第二讲 直方图

1、什么是灰度级的直方图呢？什么是灰度级的直方图呢？ 简单地说，灰度级的直方图就是反映简单地说，灰度级的直方图就是反映一幅图像一幅图像中的灰度级与出现这种灰度的概率之间的关系的图中的灰度级与出现这种灰度的概率之间的关系的图形，是图像重要的统计特征。形，是图像重要的统计特征。 灰度直方图是图像的一种统计表达，它反映灰度直方图是图像的一种统计表达，它反映了该图中不同灰度级出现的统计概率。了该图中不同灰度级出现的统计概率。在灰度级中，在灰度级中， r = 0= 0 代表黑，代表黑， r = 1 = 1 代表白。代表白。 n 设变量设变量 r 代表图像中像素灰度级。代表图像中像素灰度级。在图像中，在图像中

2、，像素的灰度级可作归一化处理，这样，像素的灰度级可作归一化处理，这样，r 的值将的值将限定在下述范围之内限定在下述范围之内: :10 r(44)(44) 对于一幅给定的图像来说，每一个像素取对于一幅给定的图像来说，每一个像素取得得00，11区间内的灰度级是随机的，也就是说区间内的灰度级是随机的，也就是说 是一个随机变量是一个随机变量。假定对每一瞬间它们是连。假定对每一瞬间它们是连续的随机变量，那么，就可以用续的随机变量，那么，就可以用概率密度函数概率密度函数 来表示原始图像的灰度分布。来表示原始图像的灰度分布。r)(krrp 为了有利于数字图像处理，必须引入离散形式。为了有利于数字图像处理，必

3、须引入离散形式。在离散形在离散形式下，式下，用用 rk 代表离散灰度级代表离散灰度级，用，用 Pr( (rk) ) 代表代表 pr(r) ，并且，并且有下式成立：有下式成立：121, 010)(lkrnnrPkkkr , , 式中，式中，nk为图像中出现为图像中出现rk 这种灰度的像素数这种灰度的像素数，n 是是图像中像素总数，而图像中像素总数，而 就是概率论中所说的频数就是概率论中所说的频数。在直角坐标系中作出。在直角坐标系中作出 rk 与与Pr(rk) 的关系图形的关系图形，这，这个图形称为个图形称为直方图直方图。nnk 灰度级的直方图灰度级的直方图 我们注意到我们注意到在暗色的图像在暗色

4、的图像中，中，直方图的组成成分集中在灰度直方图的组成成分集中在灰度级低级低的一侧；反之，的一侧；反之，明明亮的图像的亮的图像的直方图的组成成分直方图的组成成分则集中在灰度级高则集中在灰度级高的一的一侧；侧；动态范围小动态范围小，也就是对比，也就是对比度小，这种图像直方图集中于度小，这种图像直方图集中于灰度级的中部；灰度级的中部；动态范围正常动态范围正常的的图像直方图的成分覆盖了灰图像直方图的成分覆盖了灰度级很宽的范围。度级很宽的范围。直观上，若一图像像素占有全直观上，若一图像像素占有全部可能的灰度级并且分布均匀，部可能的灰度级并且分布均匀，则图像有高的对比度和多变的则图像有高的对比度和多变的灰

5、度色调，即，可通过改变直灰度色调，即，可通过改变直方图的形状来达到增强图像对方图的形状来达到增强图像对比度。比度。7直方图修正直方图修正 直方图变换后可使图像的灰度间距拉开或使灰度直方图变换后可使图像的灰度间距拉开或使灰度分布均匀，从而增大对比度，使图像细节清晰，分布均匀，从而增大对比度，使图像细节清晰，达到增强的目的。达到增强的目的。对于离散的图像，用频率来代替概率对于离散的图像，用频率来代替概率 。直方图均衡化直方图均衡化 ( )0, 1, , 1fh fnfL0( )0, 1, , 1fiic fnfL直方图均衡化是一种典型的通过对图像的直方图进行修正来获得图像增强效果的自动方法。图像的

6、灰度直方图灰度直方图是一个1-D的离散函数灰度累积直方图累积直方图也是一个1-D的离散函数 ( )0, 1, , 1fh fnfL直方图均衡化直方图均衡化直方图均衡化主要用于直方图均衡化主要用于增强动态范围偏小的图像增强动态范围偏小的图像的反差。的反差。基本思想是基本思想是把原始图的直方图变换为在整个灰度把原始图的直方图变换为在整个灰度范围内均匀分布的形式，增加了像素灰度值的动范围内均匀分布的形式，增加了像素灰度值的动态范围，从而达到增强图像整体对比度的效果。态范围，从而达到增强图像整体对比度的效果。更一般的（归一化的）概率表达形式：（更一般的（归一化的）概率表达形式：（ nnspkk/)(1

7、,1 , 0Lk11直方图均衡化直方图均衡化把原始图的直方图变换为把原始图的直方图变换为均匀分布的形式均匀分布的形式需要一个需要一个变换函数即变换函数即（1）T单值单增函数。单值单增函数。（2）对）对 应应 ， 有有10Lr1)(0LrT10)(1LssTr直方图均衡化直方图均衡化上面的上面的2 2个条件保证了：个条件保证了： 第第1 1个条件保证个条件保证逆变换存在逆变换存在，且原图像各灰，且原图像各灰度级在变换后仍保持从黑到白的排列次序，防度级在变换后仍保持从黑到白的排列次序，防止变换后的图像出现一些反转的灰度级。止变换后的图像出现一些反转的灰度级。第第2 2个条件保证个条件保证变换前后灰

8、度值动态范围的变换前后灰度值动态范围的一致性一致性，也可以说原图像和变换后图像有着同，也可以说原图像和变换后图像有着同样的灰度级范围。样的灰度级范围。一幅图像的灰度级可视为区间一幅图像的灰度级可视为区间0,L-10,L-1上的随机变上的随机变量，可以证明累积分布函数（量，可以证明累积分布函数（CDFCDF）满足上述）满足上述2 2个个条件并能将条件并能将r中的原始分布转换为中的原始分布转换为s s中的均匀分布中的均匀分布。事实上。事实上r r的的CDFCDF就是原始图像的累计直方图。就是原始图像的累计直方图。直直方图均衡化中方图均衡化中T T：kjkjjjrkknnrprTs00)()(10)

9、(1LksTrkk直方图均衡直方图均衡-流程流程n1. 统计原始图像的直方图统计原始图像的直方图： 其中，其中， 是归一化的输入图像灰度级。是归一化的输入图像灰度级。n2. 计算直方图累积分布曲线计算直方图累积分布曲线n3. 用累积分布函数作变换函数进行图像灰度变换：用累积分布函数作变换函数进行图像灰度变换：根根据计算得到的累积分布函数，建立输入图像与输出图像据计算得到的累积分布函数，建立输入图像与输出图像灰度级之间的对应关系，即重新定位累计分布函数灰度级之间的对应关系，即重新定位累计分布函数 （与归一化灰度等级与归一化灰度等级 比较，寻找最接近的一个作为原比较，寻找最接近的一个作为原灰度级灰

10、度级k变换后的新灰度级）。变换后的新灰度级）。 nnrpkkrkrkjkjjjrkknnrprTs00)()(kskr的pk 例如：例如：假定有一幅像素数为假定有一幅像素数为64646464，灰度级，灰度级为为8 8级的图像，其灰度级分布、级的图像，其灰度级分布、其灰度级直方其灰度级直方图如图如下表、下表、下图所示。下图所示。对其进行均衡化处理，画出均衡化处理之后的对其进行均衡化处理，画出均衡化处理之后的直方图。直方图。 直方图均衡化直方图均衡化rknknnrPkkr)(r0 =07900.19r1=1/710230.25r2=2/78500.21r3=3/76560.16r4=4/73290

11、.08r5=5/72450.06r6=6/71220.03r7=1810.0264646464的图像的图像分布表分布表 18直方图均衡化直方图均衡化20直方图均衡化直方图均衡化：（1）得到变换后的值：）得到变换后的值：19. 0)()(0000iisspsTt44. 025. 019. 0)()(1011iisspsTt65. 021. 025. 019. 0)()(2022iisspsTt81. 03t89. 04t95. 05t98. 06t17t依此类推，即可得到依此类推，即可得到 21直方图均衡化直方图均衡化（2）用式用式 将将 扩展到扩展到 范围内范围内并取整，得并取整，得：(3)将

12、相同值的归并起来将相同值的归并起来, ,得得: : 10t31t52t63t74t5 . 0) 1int(kktLtkt 1, 0L10t31t52t63t64t75t76t77t22直方图均衡化直方图均衡化（4）变换后变换后5个灰度级的像素数个灰度级的像素数 (5) 新灰度级分布新灰度级分布 448,985,850,1023,79043210nnnnn25. 04096/1023)(,19. 04096/790)(10tptptt24. 04096/985)(,21. 04096/850)(32tptptt11. 04096/448)(4tpt直方图均衡直方图均衡-示例示例1Slide 24

13、图像的灰度级分布图像的灰度级分布 k01234567rk01/72/73/74/75/76/71nk790102385065632924512281pr(rk)0.190.250.210.160.080.060.030.02Sk0.190.440.650.810.890.950.981Sk1/73/75/76/76/7111Sk1/73/75/76/71nsk7901023850985448pr(sk)0.190.250.210.240.1125直方图均衡化直方图均衡化 26直方图均衡化直方图均衡化 因为直方图是近似的概率密度函数，所以因为直方图是近似的概率密度函数，所以用离散灰度级作变换时很

14、少能得到完全平坦的用离散灰度级作变换时很少能得到完全平坦的结果。结果。另外，从上例中可以看出变换后的灰度另外，从上例中可以看出变换后的灰度级减少了，这种现象叫做级减少了，这种现象叫做“简并简并”现象。现象。由于由于简并现象的存在，处理后的灰度级总是要减少简并现象的存在，处理后的灰度级总是要减少的。这是像素灰度有限的必然结果。的。这是像素灰度有限的必然结果。由于上述原因由于上述原因，数字图像的直方图均衡只数字图像的直方图均衡只是近似的。是近似的。 产生简并现象的根源是产生简并现象的根源是利用变换公式利用变换公式 求新灰度时，所得到的求新灰度时，所得到的 往往不是允许的灰度往往不是允许的灰度值，这

15、时就要采用舍入的方法求近似值，以便用与值，这时就要采用舍入的方法求近似值，以便用与它最接近的允许灰度来代替它。它最接近的允许灰度来代替它。在舍入的过程中，在舍入的过程中，一些相邻的一些相邻的 值变成了相同的值变成了相同的 值，这就发生了值，这就发生了简并现象，于是也就造成了一些灰度层次的损失。简并现象，于是也就造成了一些灰度层次的损失。那么简并现象如何产生？如何减少呢？那么简并现象如何产生？如何减少呢？)(0jrkjkrPssksksk 减少简并现象的简单方法减少简并现象的简单方法是增加像素的比特数是增加像素的比特数。比如，通常用比如，通常用8bit来代表一个像素，而现在用来代表一个像素，而现

16、在用12bit来表示一个像素，这样就可减少简并现象发来表示一个像素，这样就可减少简并现象发生的机会，从而减少灰度层次的损失。生的机会，从而减少灰度层次的损失。另另外，外，采用灰度间隔放大理论的直方图修正法也可采用灰度间隔放大理论的直方图修正法也可以减少简并现象。以减少简并现象。这种灰度间隔放大可以按照眼睛这种灰度间隔放大可以按照眼睛的对比度灵敏度特性和成像系统的动态范围进行放的对比度灵敏度特性和成像系统的动态范围进行放大。大。 减少简并现象的方法减少简并现象的方法 直方图均衡化处理方法直方图均衡化处理方法是行之有效的增强方法是行之有效的增强方法之一，但是由于它的变换函数采用的是累积分布之一，但

17、是由于它的变换函数采用的是累积分布函数，因此正如前面所证明的那样，它函数，因此正如前面所证明的那样，它只能产生只能产生近似均匀的直方图近似均匀的直方图这样一种结果。这样就必须会这样一种结果。这样就必须会限制它的效能。限制它的效能。4.1.4 4.1.4 直方图规定化处理直方图规定化处理 n 有时需要有时需要具有特定的直方图具有特定的直方图的图像，以便能够的图像，以便能够对图像中的某些灰度级加以增强。对图像中的某些灰度级加以增强。直方图规定化方直方图规定化方法就是针对上述思想提出来的一种直方图修正增强法就是针对上述思想提出来的一种直方图修正增强方法。方法。直方图规定化直方图规定化 假设假设 pr

18、(r ) 是原始图像灰度分布的概率密度函是原始图像灰度分布的概率密度函数，数， pz(z ) 是希望得到的图像的概率密度函数。是希望得到的图像的概率密度函数。如如何建立何建立 pr(r ) 和和 pz(z ) 之间的联系是直方图规定化之间的联系是直方图规定化处理的关键。处理的关键。pzz( )prr( )n 所以，直方图规定化处理的关键思路是寻找一所以，直方图规定化处理的关键思路是寻找一个个 pr(r ) 和和 pz(z ) 间的中介，在间的中介，在 pr(r ) ， pz(z )间搭建间搭建一座桥梁，建立一座桥梁，建立 r 与与 z 的关系。的关系。 首先对原始图像进行直方图均衡化处理，即：

19、首先对原始图像进行直方图均衡化处理，即： kiirrrrpdprTs00)()()(4(416)16) 假定已经得到了所希望的图像，并且它的概率密度函假定已经得到了所希望的图像，并且它的概率密度函数是数是 。 对这幅图像也作均衡化处理，即：对这幅图像也作均衡化处理，即：p zz( )kjjzzzzpdpzGu00)()()(式式 4-2 4-2式式 4-1 4-1因为对于两幅图同样做了均衡化处理，所以因为对于两幅图同样做了均衡化处理，所以 和和 具有同样的均匀密度。具有同样的均匀密度。其中上式的逆过程为：其中上式的逆过程为： p sS( )puu()(1uGz(4(418) 18) 这样，如果

20、用从原始图像中得到的均匀灰这样，如果用从原始图像中得到的均匀灰度级度级 来代替逆过程中的来代替逆过程中的 ，其结果灰度，其结果灰度级将是所要求的概率密度函数级将是所要求的概率密度函数 的灰度的灰度级。级。 su)(zpz)()(11sGuGz根据以上思路，可以总结出直接直方图规定化增强处根据以上思路，可以总结出直接直方图规定化增强处理的步骤如下：理的步骤如下：(1)(1)、用直方图均衡化方法将原始图像作均衡化处理用直方图均衡化方法将原始图像作均衡化处理(2)(2)、规定希望的灰度概率密度函数规定希望的灰度概率密度函数 ，并用式，并用式求得变换函数求得变换函数 ； )(zpz)(uG (3)(3

21、)、将逆变换函数将逆变换函数 用到步骤用到步骤(1)(1)中所得到的中所得到的灰度级。灰度级。（4 4）、）、 这样，就实现了这样，就实现了r r与与z z的映射关系。的映射关系。以上三步得到了原始图像的另一种处理方法。在这种处理方法以上三步得到了原始图像的另一种处理方法。在这种处理方法中得到的新图像的灰度级具有事先规定的概率密度函数。中得到的新图像的灰度级具有事先规定的概率密度函数。)s (Gz1)(1rTGz 原始直方图数据原始直方图数据 规定的直方图数据规定的直方图数据 均衡化处理后的直方图数据均衡化处理后的直方图数据 （1 1）对原始图像进行直方图均衡化映射处理的数）对原始图像进行直方

22、图均衡化映射处理的数 值列于表栏目内。值列于表栏目内。（2 2）利用下式计算变换函数。）利用下式计算变换函数。计算步骤如下：计算步骤如下： uG zpzkkjkzj()()0uG zp zp zjzjz00000000( )( )( ).uG zpzpzpzjzjzz110101000()()()().直方图规定化直方图规定化uG zpzpzpzpzjzjzzz2202012000()()()()(). uG zp zp zp zp zp zjzjzzzz33030123015()()()( )()(). 以此类推求得：以此类推求得： uG zuG zuG zuG z4455667703506

23、50851().().().()（3）用直方图均衡化中的用直方图均衡化中的 sk 进行进行 G 的的反变换求反变换求z 。 zGskk1()这一步实际上是近似过程这一步实际上是近似过程。也就是找出。也就是找出 与与 的最接近的值。例如：的最接近的值。例如：与它最接近的是与它最接近的是 所以可写成所以可写成 用这样方法可得到下列变换值用这样方法可得到下列变换值skG zk()s017014.G z ().3015Gz13015( .)，（4 4）用）用 找出找出 r 与与 z 的映射关系的映射关系 zGT r1 ( )rz03037 rz141747 rz252757 rz363767 rz464767 rz57571 rz67671 rz7711 790737130zs 1023747341zs 850757552zs 985767663zs 4481174zs 结结果果直直方方图图数数据据 （5）根据这样的映射重新分配像素，并用根据