鲜大权概率论与数理统计第13讲

1、1纲要纲要1、参数点估计复习、参数点估计复习2、置信区间与置信度、置信区间与置信度 3、正态总体均值与方差的区间估计、正态总体均值与方差的区间估计4、单侧置信区间、单侧置信区间5、 (0-1)分布参数的区间估计分布参数的区间估计6、小结、小结21、两种点估计法纲要、两种点估计法纲要: 矩估计法：矩估计法：求矩、替换、解参数求矩、替换、解参数最大似然估计法：最大似然估计法：似然函数、取对数、求最值似然函数、取对数、求最值 在统计问题中常先使用最大似然估计法在统计问题中常先使用最大似然估计法, 在在最大似然估计法使用不方便时再用矩估计法最大似然估计法使用不方便时再用矩估计法。1211( )( ,;

2、 )( ; )( ; );nnniiiiLL x xxp xf x似然函数或参数点估计参数点估计3引言引言 从前面可看到从前面可看到, 对于同一个参数对于同一个参数, 用不同的用不同的估计方法求出的估计量可能不相同估计方法求出的估计量可能不相同, 原则上任何原则上任何统计量都可以作为未知参数的估计量。统计量都可以作为未知参数的估计量。问题问题(1)对于同一个参数究竟采用哪一个估计量好对于同一个参数究竟采用哪一个估计量好?(2)评价估计量的标准是什么评价估计量的标准是什么?下面介绍几个常用标准。下面介绍几个常用标准。二、估计量的评选标准二、估计量的评选标准 41.无偏性无偏性( (Unbiase

3、d) ) 的一个样本，的一个样本，为总体为总体若若XXXXn,21 ,的分布中的待估参数的分布中的待估参数是包含在总体是包含在总体 X )(的取值范围的取值范围是是 12(,)( ) , ( ), nXXXEE定义：若估计量的数学期望且对有则称是的无偏估计量。无偏估计的实际意义无偏估计的实际意义: 无系统误差。无系统误差。5.1 , ,)1()(121的无偏估计的无偏估计阶总体矩阶总体矩是是阶样本矩阶样本矩总体服从什么分布总体服从什么分布论论的一个样本，试证明不的一个样本，试证明不是是又设又设存在存在阶矩阶矩的的设总体设总体knikiknkkkXnAkXXXXkXEkX 证证同分布，同分布，与

4、与因为因为XXXXn,21)()(kkiXEXE 故有故有., 2 , 1,nik nikikXEnAE1)(1)(即即.k 例例10.6. 的无偏估计的无偏估计阶总体矩阶总体矩是是阶样本矩阶样本矩故故kkkAk 特别的特别的:. )( 1估计量估计量的无偏的无偏的数学期望的数学期望总是总体总是总体XEXX 不论总体不论总体 X 服从什么分布服从什么分布,只要它的数学期望存在只要它的数学期望存在,7222221 , 0 , 1, , ()().niiXXn对于均值方差都存在的总体 若均为未知 则的估计量是有偏的 即不是无偏估计证证.2222211,niiXXAXn222222222222222

5、2 () ()() ()1 ()()()()E AE XD XE XnnEE AXE AE Xn又有偏例例11.8. , 1 2偏的偏的所得到的估计量就是无所得到的估计量就是无乘乘若以若以 nn(该方法称为该方法称为无偏化无偏化)。.)(11222 EnnnnE221 Snn 因为因为, )(1112 niiXXn, 22的无偏估计的无偏估计是是即即 S.22的估计量的估计量作作故通常取故通常取 S92. 最小方差性和有效性最小方差性和有效性( (Minimum Variance and efficiency) . , ,212121有效有效较较则认为则认为更密集更密集的附近较的附近较的观察值

6、在真值的观察值在真值相同的情况下相同的情况下在样本容量在样本容量如果如果和和的两个无偏估计量的两个无偏估计量比较参数比较参数 n 由于方差是随机变量取值与其数学期望的由于方差是随机变量取值与其数学期望的偏离程度偏离程度, 所以无偏估计以方差小者为好。所以无偏估计以方差小者为好。111222121212(,)(,), ()(),nnXXXXXXDD定义:设与都是 的无偏估计量若有则称较有效。10例例12.(2006数学一数学一)设总体设总体X X的概率密度为的概率密度为:,01,;1,12,0,xf xx其他,其中 是未知参数 ， 为来自总体 的简单随机样本，记 为样本值 中小于1的个数，求 的

7、最大似然估计。0112n,.,XXXXN12,.,nx xx例例13.(2004数学一数学一)设总体设总体X X的分布函数为的分布函数为:11,1,( ;)0,1,xF xxx其中未知参数 ， 为来自总体 的简单随机样本，求：（I） 的矩估计量； （II） 的最大似然估计量。X112,nXXX11例例1.(2006年年12月期终考试，月期终考试，10分分)设设总体总体 为它的一个样本，问下列统计量哪些是为它的一个样本，问下列统计量哪些是 的无偏统计量？哪个无偏统计量更有效？的无偏统计量？哪个无偏统计量更有效？2123( ,),XNxxx 、 、1231231233318,774121162XX

8、XXXXXXX333123、相合性1212(,), , (,), .nnXXXnXXX 定义:若为参数 的估计量若对当时依概率收敛于则称为的相合估计量 相合性相合性(或称一致性或称一致性)是对估计量的一个基本是对估计量的一个基本要求要求, 不具备相合性的估计量是不予以考虑的。不具备相合性的估计量是不予以考虑的。132、评价估计量的三个标准、评价估计量的三个标准 无偏性无偏性有效性有效性相合性相合性 由最大似然估计法得到的估计量由最大似然估计法得到的估计量, 在一定条件下也在一定条件下也具相合性，而估计量相合性只有当样本容量相当大时具相合性，而估计量相合性只有当样本容量相当大时才显出优越性才显出

9、优越性, 这在实际中常难以做到这在实际中常难以做到,因此在工程中因此在工程中常只使用无偏性和有效性两标准。常只使用无偏性和有效性两标准。 14 引言引言 为弥补点估计这一缺陷为弥补点估计这一缺陷 。 20世纪世纪30年代，统计学家年代，统计学家Neyman奈曼引入了一种估计方法。奈曼引入了一种估计方法。,点估计法是由样本求得一个值 去估计参数 ，但 仅是的一个近似值，其精确程度无法判断。 由一组样本值可得到一个估计值 ，但样本值是随机的 因而也是随机的。哪一个样本值算出的近似值更接近真值，也无法判断。( ,),希望通过样本确定一个包含真值 的区间同时给出该区间包含真值 的可靠程度。该参数估计法

10、称为该参数估计法称为区间估计区间估计 ，也称为也称为置信区间法置信区间法估计估计。 15一、置信区间与置信度一、置信区间与置信度 121212,01,(,),(,),()1(,)1, 1nnnxxxxxxxxxP 设是总体分布的一个未知参数，是总体的一 个样本，对于给定的能确定两个统计量和使得则称区间为参数的置信水平为的称为1、定义、定义. 置信区间置信区间置信度置信度 。 分别称为置信下限和置信上限。分别称为置信下限和置信上限。 、16一旦有了样本，就把一旦有了样本，就把 估计在区间估计在区间 内。内。 , 对参数对参数 作区间估计，是要设法找出两个只依赖于样作区间估计，是要设法找出两个只依

11、赖于样本的界限本的界限(两个统计量两个统计量)(X1,Xn)(X1,Xn)两点要求两点要求,要求要求 以很大的可能被包含在区间以很大的可能被包含在区间 内，内， P即概率即概率 要尽可能大要尽可能大.1可靠性：可靠性：2精确性：精确性：要求估计的精确度尽可能高，要求估计的精确度尽可能高，即区间长度即区间长度 尽可能短。尽可能短。这是一对矛盾，一般是在保证可这是一对矛盾，一般是在保证可靠度的条件下尽可能提高精确度。靠度的条件下尽可能提高精确度。2、置信度和置信区间的意义、置信度和置信区间的意义17. 1的的估估计计值值区区间间估估计计没没有有给给出出参参数数.,.,. 2置置信信度度越越低低越越

12、小小但但是是包包含含参参数数的的概概率率也也差差可可能能会会越越小小误误置置信信区区间间越越短短但但误误差差越越大大的的概概率率越越大大包包含含参参数数置置信信度度越越大大置置信信区区间间越越长长3、说明、说明.,立立尽尽可可能能小小的的置置信信区区间间建建条条件件下下要要在在保保证证一一定定置置信信度度的的因因此此184、一般步骤、一般步骤(P163):22222,nnnnXXXXabP aXXbaXXbXX o11o1o11寻求样本X的一函数w=w(X; )包含待估参数 而不含其它未知参数，w的分布已知且不依赖包括 的任何未知参数；2 对给定的置信水平1- ，定出两常数 、 使w(X; )

13、1-3 若能从w(X; )得到等价不等式其中 (X2,nnXX 1),(X)都是统计量，则()为 的一个置信水平为1- 的置信区间。19单个总体单个总体 的情况的情况两个总体两个总体 的情况的情况2( ,)N 211(,),N 222(,)N 2221)(0,1)2() (1)(1)3)1,(的三个抽样分布：XNnXt nSnnSXN n 20( (一一) )单正态总体单正态总体 的情况的情况2( ,)N 2( ,),XN 并设并设 为来自总体的为来自总体的 1,nXX样本样本 ,2,X S分别为样本均值和样本方差分别为样本均值和样本方差 .均值均值 的置信区间的置信区间1.12为已知为已知(

14、0,1)XNn 可得到可得到 的的置信水平为置信水平为 的置信区间为的置信区间为 1 22(,)XuXunn2()Xun 或或21例例1(P63)：2212( ,),nXNxxxX 设总体已知， 未知，为来自 的样本，求 的置信水平为1- 的置信区间。解：解： 分三步完成分三步完成.)1(确确定定一一个个统统计计量量.,有有关关且且与与该该统统计计量量的的分分布布已已知知 211(,)niixxNnn取样本均值(0 ,1)/xNn由P.168分布定理2有22得得由由上上式式左左端端不不等等式式解解出出 )3( 1)(2/2/nzxnzxP/2/2(,)xzxznn于是得所求置信区间为)(t O

15、x2/ 2/ z2/ z /2/2/2/2(2)0,()1,()12/zxzPzzn 查标准正态分布表求使2322为未知为未知 (1)Xt nSn 可得到可得到 的的置信水平为置信水平为 的置信区间的置信区间为为 1 此分布不依赖于此分布不依赖于任何未知参数任何未知参数2|(1)1XPtnSn 由由22(1),(1)SSXtnXtnnn2(1)SXtnn或或2422221(1)1(),1.1693 (1)/niisxxnxPt nsn确定统计量用的无偏估计量估计 由分布定理 有.1,),(2122置置信信区区间间的的求求样样本本为为均均为为未未知知与与设设总总体体 nxxxNX例例2.解：解：

16、 分三步完成分三步完成25/2/2/2(2)1,(1)0(1)(1)1/ttnxPtntnsn 对给定置信度查 分布表求 使)(tfOx2/ 2/ t2/ t /2/2/2/2(3)(1)(1)1(1),(1)ssP xtnxtnnnssxtnxtnnn 由上式左端不等式解出得则得所求置信区间为26 例例3. 有一大批糖果有一大批糖果.现从中随机取现从中随机取 16 袋袋 , 称得重量称得重量(以克计以克计)如下如下: 506 508 499 503 504 510 497 512 514 505 493 496 506 502 509 496设袋装糖果重量近似服从正态分布设袋装糖果重量近似服

17、从正态分布,试求总体均值试求总体均值 的置的置信水平为信水平为0.95的置信区间。的置信区间。解解.10.9520.025,115,n1611503.75 ,16iixx 16211()6.2022 .15iisxx 0.025(15)2.1315t 2(1)sxtnn于是得到于是得到 的的置信水平为置信水平为0.95的置信区间为的置信区间为即即(500.4,507.1)27方差方差 的置信区间的置信区间22.222(1)(1)nSn 2221222(1)(1)(1)1由nSnn 可得到可得到 的的置信水平为置信水平为 的置信区间的置信区间为为1 2222212(1)(1)(,)(1)(1)n

18、SnSnn 222122(1)(1)(1)1由nSPnn 可得到标准差可得到标准差 的的置信水平为置信水平为 的置信区间的置信区间为为1 2221211(,)(1)(1)nSnSnn 28.1,),(22122置置信信区区间间的的求求样样本本为为均均为为未未知知与与设设总总体体 nxxxNX22211(1)()1niisxxn确定统计量，是的无偏估计量222(1)2(1)nsn由P.168分布定理 知例例4.解：解：2221/ 2/ 22221/ 2/ 22222221/ 2/ 2(1) ,(1)(1)(1)(1)1(1)(1)1(,)(1)(1)nnnsPnnnsnsnn(2)查分布表得使得

19、的置信区间为)(tftO22/ 2/ 2/ 22/1 29 例例5. 有一大批糖果有一大批糖果.现从中随机地取现从中随机地取 16 袋袋 , 称得重量称得重量(以以克计克计)如下如下: 506 508 499 503 504 510 497 512 514 505 493 496 506 502 509 496设袋装糖果的重量近似地服从正态分布设袋装糖果的重量近似地服从正态分布,试求总体标准差试求总体标准差 的的置信水平置信水平0.95为的置信区间为的置信区间.解解20.025120.975,115,n16211()6.2022 .15iisxx 220.0250.975(15)27.488,

20、(15)6.262于是得到于是得到 的的置信水平为置信水平为0.95的置信区间为的置信区间为(4.58,9.60)即2221211(,)(1)(1)nSnSnn 30区间估计纲要信号:定统计量定统计量,查分位点查分位点,算区间。算区间。31( (二二) )双正态总体双正态总体 的情况的情况211(,),N 222(,)N 设已给定置信水平为设已给定置信水平为 , 并设并设 1 112,nXXX是来自第一个总体的样本是来自第一个总体的样本 , 212,nY YY是来自第二是来自第二个总体的样本个总体的样本 ,这两个样本相互独立这两个样本相互独立 .且设且设 分别分别,X Y为第一、二个总体的样本

21、均值为第一、二个总体的样本均值 , 2212,SS为第一、二为第一、二个总体的样本方差个总体的样本方差 . 两个总体均值差两个总体均值差 的置信区间的置信区间12 1.12212,为已知为已知322111(,),XN n2222(,)YN n因为因为 相互独立相互独立 ,X Y所以所以 相互独立相互独立 . ,X Y故故22121212(,)XYN nn12221212()()(0,1)XYNnn 或或2212212()XYunn则得则得 的的置信水平为置信水平为 的置信区间为的置信区间为1 12 33222212,为已知为已知2121212()() (2)11XYt nnSnn 其中其中2,

22、SS 222112212(1)(1).2nSnSSnn 2121211(2)XYtnnSnn于是得到于是得到 的的置信水平为置信水平为 的置信区间为的置信区间为1 12 其中其中2,SS 222112212(1)(1).2nSnSSnn 34 例例6.为比较为比较 I , 两种型号步枪子弹的枪口两种型号步枪子弹的枪口速度速度 ,随机地取随机地取 I 型子弹型子弹 10 发发 ,得到枪口速度的平得到枪口速度的平 均值均值 为为 标准差标准差 随随机地取机地取 型子弹型子弹 20 发发 ,得到枪口速度的平均值为得到枪口速度的平均值为 标准差标准差 假设两总假设两总体都可认为近似地服从正态分布体都可

23、认为近似地服从正态分布.且生产过程可认且生产过程可认为方差相等为方差相等 .求两总体均值差求两总体均值差 的的置信水平为置信水平为 0.95 的置信区间的置信区间.1500(),xm s 211.10(),sm s 2496(),xm s 221.20().sm s 12 35解解122121211(2)xxtnnsnn 依题意依题意 , 可认为分别来自两总体的样本是可认为分别来自两总体的样本是相互独立的相互独立的.又因为由假设两总体的又因为由假设两总体的方差相等方差相等 ,但但数数值未知值未知 ,故两总体均值差故两总体均值差 的的置信水平为置信水平为的置信区间的置信区间为为12 1 其中其中

24、2,ss 222112212(1)(1).2nsnssnn 36这里这里121220.025,10 ,20,228,nnnn0.025(28)2.048.t 1.1688.s 故两总体均值差故两总体均值差 的的置信水平为置信水平为0.95 的置信区的置信区间间为为12 1500,x 2496,x 122121211(2)xxtnnsnn(40.93)即即 (3.07, 4.93) .37两个总体方差比两个总体方差比 的置信区间的置信区间22122.( 为已知为已知 )12, 22122122212(1,1)SSFnn221212122122212(1,1)(1,1)1SSP FnnFnn 由由

25、即即222111222221222121211 1(1,1)(1,1)SSPS FnnS Fnn 则得则得 的的置信水平为置信水平为 的置信区间为的置信区间为1 2212222111222221222121211()(1,1)(1,1)SSS FnnS Fnn 38 例例7.研究由机器研究由机器 A 和机器和机器 B 生产的钢管的内径生产的钢管的内径 , 随机地抽取机器随机地抽取机器 A生产的钢管生产的钢管18只只 , 测得样本方差测得样本方差 随机地取机器随机地取机器 B 生产的钢管生产的钢管13只只 ,测得样本方差测得样本方差 设两样本相互独立设两样本相互独立 , 且设由机器且设由机器 A

26、 和机器和机器 B 生产的钢管的内径分别服生产的钢管的内径分别服从正态分布从正态分布 这里这里 (i =1,2) 均未知均未知 .试求方差比试求方差比 的的置信水平为置信水平为 0.90 的置的置信区间。信区间。2210.34();smm 2,ii 2220.29().smm 221122,N N 2212390.10,20.05,120.95,0.05(17,12)2.59,F 即即 (0.45 , 2.79) .22112218,0.34,13,0.29.nsns解解.0.950.0511(17,12).(12,17)2.38FF故两总体方差比故两总体方差比 的的置信水平为置信水平为0.9

27、0 的置信区的置信区间间为为2212222111222221222121211()(1,1)(1,1)SSS FnnS Fnn 405152222221/20.025/21.1259511(1259)(91 61416 ) 142.55 14(1)(4)2.776142.5(1)2.77614.851259 14.81259 14.80.95(1244.2, 1273.8)iiiixxsxtntstnn 解样本均值查表得得的置信区间为.,5,1250,1260, 1265, 1245, 1275.,(0.05)oooooCCCCC例8 用某仪器测量温度 重复次 得数据若测得的数据服从正态分布试

28、求温度真值所在范围。41522122/ 20.02522/ 2221/ 20.975221/ 21.(1259)142.551(1)(4)11.143(1)4142.551(1)11.143(1)(4)0.488(1)4142.51168(1)0.488iisxnnsnnnsn解查表得29.,5,12501260126512451275,0.95oooooCCCCC例 用某仪器测量温度 重复次 得数据、， 若测得的数据服从正态分布试求总体方差和标准差的置信区间。0.95(51, 1168)0.95( 51,1168)(7.2, 34.2)于是总体方差的置信区间为标准差的置信区间为即42三、单侧

29、置信区间三、单侧置信区间 上述置信区间中置信限都是双侧的，但对于有些实际问题，上述置信区间中置信限都是双侧的，但对于有些实际问题，人们关心的只是参数在一个方向的界限。如元件使用寿命过长人们关心的只是参数在一个方向的界限。如元件使用寿命过长没问题，过短就有问题了。这时可将置信上限取为没问题，过短就有问题了。这时可将置信上限取为+，只考虑，只考虑置信下限，这样的置信区间叫单侧置信区间。置信下限，这样的置信区间叫单侧置信区间。 单侧置信区间和置信限的定义：单侧置信区间和置信限的定义：),(nXXX21 满足满足设设 是是 一个待估参数，给定一个待估参数，给定, 0 若由样本若由样本X1,X2,Xn确

30、定的统计量确定的统计量1P则称区间则称区间 是是 的置信水平为的置信水平为 的单侧置信区间的单侧置信区间. ), 1称为单侧置信下限称为单侧置信下限.),(nXXX21若统计量若统计量 满足满足1P则称区间则称区间 是是 的置信水平为的置信水平为 的单侧置信区间的单侧置信区间. ,( 1 称为单侧置信上限称为单侧置信上限.43四、四、(0-1)(0-1)分布参数的区间估计分布参数的区间估计设总体设总体X服从服从(0-1)分布分布,求参数求参数p的置信水平为的置信水平为1-的置信区间的置信区间.设设X1, X2, Xn是一个样本是一个样本 (n较大较大), 由中心极限定理有由中心极限定理有),(

31、)()(10111NpnpnpXnpnpnpXnii112zpnpnpXnP)(于是有,2122124ppaacbbp置信区间为故P168例例222222()(2)0nzpnXzpnX不等式等价于44五、考题选讲五、考题选讲1、(1993数学三)设总体X的方差为1，据来自X的容量为100的简单随机样本，测得样本均值为5，则 的数学期望的置信度近似等于0.95的置信区间为 。X(4.8,5.2)2、(1996数学三)由来自正态总体 ，容量为9的简单随机样本，若得到样本均值 则未知参数 的置信度0.95的置信区间是 。 (注： )2( ,0.9 )XN5,X 0.051.96u(4.412,5.5

32、88)45 3、一批零件的长度服从正态分布 ，其中 均未知. 现从中随机抽取16个零件，测得样本均值 ，样本标准差 ，则 的置信度为0.90的置信区间是 。),(2N2,)(20 cmx )( 1 cms 0.050.0511( ).(20(16),20(16).44Att0.10.111( ).(20(16),20(16).44Btt0.050.0511( ).(20(15),20(15).44Ctt0.10.111().(20(15),20(15).44Dtt( )C( )C46六、小六、小 结结信信区区间间区区间间估估计计、置置信信度度、置置基基本本概概念念：的的区区间间估估计计正正态态总总体体的的均均值值与与方方差差基基本本方方法法：置置信信区区间间为为方方差差已已知知，均均值值的的 1. 1),(2/2/nzxnzx 置置信信区区间间为为方方差差未未知知，均均值值的的 1. 2)1(,)1(2/2/nsntxnsntx 置置信信区区间间为为总总体体方方差差的的 1. 3)1()1(,)1()1(22/222/12 nsnnsn 置置信信区区间间为为总总体体标标准准差差的的 1) 1() 1(,) 1() 1(22/222/12 nsnnsn 要求：