第一讲数与式

1、学习方法报社 全新课标理念，优质课程资源第一讲 数与式 §1.1 实数知识梳理一、基本概念1.规定了_、_、_的直线叫做数轴,数轴上的点与实数是一一对应关系.2.只有_的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零3._的两个有理数互为倒数. 4.一个数的绝对值是在数轴上表示数的点与原点的距离，数的绝对值记做5. 把一个数记成的形式，其中,是_，这种记数法叫做科学记数法6.一个近似数四舍五入到哪一位，就说它精确到哪一位，这时，从左边第一个不是零的数字起到右边精确的数位止的所有数字，都叫做这个数的_.7.无理数是_,_和_统称为实数,实数与数轴上的点是一一对应的.8.式子叫做二次根式，是一个非

2、负数. 二、重要结论1.如果a与b互为相反数，则有a+b=0;如果a与b互为倒数，则有ab=1.2._的绝对值是它本身，_的绝对值是它的相反数3.两个负数比较,_大的反而小;数轴上右边的点所表示的数_左边的点所表示的数.4.=_(a0). 5.=_(a0), =_( a0,n是正整数). 考点呈现考点1 实数的有关概念例1（2012年凉山州）若x是2的相反数，|y|=3，则x-y的值是（ ）A-5 B1C-1或5 D1或-5 解析：因为2的相反数是-2，所以x=-2；因为3和-3的绝对值都是3，所以y=±3. 分两种情况分别计算.当x=-2，y=3时，x-y=-5；当x=-2，y=-

3、3时，x-y=1.故选D.点评:只有符号不同的两个数叫做互为相反数，互为相反数的两个数绝对值相等.正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数,0的绝对值是0.例2（2012年安顺市）在实数：3.14 159，1.010 010 001, ，中，无理数有（ ）A1个B2个C3个D4个解析：因为3.14159，1.010010001是有限小数，所以是有理数. 是无限循环小数，所以不是无理数，是有理数，是分数，是有理数，只有是无限不循环小数，所以是无理数的就1个，故选A.点评：目前我们所学的无理数可分为三类：开方开不尽的数,如:;化简后含的数,如:2；特定结构的数,如:1.202 002 000

4、 2(每两个2之间依次多一个0).考点2 科学记数法与有效数字例3 （2012年贵州铜仁）从权威部门获悉，中国海洋面积是2997万平方公里，约为陆地面积的三分之一， 2997万平方公里用科学记数法（保留两位有效数字）表示为（ ） A平方公里 B平方公里C平方公里D平方公里解析：299.7万=2.997×106，保留两个有效数字为.故选C点评:把一个数写成a×10n的形式，其方法是确定a（a是整数数位只有一位的数）；确定n，当原数的绝对值10时，n为正整数，n等于原数的整数位数减1；当原数的绝对值1时，n为负整数，n的绝对值等于原数中左起第一个非零数前零的个数（含整数位数上的

5、零） 考点3 实数与数轴图1例4（2012年聊城市）在如图1所示的数轴上，点B与点C关于点A对称，A、B两点对应的实数分别是和1，则点C所对应的实数是（ ）A.1+ B. 2 + C. 21 D. 2+1解析：因为AB=,所以AC=.因为A对应的是，所以C对应的是.故选D点评:处理这类问题的关键是正确把握对称点的特征,找出其中的等量关系,再进行实数的运算.考点4 实数的估算例5（2012年天津市）估计的值在（ ）A2到3之间 B.3到4之间 C4到5之间 D5到6之间解析：因为所以所以.故选B点评:实数的估算一般步骤是首先将原数平方，看其在哪两个平方数之间，运用这种方法可以估计一个带根号的数的

6、整数部分,从而估计其大致范围.图2例6（2012年张家界）实数、在轴上的位置如图2所示，且，则化简的结果为（ ） A B. C . D.解析：由题设可知，a<0，a+b<0，所以=，故选C.点评:根据绝对值的意义去掉绝对值符号是解题关键.考点5 非负数的性质例7（2012年广东省改编）若x、y为实数，且满足|x3|+=0，则的值是 .解析：因为，所以.所以.所以故填-1 点评:两个或多个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0，从而可以求得各字母的值，进而求得代数式的值考点6 实数的运算例8 (2012年绵阳市）计算：o -.解析:原式=1-×（-） =1-（2-）

7、5;（-）=1+-1=.点评：实数的运算，在解题时要注意运算顺序和公式的综合应用例9 (2012年衡阳市)计算： 解析： 原式=.点评:二次根式相乘，把被开方数相乘，作为积的被开方数；合并同类二次根式时，只把系数相加减，被开方数不变误区点拨 1. 运算错误例1 计算:15÷×(-5).错解:原式=15÷(-1)=-15.剖析:乘除法是同级运算，应按从左到右的运算顺序依次进行计算.正解: 原式=15×5×(-5)=-375.例2 计算:12÷(-).错解:原式=12÷-12÷=12×4-12×3=

8、12.剖析:错解把乘法的分配律机械地类比到除法的运算中,造成错误.正解: 原式=12÷(-)=12×(-12)=-144.例3 计算:=_.错解:-3.剖析:产生错误的原因是误认为.本题中，表示的算术平方根,而=9，所以的算术平方根就是9的算术平方根,即=3.正解:3.2. 考虑不周,造成漏解例4 已知3a-22与2a-3都是实数m的平方根,求m的值.错解:由题意,得3a-22+2a-3=0,解得a=5.所以m=剖析:此题应分两种情况:一种是3a-22与2a-3相等，另一种是3a-22与2a-3互为相反数.正解:(1)当3a-22与2a-3互为相反数,即3a-22+2a-3

9、=0时,解得a=5.所以m=;(2)当3a-22与2a-3相等,即3a-22=2a-3时,解得a=19.所以m=.3.忽视隐含条件例5 化简的结果为（） 错解：原式=(1-3x)-(2x-1)=2-5x.故选剖析：本题错在忽视了二次根式成立的隐含条件题目中有意义，说明隐含了条件，即，可知正解：由知，得，从而有，所以原式=|1-3x|-(2x-1)=(3x-1)-2x+1=x.故选C技法指导1.实数部分其解答的要求是“简单、直接”.所谓“简单”就是题目的结构简单、要求少、计算量和思维量均小、没有技巧和思维层面的要求；所谓“直接”就是题目涉及的知识点少、一目了然.2.这部分复习,准确把握概念是关键

10、,练习应该精而少.跟踪训练1.下列说法正确的是( )A.是无理数B.是有理数C.是无理数D.是有理数2.（2012年达州市）今年我市参加中考的学生人数约为人对于这个近似数，下列说法正确的是（）A.精确到百分位，有3个有效数字 B.精确到百位，有3个有效数字C.精确到十位，有4个有效数字 D.精确到个位，有5个有效数字3.（2012年南京市）下列四个数中，是负数的是（ ） A B. C. D.4.（2012年宁波市）已知实数x，y满足，则xy等于（ ）A3 B3 C 1 D 15.（2012年菏泽市）已知是二元一次方程组的解，则2mn的算术平方根为（ ）A±2 B C 2 D 46.（

11、2012年湘潭市）文文设计了一个关于实数运算的程序，按此程序，输入一个数后，输出的数比输入的数的平方小，若输入，则输出的结果为（ ）A. B. C. D. 7.实数a在数轴上的位置如图所示，则 化简后为( ) A 7 B 7 C 2a15 D 无法确定5a0108.对于任意不相等的两个实数a、b，定义运算如下：ab=，如32=那么812= 9.若将三个数表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹覆盖的数是_ 10.计算：|5|(3)0+6×()+(1)2.§1.2 代数式、整式、分式知识梳理一、基本概念1.所含字母_，并且相同字母的_也分别相同的项叫做同类项几个常数项也是同类项把

12、多项式中的同类项合并成一项，叫做_2. 因式分解就是把一个多项式表示为几个_的形式，因式分解与_是互逆的,分解因式必须进行到每一个多项式都不能再分解为止.3.分母中含有_的代数式叫分式,分式有意义的条件为_,分式值为零的条件为_._和_统称有理式.二、重要结论1.幂的运算性质: _,_,_()为整数.2.乘法公式: _；完全平方公式：_. 3.因式分解的一般方法有_和_.其中公式法涉及到的公式有=_;=_.4.分式的基本性质用字母表示为_.5.分式的加减法则表示为=_，=_;分式的乘除法则表示为=_,=_.考点呈现  考点1 相关概念 例1（2012年上海市）在下列代数式中

13、，次数为3的单项式是( )A. xy2 B. x3y3 C.x3y D.3xy解析: 由题目可知结果受两个条件制约，首先这个式子必须是单项式，其次这个单项式的次数为3由单项式次数的概念，可知次数为3的单项式是xy2 ，所以选A.点评:要正确理解单项式的次数.例2（2012年雅安市）如果单项式-与是同类项，那么a,b的值分别为 （ ）A.2，2 B.-3， 2 C.2，3 D.3，2解析：因为单项式-与是同类项，所以a=3, b=2. 故选D.点评:同类项的识别关键是抓好“两相同”：一是字母相同，二是相同字母的指数也相同.考点2 因式分解例3（2012年宜宾市）分解因式：_.解析：先提公因式，再

14、利用完全平方公式.原式=3（m22mnn2）3（mn）2.点评:因式分解一定注意先后顺序：有公因式一定要先提公因式，其次考虑公式法，要注意分解结果是否已经彻底考点3 代数式有意义及分式值为零的条件例4（2012年德阳市）使代数式有意义的的取值范围是( )A B C且 D一切实数解析：由题意，可得，解得且.故选C点评: 此类题的条件为偶次根式的被开方数是非负数且分式的分母不能等于0例5（2012年嘉兴市）若分式的值为0，则（ ）ABx = 0Cx = 1或Dx = 1解析:由题意，得，解得x=1.故选D点评: 分式值为0，则分子等于0，且分母不等于0，.考点4 化简、求值例6（2012年湘潭市）

15、先化简，再求值：,其中.解析：原式.当时，原式.点评:对于此类化简求值问题，要先确定运算顺序，再根据分式的乘除运算法则进行计算，最后把相关字母的值代入化简后的结果进行求值即可.误区点拨1. 逆用法则致错例1 已知则的值为( )A. B. C. 或 D.不能确定错解:选D.剖析:错选D的实质是不会灵活运用幂的运算性质.学习幂的运算性质应注意学会公式的正用、逆用、正逆合用，本题可逆用同底数幂的除法法则以及幂的乘方运算法则求解.正解: ,故选A.2.混淆因式分解和整式的乘法例2 因式分解:.错解:原式=(3x+5y)+(5x+3y)(3x+5y)-(5x+3y)=(8x+8y)(-2x+2y)=-1

16、6(x+y)(x-y)=-16+16.剖析:上述解法在第四步时,因式分解已经完成,但又用乘法公式把-16(x+y)(x-y)变成-16+16,造成这种错误的原因是混淆了因式分解与整式乘法的意义.正解:原式=(3x+5y)+(5x+3y)(3x+5y)-(5x+3y)=(8x+8y)(-2x+2y)=-16(x+y)(x-y).3.忽视分数线的括号作用例3 计算:错解:原式=.剖析:通分时将-x+1看做一个整体是对的,但添加分数线后,分数线的括号作用不能忽视,应看做是-.正解: 原式=.  技法指导  1.代数式、整式和分式的有关概念常以选择题和填空题的形

17、式进行考查，而分式的化简与求值常以解答题的形式进行考查，难度属于中、低档.2.针对这部分内容，建议大家在复习时注意：知识间的相互联系，如整式乘法与因式分解互为逆变形;进行分式的乘除运算时，约分前需要分解因式;进行分式的加减运算时，通分前也需要分解因式;约分、通分时切记要保证分式有意义.要特别关注数形结合思想、整体思想、分类讨论思想在分式求值中的应用. 跟踪训练1.多项式1+xy-的次数及最高项的系数分别是( )A.2,1 B.2,-1C.3,-1 D.5,-12.(2012年宜昌市)若分式有意义，则a的取值范围是( )Aa =0 Ba=1 Ca-1 Da03.在下列运算中，计算正确的是（）A B CD4.（2012年呼和浩特市）下列各因式分解正确的是（ ）A.B.C.D.5. (2012年宜昌市)根据国家中长期教育改革和发展规划纲要，教育经费投入应占当年GDP的4%若设2012年GDP的总值为n亿元，则2012年教育经费投入可表示为( )A4%n亿元 B(1+4%)n亿元 C(1-4%)n亿元 D（4%+n）亿元 6.（2012年南昌市）已知（m）28，（m）22，则m22（ ）A10 B6 C5