第十五章 动静法

1、DAlemberts Principle2 本章介绍动力学的一个重要原理达朗伯原达朗伯原理理。应用这一原理，就将动力学问题从形式上转化为静力学问题，从而根据关于平衡的理论来求解。这种解答动力学问题的方法，因而也称动静法动静法(dynamic-static method)(dynamic-static method)。 1 1 惯性力的概念惯性力的概念 质点的达朗伯原理质点的达朗伯原理 2 2 质点系的达朗伯原理质点系的达朗伯原理 3 3 刚体惯性力系的简化刚体惯性力系的简化 4 4 定轴转动刚体的轴承动反力定轴转动刚体的轴承动反力 静平衡与动平衡的概念静平衡与动平衡的概念 达朗伯原理的应用达朗

2、伯原理的应用 达朗伯原理达朗伯原理41惯性力的概念惯性力的概念 质点的达朗伯原理质点的达朗伯原理人用手推车amFF力 是由于小车具有惯性，力图保持原来的运动状态，对于施力物体(人手)产生的反抗力。称为小车的惯性力惯性力(inertia (inertia force)force)。F 定义：质点惯性力定义：质点惯性力 加速运动的质点，对迫使其产生加速运动的物体的惯加速运动的质点，对迫使其产生加速运动的物体的惯性反抗的总和。性反抗的总和。amQ一、惯性力的概念惯性力的概念 5222222dtzdmmaQdtydmmaQdtxdmmaQzzyyxx222nnd sQmamdtvQmam 注注 质点惯

3、性力不是作用在质点上的真实力，它质点惯性力不是作用在质点上的真实力，它 是质点对施力体反作用力的合力。是质点对施力体反作用力的合力。6 非自由质点M，质量m，受主动力 ， 约束反力 ，合力FNamNFR0amNF0QNF质点的达朗伯质点的达朗伯原理原理二、质点的达朗伯原理二、质点的达朗伯原理7 该方程对动力学问题来说只是形式上的平衡，并没有该方程对动力学问题来说只是形式上的平衡，并没有改变动力学问题的实质。采用动静法解决动力学问题的最改变动力学问题的实质。采用动静法解决动力学问题的最大优点，可以利用静力学提供的解题方法，给动力学问题大优点，可以利用静力学提供的解题方法，给动力学问题一种统一的解

4、题格式。一种统一的解题格式。0QNF质点的达朗伯原理质点的达朗伯原理 在质点运动的任一瞬时，作用于质点上的主动力、约在质点运动的任一瞬时，作用于质点上的主动力、约束力和虚拟的惯性力在形式上组成平衡力系，这就是束力和虚拟的惯性力在形式上组成平衡力系，这就是质点质点的达朗伯原理。的达朗伯原理。8 例例 列车在水平轨道上行驶，车厢内悬挂一单摆，当车厢向右作匀加速运动时，单摆左偏角度 ，相对于车厢静止。求车厢的加速度 。a9 选单摆的摆锤为研究对象 虚加惯性力 ) ( maQamQ0cossin , 0QmgXtgga解：解：由动静法, 有 解得 角随着加速度 的变化而变化，当 不变时， 角也不变。只

5、要测出 角，就能知道列车的加速度 。摆式加速计的原理。aaa例例 用达朗贝尔原理用达朗贝尔原理已知：已知：60,m3 . 0,kg1 . 0lm求：求：.,TFv解：解：sin2lvmmaFnnI0ITFFgmT0,cos0bFFmg0sin, 0nITnFFF解得解得N96.1cosmgFTsm1 .2sin2mlFvT122 质点系的达朗伯原理质点系的达朗伯原理 对整个质点系，主动力系、约束反力系、惯性力系形式上构成平衡力系。这就是质点系的达朗伯原理质点系的达朗伯原理。可用方程表示为：0)()()(0iOiOiOiiiQmNmFmQNF 设有一质点系由n个质点组成，对每一个质点，有 ) ,

6、1,2,. ( 0niQNFiii注意到 ,将质点系受力按内力、外力划分, 则 0)( , 0)()(iiOiiFmF 0)()( 0)()(iOeiOieiQmFmQF13 表明：对整个质点系来说，动静法给出的平衡方程，只是质点系的惯性力系与其外力的平衡，而与内力无关。 0)()( 0)()(iOeiOieiQmFmQF14对平面任意力系：对平面任意力系： 0)()( 0 0)()()(iOeiOiyeiixeiQmFmQYQX对于空间任意力系：对于空间任意力系：0)()( , 00)()( , 00)()( , 0)()()()()()(izeizizeiiyeiyiyeiixeixixe

7、iQmFmQZQmFmQYQmFmQX 实际应用时, 同静力学一样任意选取研究对象, 列平衡方程求解。用动静法求解动力学问题时， 习题习题11：铅直杆在止推轴承铅直杆在止推轴承B及轴承及轴承A中以匀角速度中以匀角速度 转动。转动。CD杆在杆在O点与点与AB杆固定联结。而杆固定联结。而AB=h，CO=OD=l。在。在CD杆的两端各有一重量为杆的两端各有一重量为P的球，的球，CD杆与杆与AB杆的夹角为杆的夹角为，不计杆的质量；求两轴承的约束反力。（不计杆的质量；求两轴承的约束反力。（12分）分）解： 画受力图。 （2分） X=0 XB-XA=0 （2分）Y=0 YB=2P （2分） MB=0 XA

8、 h-2Q1lcos=0 （2分）解得： XA=XB=Pl22sin2/gh YB=2P （2分）212sinPQQlg（2分）XBYBXAQ1PQ2P16 3 刚体惯性力系的简化刚体惯性力系的简化简化方法就是采用静力学中的力系简化的理论。将虚拟的惯性力系视作力系向任一点O简化而得到一个惯性力 和一个惯性力偶 。QRQOM )( 与简化中心有关与简化中心无关QmMaMamQROQOCQ 注意注意 无论刚体作什么运动，惯性力系主矢都等于无论刚体作什么运动，惯性力系主矢都等于刚体质量与质心加速度的乘积，方向与质心加速度方刚体质量与质心加速度的乘积，方向与质心加速度方向相反。向相反。17一、刚体作平

9、动一、刚体作平动向质心C简化：CQaMRcQaMR刚体平动时惯性力系合成为一过质心的合惯性力。习题习题2：汽车重为汽车重为G，以加速度，以加速度a刹车。汽车重心刹车。汽车重心C离地面的高离地面的高度为度为h，汽车的前后轴到通过重心的铅垂线的距离分别等于，汽车的前后轴到通过重心的铅垂线的距离分别等于c和和b。求其前、后轮与地面间的正压力。求其前、后轮与地面间的正压力。 aF1QF2NANBG解：画受力图。 (2分)Q = G a /g （2分)M1=0 -Q h +Gc N2（b+c）= 0 (3分)M2=0 -Q h -Gb+ N 1（b+c）= 0 （3分)解得: N1 =(Ggb + Ga

10、h)/(b+c)g (1分) N2 =(-Gah +Ggc)/(b+c)g (1分)aF2QF1N2N1G20空间惯性力系平面惯性力系（质量对称面）O为转轴z与质量对称平面的交点，向O点简化：iiiamQ主矢：主矩：CQaMR2()() 0 ()nQOOiOii iii iOMmQmQrmrmrJ 负号表示与 反向二、定轴转动刚体二、定轴转动刚体 先讨论具有垂直于转轴的质量对称平面的简单情况。O直线 i : 平动， 过Mi点，21向O点简化：CQaMRQOOMJ 向质点C点简化：CQaMRQCCMJ 作用在C点作用在O点22讨论讨论：刚体作匀速转动，转轴不通过质点C 。2meRQ23讨论：讨论

11、：转轴过质点C，但0，惯性力偶 （与反向）QCMJ 24讨论：讨论：刚体作匀速转动，且转轴过质心，则0 , 0QCQMR（主矢、主矩均为零）例例 如图所示，电动绞车安装在梁上，梁的两端如图所示，电动绞车安装在梁上，梁的两端搁在支座上，绞车与梁共重为搁在支座上，绞车与梁共重为P P。绞盘半径为。绞盘半径为R R，与电，与电机转子固结在一起，转动惯量为机转子固结在一起，转动惯量为J J，质心位于，质心位于O O处。绞处。绞车以加速度车以加速度a提升质量为提升质量为m m的重物，其它尺寸如图。的重物，其它尺寸如图。 已知已知: :.,maJRP求：支座求：支座A A，B B受到的附加约束力。受到的附

12、加约束力。解解 ：maFI解得：解得：RJmlaPlmglllFA232211RaJJM0I2231200BIIOAMmglF lPlMFll00IBAyFPmgFFFRJmlalllPmglllFB13211211上式中前两项为静约束力，附加约束力为上式中前两项为静约束力，附加约束力为RJmlllaFA221RJmlllaFB121解得：解得：RJmlaPlmglllFA232211RJmlalllPmglllFB13211211单个物体的动力学问题，用动静法或单个物体的动力学问题，用动静法或动力学普遍方程求解区别不大。但是动力学普遍方程求解区别不大。但是物体系统的动力学问物体系统的动力学问

13、题，用动静法求解比用动力学普遍方程求解简单得多题，用动静法求解比用动力学普遍方程求解简单得多。特别注意：特别注意：在画虚加的惯性力系的主矢和主矩时，必须在画虚加的惯性力系的主矢和主矩时，必须按照和质心加速度的方向相反以及与角加速度转向相反按照和质心加速度的方向相反以及与角加速度转向相反(考虑负号考虑负号)的原则画出。在方程中只需按其数值的大小代的原则画出。在方程中只需按其数值的大小代入，不能再带负号！入，不能再带负号！29 假设刚体具有质量对称平面，并且平行于该平面作平面运动。此时，刚体的惯性力系可先简化为对称平面内的平面力系。刚体平面运动可分解为随基点（质点C）的平动：绕通过质心轴的转动：

14、作用于质心CQaMRQCCMJ CQaMRQCCMJ 三、刚体作平面运动三、刚体作平面运动30 对于平面运动刚体：由动静法可列出如下三个方程：( )( )( )0 , 00 , 0()0 , ()0exxQxeyyQyeCCQCFFRFFRmFmFM实质上：222( )( )( )222 , , () eeeCCxyCCd xd ydMFMF JmFdtdtdtCQaMRQCCMJ 刚体的平面运动微分方程 由惯性力引起的轴承由惯性力引起的轴承约束反力约束反力F FRARA、F FRBRB都不等于都不等于零，他们称之为零，他们称之为附加动反附加动反力。力。35静平衡：静平衡：刚体转轴过质心，则刚

15、体在仅受重力而不受其它主动力时，不论位置如何，总能平衡。动平衡：动平衡：转动为中心惯性主轴时，转动时不产生附加动反力。静平衡与动平衡的概念静平衡与动平衡的概念 动平衡的刚体，一定是静平衡的；反过来，静平衡的刚体，不一定是动平衡的。例例 如图所示如图所示, ,轮盘轮盘( (连同轴连同轴) )的质量的质量,20Kgm 转轴转轴AB与轮盘的质量对称面垂直与轮盘的质量对称面垂直,但轮盘的质心但轮盘的质心C不在转不在转轴上轴上,偏心距偏心距当轮盘以均转速当轮盘以均转速 转动时。转动时。0.1.emmminr12000n求：轴承求：轴承A,B的约束力的约束力解：解：222n158easms13012000

16、 m10000.1NmaFnnI3160nINBNAFmgFF211680NN31609.8202138例 质量不计的刚轴以角速度匀速转动，其上固结着两个质量均为m的小球A和B。指出在图示各种情况下，哪些是静平衡的？哪些是动平衡的？静平衡： (b)、 (d)动平衡： ( a)39 动平衡的刚体，一定是静平衡的；反过来，静平衡的刚体，不一定是动平衡的。GrrgGmrGrrRMbGrmrGrMaQQQ2222212121 , 0 : )(21 , 0 : )(对对2121 ,例例 两个相同的定滑轮如下图示，开始时都处于静止，问哪个角速度大？(a) 绳子上加力G(b) 绳子上挂一重G的物体OO40

17、根据达朗伯原理，以静力学平衡方程的形式来建立动力学方程的方法，称为动静法。应用动静法既可求运动，例如加速度、角加速度；也可以求力，并且多用于已知运动，求质点系运动时的动约束反力。 应用动静法可以利用静力学建立平衡方程的一切形式上的便利。例如，矩心可以任意选取，二矩式，三矩式等等。因此当问题中有多个约束反力时，应用动静法求解它们时就方便得多。 达朗伯原理的应用41 选取研究对象选取研究对象。原则与静力学相同。 受力分析。受力分析。画出全部主动力和外约束反力。 运动分析。运动分析。主要是刚体质心加速度，刚体角加速 度，标出方向。 应用动静法求动力学问题的步骤及要点：应用动静法求动力学问题的步骤及要

18、点：虚加惯性力。虚加惯性力。在受力图上画上惯性力和惯性力偶，一定要在正确进行运动分析的基础上。熟记刚体惯性力系的简化结果。 42 列动静方程。列动静方程。选取适当的矩心和投影轴。 建立补充方程。建立补充方程。运动学补充方程（运动量之间的关系）。 求解求知量。求解求知量。 注注 的方向及转向已在受力图中标出，建立方程时，只需按 代入即可。QOQMR , , QCQOORmaMJ43 例例1 质量为m1和m2的两重物，且 m1 m2 ，分别挂在两条绳子上，绳子又分别绕在半径为r1和r2并装在同一轴的两鼓轮上，已知两鼓轮对于转轴O的转动惯量为I，系统在重力作用下发生运动，求鼓轮的角加速度。 取系统为研究对象解：解：方法1 用达朗伯原理求解44虚加惯性力和惯性力偶：IIMamRamROQOQQ , , 222111由动静法：00 , 0)(222111221122112211IramramgrmgrmMrRrRgrmgrmFmQOQQO列补充方程： 代入上式得：2211 , raragIrmrmrmrm222211221145方法2 用