斯方程为2222222=0 xyz电磁场与波电磁场与波于是有于是有2221xkdxXdX2221ykdyYdY022yxkk注：注：写为如下形式写为如下形式2220 ( )xd Xk Xadx2220 ( )yd Yk Ybdy二者中一个为正值，另一个为负值，二者中一个为正值，另一个为负值，22,xyk k,xyk k二者中一个为实数，另一个为虚数。二者中一个为实数，另一个为虚数。电磁场与波电磁场与波(a)式具有一对共轭虚根式具有一对共轭虚根 ；(b)式具有一对反号实根

44、式具有一对反号实根 。xjkxk11( )chshxxk yk yxxY xCeDeCk yDk y11( )cossinxxjk xjk xxxX xAeBeAk xBk x2220 ( )xd Xk Xadx2220 ( )yd Yk Ybdy当当 时时000( )( )X xXxA xB000( )( )Y yY yC yD220 xykk当当当当2220,0 xyxkkk 2220,0yxykkk 11( )chshyyk xk xyyX xAeBeAk xBk x11( )cossinyyjk yjk yyyY xCeDeCk yDk y无界区域无界区域有界区域有界区域(a)式具有一

45、对反号实根式具有一对反号实根 ；(b)式具有一对共轭虚根式具有一对共轭虚根 。yjkyk电磁场与波电磁场与波53将所有可能的将所有可能的 (x,y)线性线性叠加起来，则得到位函数的通解，即叠加起来，则得到位函数的通解，即通解中的待定系数由给定的边界条件确定。通解中的待定系数由给定的边界条件确定。00001( , )()()(cossin)(chsh)nnnnnnnnnx yA xBC yDAk xBk x Ck yDk y（方程： ）直角坐标系中解的形式的选择直角坐标系中解的形式的选择0222XkdxXdx电磁场与波电磁场与波54 例例3.6 一一矩形区域四壁的边界条件如图所示。求（矩形区域四壁的边界条件如图所示。求（a) a) 区域中区域中的电位函数，（的电位函数，（b b）区域中电场强度及）区域中电场强度及y=by=b壁上的面电荷密度。壁上的面电荷密度。 解：位函数满足的方程和边界条解：位函数满足的方程和边界条件为件为故故位函数的通解应取为位函数的通解应取为0=0( ,0)0, ( , )020, ( , )sinxxx bya yUxb0baoxy0sin(2/ )Uy b0 x00001( , )()()(chsh)(cossin)nnnnnnnnnx yA xBC yDAk xBk x Ck yDk