数学思想方法专题

1、学习方法报社 全新课标理念，优质课程资源数学思想方法专题 一、数形结合思想 数形结合思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，关键是数与形之间的相互转化.在运用数形结合思想分析和解决问题时，要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及常见函数图象的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义. 例1 如图1，数轴上的A，B，C，D四点所表示的数分别为a，b，c，d，且O为原点根据图中各点位置，判断与|ac|的值不同的是（）A |a|+|b|+|c|B |a-b|+|c-b| C |a-d|-|d-c| D |a|+|d|-|c-d| 分析：根据绝对值的性质计算出各绝对

2、值表示的线段长，与|a-c|的长进行比较即可解：由题意，知|a-c|=AC. |a|+|b|+|c|=AO+BO+COAC，故A选项正确； |ab|+|cb|=AB+BC=AC，故B选项错误； |ad|dc|=ADCD=AC，故C选项错误； |a|+|d|cd|=AO+DOCD=AC，故D选项错误. 所以选A点评：本题考查了实数与数轴，知道绝对值的意义是解题的关键例2 （2012年河南省）如图2，函数y=2x和y=ax+4的图象相交于点A（m，3），则不等式2x<ax+4的解集为（）A. x< B. x<3 C. x> D. x>3分析：由于两条直线交于点A，结合

3、函数表达式y=2x确定点A的横坐标注意在交点左边和右边y值的变化情况，根据图象信息直接确定不等式的解集.解：把A（m，3）代入y=2x，得m=.所以A（，3）. 由图象可知，不等式2xax+4的解集为x故选A.点评：本题主要考查对一次函数与一元一次不等式等知识点的理解和掌握，能熟练运用性质进行解题，并通过图象判断不等式的关系是解题的关键.2、 分类讨论思想 分类讨论思想是指当被研究的问题存在一些不明确的因素，无法用统一的方法或结论给出统一的描述时，按可能出现的所有情况来分别进行讨论，得出各种情况下相互独立的结论.分类的原则是：分类的每一部分是相互独立的；一次分类必须依据同一个标准；分类必须是逐

4、次进行的.例3 （2012年湘潭市）已知一次函数y=kx+b（k0）的图象过点（0，2），且与两坐标轴围成的三角形面积为2，求此一次函数的表达式分析：根据点（0，2）以及图象与两坐标轴围成的三角形面积确定图象与x轴的交点坐标，注意分交点位于原点左侧和原点右侧两种情况讨论，根据两个点的坐标即可确定一次函数的表达式解：一次函数y=kxb（k0）的图象过点（0，2），b=2. 令y=0，则x=.函数图象与两坐标轴围成的三角形面积为2，×2×=2，即=2.当k0时，=2.解得k=1； 当k0时，-=2.解得k=-1故此一次函数的表达式为y=x+2或y=-x+2点评：确定一次函数的表

5、达式，关键是确定图象与坐标轴的另一交点坐标.由于题目中没有明确指出图象与x轴交于正半轴还是负半轴，故需要分两种情况进行讨论.例4 （2012年龙东市）等腰三角形的一腰长为5，一边上的高为3，则底边长为_分析：结合题意“一边上的高”将问题分为底上的高与腰上的高两种情况，等腰三角形腰上的高又分为高在三角形内（锐角三角形）与高在三角形外（钝角三角形）两种情况，运用勾股定理，分别求解.解：（1）若高是该等腰三角形底边上的高，如图3，此时，AB=AC=5，AD=3.由勾股定理，得BD=4.所以底边BC=8.（2）若高是该等腰三角形腰上的高.当等腰三角形为锐角三角形时，如图4，此时AB=AC=5，BD=3

6、.由勾股定理，得AD=4.故CD=1.在RtBCD中，由勾股定理，得BC=；当等腰三角形为钝角三角形时，如图5.此时AB=AC=5，CD=3.由勾股定理，得AD=4.故BD=9.在RtBCD中，由勾股定理，得BC=3.综上，底边长为8或或3. 点评：题目没有图形，仅仅已知腰长以及一边上的高，答案不唯一，可以分高是底边上的高和是腰上的高两种情况讨论，其中腰上的高又分两种情况，高位于等腰三角形内和高位于等腰三角形外进行分类讨论，避免漏解或重解3、 转化思想转化思想常用的解题策略是：（1）已知与未知的转化：分析已知条件的内涵，挖掘其隐含条件，使得已知条件朝着明朗化的方面转化；对于一个未知的新问题，通

7、过联想，寻找转化为已知的途径，或者是从结论入手进行转化；（2）数与形的转化：把抽象的数学语言与直观的图形相结合，使许多概念直观而形象，有利于发现解题途径；（3）一般与特殊的转化：比如探究规律问题，从简单的某些属性，按照某种不变的规律向一般图形具有的性质进行探究等；（4）复杂与简单的转化：把一个复杂的、陌生的问题转化为简单的、熟悉的问题来解答. 例5 （2012年湛江市）先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题.例：解一元二次不等式x240.解：x24=（x2）（x2），x240可化为（x2）（x2）0.由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，得，或.解不等式组，得x2； 解不等式组，得x2

8、.（x2）（x2）0的解集为x2或x2.即一元二次不等式x240的解集为x2或x2.（1）一元二次不等式x2160的解集为_；（2）分式不等式0的解集为_；（3）解一元二次不等式2x23x0.分析：（1）将一元二次不等式的左边分解因式后化为两个一元一次不等式组求解即可；（2）根据分式不等式大于零可以得到其分子、分母同号，从而转化为两个一元一次不等式组求解即可；（3）将一元二次不等式的左边分解因式后化为两个一元一次不等式组求解即可. 解：（1）x4或x4.（2）x3或x1.（3）2x23x=x（2x3），2x23x0可化为x（2x3）0.由有理数的乘法法则“两数相乘，异号得负”，得 或.解不等式

9、组，无解；解不等式组，得0x.x（2x3）0的解集为0x.即一元二次不等式2x23x0的解集为0x.点评：这是一道方法渗透性阅读理解题，解题的关键是认真阅读材料，并运用材料中提供的方法解答新的问题，这里渗透了转化思想例6 （2012年日照市）如图6-，正方形OCDE的边长为1，阴影部分的面积记作S1；如图6-，最大圆的半径r=1，阴影部分的面积记作S2，则S1_S2（用“>”、“<”或“=”填空）.分析：观察图可知，阴影部分的面积等于矩形CAFD的面积，观察图可知，阴影部分的面积等于最大圆面积的，分别求出矩形CAFD的面积、最大圆面积的后作比较即可解：连接OD，如图6-.四边形OC

10、DE为正方形，OE=1，由勾股定理，得OD=.AO=.AC=AO-CO=1.S1=S矩形CAFD=（1）×1=1.S大圆=r2=，S2=<，即<， 1-1，即1.又<<，1.S1S2点评：对不规则图形面积的考查是近几年中考的热点问题，主要是通过转化，将不规则图形转化为规则图形，再利用和或差进行计算4、 整体思想整体思想就是从问题的整体出发，把某些式子或图形看成一个整体，把握它们之间的联系，进行有目的、有意识的整体处理.例7 （2012年南通市）无论a取什么实数，点P（a1，2a3）都在直线l上，Q（m，n）是直线l上的点，则（2mn3）2的值等于_分析：根据无

11、论a取什么实数，点P（a1，2a3）都在直线l上，确定函数的表达式，再把x=m，y=n代入函数表达式，求出2mn的值，最后整体代入解：因为2a3=2（a1）1，而无论a取什么实数，点P（a1，2a3）都在直线l上，所以直线l的表达式是y=2x1. 又Q（m，n）是直线l上的点，所以n=2m1，即2mn=1. 所以（2mn3）2=（13）2=16点评：如果已知以含有字母的代数式为坐标的点在某直线上，可以通过研究点的横、纵坐标之间的关系来确定函数表达式.用整体代入的方法求代数式的值是一种常用的方法例8 （2012年内江市）如图7，在矩形ABCD中，AB=10，BC=5，点E，F分别在AB，CD上，

12、将矩形ABCD沿EF折叠，使点A，D分别落在矩形ABCD外部的点A1，D1处，则阴影部分图形的周长为（）A. 15B. 20 C. 25D. 30分析：要求阴影部分的周长，我们可以把两块阴影部分的周长相加，运用轴对称的性质，找到阴影部分的周长与原矩形边长的关系.解：因为在矩形ABCD中，AB=10，BC=5，所以CD=AB=10，AD=BC=5.根据轴对称的性质，得A1E=AE，A1D1=AD，D1F=DF.设线段D1F与线段AB交于点M，则阴影部分的周长是：（A1EEMMD1A1D1）（MBMFFCCB）=AEEMMD1ADMBMFFCCB=（AEEMMB）（MD1MFFC）ADCB=AB（

13、FD1FC）55=10（FDFC）10=20DC=2010=30. 故选D. 点评：灵活运用轴对称的性质是解决此类问题的关键，正确找出折叠前后的对应边和对应角，运用整体代换有助于解决问题.5、 建模思想 建模思想就是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻画并解决实际问题的数学模型的一种思想方法 例 某地上年度电价为元/度，年用电量为亿度，本年度计划将电价调至至元之间经测算，若电价调至元，则本年度新增用电量亿度与成反比例，又当元时，（）求与的函数关系式.（）若每度电的成本价为元，则电价调至元时，本年度电力部门的收益是多少？收益用电量×（实际电价成本价） 分析：本题与虽不是反比

14、例函数，但根据题意与成反比例，根据反比例的特点列出关系式，用待定系数法就可确定函数关系式用电量与实际电价减去成本价，二者乘积即为收益根据题意列出方程解之即可得到结果 解：（） 与成反比例， 设与的函数关系式为（），把，代入，可以求出 = （）根据题意，收益为1+·（）亿元将代入，得收益为亿元所以当电价调至元时，本年度电力部门的收益是亿元 点评：函数是描述变量之间相互关系的重要数学模型之一很多实际问题都可以归结为函数问题根据题意，找出变量之间的关系，建立适当的数学模型是解题的关键六、方程思想方程思想是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题转化为数学模型，然后通过解方程（组）来使问题获

15、解.一般方法是认真分析题中的各个量以及相互关系，用一个或者几个等量关系描述题目中所有的相等关系，建立方程（组）模型，进而确定未知数的值，使问题获得解答.例10 （2012年济宁市）一学校为了绿化校园环境，向某园林公司购买了一批树苗，园林公司规定：如果购买树苗不超过60棵，每棵售价120元；如果购买树苗超过60棵，每增加1棵，所出售的这批树苗每棵售价均降低0.5元，但每棵树苗最低售价不得少于100元，该校最终向园林公司支付树苗款8800元，请问该校共购买了多少棵树苗？分析：设该校共购买了x棵树苗.由题意，得x1200.5（x60）=8800，解方程即可解：因为60棵树苗售价为120元×

16、60=7200元，7200元8800元，所以该校购买树苗超过60棵.设该校共购买了x棵树苗.由题意，得x1200.5（x60）=8800.解得x1=220，x2=80当x1=220时，1200.5×（22060）=40100，x1=220（不合题意，舍去）；当x2=80时，1200.5×（8060）=110100，该校共购买了80棵树苗点评：根据已知“如果购买树苗超过60棵，每增加1棵，所出售的这批树苗每棵售价均降低0.5元”列出方程是解题关键.例11 （2012年潍坊市）为了援助失学儿童，九年级学生李明从2012年1月份开始，每月一次将相等数额的零用钱存入已有部分存款的储

17、蓄盒内，准备每6个月一次将储蓄盒内的存款一并汇出（汇款手续费不计）已知2月份存款后清点储蓄盒内有存款80元，5月份存款后清点储蓄盒内有存款125元（1）在李明2012年1月份存款前，储蓄盒内已有存款多少元？ （2）为了实现到2015年6月份存款后存款总数超过1000元的目标，李明计划从2013年1月份开始，每月存款都比2012年每月存款多t元（t为整数），求t的最小值分析：（1）根据题目中的两个相等关系：储蓄盒内原有存款+2个月的存款=80元；储蓄盒内原有存款+5个月的存款=125元，列方程组求解即可.（2）首先计算出2012年共有的存款数，再由题意可得从2013年1月份开始，每月存款为（15

18、+t）元；从2013年1月到2015年6月共有30个月，共存款30×（15+t），再加上2012年共有的存款总数超过1000元，由此构造不等式取符合条件的最小整数值即可解：（1）设李明每月存款x元，储蓄盒内原有存款y元.依题意，得2x+y=80和5x+y=125.解得x=15，y=50.所以储蓄盒内原有存款50元（2）由（1），得李明2012年共有存款12×1550=230（元），2013年1月份后每月存入（15t）元，2013年1月到2015年6月共有30个月.依题意，得23030（15t）1000.解得t10.所以t的最小值是11点评：建立方程模型应从现实生活或具体情境

19、中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式等，求出结果并结合题意讨论结果的意义，得出符合题意的解7、 函数思想 函数思想是指用函数的概念和性质去分析问题和解决问题.也是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型，一般方法是认真分析题意，恰当设变量，寻找题目中相关量之间的相等关系，构造方程（组），确定函数的表达式，再结合题意进行有关探究、计算.例12 （2012年温州市）如图8，在ABC中，C=90°，M是AB的中点，动点P从点A出发，沿AC方向匀速运动到终点C，动点Q从点C出发，沿CB方向匀速运动到终点B已知P，Q两点同时出发，并同时到达终点，连接MP，MQ，P

20、Q在整个运动过程中，MPQ面积的变化情况是（）A 一直增大B 一直减小 C 先减小后增大D 先增大后减少分析：思路1，找出几个特殊情况时MPQ的面积大小情况：当P，Q两点刚开始运动时，MPQ的面积；当P，Q两点同时运动到三角形所在边的中点时，MPQ的面积；当P，Q两点运动到接近终点时，MPQ的面积然后比较求解思路2，把MPQ的面积用运动时间t的函数表示出来，根据函数性质解答解法一（合情推理）：当点P从点A出发时，MPQ的面积等于ACM的面积，即等于ABC面积的； 当点P运动到边AC的中点时，点Q也相应地运动到BC边的中点，此时MPQ是ABC的中点三角形，MPQCBA，其相似比为. MPQ的面积

21、等于ABC面积的； 当点P接近点C，点Q接近点B时，MPQ的面积接近于BCM的面积，即约等于ABC面积的.综上可知，MPQ的面积大小变化情况是先减小后增大故选C解法二（建立面积的函数模型）：设点P从A到C运动的总时间为t，从A到P运动的时间为m，从P到C运动的时间为n，则mn=t，记AC=b，BC=a，则APM中，AP=b，AP边上的高为a，所以S·b·a=··ab.同理得到SBQM·a·b=··ab；S·b·a=··ab；Sab.SMPQ=S-SPM-SBQM-SPCQab-··ab·