统计学第九章_时间序列分析

1、1第九章 时间序列分析第一节 时间序列分析概述第二节 时间序列的水平分析与速度分析第三节 长期趋势的测定第四节 季节变动和循环波动测定第五节 时间序列预测模型2第一节 时间序列分析概述时间序列的概念时间序列的种类时间序列的编制原则3年份年份国内生产总值国内生产总值（亿元）（亿元）年份年份国内生产总值国内生产总值（亿元）（亿元）19791980198119821983198419851986198719884038.24517.84862.45294.75934.57171.08964.410202.211962.514928.3198919901991199219931994199519961

2、997199816909.218547.921617.826638.134634.446759.458478.167884.674462.679395.74ta5一、时间序列的概念时间序列（time series） 动态数列, 把同一现象在不同时间上的观察数据按时间先后顺序排列起来所形成的数列。 两个基本要素：时间 t ；时间 t 的数据（水平） yt .基期水平与报告期水平；期初水平（y0或y1）, 期末水平（yn）与中间水平。时间序列是动态分析的依据。67绝对数序列绝对数序列相对数序列相对数序列平均数（均值）序列平均数（均值）序列时点序列时点序列时期序列时期序列81.绝对数时间序列 又称为

3、总量指标时间序列； 是指一系列同类的总量指标数据按时间先后顺序排列而形成的序列，反映现象在各个时间上达到的绝对水平。 可分为时期序列和时点序列。 时期序列，如国内生产总值序列 时点序列，如年末总人口序列9时期序列和时点序列的特点： 时期序列的各个数据为时期指标(流量)，表示现象在各段时期内的总量。时点序列的各个数据为时点指标(存量)，反映现象在各个时点上所处的状态和所达到的水平. 时期序列中各期数据具有可加性，通过加总即可得到更长一段时间内的总量。时点序列中不同时点上的数据不能相加，即它们相加的结果没有意义。 时期序列中数值大小与所属时期长短有直接的关系，时点序列中各时点数值大小与时点间隔长短

4、没有直接的联系。 时期序列中各期数据是对每段时间内发生的数量连续登记的结果，时点序列中数据通常不可能也不必要连续登记， 10 把一系列同类的相对指标按时间先后顺序把一系列同类的相对指标按时间先后顺序排列起来所形成的时间序列，称为相对指标时排列起来所形成的时间序列，称为相对指标时间序列。间序列。它反映现象各种数量对比关系的发展它反映现象各种数量对比关系的发展变化状况变化状况。各指标数值是不能相加的。各指标数值是不能相加的。 把一系列同类的平均指标按时间先后顺序排把一系列同类的平均指标按时间先后顺序排列起来所形成的时间序列，称为平均指标时间序列起来所形成的时间序列，称为平均指标时间序列。列。它反映

5、客观现象一般水平的发展变动趋势它反映客观现象一般水平的发展变动趋势。11随机性时间序列随机性时间序列非随机性时间序列非随机性时间序列趋势性时间序列趋势性时间序列平稳性时间序列平稳性时间序列季节性时间序列季节性时间序列12自相关自相关是指时间序列前后期数值之间的相是指时间序列前后期数值之间的相关关系。其相关关系程度的测定就关关系。其相关关系程度的测定就是自相关系数是自相关系数自相关系数自相关系数相关关系程度的测定就是自相关相关关系程度的测定就是自相关系数系数 设设x1, x2 ,，xt ,，xn 是一个时间序列各是一个时间序列各期观察值，共有期观察值，共有n 项。将前后相邻两期的观察项。将前后相

6、邻两期的观察13值一一成对，就有值一一成对，就有n-1 对数据，即：对数据，即： (x1 , x2) , (x2 , x3) , (xt ,xt+1) , (xn-1 , xn)用用r1表示它们的相关系数，计算公式如下：表示它们的相关系数，计算公式如下：1111211211111)()()(ntntttttntttttxxxxxxxxr1111ntttxnx其中：其中：111111ntttxnx14 r1时间延迟时间延迟1的自相关系数，测定前后相的自相关系数，测定前后相邻观察值相关关系程度。同理，可将时间数列邻观察值相关关系程度。同理，可将时间数列中每间隔一期的数据一一成对，组成中每间隔一期的

7、数据一一成对，组成n-2对数据，对数据，即即 (x1 , x3) , (x2 , x4) , (xt ,xt+2) , (xn-2 , xn)用用r2表示它们的相关系数，计算公式如下：表示它们的相关系数，计算公式如下：2121222221222)()()(ntntttttntttttxxxxxxxxr152121ntttxnx其中：其中：212221ntttxnx r2时间延迟时间延迟2的自相关系数，测定序列中的自相关系数，测定序列中t期观察值和期观察值和t+2期观察值相关关系的程度。期观察值相关关系的程度。 当当 n很大时，很大时，rk时间延迟时间延迟k的自相关系数计的自相关系数计算公式为：

8、算公式为：12211()()()()n kttt kt ktkn kn kttt kt kttxxxxrxxxx161718四、时间序列的编制原则 保证时间序列中各项数据的可比性，是编制时间序列的基本原则。 (一) 时间一致 (二) 总体范围一致 (三) 经济内容、计算口径和计算方法一致19指标指标1952-1952-195719571958-1958-196219621963-1963-196519651966-1966-197619761977-1977-19861986社会总产值社会总产值 （亿元）（亿元）工业总产值工业总产值（亿元）（亿元）工业总产值工业总产值比重（比重（% %）828

9、3.48283.43404.53404.541.141.111448.211448.26903.36903.360.360.3669866983878.13878.157.957.947210.747210.729553.929553.962.662.6103902.5103902.583849.383849.380.780.76年年5年年3年年11年年10年年 1、时期指标时间长短前后不一致、时期指标时间长短前后不一致三个指标哪些有问题？三个指标哪些有问题？202、总体范围不统一、总体范围不统一21甲厂甲厂乙厂乙厂乙厂来料加工乙厂来料加工,总加工费总加工费5000元元,产品总价值产品总价值2

10、0000元元工业总产值的计算工业总产值的计算原规定原规定:甲厂计甲厂计20000元元乙厂计乙厂计20000元元现规定现规定:甲厂计甲厂计20000元元乙厂计乙厂计5000元元3、计算方法不统一、计算方法不统一甲厂带料委托乙厂加工产甲厂带料委托乙厂加工产品品,材料总价值材料总价值10000元元.2210吨标准煤吨标准煤10吨煤吨煤 4、经济内容不统一、经济内容不统一23第二节 时间序列的水平分析与速度分析时间序列分析的水平指标时间序列分析的速度指标水平分析与速度分析的结合与应用24一、时间序列分析的水平指标 描述现象在某一段时间上发展变化的水平高低及其增长变化的数量多少。 包括： 发展水平 平均

11、发展水平 增长量 平均增长量25指时间序列中每指时间序列中每一项指标数一项指标数值值反映的是客观现象在各个时间上所达到的规反映的是客观现象在各个时间上所达到的规模和发展的程度。它是计算其他时间序列分模和发展的程度。它是计算其他时间序列分析指标的基础。析指标的基础。26NNaaaa,121最初水平最初水平中间水平中间水平最末水平最末水平（ N 项数据）项数据）（ n+1 项数据）项数据）nnaaaa,11027平均发展水平 平均发展水平是不同时间上发展水平的平均数。 统计上习惯把这种不同时间上数据的平均数称为序时平均数。 它将现象在不同时间上的数量差异抽象掉，从动态上说明现象在一定发展阶段的一般

12、水平。 不同性质的时间序列，其计算方法也有所不同。281. 绝对数时间序列的序时平均数由由时期序列时期序列计算，采用计算，采用简单算术平均法简单算术平均法nanaaaaniin1211a2a1nanaa29万吨标准煤8 .1273575124000132410132616129034118729Naa例例30nanaaaaniin121由连续时点序列计算由连续时点序列计算a1a2a1nana 间隔相等间隔相等时，采用时，采用简单算术平均法简单算术平均法31)(28.1758 .172 .185 .177 .162 .16元naa 例：例：32miimiiimmmffaffffafafaa112

13、12211 间隔不相等间隔不相等时，采用时，采用加权算术平均法加权算术平均法33)(78397699783778667849780人fafa34由间断时点序列计算由间断时点序列计算每隔一段时间登每隔一段时间登记一次，表现为记一次，表现为期初或期末值期初或期末值 间隔间隔时，采用时，采用简单序时平均法（首尾折半法）简单序时平均法（首尾折半法）222254433221aaaaaaaa4222254433221aaaaaaaa152254321aaaaa1a2a3a4a5a一季一季度初度初二季二季度初度初三季三季度初度初四季四季度初度初次年一次年一季度初季度初122121naaaaann一般有：35

14、时间时间3月末月末 4月末月末 5月末月末6月末月末库存量库存量(百件百件)66726468百件67.67142686472266a例：例：36 间隔间隔时，采用时，采用加权序时平均法加权序时平均法222433221aaaaaa211221212433221aaaaaa90天天90天天180天天1a2a3a4a一季一季度初度初二季二季度初度初三季三季度初度初次年一次年一季度初季度初12111232121222nnnnffffaafaafaa一般有：37时间时间1月月1日日5月月31日日8月月31日日12月月31日日社会劳动者社会劳动者人数人数362390416420万人75.396435424

15、204163241639052390362a单位：万人单位：万人例：例：384y221yy 1f 2f 3f y1y2y3y232yy 243yy 39bacbaciii:则若时间数列acabcbbanbnabac140月月 份份一一二二三三计划利润（万元）计划利润（万元）200300400利润计划完成程度（利润计划完成程度（）125120150 bac计划利润实际利润完成程度利润计划4 .1344003002004005 . 13002 . 120025. 1bcbbac41nbbbbnaaaabacnnnn22121121122122121121nbbbbnaaaabacnnnn42月月

16、份份三三四四五五六六七七 工业增加值工业增加值（万元）（万元）11.0 12.614.616.3 18.0月末全员人数月末全员人数（人）（人）20002000 220022002300ab43四月份：四月份：人元6300220002000100006 .121c五月份：五月份：人元4 .6952222002000100006 .142c六月份：六月份：人元1 .7409222002200100003 .163c44cNbaC人元28.2071414222002200200022000100003 .166 .146 .12人元76.69041422200220020002200033 .166

17、 .146 .1210000bac45平均发展水平计算总结平均发展水平计算总结序序时时平平均均方方法法总量指标总量指标时期时期序列序列简单算术平均简单算术平均时点时点序列序列连续连续时点时点间隔相等间隔相等 简单算术平均简单算术平均间隔不等间隔不等 加权算术平均加权算术平均间断间断时点时点间隔相等间隔相等 两次简单平均两次简单平均间隔不等间隔不等 先简单后加权先简单后加权相对指标、相对指标、平均指标平均指标视情况选用：先平均再相除、先加总再视情况选用：先平均再相除、先加总再相除、加权算术平均、加权调和平均等相除、加权算术平均、加权调和平均等46又称又称增长水平增长水平，它是报告期水平，它是报告

18、期水平与基期水平之差，反映报告期比与基期水平之差，反映报告期比基期增长的水平。说明社会经济基期增长的水平。说明社会经济现象在一定时期内所增长的绝对现象在一定时期内所增长的绝对数量数量。增长水平增长水平= 报告期水平报告期水平 - 基期水平基期水平其计算公式为：其计算公式为：47nnaaaa,11011201,nnaaaaaa00201,aaaaaan逐期增长量逐期增长量累计增长量累计增长量 011201aaaaaaaannn niaaaaaaiiii, 2 , 11010两者的关系两者的关系?48naanaanniii011)(平均增长量niLaaiLi, 2 , 1124；或增长量年距49

19、解：居民消费水平的年平均增长量为： 年份199519961997199819992000200120022003居民消费水平2236 2641 2834 2972 3138 3397 3609 3818 4089 逐期增长量405 193 138 166 259 212 209 271 累计增长量405 598 736 902 1161 1373 1582 1853 625.231818538271209212259166138193405例：根据下表数据，计算我国居民消费水平的年平例：根据下表数据，计算我国居民消费水平的年平均增长量。均增长量。50nnaaaa,1105111201,nnaa

20、aaaa环比发展速度环比发展速度定基发展速度定基发展速度00201,aaaaaan1211201nnnnaaaaaaaa0aan两者的关系两者的关系?52100010iiiiaaaaaaaa), 2 , 1(1niaaii=4121,2,i LiaLina同比发报告期水平上年同期水平展速度或 ；531100增长发展报告期水平基期水平（或）基期水平速度速度54100111iiiiiaaaaa100000aaaaaii100iLiiiLiaaaaa55 二者关系：二者关系： 定基增长速度（总增长速度）不等于相应各定基增长速度（总增长速度）不等于相应各环比增长速度之和（积）。环比增长速度之和（积）。

21、 几种速度指标之间的相互关系如下所示：几种速度指标之间的相互关系如下所示：1 乘乘/除除156速度的表现形式和文字表述 速度指标的表现形式：一般为 %、倍数，也有用、番数等等。 翻 m 番，则有：报告期水平= 基期水平2m 速度的文字表述：速度的文字表述：发展速度发展速度相当于、发展为、增长到、减少到、下降为相当于、发展为、增长到、减少到、下降为报告期水平报告期水平增长为增长为基期水平的基期水平的%；以基期水平为以基期水平为100%，报告期水平增长为，报告期水平增长为%.增长速度增长速度提高（了）、减少（了）、下降（了）提高（了）、减少（了）、下降（了） 报告期水平比基期水平报告期水平比基期水

22、平增长（了）增长（了）的的%； 以基期水平为以基期水平为100%，报告期水平，报告期水平增长（了）增长（了）%。5710010010000000aaaaaaann10010010011111nnnnnnnaaaaaaa581100平均平均（或）增长速度发展速度59即有即有nGnXaa0nnGGnnGGGaXaXaaXaXaaXaa 01201201,从最初水平从最初水平a0出发，每期按一定出发，每期按一定的平均发展速度的平均发展速度 发展，经过发展，经过n个时期后，达到最末水平个时期后，达到最末水平an，有，有GX基本要求基本要求60计算公式计算公式nnnnnnGXXXXRaaX210总速度总

23、速度环比速度环比速度61nGnGXaanXa00,则最末水平和、已知预测达到一定水平所需要的时间预测达到一定水平所需要的时间n ：GnnGXaanaXalglglg,00所需要的时间为：则达到最末水平和、已知622lglglg200aamaannm有，由翻番数翻番数万吨6 .5622025 .10mnaa633 .121798640500114GX番34. 22lg7986lg40500lgm64从最初水平从最初水平a0出发，每期按一定的出发，每期按一定的平均发展速度平均发展速度 发展，经过发展，经过n个时个时期后，达到期后，达到X基本要求基本要求6501211011aaXXXXXaaanii

24、nnniiniinii即，推算水平，实际水平nnnXaXaaXaXaaXaa 01201201,由基本要求有，各期推算水平分别为由基本要求有，各期推算水平分别为66151.1040,3,60,152301233210XXXXaaXXXnaaaanii，解得，即则已知（关于（关于 的一元的一元n次方程）次方程） X67累计法查对表累计法查对表递增速度递增速度间隔期间隔期15年年平均每年平均每年增长增长各年发展水平总和为基期的各年发展水平总和为基期的1年年2年年3年年4年年5年年14.9114.90 246.92 398.61 572.90773.1715.0115.00 247.25 399.3

25、4 574.24991.0415.1115.10 247.58 400.06 575.57 1075.5715092. 106. 066. 066. 01 . 015. 1则平均发展速度为68研究的侧重点是最末水平；研究的侧重点是最末水平；研究的侧重点是各年发展水平的累计总和。研究的侧重点是各年发展水平的累计总和。nGnXaa00121aaXXXXniinn两种方法的侧重点？两种方法的侧重点？69发展水平发展水平增长量增长量平均发展水平平均发展水平平均增长量平均增长量增长速度增长速度发展速度发展速度平均增长速度平均增长速度平均发展速度平均发展速度动态平均指标动态平均指标动态比较指标动态比较指标

26、70平均发展速度的应用 利用平均发展速度的原理，还可在年度增长率zy与月增长率 zm （季增长率zs ）之间进行换算。它们的关系可表示为：1)1 (1)1 (124msyzzz 例如，某地区居民消费总额2003年9月为200亿元，2005年5月为260亿元。则居民民消费总额的月平均增长率和年平均增长率分别为：2026011.032%200 %62.111)032. 11 (1271 -首先要根据研究目的，正确选择基期。 -基期的选择一般要避开异常时期。 -不容许有0和负数，否则就不适宜计算速度，而只能直 接用绝对数进行水平分析。 -如果现象在某各阶段内的发展非常不平衡，大起大落，就会降低甚至丧

27、失平均速度以及平均发展水平和平均增长量的代表性和意义。72 -既要考虑速度的快慢，也要考虑实际水平的高低 -把相对速度与绝对水平结合，可计算增长1%的绝对量。73 增长1%的绝对量是用来补充说明增长速度的. 一般只对环比增长速度计算，其计算公式为：100100)(%11111iiiiiiyyyyyy的绝对量增长例例销售额(万元)增长率(%)增长1%的绝对量(万元)甲企业乙企业甲企业乙企业甲企业乙企业20041400120 200516801802050141.274第三节第三节 长期趋势的测定长期趋势的测定 （1 1）长期趋势（）长期趋势（T T）（2 2）季节变动（）季节变动（S S）（3

28、3）循环变动（）循环变动（C C） （4 4）不规则变动（）不规则变动（I I）可解释的变动可解释的变动不可解释的变动不可解释的变动75长期趋势 ( Trend )长期趋势是指现象在相当长一段时间内沿某一方向持续发展变化的一种态势或规律性。它是时间序列中最基本的构成因素；由影响时间序列的基本因素作用形成；n 长期趋势有不同多种不同的类型长期趋势有不同多种不同的类型n 按变化方向不同来分，有上升趋势、下降趋势和水平按变化方向不同来分，有上升趋势、下降趋势和水平趋势三类。趋势三类。n 按变化的形态来分，长期趋势可分为线性趋势按变化的形态来分，长期趋势可分为线性趋势 和非线和非线性趋势两类。性趋势两

29、类。76季节变动 (Seasonal Fluctuation )季节变动泛指现象在一年内所呈现的较有规律的周期性起伏波动。周期长度可以是一年，也可以小于一年；例如，农产品的生产、销售和储存通常都有淡季例如，农产品的生产、销售和储存通常都有淡季和旺季之分，以一年为一个周期；和旺季之分，以一年为一个周期；例如，超市的营业额和顾客人数的变动常常以七例如，超市的营业额和顾客人数的变动常常以七天为一个周期，每个周末是高峰期。天为一个周期，每个周末是高峰期。引起季节变动的原因既可能是自然条件（如一年四季的更替），也可能是法规制度和风 俗习惯等（如节假日）。77循环变动(Cyclical Fluctuati

30、on ) 循环变动指在较长时间内（通常为若干年）呈现出涨落相间、峰谷交替的周期性波动。 例如，出生人数以2025年为一个周期， 太阳黑子数目大约11年为一个周期。78循环变动(续) 循环变动与长期趋势的异同 都是需要长期观察才能显现的规律性； 但长期趋势是沿着单一方向的持续变动，而循环变动是具有循环特征的波动，通常围绕长期趋势上下起伏。 循环变动与季节变动的异同 都是属于周期性波动， 但对循环波动的识别和分析更为困难 循环变动周期至少在一年以上，周期长短很不固定； 波动形态和波幅等规律性也都不是很规则； 引起循环变动的原因通常也不那么直观明显。79不规则变动(Irregular Variati

31、on ) 不规则变动（又称为剩余变动）是没有规律可寻的变动，它是从时间序列分离了长期趋势、季节变动和循环变动之后剩余的因素。 可细分为随机扰动和异常变动两种类型。 随机扰动是短暂的、不可预期的和不可重复出现的众多细小因素综合作用的结果。表现为以随机方式使现象呈现出方向不定、时大时小的起落变动，但从较长观察时间内的总和或平均来看，一定程度上可以相互抵消。 异常变动则是指一些具有偶然性突发性的重大事件如战争、社会动乱和自然灾害等引起的变动，其单个因素的影响较大，不可能相互抵消，在时间序列分析中往往需要对这种变动进行特殊处理。 后面所讲的不规则变动一般仅指随机扰动。80循环变动循环变动C（Cycli

32、cal）不规则变动不规则变动I（Irregular）季节变动季节变动S（Seasonal）长期趋势长期趋势T（Trend）81时间序列因素分解的模型 按照四种构成因素相互作用的方式不同，可以将上述关系设定为不同的合成模型，实际中最常用的有乘法模型和加法模型。 若以 Y 表示序列的数值，T 表示趋势值，S 表示季节变动值，C 表示循环变动值，I 表示不规则变动值，下标 t 表示时间（t=1,2,n）.82加法模型： 假定四种因素的影响是相互独立的。 每种因素的数值均与 Y 的计量单位和表现形式相同. 如绝对数序列中各种因素的数值都为绝对量。 季节变动和循环变动的数值有正有负，在它们各自的一个周期

33、范围内，正负数值相互抵消，因而总和或平均数为零；不规则变动的数值也是有正有负，但只有从长时间来看其总和或平均数才趋于零。 对各因素的分离采用减法。 如， （Yt St）表示从序列中剔除季节变动的影响。tttttICSTY83乘法模型 假定四种因素的影响作用大小是有联系的， 只有趋势值T与Y 的计量单位和表现形式相同（一般为绝对量绝对量）；其余各种因素的数值均表现为以趋势值为基准的一种相对变化率相对变化率，通常以百分数表示。 各个时间上的季节变动和循环变动数值在100上下波动，在它们各自的一个周期范围内，其平均值为100；不规则变动值也是在100上下波动，但只有从长时间来看其平均值才趋于100。

34、 对各因素的分离则采用除法。 例如，（Yt /St ）表示从时间序列中剔除季节变动的影响tttttYTSCI84q 把握现象随时间演变的趋势和规律；把握现象随时间演变的趋势和规律；q 对事物的未来发展趋势作出预测；对事物的未来发展趋势作出预测；q 便于更好地分解研究其他因素。便于更好地分解研究其他因素。8586 某企业历年的产品销售量数据如表9-5所示年份199319941995199619971998199920002001200220032004销售量（万件）5450526782708988849891106 用时距扩大法，依次将每三年的销售量进行合并，得到新的销售量序列，可更清楚地看出销

35、售量不断增长的长期趋势。 时距扩大法的优点：计算非常简单直观； 局限性。新序列的项数大大减少，丢失了原时间序列所包含的大量信息，不能详细反映现象的变化过程，不利于进一步的深入分析。年份1993-19951996-19981999-20012002-2004销售总量（万件）156219261295872.移动平均法 移动平均法（Moving Average）是采用逐项递进的办法，将原时间序列中的若干项数据进行平均，通过平均来消除或减弱时间序列中的不规则变动和其他变动，从而呈现出现象发展变化的长期趋势。 若平均的数据项数为K，就称为K 期(项)移动平均。 分为简单移动平均法和加权移动平均法两种。

36、简单移动平均法将各项数据等同看待，计算每个移动平均值时采用简单算术平均。 加权移动平均法给各期观测值赋予不同的权数，采用加权算术平均来计算每个移动平均值。 88移动平均法（续）年份a销售量3年移动平均154250352467582670789888984109811911210652.056.3367.00 73.00 80.33 82.33 87.00 90.00 91.00 98.33 5年移动平均61.00 64.20 72.00 79.20 82.60 85.80 90.00 93.40 891t2t3t4t5t6t7t3321ttt3432ttt3543ttt3654ttt3765t

37、tt2t3t4t5t6t901t2t3t4t5t6t7t441tt452tt463tt474tt3t4t5t9192移动平均法的特点：1.移动平均法对原时间序列具有修匀或平滑的作用，平均的时距项数 k 越大，移动平均的修匀作用越强。2.移动平均值代表的是所平均数据的中间位置上的趋势值即中心化移动平均法 平均项数 k 为奇数时，只需一次移动平均即得各期趋势值 当 k 为偶数时，则需对移动平均的结果进行中心化处理，即再作一次两项移动平均。3.当序列包含周期性变动时，平均的项数 k 应与周期长度一致 在消除不规则变动的同时，也消除周期性波动，使移动平均值序列只反映长期趋势。 季度数据通常采用4 期移

38、动平均，月度数据通常采用12 期移动平均。934.移动平均值序列的项数比原序列少，首尾缺少对应的趋势值 平均项数 k 为奇数时，新序列首尾各减少（k -1）/ 2 项； k为偶数时，首尾各减少 k / 2 项。5. 当现象呈非线性趋势时，加权移动平均比简单移动平均效果为好。 确定权数通常遵循“近大远小”的原则； 采用中心化移动平均法，其权数一般呈其权数一般呈“中间大、两端小中间大、两端小”的对称结构的对称结构。 例如5期移动平均中5个观测值的权数可分别为1,2,3,2,1；或者也可以是1,3,5,3,1，等等。6. 移动平均法不能直接进行外推预测。 只有在现象发展变化呈水平趋势的情况下，移动平

39、均值才能用于预测 预测时通常将移动平均值放在平均时距的最末一期上。94btaytaby 2ctbtay9596判断判断趋势趋势类型类型绘制散绘制散点图点图分析数分析数据特征据特征97tyi一阶差分一阶差分yi - yi-11234 na + ba + 2ba + 3ba + 4b a + nbbbb bbtay98tyi一阶差分一阶差分二阶差分二阶差分1234 na + b + ca + 2b + 4ca + 3b + 9ca + 4b + 16c a + nb + n2cb+3cb+5cb+7c b+(2n-1)c2c2c 2c2ctbtay99tyiyi / yi-11234 nabab2

40、ab3ab4 abnbbb btaby 1002tbtatytbnayt byattnyttynb22)(tbay101年份年份tGDP (y) tyt21986198719881989199019911992199319941995199619971998123456789101112137610.68491.39448.09832.210209.111147.712735.114452.916283.117993.719718.421454.723129.07610.616982.628344.039328.851045.566886.289145.7115623.2146547.9179

41、937.0216902.4257456.4300677.0149162536496481100121144169合计合计91182505.81516487.3819102tytbyattnyttynbttyytn89.131268.484868.4848139189.1312138 .18250589.131291819138 .182505913 .151648713)(,819, 3 .1516487, 8 .182505,91,132222即直线趋势方程为：则已知亿元14.232291489.131268.48481999y103btayytaya0 12345670123-1-2-30

42、t1042tbtynayynyattyb2tbyattnyttynb22)(2tbtatytbnay105年份年份ttGDP (y) tyt2198619871988198919901991199219931994199519961997199812345678910111213-6-5-4-3-2-101234567610.68491.39448.09832.210209.111147.712735.114452.916283.117993.719718.421454.723129.0-45663.6-42456.5-37792.0-29496.6-20418.2-11147.7014452

43、.932566.253981.178873.6107273.5138774.03625169410149162536合计合计910182505.8238946.7182106tyynyattybttyynt89.131291.1403891.14038138 .18250589.13121827 .238946,182,7 .238946, 8 .182505,130722即直线趋势方程为：则，项为原点，有取中间项第亿元14.23229789.131291.140381999y107 当现象的 K 级增长量大体接近一常数时，可拟合 K 次曲线趋势方程。 二级增长量（二次差）对逐期增长量序列再求

44、逐期增长量 三级增长量（三次差）对二级增长量序列再求逐期增长量 以次类推，可计算时间序列的 K 级增长量。Kkttbtbtbtbby.332210K 次曲线趋势方程：108二次曲线和三次曲线 实际中最常用的是二次曲线和三次曲线:2210tbtbbyt332210tbtbtbbyt109指数曲线 当现象的逐期发展速度或增长速度大体相同时，即现象大致按几何级数递增或递减时，其长期趋势可拟合为指数曲线方程 : a 相当于时间序列长期趋势的初始值， b 相当于平均发展速度。若b 1，呈递增趋势，b 1，时间序列呈递减趋势. 估计参数 a 和 b，可通过对数变换来线性化。 ttabyttaey或：或：)

45、(be 110其它非线性趋势曲线 用来拟合现象非线性趋势的曲线还有修正指数曲线、龚泊兹曲线和逻辑斯蒂曲线等等。 修正指数曲线的方程形式为：ttabKy (0b0) 数学特征：变量值的对数一次差的环比比率相等。 直观的趋势特征：初期增长缓慢、随后逐渐加快，达到一定程度后增长率又逐渐下降,直至接近一条水平线 Y=K 。 取对数, 可转化为修正指数曲线.tbtKay 112逻辑斯蒂曲线（Logistic curve） 逻辑斯蒂曲线的方程形式为： 数学特征：变量值倒数的一次差的环比比率相等。 所适合的场合与龚泊兹曲线的适合场合比较类似。ttabKy1 (K0,a0,1b0) 113第四节 季节变动和循

46、环波动测定季节变动的测定方法循环变动的测定方法不规则变动的测定方法114一、季节变动的测定方法 测定季节变动的意义 掌握现象的季节变动规律，为决策和预测提供重要依据; 从原序列中剔除季节变动的影响，更好地分析其他因素。 季节变动的测定 乘法模型中，季节变动的测定和分离都通过季节指数实现. 按是否消除长期趋势影响来分，测定方法可分为两大类： 一是不考虑长期趋势的影响，直接根据原序列去测定 常用方法是同期平均法； 二是先剔除长期趋势，然后根据趋势剔除后的序列来测定 常用方法是移动平均趋势剔除法。 至少要有三个以上季节周期的数据。如果季节变动的规律性不是很稳定，则所需要的数据还应更多一些为好。115

47、饮料的生产量及销售量在一年内的变化饮料的生产量及销售量在一年内的变化用电量在一年之内的增减用电量在一年之内的增减蔬菜价格在一年内的波动蔬菜价格在一年内的波动鲜花销售每年的几个旺季鲜花销售每年的几个旺季每年旅客运输的高峰期每年旅客运输的高峰期 季节变动的原因：一是自然四季的更季节变动的原因：一是自然四季的更替，即气候的变化；二是人们的民族风替，即气候的变化；二是人们的民族风俗习惯。俗习惯。116(一)同期平均法 基本原理是：假定时间序列呈水平趋势，通过对多年同期的数据进行简单算术平均，以消除不规则变动，再将各季节水平（同期平均数）与水平趋势值对比，即可得到季节指数。一般步骤： 1.计算同期平均数

48、 （i =1,2,L） 即将不同年份同一季节的多个数据进行简单算术平均。其目的是消除不规则变动的影响。一般要先将各年同一季节的数据对齐排列. 2.计算全部数据的总平均数 用以代表消除了季节变动和不规则变动之后的全年平均水平，亦即整个时间序列的水平趋势值。 3. 计算季节指数（也称为季节比率) Si .iyy%100yySii117同期平均法的假设：没有循环变动和长同期平均法的假设：没有循环变动和长期趋势的影响。即：期趋势的影响。即：ISyy则季节比率则季节比率 S 的求解程序为：的求解程序为：SyIISy首先：首先：然后：然后：SySy118季节指数 Si100，表示现象在第 i 期处于旺季，

49、即第 i 期水平高于全年平均水平； Siwt-1 wt-k+1。常常取自然数 K, K-1, , 2, 1。135移动平均预测（续） 移动平均预测的局限性 只具有预测未来一期趋势值的预测功能， 只适用于呈水平趋势的时间序列。 如果现象的发展变化具有明显的上升（或下降）趋势，则移动平均预测的结果就会产生偏高（或偏低）的滞后偏差，即预测值的变化滞后于实际趋势值的变化。 移动平均的项数K越大，滞后偏差就越大。136（二）指数平滑预测1.指数平滑法（Exponential smoothing）的基本原理 用 Et 表示第 t 期的指数平滑值，其计算公式为：为平滑系数(01)。指数平滑具有递推性质. 展

50、开后：1)1 (tttEyE01133221)1 ()1 (.)1 ()1 ()1 (EyyyyyEttttttt E0为初始值，通常设E0= y0。t时，最后一项系数趋近于0，其余各项的系数构成一个无穷递减等比数列，该数列总和为 1. 可见，指数平滑值 Et 实质上是以前各期观测值的加权算术平均数，各期观测值的系数就是其权数，权数呈指数形式递减。137指数平滑法的主要优点 按“近大远小”原则给各期观测值赋予了不同的权数，既充分利用了以前各期观测值的信息，又突出了近期数据的影响，能够及时跟踪反映现象的最新变化。 它采用递推公式，更便于连续计算，因为实际计算时不必保留以前全部信息，只需上期的平滑

51、值和最新的观测值两项数据即可。 其权数确定也较为简便，只需确定最新一期数据的权数，其他各项观测值的权数可自动生成。 138平滑系数的选择的选择是指数平滑法的关键，一般可从以下几个方面来考虑： (1)如果认为时间序列中随机波动成份较大，为了尽可能消除随机波动的影响，可选择较小的；反之，若认为随机波动成份较小，为了及时跟踪现象的变化，突出最新数据的信息，可选择较大的。 (2)如果现象趋势的变化很平缓，可选择较小的；如果现象趋势的变化比较剧烈，例如呈阶梯式特征，应选择较大的。 (3)通过大小不同的值进行试算，使得预测误差最小的值就是最合适的平滑系数。1392.一次指数平滑预测模型 当时间序列呈水平趋

52、势或没有明显波动规律时，可以用一次指数平滑进行短期预测：一次指数平滑预测的基本思想：如果第t期的预测没有误差，则第 t 期预测值仍然是第t+1期的预测值；如果有预测误差，则不外乎： 一部分是随机波动所引起的误差，预测时应尽可能予以剔除； 另一部分是由于 t 期的现象与以前比较确实有了实质性变化而造成的误差，对此须及时跟踪反应，这就要求根据预测误差调整预测值。值实质上体现了预测者对预测误差中实质性变化所占比重的估计。11)1 (ttttEyEy)(1ttttyyyy或：或：140【例9-17】 要求用移动平均法和指数平滑法进行预测. 解： 采用5日移动平均，加权移动平均预测中各期数据的权数由近到

53、远分别为5,4,3,2, 1。 指数平滑法预测取=0.4。日期价格移动平均加权移动平均指数平滑值17.20 27.09 7.200 37.05 7.156 47.20 7.114 57.32 7.148 67.20 7.172 7.195 7.217 77.25 7.172 7.205 7.210 87.38 7.204 7.231 7.226 97.51 7.270 7.289 7.288 107.42 7.332 7.369 7.377 117.35 7.352 7.399 7.394 127.25 7.382 7.398 7.376 137.17 7.382 7.354 7.326 14

54、7.21 7.340 7.283 7.263 157.28 7.280 7.240 7.242 167.30 7.252 7.240 7.257 177.242 7.256 7.274 1413.二次指数平滑的预测模型 二次指数平滑 E(2)是对第一次指数平滑值序列 E(1)再计算指数平滑值 ，即： )2(1) 1 ()2()1 (tttEEE 当现象有明显上升或下降趋势时，指数平滑值 E(1) 与趋势值 之间存在明显的滞后偏差，E(2)与 E(1)之间也存在着同样的滞后偏差。根据三者之间滞后偏差的数量关系，可得出线性趋势模型中参数估计值 at 和 bt ，并由此得到相应的线性趋势预测模型。y

55、 1423.二次指数平滑的预测模型（续） 利用二次指数平滑建立的线性趋势预测模型及其参数估计值的计算公式为：)(12)2()1()2()1(ttttttEEbEEaKbayttKt（K=1,2,） 二次指数平滑预测模型是以最近一期的一、二次指数平滑值来估计线性趋势预测模型的参数，因此，其参数估计值是根据数据的最新变化而不断修正的。 此预测方法适宜对现象进行短中期预测。143例9-18 根据表9-5的数据，利用指数平滑法进行预测.解：取=0.45，两次平滑的初始值都取为y1。参数估计值为： 17.10367.9142.9722004a71. 4)67.9142.97()55. 0/45. 0(2

56、004b87.107171.417.103120042005yy58.112271.417.103220042006yy年份销售量一次指数平滑值 E(1)二次指数平滑值 E(2)atbt预测值935454.00 54.00 945052.20 53.19 51.21 -0.81 955252.11 52.70 51.52 -0.49 50.40 966758.81 55.45 62.17 2.75 51.03 978269.25 61.66 76.83 6.21 64.92 987069.59 65.23 73.94 3.57 83.04 998978.32 71.12 85.52 5.89

57、77.51 008882.68 76.32 89.03 5.20 91.42 018483.27 79.45 87.10 3.13 94.23 029889.90 84.15 95.65 4.70 90.22 039190.39 86.96 93.83 2.81 100.35 0410697.42 91.67 103.17 4.71 96.64 2005年和年和2006年的销售量预测值为：年的销售量预测值为： 144三、自回归预测 同一时间序列前后观测值之间的相关关系称为自相关。 观测值 yt 对其以前若干期观测值 yt-k（k=1,2,）的回归称为自回归。 根据自回归模型进行预测就是自回归预测。 yt-k也称为滞后期观测值，k 称为滞后期。 若考虑 p个滞后期观测值，则自回归模型称为 p 阶自回归模型，通常记为AR(p)