第三章_泛函分析优化模型

1、运筹与优化模型运筹与优化模型第1节 泛函的极值问题（变分法）第2节 最优价格模型第3节 生产计划模型第4节 设备检查模型第第1节：泛函的极值问题（变分法）节：泛函的极值问题（变分法）1、泛函的基本概念、泛函的基本概念2、变分的基本概念、变分的基本概念3、欧拉方程、欧拉方程120 x(t)J(xt) ttddd（1）、若）、若x(t)=t,则则1205J(tt) t6dtx(t)e212tt0eJ(ee ) t12d2x(t)t（2）、若）、若 ，则，则（3）、若）、若 ，则，则142013J(t2t ) t15df0ttJx(t)Ft,x(t),x(t) t d 例例1 最速降线问题最速降线问

2、题如图，如图， 一初始速度为一初始速度为零的质点，仅受到重力零的质点，仅受到重力的作用，沿光滑固定的的作用，沿光滑固定的曲线由定点曲线由定点A A滑行到定滑行到定点点B B( (B B低于低于A A，但不在同，但不在同一铅直线上一铅直线上) )为使滑为使滑行的时间最短，问该曲行的时间最短，问该曲线应为什么形状？线应为什么形状？ 通常人们会认为最速降线应该是连接通常人们会认为最速降线应该是连接A A和和B B的直线段的直线段 牛顿曾经作过这个实验：在铅直平面内，取同样的两球，牛顿曾经作过这个实验：在铅直平面内，取同样的两球，其中一个沿着圆弧从其中一个沿着圆弧从A A滑到滑到B B，另一个沿直线从

3、，另一个沿直线从A A滑到滑到B B，结果，结果发现沿圆弧的球先到达发现沿圆弧的球先到达B B点点 2022-3-29宁德师范高等专科学校11尼古拉伯努利雅格布雅格布尼古拉约翰约翰尼古拉尼古拉丹尼尔丹尼尔约翰约翰丹尼尔雅格布 贝努利（贝努利（Jacob Bernoulli 1654-1705），著名数学家。），著名数学家。 他自学了牛顿和莱布尼茨的微积分，并从他自学了牛顿和莱布尼茨的微积分，并从16871687年开始年开始 到他去世为止任瑞士巴塞尔大学数学教授。他发表了到他去世为止任瑞士巴塞尔大学数学教授。他发表了无穷级数的论文、研究过许多种特殊曲线、发明了极坐标、引入了在无穷级数的论文、研究

4、过许多种特殊曲线、发明了极坐标、引入了在tan(tan(x) )函数的幂级数展开式中伯努利数。函数的幂级数展开式中伯努利数。雅可布在雅可布在学艺学艺上发表了一系列重要的论文，微分方程中的上发表了一系列重要的论文，微分方程中的“伯努利方程伯努利方程”就是雅可布提出的。就是雅可布提出的。16941694年他首先给出直角坐标和极年他首先给出直角坐标和极坐标的曲率半径公式。这也是系统地使用极坐标的开始。坐标的曲率半径公式。这也是系统地使用极坐标的开始。16901690年他提年他提出悬链线问题，后来雅可布又改变了问题的条件，解决复杂的悬链问出悬链线问题，后来雅可布又改变了问题的条件，解决复杂的悬链问题，

5、题，16941694年的论文讨论了双纽线的性质。年的论文讨论了双纽线的性质。“伯努利双纽线伯努利双纽线”由此得名。由此得名。雅可布对于对数螺线有很深入的研究，雅可布对于对数螺线有很深入的研究，他发现经过各种变换之后，结他发现经过各种变换之后，结果还是对数螺线。果还是对数螺线。 约翰约翰. .伯努利（伯努利（Johann Bernoulli 1667-1748Johann Bernoulli 1667-1748），）， 雅可布的弟弟，原来也错选了职业，他起先学医，并在雅可布的弟弟，原来也错选了职业，他起先学医，并在 16941694年获得巴塞尔大学博士学位，论文是关于肌肉收缩问年获得巴塞尔大学博

6、士学位，论文是关于肌肉收缩问题的。但他也爱上了微积分，很快就掌握了它，并用它来解决几何学、题的。但他也爱上了微积分，很快就掌握了它，并用它来解决几何学、微分方程和力学上的许多问题。微分方程和力学上的许多问题。16951695年他任荷兰戈罗宁根大学数学物年他任荷兰戈罗宁根大学数学物理教授，而在他的哥哥雅可布死后继任巴塞尔大学教授。理教授，而在他的哥哥雅可布死后继任巴塞尔大学教授。16961696年约翰年约翰向全欧洲数学家挑战，提出一个很艰难的问题：向全欧洲数学家挑战，提出一个很艰难的问题：“设在垂直平面内有设在垂直平面内有任意两点，一个质点受地心引力的作用，自较高点下滑至较低点，不任意两点，一个

7、质点受地心引力的作用，自较高点下滑至较低点，不计摩擦，问沿着什么曲线下滑，时间最短？计摩擦，问沿着什么曲线下滑，时间最短？”这就是著名的这就是著名的“最速降线最速降线”问题。它的难处在于和普通的极大极问题。它的难处在于和普通的极大极小值求法不同，它是要求出一个未知函数（曲线），来满足所给的条小值求法不同，它是要求出一个未知函数（曲线），来满足所给的条件。这问题的新颖和别出心裁引起了很大兴趣，罗比塔、伯努利兄弟、件。这问题的新颖和别出心裁引起了很大兴趣，罗比塔、伯努利兄弟、莱布尼茨和牛顿都得到了解答。莱布尼茨和牛顿都得到了解答。 丹尼尔丹尼尔. .伯努利（伯努利（Daniel Bernoulli

8、 1700-1782Daniel Bernoulli 1700-1782），）， 起初也像他父亲弟约翰起初也像他父亲弟约翰. .伯努利一样学医，写了一篇关于伯努利一样学医，写了一篇关于 肺的作用的论文获得医学学位，并且也像他父亲一样马肺的作用的论文获得医学学位，并且也像他父亲一样马上放弃了医学而改攻他天生的专长。他在概率论、偏微分方程、物理上放弃了医学而改攻他天生的专长。他在概率论、偏微分方程、物理和流体动力学上都有贡献。而最重要的功绩是在流体动力学上，其中和流体动力学上都有贡献。而最重要的功绩是在流体动力学上，其中的的“伯努利定理伯努利定理”就是他的贡献。他曾经荣获法国科学院奖金次就是他的贡

9、献。他曾经荣获法国科学院奖金次之多，其中就包括那项惹他父亲恼怒的奖。之多，其中就包括那项惹他父亲恼怒的奖。岁的丹尼尔在彼得堡解决了黎卡提方程的解。并发表了一系岁的丹尼尔在彼得堡解决了黎卡提方程的解。并发表了一系列的科学论著。年回到巴塞尔，先后担任巴塞尔大学的植物列的科学论著。年回到巴塞尔，先后担任巴塞尔大学的植物学、解剖学与物理学教授。以岁高龄离开人世，许多人认为他是学、解剖学与物理学教授。以岁高龄离开人世，许多人认为他是第一位真正的数学物理学家。第一位真正的数学物理学家。 返回返回由弧微分由弧微分 可得可得以以s表示曲线从点表示曲线从点A A算起到算起到p( (x, ,y) )的弧长，有的弧

10、长，有 mgymv 221gyv2dtdsv dxyds2) (1gydxygydsvdsdt2) (122即即从而整个下降时间从而整个下降时间t就是就是 的积分，即确定函数的积分，即确定函数y( (x) )使使 由变分法理论知由变分法理论知(3-1-1)(3-1-1)式满足下面的方程：式满足下面的方程：vdsdt dxgyyxyttx1022) (1)(取极小值这是泛函中的极值问题令取极小值这是泛函中的极值问题令 gyyyyF2) (1) ,(21cFyyF(3-1-1)显然显然(3-1-2)(3-1-2)式还要满足初始条件式还要满足初始条件 0)0(y将上式化简得将上式化简得 即即 122

11、2) (1) (121cgyyyyygycyy1 2(3-1-2)只要解出只要解出(3-1-2)(3-1-2)式，并代入初始条件就知道了最式，并代入初始条件就知道了最速降线究竟是什么样的曲线速降线究竟是什么样的曲线. .无法直接用无法直接用DSolveDSolve解出解出 ，用换元法令，用换元法令 ，再由，再由 可解出可解出 ( (另一个解舍去，为什么？另一个解舍去，为什么？) )， 所以所以 ，然，然后积分得到后积分得到 ，即得到一个参数解即得到一个参数解.cyy1 2)2cos1 (21tcycyy1 21ycyx/xydtdydtdydydxdtdx)(txx 2 泛函的核泛函的核 泛函

12、通常以泛函通常以积分形式积分形式出现，比如上面描述的最速降线出现，比如上面描述的最速降线落径问题的表达式更为一般而又典型的泛函定义为落径问题的表达式更为一般而又典型的泛函定义为 ( )( , ,)dbaJ y xF x y yx其中其中 ( , ,)F x y y)(),(,(xyxyxF称为泛函的核称为泛函的核 3 求泛函极值方法求泛函极值方法变分法变分法对于不同的自变量函数对于不同的自变量函数 ( )y x，与此相应的泛函，与此相应的泛函 ( )J y x也有不同的数值找出一个确定的自变量函数也有不同的数值找出一个确定的自变量函数 ( )y x，使泛函，使泛函 ( )J y x 具有极值（

13、极小或极大），这种泛函的极小值与极大具有极值（极小或极大），这种泛函的极小值与极大值统称为值统称为泛函的极值泛函的极值引入泛函的概念后，对于上述的最速降线落径问题变引入泛函的概念后，对于上述的最速降线落径问题变 ( )J y x为泛函为泛函的极小值问题物理学中常见的有光学的极小值问题物理学中常见的有光学中的中的费马费马(Fermat)原理原理，分析力学中的，分析力学中的哈密顿哈密顿(Hamiton)原理原理等，都是泛函的极值问题等，都是泛函的极值问题定义定义3 变分法变分法所谓的变分法所谓的变分法就是求泛函极值的方法就是求泛函极值的方法研究泛函极值问题的方法可以归为两类：一类叫研究泛函极值问题

14、的方法可以归为两类：一类叫直接法直接法， 即即直接分析所提出的问题直接分析所提出的问题；另一类叫；另一类叫间接法间接法，即把，即把问题问题转化为求解微分方程转化为求解微分方程为讨论间接方法，先介绍变分和泛为讨论间接方法，先介绍变分和泛函的变分函的变分 变分变分 定义定义4： 变分变分 如果我们将泛函取极值时的函数（或函数曲线）定义为如果我们将泛函取极值时的函数（或函数曲线）定义为 ( );y x并定义与函数曲线并定义与函数曲线 ( )y x邻近的曲线（或略为变形的邻近的曲线（或略为变形的曲线）作为比较曲线，记为曲线）作为比较曲线，记为( , )( )( )y xy xx( , )( )( )y

15、 xy xx其中其中 是一个小参数；是一个小参数； ( )x是一个具有二阶导数的任意是一个具有二阶导数的任意选定函数，规定选定函数，规定 它在一个小范围内变化，这限制主要保证泛它在一个小范围内变化，这限制主要保证泛函在极值处连续在研究泛函极值时，通常将函在极值处连续在研究泛函极值时，通常将 ( )x固定，固定，而令而令变化，这样规定的变化，这样规定的好处好处在于：建立了由参数在于：建立了由参数 到泛函到泛函 ( )J y x值之间的对应关系，因此泛函值之间的对应关系，因此泛函 ( )J y x就成为了参数就成为了参数 的普通函数原来泛函的极值问题就成为的普通函数原来泛函的极值问题就成为普通函数

16、对普通函数对 的求极值的问题同时，函数曲线的求极值的问题同时，函数曲线 ( )y x的的变分定义变分定义为为0( , )|( )dyy xx(3.1.3)因此可得因此可得 ( )dyx(3.1.4)这里这里 ,y代表对代表对x求一阶导数求一阶导数 所以所以 ddyyx(3.1.5)即变分和微分可以交换次序即变分和微分可以交换次序 泛函的变分泛函的变分定义定义 4 泛函的变分泛函的变分 泛函的增量泛函的增量 变分问题变分问题泛函的变分定义为泛函的变分定义为()dbaFFJyyxyy (3.1.6)在极值曲线在极值曲线 ( )y x附近，附近，泛函泛函 ( )J y x的增量的增量，定义为，定义为

17、 ( , ) ( )JJ y xJ y x(3.1.7)依照上述约定，当依照上述约定，当 0时，泛函增量时，泛函增量 J的线性的线性主要部分定义为主要部分定义为泛函的变分泛函的变分，记为，记为 0|dJJ (3.1.8) 在求一元或多元函数的极值时，微分起了很大的作用；在求一元或多元函数的极值时，微分起了很大的作用；同样在研究泛函极值问题时，变分起着类似微分的作用因同样在研究泛函极值问题时，变分起着类似微分的作用因此，通常称泛函极值问题为此，通常称泛函极值问题为变分问题变分问题；称求泛函极值的称求泛函极值的方法为变分法方法为变分法例例 3 计算泛函的变分计算泛函的变分【解解】 1721 ( )

18、()dJ y xy exyx1172711111771111111 ( )()d(2)dd 2dd2d|d 2dJ y xyexyxxy y eyxxy y xey xxy y x eyxxy y x注意：注意：最后一步利用了一般在边界上函数变分为零的事实，即最后一步利用了一般在边界上函数变分为零的事实，即 711|0ey二、二、 泛函的极值泛函的极值 泛函的极值问题，一般来说是比较复杂的因为它泛函的极值问题，一般来说是比较复杂的因为它与泛函包含的自变量个数，未知函数的个数以及函数导与泛函包含的自变量个数，未知函数的个数以及函数导数的阶数等相关另外，在求泛函极值时，有的还要加数的阶数等相关另外

19、，在求泛函极值时，有的还要加约束条件，且约束条件的类型也有不同，等等下面我约束条件，且约束条件的类型也有不同，等等下面我们首先讨论泛函的极值的们首先讨论泛函的极值的必要条件必要条件 泛函的极值的必要条件泛函的极值的必要条件欧拉拉格朗日方程欧拉拉格朗日方程 设设 ( )J y x的极值问题有解的极值问题有解( )yy x（3.1.9） 现在推导这个解所满足的现在推导这个解所满足的常微分方程常微分方程，这是用，这是用间接法间接法研究泛函极值问题的重要一环研究泛函极值问题的重要一环设想这个解有变分设想这个解有变分 ( )x则则 ( )( )J y xx可视为参数可视为参数 的函数的函数 ( ) (

20、)( ).J y xx而当而当 0时，时， ( )( )( )y xxy x对应于式对应于式(17.2.1),即为即为 ( )( )J y xx取极值于是原来的泛函极值取极值于是原来的泛函极值问题，就化为一个求普通函数问题，就化为一个求普通函数 ( )的极值问题由函数的极值问题由函数取取极值的必要条件极值的必要条件，有，有0d|0d即有即有 0|0J（3.1.10） 1. 泛函表示为一个自变量，一个函数及其一阶导数泛函表示为一个自变量，一个函数及其一阶导数的积分形式的积分形式泛函表示为一个自变量，一个函数及其一阶导数的积分形式，泛函表示为一个自变量，一个函数及其一阶导数的积分形式， 即（即（1

21、） ( )( , ,)baJ y xF x y y dx若考虑两端固定边界的泛函问题若考虑两端固定边界的泛函问题：积分是在区域内通过两点积分是在区域内通过两点 1122(,),(,)x yxy的任意曲线进行的，其中的任意曲线进行的，其中 12,xa xb泛函中泛函中 y为为( , )( )( )y xy xx由于由于两端固定两端固定，所以要求，所以要求 ( )0, ( )0ab，即，即 |0,|0 x ax byy由由(17.1.8)，有，有 0 ( )( )|d ( )d( )d d dbabaJ y xxJFFxxxyyFFyyxyy（3.1.11） 式式(3.1.11)的积分号下既有的积

22、分号下既有 y，又有，又有 y，对第二项，对第二项应用分部积分法可使积分号下出现应用分部积分法可使积分号下出现yd|()ddbbaaFFFJyy xyyxy(3.1.12)根据（根据（3.1.10）,所以所以 0|0JJd ,再根据再根据（3.1.12）故有故有d|()d0dbbaaFFFJyy xyyxy（3.1.13） 因为因为 |0,|0 x ax byy并且并且 y是任意的，所以是任意的，所以 d()0dFFyxy (3.1.14) 上式上式(3.1.14)称为称为欧拉（欧拉（Euler）拉格朗日（）拉格朗日（Lagrange）方程，简称为方程，简称为E-L方程方程 此即泛函取极值的必

23、要条件即泛函此即泛函取极值的必要条件即泛函 J的极值函数的极值函数 ( )y x必须是满足泛函的变分必须是满足泛函的变分 0J的函数类的函数类 ( )y x因此，因此， 把泛函的极值问题称为变分问题把泛函的极值问题称为变分问题 注明注明：E-L方程是泛函取极值的必要条件，而不是充分条件方程是泛函取极值的必要条件，而不是充分条件如果讨论充分条件，则要计算二阶变分，并考虑其正、负值如果讨论充分条件，则要计算二阶变分，并考虑其正、负值,但对但对于实际问题中，当泛函具有明确的物理涵义，极值的存在性往往于实际问题中，当泛函具有明确的物理涵义，极值的存在性往往间接地在问题的提法中就可以肯定，所以极值的存在

24、性是不成问间接地在问题的提法中就可以肯定，所以极值的存在性是不成问题的，只要解出题的，只要解出E-L方程，就可以得到方程，就可以得到泛函的极值泛函的极值E-L方程除了上面给出的形式方程除了上面给出的形式(3.1.14)之外之外，另外还有四种特殊情况：另外还有四种特殊情况：(1) F不显含不显含 x( ,),FF y y且且 0Fx因为因为ddd()()()dddFFFFFFFyyyxyxyxyyxy若若 0,y E-L方程等价于方程等价于 FFycy （3.1.15）(2) F不依赖于不依赖于 y( ,),FF x y且且 0Fy则则E-L方程化为方程化为d()0, dFFcxyy （3.1.

25、16）(3) F不依赖于不依赖于 y( , ),FF x y且且 0Fy则则E-L方程化为方程化为0Fy（3.1.17）由此可见由此可见 F仅为仅为 x的函数的函数 (4) F关于关于 y是线性的：是线性的： ( , ,)( , )( , )F x y yf x yg x y y则则E-L方程化为方程化为0fgyx （3.1.18） 对于含有一个自变量，多个变量函数，以及有较高阶变量对于含有一个自变量，多个变量函数，以及有较高阶变量函数导数的泛函，类似上面的推导可得如下结论：函数导数的泛函，类似上面的推导可得如下结论：2. 泛函表示为多个函数的积分形式泛函表示为多个函数的积分形式1122 (

26、)( ,)dbnnaJ y xF x y y yyyyx|0, |=0 (1,2, )ix aix byyin则与此泛函极值问题相应的则与此泛函极值问题相应的E-L方程为方程为d()0 (1,2, )diiFFinyxy（3.1.19）3. 泛函的积分形式中含有高阶导数泛函的积分形式中含有高阶导数( ) ( )( , ,)dbnaJ y xF x y y yyx(1)( )( )( )0ny ay ay a(1)( )( )( )0ny by by b与此泛函极值问题相应的与此泛函极值问题相应的E-L方程为方程为22( )ddd()()( 1)()0dddnnnnFFFFyxyxyxy （3.

27、1.20）4.泛函的积分形式中含有多元函数泛函的积分形式中含有多元函数( , )u x y, x y设设为为的二元函数，则的二元函数，则22111212( , , ,)d d( , )(, )( ,)( ,)0 xyxyxyJF x y u u ux yu x yu xyu x yu x y 与此泛函极值问题相应的与此泛函极值问题相应的E-L方程为方程为()()0 xyFFFuxuyu（3.1.21）例例17.2.1 试求解最速降线落径问题，即变分问题试求解最速降线落径问题，即变分问题21d02BAyxgy【解解】目前，我们只能用间接方法来求解，由于目前，我们只能用间接方法来求解，由于212y

28、Fgy不显含不显含 x，故其故其E-L方程为（方程为（3.1.15）0221122yyFFyygycyygy令令 02cgc，故有，故有 221(1)yyc令令 121cc，分离变量得到，分离变量得到1dd ycyxy再令再令 12sin2cy，代入上式得到，代入上式得到112dsind(1cos )d22cxc即得到即得到121(sin)2(1c o s2)cccxy此即为摆线的参数方程，积分常数可由初始位置此即为摆线的参数方程，积分常数可由初始位置 （图（图17.1的的A,B两点）决定两点）决定4 泛函的条件极值问题泛函的条件极值问题 在许多泛函的极值问题中，变量函数还受到一些附加条件在许

29、多泛函的极值问题中，变量函数还受到一些附加条件的限制，其中最常见和重要的一种是以的限制，其中最常见和重要的一种是以积分形式表示的限制积分形式表示的限制条件条件( , ,)dbaG x y yxl （3.1.22）即所谓的即所谓的等周问题等周问题：01 ( )( , ,)d , ( ), ( )( , ,)d babaJ y xF x y yxy ayy byG x y yxl (3.1.23) （注：这种问题之所以称为等周问题，是因为在历史上起源注：这种问题之所以称为等周问题，是因为在历史上起源于求一条通过两点，长度固定为于求一条通过两点，长度固定为l的曲线的曲线 ( ),y x使面积使面积

30、( )dbaSy xx取极大值）取极大值）其中其中 01,l yy为常数此类问题可以仿照普通函数的为常数此类问题可以仿照普通函数的条件极值问题的拉格朗日乘子法即将附加条件条件极值问题的拉格朗日乘子法即将附加条件(4.1.22)乘以乘以参数，求其变分后，加到泛函取极值的必要条件中得到参数，求其变分后，加到泛函取极值的必要条件中得到 ( ; ,)( ; ,)d0baF x y yG x y yx于是问题转化为不带条件的由上式所表示的变分问题于是问题转化为不带条件的由上式所表示的变分问题 其对应的其对应的E-L方程为方程为d()0dFGFGyyxyy这是通过这是通过 a和和 b两点的两点的 ( )y

31、 x之下使之下使泛函取极值的必要条件泛函取极值的必要条件它实际上是一个关于它实际上是一个关于 在在附加条件（附加条件（3.1.22）( )y x的二阶常微分方程其通解中含有三个参数，即的二阶常微分方程其通解中含有三个参数，即和两个积分和两个积分常数它们可由条件常数它们可由条件 01( ), ( )y ayy by（3.1.22）来确定）来确定 .和附加条件和附加条件 例例5 求求 120 ( )() dJ y xyx的极值，其中的极值，其中 y是归一化的，即是归一化的，即 120d1yx ，且已知，且已知 (0)0, (1)0.yy【解解】本题是求泛函的条件极值问题，可化为变分问题本题是求泛函

32、的条件极值问题，可化为变分问题1220()d0yyx 对应的对应的E-L方程为方程为0yy其通解为其通解为cossin (0)yAxBx代入附加条件代入附加条件 (0)0, (1)0.yy得到得到( )sin( ) (1,2,)nnyxcn xn代入归一化条件得到代入归一化条件得到1220sin ( )d1ncn x x 于是得到于是得到 2nc ，故原极值问题的解为，故原极值问题的解为2sin( )nyn x 而题中要求的泛函而题中要求的泛函 120() dyx的极值为的极值为12222202 cos ( )dnn xxn当当 1n 时，极值函数时，极值函数 1( )2siny xx 使得泛

33、函数取得最小值使得泛函数取得最小值 2例例6 求泛函求泛函 20 (2 cos )dJ yyyxx在条件在条件 (0)0, ()0yy下的极值曲线下的极值曲线.【解解】 此时此时 xyyyyxFcos2),(2 ,则偏导数则偏导数 yFxFyy2,cos2.对应的对应的Euler方程为方程为0cos xy其通解为其通解为 21cosCxCxy,代入边界条件可得代入边界条件可得 12C 12C,所以所以极值曲线为极值曲线为 2cos1yxx泛函极值问题的求解泛函极值问题的求解,通常有两种结果：通常有两种结果：（i）解析解）解析解 由变分法得到的由变分法得到的E-L方程求解，一般来说，是很困难的方

34、程求解，一般来说，是很困难的但在分析力学中往往还是采用这一办法来求解因为历史悠但在分析力学中往往还是采用这一办法来求解因为历史悠久，它自有一套办法久，它自有一套办法（ii）近似解）近似解 所谓近似解即由泛函本身出发，而不需求解所谓近似解即由泛函本身出发，而不需求解E-L方程，方程，直接求得所需要的解直接求得所需要的解极值曲线极值曲线 ( )y x因此，常常称它为研究泛函极值问题的直接法因此，常常称它为研究泛函极值问题的直接法 下面我们以一个典型的实例来描述泛函的极值问题在下面我们以一个典型的实例来描述泛函的极值问题在数学物理问题中的应用数学物理问题中的应用.例例7 假设大气的光折射率假设大气的

35、光折射率 n只依赖于高度只依赖于高度 y（1）利用费马（）利用费马（Fermat）原理导出在大气中光线轨迹的微）原理导出在大气中光线轨迹的微分方程；分方程；（2）设有一与水平成角度）设有一与水平成角度 0的方向上抛出的球，如果的方向上抛出的球，如果 2201nny，其中，其中 0n和被抛出多远？被抛出多远？为常数，试求此球为常数，试求此球【解解】 （1）根据费马原理根据费马原理：光线的实际路径上，光程的变：光线的实际路径上，光程的变分为零分为零21d0ttn l （3.1.23）其中其中 n为介质中的光折射率，为介质中的光折射率， dl元上述问题也可表示为如下元上述问题也可表示为如下泛函极值问

36、题泛函极值问题：为沿光线进行方向的路程为沿光线进行方向的路程2( )( ) 1dbaI y xn yyx（3.1.24）由于由于 ( , ,)F x y y不显含不显含 x，根据公式，根据公式(4.1.15)，可得首，可得首次积分次积分02( ) 1n ycy （3.1.25）其中其中 0c为常数，若为常数，若 为路径的切线和铅垂线所构成为路径的切线和铅垂线所构成的角度，即的角度，即 2d1cot , sind1yyxy （3.1.26）若如果折射率若如果折射率 n是位置的连续函数，这意味着是位置的连续函数，这意味着 ( )sinn y沿着路径是一常数若应用到分界面上，沿着路径是一常数若应用到

37、分界面上，就得到就得到光学中的折射定律（光学中的折射定律（Snells law）1122sinsinnn （3.1.27）在大气中光线轨迹的微分方程，由公式在大气中光线轨迹的微分方程，由公式(4.1.25)得到得到2200d1( )dynycxc（3.1.28）(2) 由题中条件和图由题中条件和图3.1.2，定义球的轨迹的最高高度为，定义球的轨迹的最高高度为 H，即，即 221101022200, ( ), ()122yn yn yHn ynH y x A B (x,y) 图 19.1 图图3.1.设球抛出的距离为设球抛出的距离为 d，由公式（，由公式（17.3.6）得到）得到00202200

38、0cos2d2d2cos2( )dHcdxynyc （3.1.30）故利用公式（故利用公式（17.3.5），有），有22000cos1nnH解得解得0sinH （3.1.29） 利润利润= 销售收入与生产成本之差销售收入与生产成本之差 设每件商品的售价为设每件商品的售价为p 成本为成本为q 销售量（也是产量）为销售量（也是产量）为Q 销售收入和生产成本分别为销售收入和生产成本分别为 R = pQ , C = qQ在市场竟争的情况下，销售量在市场竟争的情况下，销售量Q自然取决于价格自然取决于价格p, 记为记为 Q = f ( p)f 称为需求函数，它当然是称为需求函数，它当然是p的降函数。这样，

39、当的降函数。这样，当q是常数时，是常数时，收入收入R和成本和成本C都是都是p的函数，利润的函数，利润U可以表示为可以表示为U ()=R ()C ()=() f ( p)显然，使利润显然，使利润U ()达到最大值的最优价格达到最大值的最优价格*可由可由 (3.2.1)得到，即有得到，即有 (3.2.2) 在数量经济学中，在数量经济学中，dR/dp 称为边际收入，它是称为边际收入，它是价格变动一个单位时，收入的改变量；价格变动一个单位时，收入的改变量；dC/dp称为称为边际成本，它是价格变动一个单位时成本的改变量。边际成本，它是价格变动一个单位时成本的改变量。 结论：结论： 最优经济效益在边际收入

40、等于边际成本时达到最优经济效益在边际收入等于边际成本时达到 -经济学中一条著名定律。经济学中一条著名定律。dUdppp*0dRdpdCdppppp*下面分三种情况，对最优价格做进一步的分析。下面分三种情况，对最优价格做进一步的分析。 1. 假设在整个供销过程中，假设在整个供销过程中，q不变，需求函数不变，需求函数为为 f ( p)=ab p （a , b 0） (3.2.3) 试制定一个不变的最优价格。试制定一个不变的最优价格。 将（将（2.1.3）代入（）代入（2.1.1）式，得）式，得 U ( p)=( pq)(ab p) (3.2.4)容易得到最优价格为容易得到最优价格为 p*= (3.

41、2.5)abqbqab222为了分析（为了分析（3.2.5）中）中p*的内在含义，的内在含义，需要了解需要了解a, b的含义。由的含义。由(3.2.3)式，式，a可可以解释为以解释为“绝对绝对”需求量需求量, 即这种产品免即这种产品免费供应时社会的需求量。并且费供应时社会的需求量。并且b = | dQ / dp | 表示价格上涨一个单位时，销售量表示价格上涨一个单位时，销售量的下降，它反映市场需求对价格的敏感的下降，它反映市场需求对价格的敏感程度。在实际工作中，程度。在实际工作中，a, b 可由统计数可由统计数据用最小二乘法拟合得到。据用最小二乘法拟合得到。(3.2.5)式表式表明，最优价格由

42、两部分组成，一是成本明，最优价格由两部分组成，一是成本q的一半，另一部分与的一半，另一部分与“绝对绝对”需求量成需求量成正比，与市场对价格的敏感系数成反比。正比，与市场对价格的敏感系数成反比。 2. 在时间为在时间为T的销售过程中，的销售过程中，q不变，单位时间不变，单位时间的需求函数仍用的需求函数仍用(3.2.3)式表示，要求总销售式表示，要求总销售量为量为Q。试制订最优价格函数。试制订最优价格函数p(t)。 这种情况下的利润为这种情况下的利润为 (3.2.6) 并且要满足并且要满足 (3.2.7) 问题归结为在问题归结为在(4.2.7)式约束下求泛函式约束下求泛函U(pt)的极值。的极值。

43、 U p tp tq abp t dtT( ( ) ( )( )0 ( )abp t dtQT0 利用利用lagrange乘子法化为无条件极值问题，做泛函乘子法化为无条件极值问题，做泛函 J(p(t)= (3.2.8)注意到积分中不出现注意到积分中不出现p(t),其其Euler方程为方程为 (3.2.9)解得解得 (3.2.10) (3.2.10)式表明，最优价格仍为常数。为了确定参数式表明，最优价格仍为常数。为了确定参数，代入，代入(3.2.7)式：式： 解出解出后，代入后，代入(3.2.10)式可得式可得 (0tT) (3.2.11) ( )( )( )p tq abp tabp tdtT

44、0ddppq abpabp()()()0 pabqb()2()aabqdtQT20paTQbT将将(3.2.11)与与(3.2.5)式相比较可知，最优价式相比较可知，最优价格与格与a,b的关系是类似的，但是在有销售时间的关系是类似的，但是在有销售时间T和总售量和总售量Q的限制时，最优价格与成本的限制时，最优价格与成本q无无关关,它应随着它应随着T的增加而提高，随着的增加而提高，随着Q的增加而的增加而降低。还应该指出，为使降低。还应该指出，为使(3.2.11)中的中的p0，必须必须aTQ，这是显然成立的，因为，这是显然成立的，因为aT是时间是时间T内的内的“绝对绝对”销售量。销售量。 3. 假设

45、需求函数与总销售量仍用假设需求函数与总销售量仍用(3.2.3)和和(3.2.7)式表示。同时由于销售过程中存储费、变质损式表示。同时由于销售过程中存储费、变质损失费等因素的影响，成本失费等因素的影响，成本q不再是常数，它的不再是常数，它的相对增长率是相对增长率是 (0),即设即设 (3.2.12)如果如果 则可以解出则可以解出 (3.2.13)d qd tqqqt00 q tq et( ) 0 为了求解这种情况下的最优价格函数为了求解这种情况下的最优价格函数p(t)，只须，只须将将(4.2.13)式中的式中的q(t)代替代替(3.2.9)式中的式中的q，得，得 (3.2.14)将将(3.2.1

46、4)式代入式代入(3.2.7)式确定式确定后，可得后，可得 (3.2.15)为了更清楚地看出为了更清楚地看出(3.2.15)式表示的关系，式表示的关系，当当1时利用近似式时利用近似式 ，(3.2.15)式可表式可表示为示为 (3.2.16) ptab qebt( )()02p taTQ abq eb aTbqett( )()()()001p taTQbTqaTQT abqt( )()()00ett1结果表明，由于成本结果表明，由于成本q(t)随时间不断随时间不断变化，最优价格变化，最优价格p(t)也应不断上涨。在实也应不断上涨。在实际工作中，可用阶梯函数近似代替际工作中，可用阶梯函数近似代替(

47、3.2.16)式中的线性函数。式中的线性函数。 第第3 3节节 生产计划模型生产计划模型 考虑这样一种实际问题，工厂与客户签订了一项在时间考虑这样一种实际问题，工厂与客户签订了一项在时间T T内提交内提交Q Q件产品的合同，由于产品含易腐物质，存储量和存储费件产品的合同，由于产品含易腐物质，存储量和存储费必须考虑。试制订生产计划（产量与时间的函数），使总费用必须考虑。试制订生产计划（产量与时间的函数），使总费用（生产费用和存储费用）最小。（生产费用和存储费用）最小。 要解决这个问题，必须知道生产费存储费与产量的关系，为要解决这个问题，必须知道生产费存储费与产量的关系，为此必须提出合理的假使，这

48、里，我们不妨先考虑一个具有普遍意此必须提出合理的假使，这里，我们不妨先考虑一个具有普遍意义的模型，然后再看看需要做哪些假设。义的模型，然后再看看需要做哪些假设。 记开始生产的时刻是记开始生产的时刻是t=0,t=0,到时刻到时刻t t为止的产量是为止的产量是x(t),x(t),于是时于是时刻刻t t的生产率（单位时间的产量）是的生产率（单位时间的产量）是x(t),x(t),通常的情况是，（单通常的情况是，（单位时间的）生产费取决于生产率，记作位时间的）生产费取决于生产率，记作f(x(t),f(x(t),而（单位时间而（单位时间的）存储费取决于产量，记作的）存储费取决于产量，记作g(x(t) g(

49、x(t) 。所以时间。所以时间T T内的总费用内的总费用应由生产计划应由生产计划x(t)x(t)决定，记作决定，记作 c(x(t)= (3c(x(t)= (33 31)1) 其中，其中，x(t)x(t)应满足应满足 x(0)=0 , x(T)=Q (3x(0)=0 , x(T)=Q (33 32)2) 问题归结为在固定端点条件问题归结为在固定端点条件(3(33 32)2)下，求下，求(3(33 31)1)式定义的式定义的泛函泛函c(x(t)c(x(t)的极值问题，可以用变分法求解。的极值问题，可以用变分法求解。 ( )( ( )ftg x tdtT(x0为了得到函数为了得到函数f f和和g g

50、的具体形式，做如下假设：的具体形式，做如下假设： 1) 1) 单位时间内每增产一件产品所需的成本与这时的生产率单位时间内每增产一件产品所需的成本与这时的生产率成正比，这适合于生产已经饱和、生产率很高的情况。成正比，这适合于生产已经饱和、生产率很高的情况。 2)2)存储费与存储量（即到存储费与存储量（即到t t为止的产量）成正比。为止的产量）成正比。 由假设由假设1) ,1) ,若记生产率为若记生产率为r= ,r= ,则则 r , r , 于是于是 f(r) f(r) r r2 2 , , 记作记作 f(t) = kf(t) = k1 1 (3 (33 33)3) 由假设由假设2), 2), 又

51、有又有 g(x(t) = kg(x(t) = k2 2 x(t) (3.3.4) x(t) (3.3.4)这里，这里，k1k1、k2k2均为比例系数。将均为比例系数。将(3(33 33) 3) 和和(3(33 34)4)代入代入(3(33 31)1)式可得式可得 x t( )dfdrxt2( ) c(x(t) = (335)c(x(t) = (335) (335) (335)和和(332)(332)两式确定的泛函极值问题的解可以两式确定的泛函极值问题的解可以由由EulerEuler方程方程 (336)(336)给出。以给出。以F= k1 + k2 x(t) F= k1 + k2 x(t) 代入

52、代入(156)(156)式可得式可得 (337)(337)二阶常系数微分方程二阶常系数微分方程(337)(337)的通解是的通解是 （338)338)其中，其中，c1c1、c2 c2 由端点条件由端点条件(3.3.2)(3.3.2)确定：确定： c2=0 c2=0 （339339） ( )( )ktk x tdtxT1220F t x xddtF t x xxx( , , )( , , )0 xt2( )kk x t2120( )x tkktc tc( ) 212124cQTk Tk1214所以泛函极值问题的解为所以泛函极值问题的解为 (3(33 310)10)x(t)x(t)是使总费用最小的

53、生产计划。是使总费用最小的生产计划。 x(t)x(t)的图形是抛物线，因为由的图形是抛物线，因为由(3(33 37)7)式可知式可知 , ,所以所以随着参数随着参数k1k1、k2k2、Q Q、T T的不同，的不同， (3(33 310)10)的函数的函数x(t)x(t)可能有图可能有图3.3.13.3.1所示的两种曲线形式。但是对于所示的两种曲线形式。但是对于x(t)x(t)有明显的附加条件：有明显的附加条件： x(t) 0 (3x(t) 0 (33 311)11)只有第一种形式的曲线才符合只有第一种形式的曲线才符合(3(33 311)11)的要求。的要求。 x tkktQTk Tkt( )(

54、)2122144x t( ) 0 不难看出，条件不难看出，条件(3(33 311)11)等价于等价于 , , 由由(3(33 39)9)式有式有 (3(33 312)12)则仅当则仅当(3(33 31212）式成立时，）式成立时，(3(33 310)10)式确定的式确定的x(t)x(t)才是满足才是满足(3(33 311)11)式的最优解。式的最优解。 为了对最优解做出解释，考察与为了对最优解做出解释，考察与(3(33 310)10)式等价的式等价的(3(33 37)7)式。式。(3(33 37)7)式可以写成式可以写成 (3(33 313)13)其中，其中， 是单位时间增产一件产品的生产费，

55、是单位时间增产一件产品的生产费，k2k2是每件产是每件产品单位时间的存储费，在经济理论中，前者称为边际生产费品单位时间的存储费，在经济理论中，前者称为边际生产费（边际成本），后者称为边际存储费。（边际成本），后者称为边际存储费。(3(33 313)13)式表明，使边际成本的改变率等于边际存储费的生产计划是最式表明，使边际成本的改变率等于边际存储费的生产计划是最优的。优的。 QkkT2124kddtddrk r212()ddrk r()12第第4 4节节 设备检查模型设备检查模型 在工厂的车间里应及时检查各种设备的完好情况。检查的在工厂的车间里应及时检查各种设备的完好情况。检查的周期太长，故障不

56、能及时发现，给生产带来损失；但检查周期太周期太长，故障不能及时发现，给生产带来损失；但检查周期太短，又会增加检查费用。设备出现故障的概率是随机的，其规律短，又会增加检查费用。设备出现故障的概率是随机的，其规律可由统计数据或理论分析得到。问题是如何安排设备检查方案，可由统计数据或理论分析得到。问题是如何安排设备检查方案，使到发现故障为止时的总费用（损失费与检查费）的期望值最小。使到发现故障为止时的总费用（损失费与检查费）的期望值最小。 一般来讲，检查周期一般来讲，检查周期s s不一定是常数，而应该根据故障出现不一定是常数，而应该根据故障出现时刻的概率分布，在故障容易出现的时候多检查几次，所以我们

57、时刻的概率分布，在故障容易出现的时候多检查几次，所以我们可设检查周期是时间可设检查周期是时间t t的函数的函数s(t)s(t)，或者，单位时间的检查次数，或者，单位时间的检查次数n(t)=1/s(t)n(t)=1/s(t)。为了把检查费和损失费表示成。为了把检查费和损失费表示成n(t)n(t)的函数，做以的函数，做以下的假设：下的假设： 1)1)每次检查费为每次检查费为c0c0。因此到时刻。因此到时刻t t为止的检查次数是为止的检查次数是所以，如果在时刻所以，如果在时刻t t的检查中发现故障，则总的检查费为的检查中发现故障，则总的检查费为 c0c0 2) 2) 记从设备发生故障到下一次检查发现故障的时间间隔为记从设备发生故障到下一次检查发现故障的时间间隔为T T，当，当n(t)n(t)很大时，设备在两次检查之间出现故障的时刻可很大时，设备在两次检查之间出现故障的时刻可视为等可能的，所以视为等可能的，所以T T的平均值是检查周期的平均值是检查周期s(t)s(t)的一半，即的一半，即 3) 3) 因设备发生故障带来的损失费是因设备发生故障带来的损失费是T T的函数，用近似代替的函数，用近似代替T T，损失费可表示为损失费可表示为 n t dtt( )0n t dtt( )0Tn t12 ( )Ln t( )124) 4) 时刻时刻t t 设备发生故障的概率密度函数是设备发生故障的