专题0圆锥曲线年高考试题分项版解析

1、x21. 【2014 高考福建卷第 9 题】设 P, Q 分别为 x + (y - 6) = 2 和椭圆+ y = 1上的点，则 P, Q 两点间22210的最大距离是（）46 +2C. 7 +2A. 5 2D. 6 2B.x2y2x2y2卷理第 4 题】若实数 k 满足0 < k < 9 ，则曲线-= 1与曲线-= 1的2. 【2014 高考259 - k25 - k9（）A.离心率相等B.虚半轴长相等C.实半轴长相等D.焦距相等3. 【2014 高考卷理第 9 题】已知 F1 , F2 是椭圆和双曲线的公共焦点， P 是他们的一个公共点，且p,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的

2、最大值为（3ÐF1PF2 =）4 32 3A.B.C.3D.2334. 【2014 高考湖南卷第 15 题】如图 4，正方形 ABCD 和正方形 DEFG 的边长分别为a, b (a < b) ，原点O为 AD 的中点，抛物线 y2 = 2 px( p > 0) 经过C, F 两点，则 b =_.ax2y215. 【2014 江西高考理第 16 题】过点 M (1,1) 作斜率为-的直线与椭圆C ：+= 1(a > b > 0) 相交于a2b22A, B ，若 M 是线段 AB 的中点，则椭圆C 的离心率为.6. 【2014 辽宁高考理第 10 题】已知点 A

3、(-2, 3) 在抛物线 C： y2 = 2 px 的准线上，过点 A 的直线与 C 在第一象限相切于点 B，记 C 的焦点为 F，则直线 BF 的斜率为（）12233443ABCD去），将 k=2 代入(Ä) 得 y=8，即可求出 x=8，故 B（8,8），所以k= 8 - 0 = 4 ，故选 D.BF8 - 23考点：1.直线与抛物线的位置关系；2.斜率公式.x2y27. 【2014 辽宁高考理第 15 题】已知椭圆 C：+= 1，点 M 与 C 的焦点不重合，若 M 关于 C 的焦点94的对称点分别为 A，B，线段 MN 的中点在 C 上，则| AN | + | BN |=.1

4、 高考理第 4 题】已知 F 为双曲线C : x2 - my2 = 3m(m > 0) 的一个焦点，则点 F 到C 的一8. 【2014条渐近线的距离为（）A.3C.3mD. 3mB. 3【考点】1、双曲线的标准方程和简单几何性质；2、点到直线的距离公式1 高考理第 10 题】已知抛物线 C： y2 = 8x 的焦点为 F，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线9. 【2014PF 与 C 得一个焦点，若 PF = 4FQ ，则 QF= （）7252B.3D.2A.C.2 高考理第 10 题】设 F 为抛物线 C: y2 = 3x 的焦点，过 F 且倾斜角为 30°的直线交

5、C 于10.【2014A,B 两点，O 为坐标原点，则OAB 的面积为（）3 349 38633294A.B.C.D.【】D3 (x - 3) ，代入抛物线的方程可得： 4y2 -12 3y - 9 = 0 ，【】由题意可知：直线 AB 的方程为 y =34设 A (x , y ) 、B (x , y ) ，则所求三角形的面积为 1 ´ 3 ´( y + y ) - 4 y y = 9 ，故选 D.1122121 2244【考点】本小题主要考查直线与抛物线的位置关系，考查两点间距离公式等基础知识，考查同学们分析问题与解决问题的能力.y211. 【2014 高考卷理第 14

6、题】设 F1 , F2 分别是椭圆 E : x + b2 = 1(0 < b < 1) 的左、右焦点，过点 F1 的2= 3 BF1 , AF2 x 轴，则椭圆 E 的方程为 直线交椭圆 E 于 A, B 两点，若AF1y212. 【2014 高考北京版理第 11 题】设双曲线C 经过点（2,2），且与- x = 1具有相同渐近线，则C 的24方程为；渐近线方程为.x2y2】-= 1； y = ±2x【312【】【2014 江西高考理第 9 题】在平面直角坐标系中， A, B 分别是 x 轴和 y 轴上的动点，若以 AB 为直径13.的圆C 与直线2x + y - 4 =

7、 0 相切，则圆C 面积的最小值为（）A. 4 pB. 3 pD. 5 pC. (6 - 2 5)p544x2y214. 【2014 山东高考理第 10 题】 已知 a > b > 0 ，椭圆C1 的方程为 a2 + b2 = 1，双曲线C2 的方程为x2a2y23- = 1， C 与C 的离心率之积为，则C 的渐近线方程为（b2122）2A. x ±2 y = 0B. 2x ± y = 0C. x ± 2 y = 0D. 2x ± y = 015. 【2014高考理第 10 题】已知 F 是抛物线 y2 = x 的焦点，点 A ， B 在该

8、抛物线上且位于 x 轴的两侧， OA× OB = 2 （其中O 为坐标原点），则DABO 与DAFO 面积之和的最小值是（）17 2CA 2B 310D8x2y216. 【2014 浙江高考理第 16 题】设直线 x - 3y + m = 0(m ¹ 0) 与双曲线-= 1（ a > b > 0 ）两条渐近a2b2=线分别交于点 A, B ，若点 P(m,0) 满足 PAPB,则该双曲线的离心率是 x2y217. 【2014 重庆高考理第 8 题】设 F1，F2 分别为双曲线 a2 - b2 = 1(a > 0,b > 0) 的左、右焦点，双曲线上存

9、在一点 P 使得| PF | + | PF |= 3b,| PF | × | PF |= 9 ab, 则该双曲线的离心率为（）12124435394A.B.C.D.3x2y2= 1 (a >0)的一条渐近线平行于直线l ：18. 【2014高考理第 5 题】已知双曲线-a20,b >b2y = 2x + 10 ，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为（）x2y2x2y23x23y23x23y2（A）-= 1520（B）-= 1（C）-= 1（D）-= 12052510010025x2y233+ = 1 (a > b > 0) 的左、右焦点为 F1 、F

10、2 ，离心率为19. 【2014 大纲高考理第 6 题】已知椭圆 C：，22ab过 F2 的直线l 交 C 于 A、B 两点，若DAF1B 的4 3 ，则 C 的方程为（）x2y2x2x2y2x2y2A+= 1 32B+ y = 1 32C+= 1 128D+= 1 124= 2 F2 A ，20. 【2014 大纲高考理第 9 题】已知双曲线 C 的离心率为 2，焦点为 F1 、F2 ，点F1 AA 在 C 上，若则cosÐAF2F1 = （）14132423ABCD21. 【2014 高考卷第 19 题】如图，已知两条抛物线 E : y = 2 p x(p > 0)和 E

11、: y2 = 2 p x(p > 0)，2111222过原点O 的两条直线l1 和l2 ， l1 与 E1, E2 分别交于 A1 , A2 两点， l2 与 E1, E2 分别交于 B1 , B2 两点.(1)证明： A1B1 / A2 B2 ;(2)过原点O 作直线l （异于l1 ， l2 ）与 E1, E2 分别交于C1, C2 两点.记DA1B1C1 与DA2 B2C2 的面别为 S1与 S ,求 S1 的值.2S2：（1）证：设直线l1, l2 的方程分别为 y = k1x, y = k2 x (k1, k2 ¹ 0) ，则试题ì y = k x由1

12、0;ö2 p2 p，得 A1,1í1 ç÷，y = 2 p x2k 2kè 11 øî1ì y = k x由1æö2 p2 p，得 A2,2í2 ç÷.y = 2 p x2k 2kè11 øî222. 【2014 高考北京理第 19 题】已知椭圆C ： x2 + 2 y2 = 4 .（1）求椭圆C 的离心率；（2）设O 为原点，若点 A 在椭圆C 上，点 B 在直线 y = 2 上，且OA OB ，试直线 AB 与圆 x2 + y2 =

13、 2的位置关系，并证明你的结论.x2y2试题：（1）由题意椭圆C 的标准方程为+= 1，42所以 a2 = 4 ， b2 = 2 ，从而c2 = a2 - b2 = 4 - 2 = 2，c2所以e =.a2考点：椭圆的性质，直线与圆的位置关系.23. 【2014 高考大纲理第 21 题】已知抛物线 C： y2 = 2 px( p > 0) 的焦点为 F，直线 y = 4 与 y 轴的交点为 P，与 C 的交点为 Q，且| QF |= 5 | PQ | .4（I） 求 C 的方程；（II） 过 F 的直线l 与 C 相交于 A，B 两点，若 AB 的垂直平分线l¢ 与 C 相较于

14、 M，N 两点，且 A，M，B， N 四点在同一圆上，求l 的方程.x2y224. 【2014 高考福建理第 19 题】已知双曲线 E :-= 1(a > 0,b > 0) 的两条渐近线分别为a2b2l1 : y = 2x, l2 : y = -2x .（1）求双曲线 E 的离心率；（2）如图， O 为坐标原点，动直线l 分别交直线l1, l2 于 A, B 两点（ A, B 分别在第一，四象限），且DOAB 的面积恒为 8，试探究：是否存在总与直线l 有且只有一个公共点的双曲线 E ？若存在，求出双曲线 E 的方程；若不存在，说明理由.x2y2若存在满足条件的双曲线 E,则 E

15、的方程只能为-= 1.以下证明:当直线l 不与 x 轴垂直时，双曲线 E：416x2y2- = 1也满足条件.416225. 【2014 高考理第 20 题】已知椭圆C : x2+ y= 1 (a > b > 0) 的一个焦点为(5, 0)，离心率为 5 .a2b23（1） 求椭圆C 的标准方程；（2） 若动点 P ( x0 , y0 ) 为椭圆外一点，且点 P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点 P 的轨迹方程.26. 【2014 高考理第 21 题】在平面直角坐标系 xOy 中，点 M 到点 F (1, 0) 的距离比它到 y 轴的距离多 1，记点 M 的轨迹为C .（1） 求

16、轨迹为C 的方程；（2） 设斜率为 k 的直线l 过定点 p (-2,1) ，求直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点，两个公共点，三个公共点时 k 的相应取值范围.ìD > 011-1 < k < -或0 < k <，22í（iii）若< 0 ，由xî 011即当 k Î(-1 ) U (0, ) 时，直线l 与C1 有两个共点，与C2 有一个公共点.22故当 k Î(-1 ) U (0, ) 时，故此时直线l 与轨迹C 恰有三个公共点.11221综上所述，当 k Î(-¥,-1) U (

17、,+¥) 时直线l 与轨迹C 恰有一个公共点；211当 k Î-1, U-,0) 时，故此时直线l 与轨迹C 恰有两个公共点；2211当 k Î(-1 ) U (0, ) 时，故此时直线l 与轨迹C 恰有三个公共点.22考点：两点间的距离公式，抛物线方程，直线与抛物线的位置关系.x2y2= 1(a > b > 0) 的左右焦点分别为27. 【2014 高考湖南理第 21 题】如图 7, O 为坐标原点,椭圆C1 : a2 + b2x2y23F1, F2 ,离心率为e1 ;双曲线 C2 :- b2 = 1的左右焦点分别为 F , F ,离心率为e ,已知

18、e e =,且1 2 342a22=3 -1 .F2 F4(1)求C1,C2 的方程;(2)过 F1 点作C1 的不垂直于 y 轴的弦 AB , M 为 AB 的中点,当直线OM 与C2 交于 P, Q 两点时,求四边形APBQ 面积的最小值.x2x2】(1)+ y = 1- y = 1 (2) 222【22【】试题分析:(1)利用椭圆和双曲线 a, b, c 之间的以用 a, b 分别表示双曲线和椭圆的离心率和焦点,由题3和2目ee =3 -1 即可得到 a, b 之间的两个方程,联立方程消元即可求出 a, b 的值,得到双曲线F F 1 2 2 4和椭圆的标准方程.(m2 + 2)(n2

19、+ 2)( y)2 - 4 yy - y+ yy2 21+ m2ABABA B2d =,m2 + 4n2 + 4m2 + 42 21+ m2123则四边形 APBQ 面积 S =2d = = 2 2-1+,因为0 < 2 - m £ 2 ,所以当2PQ2 - m22 - m2m2 = 0 时,四边形 APBQ 面积的最小值为2 .【考点】弦长 双曲线 椭圆 最值28. 【2014 高考江苏第 18 题】如图：为保护河上古桥OA ，建一座新桥 BC ，同时设立一个圆形保护要求，新桥 BC 与河岸 AB 垂直；保护区的边界为圆心 M段OA 上并与 BC 相切的圆，且古区，桥两端O

20、和 A 到该圆上任一点的距离均不少于 80 m ，经测量，点 A 位于点O 正北方向 60 m 处，点C 位于点O 正东方向 170 m 处，（ OC 为河岸）， tan ÐBCO = 4 .3（1） 求新桥 BC 的长；（2） 当OM 多长时，圆形保护区的面积最大？试题：【考点】几何的应用，直线方程，直线交点坐标，两点间的距离，点到直线的距离，直线与圆的位置关系.x2y229. 【2014 高考江苏第 17 题】如图在平面直角坐标系 xoy 中， F1, F2 分别是椭圆 a2 + b2 = 1(a > b > 0) 的左右焦点，顶点 B 的坐标是(0, b) ，连接

21、BF2 并延长交椭圆于点 A ，过点 A 作 x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连接 F1C .（1）若点C 的坐标为( 4 , 1) ，且 BF =2 ，求椭圆的方程；23 3（2）若 F1C AB ，求椭圆离心率e 的值.b3bc5由 F1C AB 得 3a2c + c3 × (- c ) = -1，即b = 3a c + c ，(a - c ) = 3a c + c，化简得e =a42242222 245【考点】椭圆标准方程，椭圆离心率，直线与直线的位置关系x2第 20 题】如图，已知双曲线Cn a2 - y = 1(a > 0) 的右焦点 F ,点 A, B 分别在C 的

22、230. 【2014 高考两条渐近线上， AF x 轴， AB OB, BF OA ( O 为坐标原点）.（1）求双曲线C 的方程；（2）过C 上一点 P(x y )( y ¹ 0) 的直线l : x0 x - y y = 1与直线 AF相交于点 M ，与直线 x = 3 相交于200, 00a2MF点 N ，证明点 P 在C 上移动时，恒为定值，并求此定值.NF试题：（1）设 F(c, 0) ，因为b = 1 ，所以c =a2 + 1直线 OB 方程为 y =- 1 x ，直线 BF 的方程为 y = 1 (x - c) ，B( c , -) 22acaa又直线 OA 的方程为 y

23、 = 1 x ，则 A(c, c ), k= 3 .aABaax2331(-) = -1，又因为 AB OB，所以- y2= 1.a2 = 3 ，故双曲线 C 的方程为aa31. 【2014 高考辽宁理第 20 题】圆 x2 + y2 = 4 的切线与 x 轴正半轴，y 轴正半轴围成一个三角形，当该三x2y2角形面积最小时，切点为 P（如图），双曲线C1 : a2 - b2 = 1过点 P 且离心率为 3 .（1）求C1 的方程；（2）椭圆C2 过点 P 且与C1 有相同的焦点，直线l 过C2 的右焦点且与C2 交于 A，B 两点，若以线段 AB 为直径的圆心过点 P，求l 的方程.y23 6

24、3 6】（） x -= 1；() x - (-1) y - 3 = 0 ，或 x + (-1) y - 3 = 0 .2【222【】由题意知ì 22-= 1y2ï2b2a2 = 1,b2 = 2 ，故C 方程为 x2 -= 1.aí12ïîa2 + b2 = 3a2x2y231 第 20 题】已知点 A (0, 2) ,椭圆 E:+= 1(a > b > 0) 的离心率为；F 是椭圆32. 【2014 高考a2b222 3E 的右焦点，直线 AF 的斜率为，O 为坐标原点3（I）求 E 的方程；（II）设过点 A 的动直线l 与 E

25、 相交于 P,Q 两点。当DOPQ 的面积最大时，求l 的直线方程.因为t + 4 ³ 4 ，当且仅当t = 2 时， k =±7 时取等号，且满足D> 0 所以，当4t4S=DOPQt 2 + 4t + 4t2tDOPQ 的面积最大时， l 的方程为 y =7 x - 2 或 y = -7 x - 2 22【考点】1、椭圆的标准方程及简单几何性质；2、弦长公式；3、函数的最值+ y233. 【2014 高考2 第 20 题】设 F , F 分别是椭圆 x2= 1(a > b > 0) 的左右焦点，M 是 C 上一点12a2b2且 MF2 与 x 轴垂直，

26、直线 MF1 与 C 的另一个交点为 N.（）若直线 MN 的斜率为 3 ，求 C 的离心率；4（）若直线 MN 在y 轴上的截距为 2，且 MN= 5 F1N，求 a,b.【考点】本小题考查椭圆的几何意义（离心率的求解）、椭圆的方程、直线与椭圆的位置关系，考查数学中的待定系数法、设而不求思想 ，考查同学们的计算能力以及分析问题、解决问题的能力.圆锥曲线是高考的热点问题,年年必考, 熟练本部分的基础知识是解答好本类问题的关键.34. 【2014 高考山东卷第 21 题】已知抛物线C : y2 = 2 px( p > 0) 的焦点为 F ， A 为C 上异于原点的任意一点，过点 A 的直线

27、l 交C 于另一点 B ，交 x 轴的正半轴于点 D ，且有| FA |=| FD | .当点 A 的横坐标为3 时，DADF 为正三角形.（）求C 的方程；（）若直线l1 / l ，且l1 和C 有且只有一个公共点 E ，（）证明直线 AE 过定点，并求出定点坐标；（） DABE 的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由.（）由（）知，直线 AE 过焦点 F (1, 0) ，由 xD > 0 得 xD = x0 + 2 ，故 D(x0 + 2, 0) ，y2x235. 【2014 高考陕西第 20 题】如图，曲线C 由上半椭圆C1 : a2 + b2 = 1(a

28、 > b > 0, y ³ 0) 和部分抛物线3.2C : y = -x2 +1( y £ 0) 连接而成， C ,C 的公共点为 A, B ，其中 C 的离心率为2121（1）求 a,b 的值；（2）过点 B 的直线l 与C1,C2 分别交于 P, Q （均异于点 A, B ），若 AP AQ ，求直线l 的方程.试题：（1）在C1 方程中，令 y = 0 ，得 A(-b, 0), B(b, 0)在C2 方程中，令 y = 0 ，得 A(-1, 0), B(1, 0)所以b = 1设C 的半焦距为c ，由e = c3及 a2 - c2 = b2 = 1 ，=a

29、 = 22a2所以 a = 2 ， b = 1x2y2第题】若抛物线 y2 =2px 的焦点与椭圆+= 1的右焦点重合，则该抛物线的准9536【2014 高考线方程为.第 22 题】在平面直角坐标系 xoy 中，对于直线l ： ax + by + c = 0 和点37. 【2014 高考Pi (x1, y1 ), P2 (x2 , y2 ), 记h =（ax1 + by1 + c)(ax2 + by2 + c). 若h <0，则称点 P1, P2 被直线l 分隔.若曲线C与直线l 没有公共点，且曲线 C 上存在点 P1，P2 被直线l 分隔，则称直线l 为曲线 C 的一条分隔线. 求证：

30、点 A（1,2），B（-1，0）被直线 x + y -1 = 0 分隔；若直线 y = kx 是曲线 x2 - 4 y2 = 1的分隔线，求实数 k 的取值范围；动点 M 到点Q（0,2）的距离与到 y 轴的距离之积为 1，设点 M 的轨迹为 E，求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是 E 的分割线.而这可利用函数图象直接 y = F (x) 是开口方向向上的二次函数， y = G(x) 是幂函数，其图象一定有交点，因此直线 y = kx 不是 E 的分隔线，过原点的直线还有一条就是 x = 0 ，它显然与曲线 E 无交点，又曲线 E 上两点(-1, 2), (1, 2) 一定在直线 x = 0 两侧，故它是分隔线，结论得证x2y238. 【2014 高考第 16 题】已知椭圆 C：+= 1（ a > b > 0 ）的焦距为 4，其短轴的两个端点与a2b2长轴的一个端点正三角形.（1） 求椭圆C 的标准方程；（2） 设 F 为椭圆 C 的左焦点，T 为直线 x = -3 上任意一点，过 F 作 TF 的垂线交椭圆 C 于点 P，Q.（i）证明：OT 平分线段 PQ（其中 O 为坐标原点）；| TF |（ii）当最小时，求点 T 的坐标.| PQ |【