高数第一学期总复习一(第六版)

1、期期 末末 复复 习习 1 高 等 数 学高 等 数 学 I 一、考试题型 1.计算题（共（共5道大题，道大题，15小题）小题） 2.证明题（共（共3道大题）道大题） 解题要有过程, 不能像做填空题(难度：中难度：中)二、复习提纲1.习题复习 平时作业 教材课后习题2. 各种问题类型和解决方法 第一章第一章 函数、极限与连续函数、极限与连续重要内容: 极限的计算1.定义2.四则运算性质3.左右极限4.夹逼准则5.两个特殊极限6.等价无穷小替换7.无穷小的性质8.洛比达法则9.幂指函数的极限10.通过函数极限算数列极限11.连续性12.定积分定义kxxx)11 (lim1lim(1) xkkxe

2、x（1） 解：原式=xxx1)1sin(lim2121)1)(1sin(lim221xxxx（2）解：原式=。练习题：两个重要极限两个重要极限1sinlim) 1 (0e)11(lim)2(或e)1(lim10注注: 代表相同的表达式11(3)lim (1)e-=-=30tansinlimxxxx30sin (1cos )limcosxxxxx122201lim2xxx（3） 解：原式=等价无穷小替换注意分母中余弦2. 等价无穷小替换定理,0时当 x sin tan ln(1) 1 arctan arcsinxxxxxexxcos1x,221x11nx,1xn常用等价无穷小 :乘除因子可替换，

3、 加减项不可替换xxxx)1212(lim2lim(1)21xxx（4）解：原式=2212122lim(1)21xxxxx1e1221lim ()2122lim(1)21xxxxxx幂指函数的极限2lim()1xxxx第(4)题这种1也可以通过另外一种方法来转化为标准形式。例如：类型,2223112lim(1) 1lim(1) eeexxxxxx221(1)limlim111(1)xxxxxxxxxxxxx)1212(lim2limln(1)21xxxe（4）解：原式2lim()21xxxe1e21ln()21limxxxxe还可以利用对数函数和等价无穷小处理21limln()21xxxxe

4、利用加减拆分为（1+#）形式， 化为标准形式 利用除法 利用对数，结合等价无穷小替换1类型处理的三种方法( )lim ( )v xu x( )ln ( )limv xu xelim ( )lim ( )v xu xlim ( )0,lim ( )u xv x 都存在幂指函数的极限幂指函数的极限1类型不满足条件，不能直接取极限5. 求求.)21 (limsin30 xxx解解:原式3sin0limln(1 2 )xxxe3sin0lim2xxxe6e机动 目录 上页 下页 返回 结束 1关于无穷多个无穷小求和类型三种类型： 直接求和 放缩后利用夹逼准则 利用定积分6 求求222111lim2nn

5、nnnn证证: 利用夹逼准则 .1211222nnnnn22nnn22nn且22limnnnn1lim1nn1lim22nnn211limnn1nnlim1211222nnnn1由 11,1,1 ,01,0 xxxxf xxax a f x0 x 000112limlimlim111xxxxxf xxxx 01,fa f x0 x 0lim0 xf xf11,0.aa 0a f x0 x7. 设当取何值时，在处连续。又 若在点连续，则必有所以当时,在处连续。解利用左右极限0sin001sin)(xxxxaxbxxxf)(lim)(lim00 xfxfxxbbxxxfxx)1sin(lim)(l

6、im001sinlim)(lim00 xxxfxx例.设函数 问(1)ba,)(xf0 x为何值时，在处有极限存在？)(xf0 x在处有极限存在，即要成立。 因为 (2)ba,)(xf0 x为何值时，在处有连续？解1b0 xa)()(lim)(lim000 xfxfxfxxxxafb)0(11 ba0 x1b)(lim)(lim00 xfxfxx所以，当时，有成立，即时，函数在又因为函数在某点处有极限与在该点处是否有定义无关,（2）依函数连续的定义知，函数在某点处连续的充要条件是 于是有，即时函数在处连续。处有极限存在，所以此时可以取任意值。20ln(1)8. limseccosxxxx119

7、. lim1lnxxxx11110. lim1ln(2)xxx求极限： 20ln(1)limseccosxxxx20lim1coscosxxxx(8)解:202lim11 coscosxxxx220lim1sinxxx(9)解: 11lim1lnxxxx1ln1lim(1)lnxxxxxx1ln1 1lim1lnxxxxx 1211lim112xxxx用两次洛比达111lim1ln(2)xxx11111111ln(2)12limlim1(1)ln(2)ln(2)2121limlim(2)ln(2)1(2)ln(2)1111limlim.ln(2) 1 1ln122xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx (10)解: 含变上限积分的极限去掉积分的两种方法： 洛比达法则 中值定理)sin(e2cosxx例例8. 求220(1cos )lim,xexx(cos ,1)x0limxtxtde1cos22x解解:原式0limx00 x2e21洛洛（方法一）（方法二）原式=2122201lim2xexxe120lim1nnxdxx01x1120010,11nnxdxx dxxn（9 ）.求解： 当时，