统计学第4章 参数估计

1、统计学统计学统计学统计学统计学统计学STATISTICSSTATISTICSSTATISTICS统计学统计学统计学统计学统计学统计学STATISTICSSTATISTICSSTATISTICS4 - 4 - 4 - 2 2 2统计学统计学统计学统计学统计学统计学STATISTICSSTATISTICSSTATISTICS统计学统计学统计学统计学统计学统计学STATISTICSSTATISTICSSTATISTICS4 - 4 - 4 - 4 4 4 估计量估计量：用于估计总体参数的随机变量：用于估计总体参数的随机变量如样本均值，样本比率、样本方差等如样本均值，样本比率、样本方差等例例: : 样

2、本均值就是总体均值的一个估计量样本均值就是总体均值的一个估计量 总体参数用总体参数用 表示，估计量表示，估计量用用 表示表示 估计值估计值：估计参数时计算出来的统计量的具：估计参数时计算出来的统计量的具体值体值如果样本均值如果样本均值 x x =80 =80，则，则8080就是就是的估计值的估计值统计学统计学统计学统计学统计学统计学STATISTICSSTATISTICSSTATISTICS4 - 4 - 4 - 5 5 5用某一样本统计量的值来估计相应总体参用某一样本统计量的值来估计相应总体参数的值叫总体参数的数的值叫总体参数的点估计点估计。以样本统计量的抽样分布（概率分布）以样本统计量的抽

3、样分布（概率分布）为理论依据，按一定概率要求，由样本为理论依据，按一定概率要求，由样本统计量的值估计总体参数值的所在范围，统计量的值估计总体参数值的所在范围，称为总体参数的称为总体参数的区间估计区间估计。统计学统计学统计学统计学统计学统计学STATISTICSSTATISTICSSTATISTICS4 - 4 - 4 - 6 6 6统计学统计学统计学统计学统计学统计学STATISTICSSTATISTICSSTATISTICS4 - 4 - 4 - 7 7 7统计学统计学统计学统计学统计学统计学STATISTICSSTATISTICSSTATISTICS4 - 4 - 4 - 8 8 8为了考

4、察师大男生的身高状况，随机抽测为了考察师大男生的身高状况，随机抽测50人得到人得到 cm5S,cm170 x试估计师大男生的平均身高和标准差。试估计师大男生的平均身高和标准差。 解：解： 师大男生平均身高的估计值是170cm，但其真正的平均身高是否就是170cm? 未必就是，这里面存在误差。那么这种误差误差是如何处理呢？ 点估计值仅仅是未知参数的一个近似值，它没有点估计值仅仅是未知参数的一个近似值，它没有反映出这个近似值的误差范围，使用起来把握不反映出这个近似值的误差范围，使用起来把握不大。区间估计正好弥补了点估计的这个缺陷大。区间估计正好弥补了点估计的这个缺陷统计学统计学统计学统计学统计学统

5、计学STATISTICSSTATISTICSSTATISTICS4 - 4 - 4 - 9 9 9) , (211212nXXX,2121,2121,统计学统计学统计学统计学统计学统计学STATISTICSSTATISTICSSTATISTICS4 - 4 - 4 - 101010 譬如，在估计湖中鱼数的问题中，若我们譬如，在估计湖中鱼数的问题中，若我们根据一个实际样本，得到鱼数根据一个实际样本，得到鱼数 N 的估计量为的估计量为1000条。条。 若我们能给出一个区间（若我们能给出一个区间（950，1050），），在此区间内我们合理地相信在此区间内我们合理地相信 N 的真值位于其的真值位于其中

6、，中， 这样对鱼数的估计就有把握多了。这样对鱼数的估计就有把握多了。 实际上，实际上，N的真值可能大于的真值可能大于1000条，也可条，也可能小于能小于1000条。条。问题就在于：这个问题就在于：这个1000的估计值可能的估计值可能在区间（在区间（950，1050）内，也可能不在内，也可能不在统计学统计学统计学统计学统计学统计学STATISTICSSTATISTICSSTATISTICS4 - 4 - 4 - 111111区间估计的思想区间估计的思想 点估计总是有误差的，但没有衡量偏差程度的量，点估计总是有误差的，但没有衡量偏差程度的量，区间估计则是按一定的可靠性程度对待估参数给出一区间估计则

7、是按一定的可靠性程度对待估参数给出一个个区间范围。区间范围。引例引例 设某厂生产的灯泡使用寿命设某厂生产的灯泡使用寿命XN（ ，1002），现），现随机抽取随机抽取5只，测量其寿命如下：只，测量其寿命如下：1455，1502，1370，1610，1430，则该厂灯泡的平均使用寿命的点估计值为，则该厂灯泡的平均使用寿命的点估计值为4 .14731430161013701502145551x统计学统计学统计学统计学统计学统计学STATISTICSSTATISTICSSTATISTICS4 - 4 - 4 - 121212可以认为该种灯泡的使用寿命在可以认为该种灯泡的使用寿命在1473.4个单位时间

8、左右，个单位时间左右，但范围有多大呢？又有多大的可能性在这但范围有多大呢？又有多大的可能性在这“左右左右”呢？呢？如果要求有如果要求有95%的把握判断的把握判断 在在1473.4左右，则由左右，则由Z统计统计量可知量可知由由查表得查表得 95. 0anXP 95. 0aa96. 1anXnX96. 196. 1aa1面积？统计学统计学统计学统计学统计学统计学STATISTICSSTATISTICSSTATISTICS4 - 4 - 4 - 131313统计学统计学统计学统计学统计学统计学STATISTICSSTATISTICSSTATISTICS4 - 4 - 4 - 141414设 是一个待

9、估计的参数，是一给定的数， ( 0 1)若能找到两个统计量使得则称随机区间为参数 的置信度为1 - 的置信区间，分别称 为置信下限与置信上限，1 - 称为置信水平或置信度 置信区间的定义置信区间的定义nnXXXXXX,212211，121P21,21,2z2z统计学统计学统计学统计学统计学统计学STATISTICSSTATISTICSSTATISTICS4 - 4 - 4 - 151515统计学统计学统计学统计学统计学统计学STATISTICSSTATISTICSSTATISTICS4 - 4 - 4 - 161616这个概率不是用来描述某个特这个概率不是用来描述某个特定的区间包含总体参数真值

10、的定的区间包含总体参数真值的可能性，而是指在多次抽样得可能性，而是指在多次抽样得到的区间中大概有多少个区间到的区间中大概有多少个区间包含了总体参数的真值包含了总体参数的真值统计学统计学统计学统计学统计学统计学STATISTICSSTATISTICSSTATISTICS4 - 4 - 4 - 171717总体参数的真值是固定的、未知的，总体参数的真值是固定的、未知的，而用不同样本构造的区间是不固定而用不同样本构造的区间是不固定的，因此，置信区间是一个的，因此，置信区间是一个随机区随机区间间，它会因样本的不同而不同，它会因样本的不同而不同统计学统计学统计学统计学统计学统计学STATISTICSST

11、ATISTICSSTATISTICS4 - 4 - 4 - 181818统计学统计学统计学统计学统计学统计学STATISTICSSTATISTICSSTATISTICS4 - 4 - 4 - 191919统计学统计学统计学统计学统计学统计学STATISTICSSTATISTICSSTATISTICS4 - 4 - 4 - 202020要点统计学统计学统计学统计学统计学统计学STATISTICSSTATISTICSSTATISTICS4 - 4 - 4 - 212121 4.2 4.2 点估计的评价标准点估计的评价标准 对于同一个未知参数对于同一个未知参数, ,不同的方法得到的不同的方法得到的估

12、计量可能不同估计量可能不同, ,于是提出问题于是提出问题应该选用哪一种估计量应该选用哪一种估计量? ?用何标准来评价一个估计量的好坏用何标准来评价一个估计量的好坏? ?常用常用标准标准(1) 无偏性无偏性(3) 一致性一致性(2) 有效性有效性统计学统计学统计学统计学统计学统计学STATISTICSSTATISTICSSTATISTICS4 - 4 - 4 - 222222)(E若 则称是 的无偏估计量. 无偏性无偏性定义定义我们不可能要求每一次由样本得到的我们不可能要求每一次由样本得到的估计值与真值都相等，但可以要求这些估计值的期望与真值相等.定义的合理性统计学统计学统计学统计学统计学统计学

13、STATISTICSSTATISTICSSTATISTICS4 - 4 - 4 - 232323抽样分布抽样分布中，样本中，样本均值、比均值、比率、方差率、方差分别是总分别是总体均值、体均值、比率、方比率、方差的无偏差的无偏估计量估计量统计学统计学统计学统计学统计学统计学STATISTICSSTATISTICSSTATISTICS4 - 4 - 4 - 242424无偏估计量还无偏估计量还必须与总体参必须与总体参数的离散程度数的离散程度比较小比较小统计学统计学统计学统计学统计学统计学STATISTICSSTATISTICSSTATISTICS4 - 4 - 4 - 252525),(2111n

14、XXX都是总体参数 的无偏估计量, 且)()(21DD则称 比 更有效.12定义定义 设有效性有效性),(2122nXXX统计学统计学统计学统计学统计学统计学STATISTICSSTATISTICSSTATISTICS4 - 4 - 4 - 262626统计学统计学统计学统计学统计学统计学STATISTICSSTATISTICSSTATISTICS统计学统计学统计学统计学统计学统计学STATISTICSSTATISTICSSTATISTICS4 - 4 - 4 - 282828统计学统计学统计学统计学统计学统计学STATISTICSSTATISTICSSTATISTICS4 - 4 - 4 -

15、 292929此条件下小样本总体也适用此条件下小样本总体也适用统计学统计学统计学统计学统计学统计学STATISTICSSTATISTICSSTATISTICS4 - 4 - 4 - 303030112.5101.0103.0102.0100.5102.6107.5 95.0108.8115.6100.0123.5102.0101.6102.2116.6 95.4 97.8108.6105.0136.8102.8101.5 98.4 93.3统计学统计学统计学统计学统计学统计学STATISTICSSTATISTICSSTATISTICS4 - 4 - 4 - 313131统计学统计学统计学统计学

16、统计学统计学STATISTICSSTATISTICSSTATISTICS4 - 4 - 4 - 323232233539273644364246433133425345544724342839364440394938344850343945484532统计学统计学统计学统计学统计学统计学STATISTICSSTATISTICSSTATISTICS4 - 4 - 4 - 333333统计学统计学统计学统计学统计学统计学STATISTICSSTATISTICSSTATISTICS4 - 4 - 4 - 343434统计学统计学统计学统计学统计学统计学STATISTICSSTATISTICSSTAT

17、ISTICS4 - 4 - 4 - 353535统计学统计学统计学统计学统计学统计学STATISTICSSTATISTICSSTATISTICS4 - 4 - 4 - 363636 某厂生产的零件长度某厂生产的零件长度 X 服从服从 N( , 0.04),现从该厂生产的零件中随机抽取现从该厂生产的零件中随机抽取6个，个，长度测量值如下长度测量值如下(单位：毫米单位：毫米)： 14.6, 15.l, 14.9, 14.8, 15.2, 15.1.求：求： 的置信系数为的置信系数为0.95的区间估计。的区间估计。统计学统计学统计学统计学统计学统计学STATISTICSSTATISTICSSTATI

18、STICS4 - 4 - 4 - 373737解：解：n = 6， = 0.05，z /2 = z0.025 = 1.96， 2=0.22 .所求置信区间为所求置信区间为,95.14 X通过计算，得. 11.15 ,79.14 ,22znXznX统计学统计学统计学统计学统计学统计学STATISTICSSTATISTICSSTATISTICS4 - 4 - 4 - 383838注意自由度注意自由度统计学统计学统计学统计学统计学统计学STATISTICSSTATISTICSSTATISTICS4 - 4 - 4 - 393939统计学统计学统计学统计学统计学统计学STATISTICSSTATIST

19、ICSSTATISTICS4 - 4 - 4 - 4040401510152014801500145014801510152014801490153015101460146014701470统计学统计学统计学统计学统计学统计学STATISTICSSTATISTICSSTATISTICS4 - 4 - 4 - 414141统计学统计学统计学统计学统计学统计学STATISTICSSTATISTICSSTATISTICS4 - 4 - 4 - 424242统计学统计学统计学统计学统计学统计学STATISTICSSTATISTICSSTATISTICS4 - 4 - 4 - 434343统计学统计学统

20、计学统计学统计学统计学STATISTICSSTATISTICSSTATISTICS4 - 4 - 4 - 444444统计学统计学统计学统计学统计学统计学STATISTICSSTATISTICSSTATISTICS4 - 4 - 4 - 454545解解: n=10, =0.05, t9 (0.025)=2.2622,2415. 0 ,0583. 0 ,05.10 2SSX经经计计算算，得得的的置置信信区区间间。的的置置信信系系数数为为为为， 0.95 10.22 9.87 2.2622100.241510.05 2.2622100.241510.05)2/( ),2/( 11nntnSXtn

21、SX统计学统计学统计学统计学统计学统计学STATISTICSSTATISTICSSTATISTICS4 - 4 - 4 - 464646参看参看P108统计学统计学统计学统计学统计学统计学STATISTICSSTATISTICSSTATISTICS4 - 4 - 4 - 474747统计学统计学统计学统计学统计学统计学STATISTICSSTATISTICSSTATISTICS4 - 4 - 4 - 484848统计学统计学统计学统计学统计学统计学STATISTICSSTATISTICSSTATISTICS4 - 4 - 4 - 494949统计学统计学统计学统计学统计学统计学STATISTI

22、CSSTATISTICSSTATISTICS4 - 4 - 4 - 505050参看参看P108统计学统计学统计学统计学统计学统计学STATISTICSSTATISTICSSTATISTICS4 - 4 - 4 - 515151统计学统计学统计学统计学统计学统计学STATISTICSSTATISTICSSTATISTICS4 - 4 - 4 - 525252112.5101.0103.0102.0100.5102.6107.5 95.0108.8115.6100.0123.5102.0101.6102.2116.6 95.4 97.8108.6105.0136.8102.8101.5 98.4

23、 93.3统计学统计学统计学统计学统计学统计学STATISTICSSTATISTICSSTATISTICS4 - 4 - 4 - 535353401.12)24() 1(2975. 0212n364.39)24() 1(2025. 022n统计学统计学统计学统计学统计学统计学STATISTICSSTATISTICSSTATISTICS4 - 4 - 4 - 545454有一大批糖果，现从中随机地抽取有一大批糖果，现从中随机地抽取16袋袋 , 称得称得重量重量(以克计以克计)如下如下:506 508 499 503 504 510 497 512 514 505 493 496 506 502

24、509 496设袋装糖果的重量近似地服从正态分布，试求设袋装糖果的重量近似地服从正态分布，试求总体标准差总体标准差的置信水平的置信水平0.95为的置信区间。为的置信区间。S=6.2022统计学统计学统计学统计学统计学统计学STATISTICSSTATISTICSSTATISTICS4 - 4 - 4 - 555555解：这里解：这里20.025,120.975,115,n20.025(15)27.488, 20.975(15)6.262. 16211()6.2022 .15iisxx 2221211(,)(1)(1)nSnSnn 于是得到于是得到的的置信水平为置信水平为0.95的置信区间为的置

25、信区间为(4.58,9.60).统计学统计学统计学统计学统计学统计学STATISTICSSTATISTICSSTATISTICS4 - 4 - 4 - 565656统计学统计学统计学统计学统计学统计学STATISTICSSTATISTICSSTATISTICS4 - 4 - 4 - 575757解：解：n=10, = 0.05, S2=0.0583, 查附表得查附表得， .023.19)025. 0()2/( ,70. 2)975. 0()2/1 ( 29212921nn 0.194 0.028 2.70.05839 ,19.0230.05839 ) 2/1 () 1( ,) 2/() 1( 212212，nnSnSn于是，的的区区间间估估计计。的的置置信信水水平平为为为为 1 2统计学统计学统计学统计学统计学统计学STATISTICSSTATISTICSSTATISTICS统计学统计学统计学统计学统计学统计学STATISTICSSTATISTICSSTATISTICS4 - 4 - 4 - 595959统计学统计学统计学统计学统计学统计学STATISTICSSTATISTICSSTATISTICS4 - 4 - 4 - 606060统计学统计学统计学统计学统计学统计学STATISTICSSTATISTICSSTATISTICS4