高考第一轮温习数学：7.6直线与圆的位置关系

1、百度文库让每个人平等地提升自我直线与圆的位置关系知识梳理直线和圆1 .直线和圆位置关系的判定方式一是方程的观点，即把圆的方程和直线的方程联立成方程组，利用判别式4来讨论位置关系.4>0,直线和圆相交.4=0,直线和圆相切.4V0,直线和圆相离.方式二是几何的观点，即把圆心到直线的距离d和半径R的大小加以比较.dVR,直线和圆相交.心R直线和圆相切.>R,直线和圆相离.2 .直线和圆相切，这种问题主如果求圆的切线方程.求圆的切线方程主要可分为已知斜率k或已知直线上一点两种情况，算了知直线上一点又可分为已知圆上一点和圆外一点两种情况.3 .直线和圆相交，这种问题主如果求弦长和弦的中点问

2、题.点击双基1.（2005年北京海淀区期末练习题）设心0,则直线及（x+y）+1+?=0与圆产+尸加的位置关系为B.相交D.相交或相切A.相切C.相切或相离解析：圆心到直线的距离为人二丝，圆半径为曲.2V</-/-=+，U-Jm=+1）="（-Jm1）222直线与圆的位置关系是相切或相离.答案：c2.圆产+产一4计4.¥+6=0截直线1一厂5=0所得的弦长等于A.显解析:圆心到直线的距离为一 2，半径为血，弦长为2（拉）2-（耳）2 =".3答案：A3.（2004年全国卷川，4）圆+产一440在点p（L括）处的切线方程为+ >/3 y2=0+y/3y4

3、=0S y+2=0>/3y+4=0解法一：x2+y24x=Ov=Hk+Q=./4x+(kxk+6)2=0.该二次方程应有两相等实根，即4=0,解得女=、Ay6=(x1),即X>/3y+2=0.3解法二：;点(1,6)在圆炉+)，2一4=0上，点尸为切点，从而圆心与P的连线应与切线垂直.又丁圆心为(2,0),-k=.2-1解得k=史，.切线方程为X-V3,y+2=0.答案：D4.(2004年上海，理8)圆心在直线2x-y-7=O上的圆(7与丁轴交于两点A(0,4)、B(0,-2),则圆C的方程为.解析：圆。与y轴交于A(0,-4),B(0,-2),.由垂径定理得圆心在产一3这条直线上

4、.又已知圆心在直线2x-y-l=0上，联立7n解得户2,2xy-/=(j.,圆心为(2,3),半径=IACI=j22+-3-()2=y5.所求圆。的方程为(X2)2+("3)2=5.答案：(X-2)2+(y+3)2=55.若直线,v=x+k与曲线X=J1-/恰有一个公共点，则k的取值范围是.解析：利用数形结合.答案：-1VLW1或匕:一四典例剖析【例1】已知圆/+产”-6声9=0和直线A+2y-3=0交于P、Q两点，且。尸_L。(O为坐标原点)，求该圆的圆心坐标及半径.剖析：由于。尸_LOQ,所以如夕&o°=1,问题可解.解：将x=3-2y代入方程F+V+x6y+?

5、=0,得5y220)h-12+/?=0.设P(xi,yi)、Q(xz,y2)»则yi、”知足条件彳12+wyi+V2=4,yiy2=-J;OP±OQ,/.AiX2+yi)?2=0.而©=3-2yi，x2=3-2y2>/xiX2=9-6(yi+>'2)+4yjy2./.m=3t此时,>。,圆心坐标为(一!»,3)半径r=*.22评述：在解答中，咱们采用了对直线与圆的交点“设而不求”的解法技能，但必需注意这样的交点是不是存在，这可由判别式大于零帮忙考虑.【例2】求通过两圆(x+3)2+卡=13和始+(y+3)2=37的交点，且圆心在

6、直线1一歹一4=0上的圆的方程.剖析：按照已知，可通过解方程组I7x+3)2+y2=13tjt+(y+3)2=37得圆上两点，由圆心在直线x-y4=0上，三个独立条件，用待定系数法求出圆的方程；也可按照已知，设所求圆的方程为(x+3)2+-13+4，+(y+3)237=0,再由圆心在直线x厂4H)上，定出参数人得圆方程.解：因为所求的圆通过两圆(x+3)4),2=13和9+()，+3)2=37的交点，所以设所求圆的方程为(x+3)2+y2-13+4f+(v+3)2-37=0.展开、配方、整理，得时急)三管十次aa)圆心为(一一-,一),代入方程x一厂4=0,得人=-7.I+AI+A1 7X9故

7、所求圆的方程为G+已)2+(V+-)2=.2 -22评述：圆Ci：x2+y2+Dx+Ey+F=0t圆C2：x1+yi2+D2x+Eiy+F2=0»若圆C】、。2相交，那么过两圆公共点的圆系方程为(/+)2+。1工+£¥+人)+八(.F+V+Op+Eiv+B)=0(，l£R且人工一1).它表示除圆C2之外的所有通过两圆G、C2公共点的圆.特别提示在过两圆公共点的图象方程中，若4=一1，可得两圆公共弦所在的直线方程.【例3】已知圆C：(X1)2+(>*2)2=25>直线/：(2/n+l)x+(m+1)y7;n4=0(/nER).(1)证明：不论，

8、取什么实数，直线/与圆恒交于两点：(2)求直线被圆C截得的弦长最小时,的方程.剖析：直线过定点，而该定点在圆内，此题即可解得.(1)证明：/的方程(x+y4)+m(2x+y7)=0.出+y7=0,G=3,，£R，1什厂4:。，得七日，即/恒过定点A(3,1).:圆心C(1,2),MeI=V5<5(半径)，.点A在圆。内，从而直线/恒与圆。相交于两点.(2)解：弦长最小时，/_LAC,由依c=-l，2.*./的方程为2xy5=0.评述：若定点A在圆外，要使直线与圆相交则需要什么条件呢？思考讨论-_求直线过定点，你还有别的办法吗?闯关训练夯实基础L若圆G-3)解析：由 my-Gx-

9、Zy-lSW,得(x-3) 2+ (y-1) 2=25.知圆心为(3, 1), r=5.由点(3, 1)到直线x+2)=0的距离人上m二石.可得?弦长为2通，弦长为4答案：4755.自点A (3, 3)发出的光线/射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在的直线与 圆炉+炉一以一4)，+7=0相切，求光线/所在直线的方程.解：圆(x-2) 2+ (厂2) 2=1关于x轴的对称方程是(x-2) 24- (y+2) 2=1,+(y+5)?=户上有且只有两个点到直线4*-3)=2的距离等于1,则半径，的范围是A.(4,6)B.4,6)C.(4,6D.4,6解析：数形结合法解.答案：A2. (2003年春

10、天北京)己知直线"x+y+c=0(MkWO)与圆片+2=1相切，则三条边长别离为IaI、IbI、1cI的三角形A.是锐角三角形B.是直角三角形C.是钝角三角形D.不存在解析：由题意得七=1=1,即/=加+科工由I”、|/川、屋|组成的三角形为直角三角形.答案：B3. (2005年春天北京，11)若圆,F+F+,几X5=0与直线)一-1相切，且其圆心在y釉4的左侧，则，的值为.解析：圆方程配方得(x+t)4)2='二1,圆心为(一3,0).242由条件知一'<0，即m>0.2又圆与直线y=-1相切，则。一(-1)=, 即12=3,:. 1=6答案：V34.

11、(2004年福建，13)直线x+2.v=0被曲线15=0所截得的弦长等于百度文库让每个人平等地提升自我设/方程为丁一3=（x+3）,由于对称圆心（2,2）至心距离为圆的半径1,从而可3 4得1=一，依=一式.故所求/的方程是3x+4y3=0或4x+3y+3=0.4 36.已知M（孙y0）是圆小+2:户（/>0）内异于圆心的一点，则直线x（xr+yo尸之与此圆有何种位置关系？分析：比较圆心到直线的距离与圆半径的大小.2解：圆心O（0,0）到直线皿¥+）妙=/的距离为"=.,:.VP（Xo，yo）在圆内，yjx：+y：<r.则有小心故直线和圆相离.培育能力7.方程,

12、后+«2-4（“一1）升4尸0表示圆，求的取值范围，并求出其中半径最小的圆的方程.解：（1）.“H0时，方程为b也二U2+2=乜"+2）oacr由于a2-2a+2>0恒成立，且时方程表示圆.、,cr2a+2r11)1n(2)厂=4刀=402(-Y+-a22.a=2时，rmin2=2.此时圆的方程为（X1）2+（y1）2=2.8.（文）求通过点A（-2,-4）,且与直线/：x+3y26=0相切于（8,6）的圆的方程.解：设圆为r+V+Ox+Ev+FR，依题意有方程组（3D-E=-36,2D+4E-F=20,8D+6E+F=-100.p）=-11：.<E=3,|f=

13、30.二圆的方程为x2+y21l.v+3y30=0.（理）已知点P是圆1+y2=4上一动点，定点。（4,0）.（1）求线段PQ中点的轨迹方程；（2）设NP。的平分线交PQ于R,求R点的轨迹方程.解：（1）设PQ中点M（x,>，），则P（214,2y）,代入圆的方程得（x-2）2+y2=l.(2)设 R (a-, y),IP/? I OP 1I I 1_ _IRQI - IOQ|"3设尸（?，），则有百度文库让每个人平等地提升自我，3x4m=，上-2代入/+产=4中，得+y2=(产0).(X-)2.3探讨创新9.已知点尸到两个定点M(1,O)、N(1,0)距离的比为、历，点N到直

14、线PM的距离为1，求直线PN的方程.解：设点P的坐标为a,V),由题设有TPN即J(x+1)2+),=&,yl(x-l)2+y2,整理得小+)26x+l=0.因为点N到PM的距离为1,IMM=2,所以NPA/V=30°,直线PM的斜率为±£3直线尸M的方程为产土包(x+1).将代入整理得储-4x+l=0.解得ai=2+M,X2=2-.代入得点P的坐标为(2+途，1+退)或(2-的，-1+V3)；(2+V3,-1-V3)或(26»1途).直线PN的方程为广氏一1或产一x+L思悟小结1 .直线和圆的位置关系有且仅有三种：相离、相切、相交.判定方式有两

15、个：几何法，比较圆心到直线的距离与圆的半径间的大小：代数法，看直线与圆的方程联立所得方程组的解的个数.2 .解决直线与圆的位置关系的有关问题，往往充分利用平面几何中圆的性质使问题简化.教师下载中心教学点睛L有关直线和圆的位置关系，一般要用圆心到直线的距离与半径的大小来肯定.3 .当直线和圆相切时，求切线方程一般要用圆心到直线的距离等于半径，求切线长一般要用切线、半径及圆外点与圆心连线组成的直角三角形：与圆相交时，弦长的计算也要用弦心距、半径及弦长的一半组成的直角三角形.4 .有关圆的问题，注意圆心、半径及平面几何知识的应用.5 .在肯定点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系时，常常要用到距离，因此

16、，两点间的距离公式、点到直线的距离公式等应熟练掌握，灵活运用.拓展题例【例1】已知圆的方程为炉+)2+办+2.，+/=0,必然点为A(1,2),要使过定点A(1,2)作圆的切线有两条，求”的取值范围.解：将圆的方程配方得(肝2)()叶口三匕二，圆心C的坐标为(一:，一1),242半径。、归身,条件是4-3层>0,过点A(1,2)所作圆的切线有两条，则点A必在圆外，即J(l+1+(2+1)、化简得a2+a+9>0.43tr>0>11V而计9>0,r2白),2出<a<,解之得<33依R.2右2右-«33故。的取值范围是(-2,与).33例2已知。0方程为+,，2=4,定点A(4,0),求过点A且和。O相切的动圆圆心的轨迹.剖析：两圆外切，连心线长等于两圆半径之和，两圆内切，连心线长等于两圆半径之差,由此可取得动圆圆心在运动中所应知足的几何条件，然后将这个几何条件坐标化，即取得它的轨迹方程.解法一：设动圆圆心为尸G,>