线性系统的能控性与能观性分析

1、第四章第四章 线性系统的能控性与能观性分析线性系统的能控性与能观性分析通过 与 建立起了间接联系，也有可能能受 支配。 与 有直接联系，可能能支配 的运动； 状态量的引入以及它在系统中的重要地位，有两个问题引起关心： （1）系统能否在合适的控制量作用下从任意的初始状态运动到希望的终止状态。系统的能控性，控制量对系统状态的支配能力。 （2）根据输出量的测量值能否确定出系统的状态值。系统的能观性，输出量对系统状态的测辨能力。 1. 系统能控性和能观性的直观示例系统能控性和能观性的直观示例 示例1：考虑线性系统 11222xxxxu 2xu2x 与 没有联系，不可能支配 的运动；u1x1x11222

2、2xxxxxu 1xu2xu就是 ，所以能够通过 来观测 ；示例2：考虑线性系统 1122152xxxxyx y1x1xy2x2x 与 没有任何联系（直接的或间接的），不能通过 来观测 。yy11222152 xxxxxyx 通过能观测的 与 建立了间接联系 ，有可能能观测2x1xy示例3： 1122212323xxxuRCxxxuRC1x2x12( )( )x tx t 和 完全对称，必有解： 当初始状态 时， 使系统的状态运动到任意的 的目标状态，但不可能运动到 的目标状态；可见，特定条件下的状态量是可以受控制量支配的。 1020( )( )x tx t u12( )( )x tx t12

3、( )( )x tx t示例4： 112221121ooooooRRRxxxuLLLRRRxxxLLyR xR x ( )0u t 时， 和 也是完全对称的，在初始状态 的特定条件下，总有 。这时，虽然每个状态变量都与输出量有联系，但这种联系通过所存在的二条通道相互抵消，从而不能通过输出量来观测状态量。 1x2x1020( )( )x tx t( )0y t 上面的直观示例对能控性、能观性的说明不严密，需要作出较严格的定义，推导出可用的判据。 对于上面系统的指定初始时刻 的非零初始状态 ，如果能找到一个无约束的容许控制 ，使系统状态在有限的时间区间 内在 的作用下运动到终止状态 ，则称该状态在

4、 时刻是能控的，记作 。2 连续系统能控性及其判据连续系统能控性及其判据 2系统能控：一、能控性定义一、能控性定义( )( )tt x = Ax+ Bu1状态能控： 0t00( )txx( ) tu0,ftt()0ftx0 x0tcx线性时变连续系统 ( ) tu 对于上面系统，如果状态空间中所有初始状态 在 时刻都是能控的，则称系统在 时刻是状态完全能控的，简称系统在时刻能控。 00 x0t0t0t0( )0()0ftt 任意uxx（1）将 ，称为 在 能达；fx0t0( )( )0( )ffttt 任意uxxx（2）可以证明，线性连续系统的能控性与能达性是等价的； （3）如上，线性时变连续

5、系统强调了“ 时刻”的能控性，若与初始时刻 无关，则称一致能控。定常系统的能控性与初始时刻 无关，所以不必强调时间，称状态能控或系统能控 。 0t0t二、能控性基本判据二、能控性基本判据1能控子空间：我们着重关心的是能控状态 在状态空间的分布情况。 cx 把状态空间中全体能控状态的集合称为能控子空间 ，它是系统状态空间 的一个线性子空间。 cXX 还存在能控子空间 的正交补空间 ，它也是系统状态空间 的线性子空间，有 cXcXXccX = XX直和 是状态在能控子空间 上的投影向量，为状态的能控分量； 状态空间内的任一向量x都可以表示为在上述两个子空间的投影向量之和，即：ccx = x + x

6、cxcX 是状态在正交补空间 上的投影向量，为状态的不能控分量； cxcX这二个向量正交，它们的内积为零，即： ,0Tcccc xxx x2能控性基本判据：00()(,)(, ) ( ) ( )0ftffcftttttttt dtxxBu 00( , ) ( ) ( )ftctt ttt dt xBu 00( , ) ( ) ( )0ftTTccctt ttt dt x xxBu 矩阵 称为能控性格拉姆（Gram）矩阵，有能控性基本判据的另一种表达形式。 能控性基本判据： 系统在 时刻状态完全能控的充要条件是 维时间函数矩阵 的n个行向量线性无关，其中 。 0tnp0( , ) ( )t tt

7、B 0fttt 0( , ) ( )0Tct tt xB 0000( ,)( , )( )( )( , )ftTTcftt tt tttt t dtGBB 0( ,)cft tG 可以证明，时间函数矩阵 的n个行向量线性无关与下面矩阵非奇异完全等价：0( , ) ( )t ttB 0t0fttt 能控性格拉姆矩阵判据：系统在 时刻状态完全能控的充要条件是能控性格拉姆矩阵 非奇异，其中 。0( ,)cft tG 根据能控性格拉姆矩阵判据，可以求得使一个能控状态 在时间区间 内运动到 的控制量：cx0 ,ft t()0ftx100( )( )( , )( ,)TTcfcttt tt t uBGx

8、各元素全为0， 的行向量组线性无关 Tcx0( , ) ( )t ttB 三、定常系统能控性判据三、定常系统能控性判据上面判据都适用，不再强调“某一时刻”。 x = Ax+ Bu 1代数判据： 0TtceAxB0( , ) ( )0Tct tt xB 定常系统1011( )( )( )0TncntttxB+AB+AB凯莱哈密顿定理 012121( )( )( )0( )ppTnpcnpttttIIIxBABA BABI210TnTcccxBABA BABx Q各元素全为0， 的行向量组线性无关或秩为nTcxcQ21ncQBABA BAB称为线性定常连续系统的能控性矩阵。 代数判据或秩判据：线性

9、定常连续系统状态完全能控的充要条件是系统的能控性矩阵的秩为n，即 21ncrankranknQBABA BAB由代数判据可以证明，引入非奇异线性变换，不改变系统的能控性。 211111111111111 () () nncnncQBABA BABP BP AP P BP APP BP BP ABP ABPBABABP Q1P存在并满秩，所以有： ccrankrankQQ例例43 试判别下面线性定常连续系统的能控性： 142200610117111 xxu解：解： 求得系统的能控性矩阵为22 040 111 11c QBABA B 由计算得到的前三列就可得出 不必再计算出后三列的具体数值。 3c

10、ranknQ通过计算行列式能较方便地判别一个方阵是否满秩。由于 ()TcccrankrankQQ Qn n()TccQ Q 所以，可以计算 维方阵 的行列式来判别能控性矩阵是否满秩 。 线性定常连续系统状态完全能控的充要条件是系统矩阵A的所有特征值 满足： 2PBH秩判据：(1,2, )iin iranknIAB证明略例例44 应用PBH秩判据判别下面系统的能控性 452101u xx解：解： 先求得系统的特征值为： 15 21对于 有 15 1152 151IAB其秩为2； 对于 有212552 111IAB其秩也为2； 满足PBH秩判据条件，所以系统的状态完全能控。 ()rank snIA

11、 rank snIAB一个等价的判据是： 这是因为s域上除特征值外，都有 分别以不同的特征值 代入上式，只有当 时，才能使 3特征值规范型判据 特征值规范形式，控制量与状态量之间的关系是显式的。 对角线规范型判据对角线规范型判据：系统矩阵A为对角阵，且对角线上元素互异时，系统状态完全能控的充要条件是输入矩阵B不存在元素全为0的行。 1122000000nnbbx =x+ub应用PBH秩判据，有： 11220000 00iiiinnbbIAB =b(1,2, )iin0ib(1,2, )in iranknIAB 由于非奇异变换不改变系统的能控性，状态完全能控的充要条件是其对角线规范型 的输入矩阵

12、 不存在元素全为0的行。 ( ,)A B B101 022u -xx系统能控 1） 201 010u xx100020205000385 xx+u100000205000385 xx+u101 012u -xx系统不能控 系统能控系统不能控2） 3） 4） 5） A虽为对角阵，但对角线上元素不互异，不能用上述判据。 实际上，该系统的能控性矩阵为： 1122cQbAb不是满秩阵，系统不能控。 约当规范型判据约当规范型判据1：A为约当阵且不同约当块具有不同对角元素时，系统状态完全能控的充要条件是输入矩阵B的与每个约当块末行对应的行元素不全为0。 以只具有一个约当块的情况来说明： 121000000

13、1000nbbx =x+ub应用PBH秩判据，将系统唯一的n重特征值 代入判别矩阵，有： 12101000010 00010000nnbbIAB =bb0nb ranknIAB只有当时 ，才能使 410 042u xx系统能控 系统不能控 212 020u xx410000040000312000100032 xx+u系统能控1） 2） 3） 约当规范型判据约当规范型判据2：A为约当阵，但不同约当块具有相同对角元素时，系统状态完全能控的充要条件是输入矩阵B的与每个约当块末行对应的那些行彼此线性无关。 以具有2个约当块的情况来说明： 只有当行向量 和 线性无关时，才能使 123451000000

14、0001000010000bbbx =x+ubb应用PBH秩判据，将系统唯一的特征值 代入判别矩阵，有： 123450100000000 000100000100000bbIAB =bbb2b5b ranknIAB310012030000311122100003 xx+u系统不能控 310021030000312101100003 xx+u系统能控 一个对角元素可视为阶次为1的约当块，所以有 1 1 000 1 00 0 121u xx 系统不能控 1） 2） 3） 210010004000022 23100110003174030 xxu系统能控 4） 当A既有相异的对角元素，又有约当块时，

15、可联合应用上述三个判据进行判别。 3 1 00 00 3 00 0 2 10 3 1 xxu 系统能控 1） 如果存在控制作用 ，在有限的时间区间 内，将任一给定的初始输出 推向所规定的任意终点输出 ，则称系统是输出完全能控的，简称系统输出能控。 41000100004301 250071002010120055 xxu系统能控 2） 四、定常系统的输出能控性四、定常系统的输出能控性描述系统的控制量对输出量的支配能力。 ( ) tu0 ,ft t0( )ty()fty当 时 ，有： 输出能控性代数判据输出能控性代数判据：线性定常系统输出完全能控的充要条件是 维输出能控性矩阵 的秩为 ，即 (1

16、)qnpsQq1nsrankrankqQCBCABCABD0D1nscQCBCABCABCQ 当系统状态完全能控即 满秩时，有 ，输出能控性取决于输出矩阵C是否满秩； cQsrankrankQC 当系统状态不完全能控时，输出能控性取决于 的行向量线性相关情况。 cCQ所以，输出能控性与状态能控性之间没有必然联系。 例例410 分析下面系统的状态能控性和输出能控性。 1510201001u xxy =x解：解： 1100cQbAb系统状态不完全能控 1100sQCbCAb系统输出也不完全能控通常，输出不能控对应了系统输入到输出传递关系为0的情况。 11110151( )()1010200ssss

17、s GCIAb =2( )0( )y su s其中不受u的支配，系统输出不完全能控 。2y3 连续系统能观性及其判据连续系统能观性及其判据 系统的能观性用来表示系统输出量对状态量的测辨能力，当研究从能测量的输出量间接获取不能直接测量的状态量的问题时，首先要研究系统是否具备能观性。 一、能观性定义一、能观性定义与系统的输入量无关，令( )( ) ( )( )( ) ( )tttttt x= Axy= Cx( )0t u 1状态能观： 对于上面系统和指定的初始时刻 ，能够根据有限的时间区间 内测量到的输出量 唯一地确定系统任意的非零初始状态 ， 则称该状态 在 时刻是能观的。0t0 ,ft t(

18、) ty00( )txx0 x0t 如果在一个时间区间内，无论状态量如何变化，而输出量始终不变，那么状态是不能观的。于是，可等价地给出状态不能观的定义。 对于上面系统，如果状态空间中所有的非零状态在时刻 都不是不能观的，则称系统在时刻 是状态完全能观的，简称系统在 时刻能观。 对于上面系统和指定的初始时刻 ，如果存在非零初始状态 ，使系统的输出响应在有限的时间区间 内恒为零 ，则称该状态 在 时刻是不能观的，记作 。0t00( )txx0,ftt0( )0 ()ftttt y0 x0tox2状态不能观：3系统能观：0t0t0t 同样，线性时变连续系统强调了“ 时刻”的能观性，若与初始时刻 无关

19、，则称一致能观。定常系统的能观性与初始时刻无关，所以不必强调时间，称状态能观或系统能观 。0t0t引入确定性的外部输入不影响系统状态的能观性。 是状态在不能观子空间 上的投影向量，为状态的不能观分量； 二、能观性基本判据二、能观性基本判据1不能观子空间：系统能观性考察的是状态空间中是否所有的非零状态都能观。 把状态空间中全体不能观状态的集合称为不能观子空间，记作 ， 它是系统状态空间X 的一个线性子空间。oX在状态空间X中还可以得到不能观子空间 的正交补空间，记作 ，它也是系统状态空间X 的线性子空间，同样有oXoXooX = XX 状态空间内的任一向量x都可以表示为在上述两个子空间的投影向量

20、之和，即：oox = x + xoxoX是状态在正交补空间 上的投影向量，为状态的能观分量； oxoX直和 示例4中，只有满足 的状态是不能观的，如图 是不能观子空间， 是不能观子空间的正交补空间。 oX12xx12oxx （）X 直线 上的状态都是不能观的，它们在 上的投影向量为零，在 上的投影向量非零。 oXoX 不位于 直线上的状态点x 在 上的投影向量非零，为 ，在 上的投影向量为 。 可见，由系统的输出测量值所确定的初始状态值是过状态点x与 直线平行的一条直线。即同样的输出测量值对应了无数个初始状态，但是如果要确定距离状态空间原点最近（范数最小）的初始状态，则只有唯一的一个，为 ，位

21、于正交补空间 上。 oXoXoxoXoXoxoXox 可以认为不能观子空间以外的状态都是能观的，在最小范数的意义下，将正交补空间 称为能观子空间，其上的 是能观状态。 oXox2能观性基本判据：上面系统的输出响应可表示为： 00( )( )( , ) ( )ttt ttyCx 由不能观状态 的定义可得： ox0( )( , )0ott tCx 各元素全为0， 的列向量组线性无关ox0( )( , )tt tC 能观性基本判据：系统在 时刻状态完全能观的充要条件是维时间函数矩阵 的 n个列向量线性无关，其中 。0tqn0( )( , )tt tC 0fttt 可以证明，时间函数矩阵 的n个列向量

22、线性无关与下面矩阵非奇异完全等价： 矩阵 称为能观性格拉姆（Gram）矩阵，有能观性基本判据的另一种表达形式。0( )( , )tt tC 0000( ,)( , )( )( )( , )ftTToftt tt tttt t dtGCC 0( ,)oft tG 能观性格拉姆矩阵判据：系统在 时刻状态完全能观的充要条件是能观性格拉姆矩阵 非奇异，其中 。0t0( ,)oft tG0fttt 根据能控性格拉姆矩阵判据，可以出一个能观的初始状态 为：0( )tx010000( )( ,)( , )( )( )ftTTfttt tt ttt dtxGCy 三、能控性与能观性的对偶关系三、能控性与能观性

23、的对偶关系能控性基本判据： 0( , ) ( )t ttB 的n个行向量线性无关 能观性基本判据： 的n个列向量线性无关 0( )( , )tt tC 的n个列向量线性无关 00( , ) ( )( )( , )TTTt tttt tBB 的n个行向量线性无关 00 ( )( ,)( ,)( )TTTtt tt ttCC ( ) tC( )TtB0( , )t t 100( , )( , )TTt tt t 则系统 的能控性等价于的 能观性，系统 的能观性也等价于 的能控性。称满足上述关系的两个系统互为对偶系统。 两个系统1对偶系统：1( )( ):( )ttt x = Ax+ Buy = C

24、x2( )( ):( )TTttt z = Az+Cw = Bz且有： 或100( ,)( ,)Tt tt t 100( ,)( ,)Tt tt t 互为转置逆 1 2 1 2 ( )( )Ttt AA而它们的系统矩阵满足关系：这是因为：对于系统 的状态转移矩阵 应满足：0000( , )( )( , )( , ) t ttt tt tAI 2 0( , )t t 又它与 的关系为：0( , )t t 100( , )( , )Tt tt t 111100000111100000( , ) ( , )( , ) ( , )( , ) ( , ) ( ) ( , )( , )( , ) ( )(

25、 )( , )TTTTTTTddt tt tt tt tt tdtdtt ttt tt tt tttt t AAA所以有：互为对偶系统的框图： 1( )( )( )ttt： x = Ax+ Buy = Cx2( )( )( )TTTttt： z =Az+Cw = Bz2对偶性原理：互为对偶的系统 和 ，它们的能控性和能观性也成对偶关系，即系统 的能控性等价于系统 的能观性，系统的能观性等价于系统 的能控性。 1 2 2 2 1 1 对偶性原理给我们研究系统的能控、能观性带来很大方便。 四、定常系统能观性判据四、定常系统能观性判据2(,)TTT ACB1( ,) A B C2(,)TTTACB

26、对偶系统与能达性等价 1代数判据（或秩判据） ：线性定常连续系统 状态完全能观的充要条件是系统的能观性矩阵的秩为n，即 1onrankranknCCAQCA证明：应用对偶性原理，对偶系统 为：1( ,) A B CTTT z = A z+Cw = B z 2 的能控性矩阵为： 212()()TTTTTTnTcQCA CACAC2 转置秩不变，即 121()TTTTTnTTcnCCAQCA CACCA 可见， 的秩等于n是系统 能控的充要条件，显然也是系统能观的充要条件。将上面矩阵称为线性定常系统 的能观性矩阵，记为 。 2TcQ2 1 oQ1 由代数判据可以证明，引入非奇异线性变换，不改变系统

27、的能控性。111111()onnnnCPCPCCCP P APCAPCACAQPCPP APCAPCACAP为满秩阵，所以有： oorankrankQQ例例413 试判别下列线性定常连续系统的能观性： 142200610117111021110 xxuy =x 同样，可以通过计算 维方阵 的行列式来判别能观性矩阵是否满秩 。 解解 求得系统的能观性矩阵为 20211101193oCQCACA 由计算得到的前三行可得出系统能观的结论，就不必再计算出后面行的具体数值。 n n()TooQ Q2PBH判据： 线性定常连续系统状态完全能观的充要条件是系统矩阵A的所有特征值 满足： (1,2, )iin

28、iranknIAC应用对偶性原理证明。 sranknIAC也有等价的判据：例例414 应用PBH秩判据判别下面系统的能观性：20105201uy xxx解解: 先求得系统的特征值为： 12 25 对于 有 12 1000301IAC，其秩为1； 对于 有 25 2300001IAC，其秩为2； 不满足PBH秩判据条件，系统状态不完全能观。 1 3特征值规范型判据 特征值规范形式，输出量与状态量之间的关系是显式的。 对角线规范型判据：对角线规范型判据： A为对角阵，且对角线上元素互异时，系统状态完全能观的充要条件是输出矩阵C不存在元素全为0的列。 应用对偶性原理，或者应用PBH秩判据很容易证明该

29、判据。 100201y xx x 700020505000385123158 xx+uy =x10011 1y xxx1） 系统不能观 2）3）系统能观1 11 1ocQcA系统不能观 约当规范型判据约当规范型判据1：A为约当阵且不同约当块具有不同对角元素时，系统状态完全能观的充要条件是输出矩阵C的与每个约当块首列对应的列元素不全为0。 应用对偶性原理，或者应用PBH秩判据很容易证明该判据。410 04201uy xxx1 1 00 00 1 11 00 0 10 1300 120 xxu y =x410004000031000300011201 xxy =x1） 系统能观 系统不能观系统能观

30、2）3） 约当规范型判据约当规范型判据2：A为约当阵，但不同约当块具有相同对角元素时，系统状态完全能观的充要条件是输出矩阵C的与每个约当块首列对应的那些列彼此线性无关。 应用对偶性原理或者应用PBH秩判据同样很容易证明该判据。41001204001100411000042212121120 xx+uy =1） 系统能观，C矩阵的第1、3列线性无关40001204000000411000042111201212 xx+uy =2） 系统不能观，C矩阵的第1、3列线性相关 这里把一个对角元素视为阶次为1的约当块 100121022231 03300000140400070100 xxy =3） 系

31、统能观， C矩阵的第1、3、4列线性无关，第5、7列也线性无关 当A既有相异的对角元素，又有约当块时，可联合应用上述三个判据进行判别。 3 1 00 00 3 02 10 0 10 3010001 xxu y =系统能观 1） 01041041251055001001022100200010 xxy =x2） 系统能观4. 线性离散系统的能控性与能观性线性离散系统的能控性与能观性 (1)( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )kkkkkkkkx= Gx+ HuyCx通过l步使任意初始状态x(0)运动到终止的零状态 对于上面系统的指定初始时刻 及任意非零初始状态 ，如果能找到一个无约束的

32、容许控制序列 ，使系统状态在有限的时间区间 内运动到原点 ，则称系统在时刻 是能控的。 1能控性定义：一、能控性一、能控性h0( )h xx( )ku , h l( )0l xh( )ku , h l( )0h x( )ll xxh 与此相对应，也将控制序列 能使系统状态在有限时间区间内从零初始状态 运动到任意指定的非零终止状态 称为系统在 时刻是能达的。 对于线性定常离散系统，能控性与初始时刻无关，所以不再强调“h 时刻”的能控性，而称系统能控。 2定常系统能控性判据（代数判据）：110( )(0)( )kkk iiki xG xGHu110( )(0)( )0lll iili xG xGH

33、u( )0l x 11210(0)( )(1)(2)(1)(0)lll illiill G xGHuHuGHuGHuGHu1(1)(2)(0)(0)lllluuG xHGHGHu即：上式中能对任意的x(0) 求得u(0) 、u(1)、 、u(n-1)，则系统能控。 这是一个从n个非齐次线性方程求解lp个未知量的问题，根据线性方程解的存在理论，必须满足： 11(0)lllrankranknHGHGHHGHGHG x单输入系统，左边矩阵为nl维，右边矩阵为n(l+1)维，当G非奇异时，必须有 ，所以n是离散系统的最小拍控制。而多输入系统，左边矩阵为nlp 维，右边矩阵为n(lp+1) 维，显然可有

34、 。 lnln 当G奇异时,上式成立对于能解出控制序列u(k)只是充分的。 当G非奇异时,上式成立对于能解出控制序列u(k)不仅是充分的，而且必要的。 所以，线性定常离散系统能控性的判据为： （1）G非奇异时,系统状态完全能控的充要条件是：1ncrankrankn HGHGHQG非奇异时,上式成立是系统状态完全能控的充分条件 。（2） G非奇异时,多输入系统l步(ln)状态完全能控的充要条件是：1lrankn HGHGH对于能达性，有：1(1)(2)( )(0)lllluuxHGHGHu称线性定常离散系统的能控性矩阵 cQ线性定常离散系统能达性的判据为：（1）系统状态完全能达的充要条件是：1n

35、rankn HGHGH（2）多输入系统l步(ln)状态能达的充要条件是：1lrankn HGHGHG非奇异时，离散系统的能控性等价于能达性， G奇异时不等价。例例419 判别下面线性定常离散系统的能控性和能达性。 321(1)( )( )642kku k xx解：解： 易知G为奇异矩阵，代入能控性矩阵有 17214cQhGh其秩为1，系统状态不完全能达 不能确定系统的能控性（因为G奇异时，上式只是系统能控的充分条件） 实际上可以找到 ，使系统状态在它的作用下运动到原点 ：12(0)3 (0)2(0)uxx (1)0 x12321(1)(0)( 3 (0)2(0)0642xx xx即系统状态是完

36、全能控的，而且是1步能控。 二、能观性二、能观性1能观性定义： 对于上面系统的指定初始时刻h ,在已知输入向量序列u(k)的情况下，能够根据有限采样区间 内测量到的输出向量序列y(k)，唯一地确定系统任意的非零初始状态 ，则称系统在h时刻是能观的。 , h l0( )h xx 线性定常离散系统，能观性与初始时刻无关，所以不再强调“h时刻”，而称系统能观。 这是qn个方程求解n维未知量 的非齐次线性方程组， 有唯一解的充要条件是下面矩阵满秩 ： 2定常系统能观性判据：( )0t u令 ，系统为：(1)( )( )( )kkkkx= GxyCx( )( )(0)kkkyCxCG x得：n步测量得：

37、01(0)(1)(1)nnyCyCGxyCG0 x0 x1onCCGQCG所以，线性定常离散系统能观性的判据为：线性定常离散系统状态完全能观的充要条件是： 1onrankranknCCGQCG称为线性定常离散系统的能观性矩阵 oQ三、连续系统离散化后的能控性和能观性三、连续系统离散化后的能控性和能观性先看一个关于连续系统离散化后系统能控性、能观性的示例。 例例421 考察下面系统离散化前后的能控性和能观性： 01110001uy xxx解：解： 连续系统的能控性和能观性矩阵分别为： 1001cQbAb系统的状态转移矩阵为： 0110ocQcA满秩，能观 满秩，能控 12211112211cos

38、sin11() 11sincos11tssttsseLsLLssttssAIA离散化后系统的G和h分别为： cossinsincosTTTeTTAG000cossin1cossin()sincos0sincos1TTTttttTe dtdtdttttT Ahb =当 有：离散系统的能控性矩阵和能观性矩阵分别为： 22sin2sincossincos1cossincoscTTTTTTTTQhGh01sincosoTTcQcGdet2sin (cos1)cTTQdetsinoTQ系统的能控性矩阵和能观性矩阵是否满秩，取决于采样周期T 。Tk(1,2,)k detdet0coQQ系统不能控，不能观

39、Tk(1,2,)k 当 ，co和QQ满秩，系统能控，能观连续系统离散化后的离散系统的能控性、能观性与采样周期T 有关。 不加证明地给出如下结论： 对于线性定常连续系统，其对应的离散系统保持能控性和能观性的充要条件是，对满足 Re()0ij,1,2,i jl（）的系统矩阵A的一切特征值，使采样周期T的值满足 2Im()ijkT1, 2,k （） 该结论表示了A的所有实部相等的特征值的虚部与采样周期应满足的关系。对于实数特征值采样周期不受限制。 上例中， A有一对共轭复数特征值 ，离散系统保持能控、能观性的采样周期取值为： 1,2j 22Im()2ijkkTk1, 2,k （）与上面分析结果一致。

40、 值得注意的是，系统矩阵A的所有实部相等的特征值都要按上式限制采样周期，例如某系统有特征值 和 ，则采样周期T的取值应受下列6个式子的限制： 1,23j 3,432 j 21 ( 1)kT 21 2kT21 ( 2)kT 212kT 21 ( 2)kT 22( 2)kT 剔除无意义和重复的式子后，采样周期T的取值应满足： Tk23Tk12Tk(1,2,)k 5 线性定常系统的能控规范型与能观规范型线性定常系统的能控规范型与能观规范型n阶线性定常系统： 或：( )(1)(1)110110nnnnnyaya ya ybubub u11101110( )nnnnnbsbsbg ssasa sa112

41、211012112012110100000100000101nnnnnnnnnxxxxuxxxaaaaxxxybbbbxx 能控规范型： 一、单输入单输出系统一、单输入单输出系统能观规范型： 101021211212111210001000000010001nnnnnnnnnnxaxbxaxbuxaxbxaxbxxyxx1单输入系统的能控规范型（两点结论） ：（1）具有能控规范型形式的单输入线性定常系统一定是状态完全能控的。 系统的能控性矩阵为： 12122112112000010000001011nnnncnnnnaaaaaaa QbAbA bAb这是一个主对角线元素均为1的右下三角阵，显然

42、有 。 cranknQ（2）一个不具能控规范型形式的能控的n阶单输入系统，一定可以通过非奇异变换 化为能控规范型形式，其中变换矩阵P为： xPx121232112311101001000nnnnaaaaaaPppppbAbA bAb12123231231110 1001000nnnnaaaaaaPA= AP= ApApApApAbA bA bA b这是因为：系统能控，其能控性矩阵 满秩。 21ncQbAbA bAbP的n个列向量线性无关， P为非奇异变换矩阵。 1AP AP由 ，有：由凯莱哈密顿定理 及 可得：1110( )0nnnaaaAAAAI =npb211121002122311211

43、2211( ) nnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaApAb+A b+Ab+ A b=A bb=pApAb+A b+ Ab= ppApAb+ A b= ppApAb= pp由P的式子又由 及 可得： 代入上式得： 1230112211123012101210100010000100010 00010001nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaa PA= ApApApAppppppppppppP所以有： 10121010000100001naaaaAP AP =1b = P bnpb12000011nn Pb = b= ppppP所以有： 1001 b = P b = 即

44、在具有上面所示的变换矩阵P的作用下，新状态空间表达式的系统矩阵 和输入矩阵 具有能控规范型形式。 Ab例例422 试判断下面系统的能控性，如能控则将它化为能控规范型。 200104100041110011u xxy =x解：解： 系统的能控性矩阵为21240181416cQbAbA b系统能控，可将它化为能控规范型。 先写出系统的特征多项式： 32200( )041103232004ssssssssIA即： 032a 132a 210a 按上面式子得出变换矩阵P： 12211243210116811001810102101001416100861caaa PQ求出其逆为： 1116811211

45、21028248614320 P分别求得新状态空间表达式的系统矩阵、输入矩阵、输出矩阵为： 11212001681010128204121000144320004861323210A= P AP1121101282004432011 b = P b16811101471210011651861C = CP显然是能控规范型形式。 是矩阵 的n个行向量 （1）取 的最后一行为变换矩阵的逆阵 的第1个行向量 ；还可以按下列方法求得变换矩阵P： 1cQ1P1q（2）求得变换矩阵的逆阵： 1112111nqq A Pq Aq A这是因为，如设非奇异变换矩阵的逆矩阵为 ： 121nqq Pq(1,2, )

46、iinq1P线性变换 将原动态方程化为能控规范型，即 xPx10121010000100001naaaaA= P AP10001 b = P b =及21132211101210 11 21 0100 0010 0001 nnnnnnnnaaaaaaaqq Aqqq AqP AqAqqq Aqqqq即逆矩阵 可表示为： 1112123111nnqqq Aq Pqq Aqq A1P求得 后就可以由上面式子得到非奇异变换矩阵的逆阵 。11121110001n q bq Abb = P b = q A bq Ab又：1110001nc qbAbAbq Q即：由于系统能控，其能控性矩阵 非奇异，于是可

47、得 ： cQ110001cqQ1P1qcQ1q1P即 矩阵的第1个行向量 是能控性矩阵 的逆阵的最后一行。上例中，已求得： 1240181416cQ111241616121018812841416121cQ求得其逆阵为： 111214q则：11121121128244320q Pq Aq A1111424168111221022861180 P得到的变换矩阵P与前面求出的一样，显然变换后得出同样的结果。 2单输出系统的能观规范型：应用对偶性原理，也可以得出两点结论： （1）具有能观规范型形式的单输出线性定常系统一定是状态完全能控的。 （2）一个不具能观规范型形式的能观的n阶单输出系统，一定可以

48、通过非奇异变换 化为能观规范型形式，其中变换矩阵的逆阵 为： xPx1P1121223123111101001000nnnnaaaaaaqcqcAPqcAqcA这是因为：系统能观，其能观性矩阵 满秩， 必非奇异 。oQoQ1P由 ，有：1AP AP11212223113311101001000nnnnaaaaaaq AcAq AcAAP= P A= q AcAq AcA由凯莱哈密顿定理 及 可得：1110( )0nnnaaaAAAAI =nqc2111210021223112112211( ) nnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaq AcA+cA +cA+cA =cAc=qq

49、AcA+cA +cA=qqqAcA+cA =qqq AcA=qq由 的式子1P又由 及 ，可得： 代入上式得：100121112112221111000100000001nnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaq Aqqq AqqqAP=qAqqqq Aqqq01121000100000001nnaaaaAP AP =所以有：c = cPnqc1211001001nnqqcP= c = qPq所以有： 即在具有上面所示的变换矩阵逆阵 的作用下，新状态空间表达式的系统矩阵 和输出矩阵 具有能观规范型形式。001c = cP =1PAc 类似于上面能控规范型，也可以按下列方法求得将一个能观系统

50、变换为能观规范型的变换矩阵P:（1）取 的最后一列为变换矩阵P的第1个列向量 ； 1p（2）变换矩阵为： 211111n PpApA pAp1oQ上述结论利用对偶性原理可直接得出。例例423判断下面系统的能观性，如能观则将它化为能观规范型。 111021112uy xxx解：解： 按第一种方法解，有 11210ocQcA系统能观，可将它化为能观规范型。 211( )3202ssssssIA02a 13a 即：11312131122101011012a cPc1321113022102241312A= P AP1372 122113122 b = P b13110124

51、2 c = cP显然是能观规范型形式。 按另一种方法求解，有 11101122210oQ112p111324 PpAp与第一种方法求得的变换矩阵一样，显然变换后得出同样的结果。二、多输入多输出系统二、多输入多输出系统 单输入系统的能控性矩阵或单输出系统的能观性矩阵都是 维的，在构造变换矩阵时，可方便地直接将它们的n个列向量或行向量线性组合得到。 n n 多输入系统的能控性矩阵为 维，当系统能控时，从 个列向量中选取n个线性无关的列向量的方案有很多种。 ()nn p()n p 同理，一个能观的多输出系统，从 维能观性矩阵的 个行向量中选取 n个线性无关的行向量的方案也有很多种。 ()n qn()

52、n q 因此，多输入多输出系统的能控规范型和能观规范型较之单输入单输出系统在形式上和构造方法上都要复杂得多。 有“列向搜索”和“行向搜索”两种选取n个线性无关向量的方案。 采用“列向搜索”方案得到旺纳姆（Wonham）能控（能观）规范型； 采用“行向搜索”方案得到龙伯格（Luenberger）能控（能观）规范型。6 线性系统的结构分解线性系统的结构分解一、系统能控性、能观性在线性变换下的属性一、系统能控性、能观性在线性变换下的属性（1）非奇异变换下系统的能控性保持不变。 111111111111 () () ncnnrankrankrankrankQP BP AP P BP APP BP BP

53、 ABP ABPBABAB其中 满秩，所以有： 1P1 ncrankrankrankcQBABABQ（2）非奇异变换下系统的能观性保持不变。11111()()()()onnnrankrankrankrankCPCPCCP P APCAPCAQPCP P APCAPCA其中P满秩，所以有： oorankrankQQ讨论不完全能控或不完全能观的系统。 选取合适的非奇异变换，实现系统结构的有效分解。 二、按能控性分解二、按能控性分解21ncrankrankknQBABA BAB设： 表明 中仅有 k个列向量线性无关，取这k个线性无关的列向量 ，再另选取(n-k)个线性无关并与 线性无关的列向量 ，构

54、成非奇异变换矩阵 ，即： cQ12,kp pp12,kp pp12,kknppp11kknPpppp其逆矩阵为： 111kknqqP= Q =qq变换矩阵P及其逆阵Q有如下性质： 因为 ，对于 有（1）0 1, ; 1,2,ijiknjkq pQP = Iij0 ijq p （2） 0 1, ; 1,2,ijiknjkq Ap（3）0 1,iikn q B11111111111111211111111 0kkknknkknkkkkkknkkkkkknnnknknnccqqA= P AP =A ppppqqq Apq Apq Apq Apq Apq Apq Apq ApAAqApqApqApqA

55、pAq Apq Apq Apq Ap所以有：性质21110kkncq Bq BBB = P B =qBq B11kknccC = CP = CpCpCpCpCC性质3 因此，状态不完全能控的系统在上述变换矩阵P的非奇异变换下，使系统实现按能控性的结构分解，即 1200 cccccccccccxxBAAxuxAxxyCCx为k维能控分状态向量， 为(n-k)维不能控分状态向量。 cxcx显式地表示出k维能控子系统： 12cccccccxA xA xB uyC x1 1和(n-k)维不能控子系统： cccccxA xyC x2 2方框图为： 121001001431 11 1uy ：将下列系统按能

56、控性分解 xxx例例4427272014 0002138rankrankrankcQb Ab A b解解：010001130系统不能控，按上述原则构造变换阵 ：P P1301100010 P042114201210010uyccccccxxxx =xxx10421142012uy 其中能控子系统为：ccccxxxx2y 不能控子系统为：cccxxx11042114201210010 AP APbP bccP2维1维 1). 系统的极点集合是由能控子系统的极点集合 和不能控子系统的极点集合 组成。1112112222det()det()detdet() det()0ssssssIAAIAIAIA

57、IAIA 2). P的不唯一性，变换后可有多个结果，但规范表达式的形式是一样的。 3). 一个线性定常系统完全能控的条件是其不能通过一个非奇异矩阵 P 变换成一个这样的规范表达形式。11（的特征值）A22（的特征值）A几个注意点： 表明 中仅有m个行向量线性无关。取这m个线性无关的行向量 ，再另选取(n-m)个线性无关并与 线性无关的行向量 ，构成非奇异变换矩阵的逆阵 ，即三、按能观性分解三、按能观性分解按能观性分解对偶于按能控性分解。 1onrankrankmnCCAQCAoQ12,mq qq12,mq qq12,mmnqqq1P111mmnqqPQqq11mmnPpppp求逆得变换矩阵P：

58、 有对应结论：状态不完全能观的系统在上述变换矩阵P的非奇异变换下，使系统实现按能观性的结构分解，即 2100 oooooooooooxxBAxuxAABxxyCx为m维能控分状态向量， 为(n-m)维不能控分状态向量。oxox显式地表示出m维能观子系统：ooooooxA xB uyC x1 1和(n-m)维不能观子系统：210oooooxA x + A xB uy2 2方框图为： 上述关于按能控性分解的几个注意点也适合按能观性分解。121001001431 11 1uy ：将下列系统按能观性分解 xxx例例44282811123224742rankrankrankocQcAcA解解：11111

59、232001系统不能观，按上述原则构造变换阵的逆阵：P P311210001P111 1121 31101 023 20102102 3 00011430015 3 2 所以有：AP AP1111012320200111 bPb =31111 1 2101 00001ccP得到按能观性分解的表达式： 010123025321100oooooouy xxx =xxxx容易写出2维能观子系统和1维不能观子系统 1）设n维系统有 ，按上面原则构造变换矩阵 ，通过非奇异变换 将原系统按能控性分解成k维能控子系统 ： 四、系统结构的规范分解四、系统结构的规范分解 对于既不能控又不能观的系统,可以先按能控

60、性分解成能控和不能控子系统,然后再分别进行按能观性分解;或者相反。crankknQ1P1xP x12cccccccxA xA xB uyC x1 1和（n-k）维不能控子系统： cccccxA xyC x2 22）设能控子系统的能观性矩阵有 ，按上面原则构造变换矩阵的逆阵 ，通过非奇异变换 将能控子系统变换为： orankmkQ12P2ccxP x1122100cocococo2ccocococcocococoxBxAu+ P A xxBxAAxyCx1 13）设不能控子系统的能观性矩阵有 ，按上面原则构造变换矩阵的逆阵 ，通过非奇异变换 将不能控子系统变换为： oranklnk Q13P3c