概率论与数理统计：第2章 第三节随机变量的分布函数

1、概率统计为了对离散型的和连续型的为了对离散型的和连续型的 随机变量随机变量,以及更广泛以及更广泛类型的随机变量类型的随机变量给出一种统一的描述方法，引进给出一种统一的描述方法，引进了了分布函数分布函数的概念的概念.0.10.30.6kPK012 f (x)xo第三节第三节 随机变量的分布函数随机变量的分布函数概率统计设设 X 是一个随机是一个随机变量变量，称称：( )()F xP Xx ()x 为为 X 的分布函数的分布函数. 记作记作: X F(x) 或或 FX(x).一一. .随机变量的分布函数随机变量的分布函数1.1.定义定义: :Xx xx注注 如果将如果将 X 看作数轴上随机点的坐标

2、，则分看作数轴上随机点的坐标，则分 布函数布函数 F(x) 的值就表示的值就表示 X落在区间落在区间 上的概率上的概率(, x 概率统计因此，只要知道了随机变量因此，只要知道了随机变量X的分布函数，的分布函数， 它的统计特性就可以得到全面的描述它的统计特性就可以得到全面的描述.2. 性质性质F(x)是一个不减函数，是一个不减函数，12()()0F xF x注注 对任意的实数对任意的实数1212,()xxxx 122121()()()()()P xXxP XxP XxF xF x分布函数是个普通函数分布函数是个普通函数 性质性质1则：则：12,xx 即若即若概率统计证证: :211212()()

3、()0,()F xF xP xXxxx)()(21xFxF 即即 1)(lim)(0)(lim)(:1)(0 xFFxFFxFxx且且特别特别: :若若 X 仅在仅在 内取值，则有内取值，则有:,(ba1)()(, 0)()( bXPbFaXPaF性质性质300lim( )()xxF xF x 即即 性质性质2( )F x是是右右连续的函数连续的函数( )()F xP Xx 若分布函数定义为：若分布函数定义为：注注则为则为左左连续连续的函数的函数 证证:略略.概率统计二二. 离散型随机变量的分布函数离散型随机变量的分布函数一般一般: 若离散型随机变量若离散型随机变量X的分布律为的分布律为:,

4、2 , 1)( kpxXPkk则其则其分布函数分布函数为为: xxkkxXPxXPxF)()()(注注:kxx 是指对所有满足是指对所有满足kxx 的的k求和；求和；( )kF xxx 在在处有跳跃，其跳跃值为：处有跳跃，其跳跃值为：()kkpP Xx , 其图形是个阶梯形图形：其图形是个阶梯形图形：概率统计0 x1x2xnx0p1pnp1 的图形的图形( )F x概率统计例例1. 设离散型随机变量设离散型随机变量X的分布律为的分布律为:XkP210216131(1) X的分布函数的分布函数(2)(2)实际上它把整个实际上它把整个数轴分成了数轴分成了4段段解解:求求:x012当当 x0 时时,

5、x0为不可能事件为不可能事件,F(x)=0)231(),231(),21( XPXPXP概率统计当当 1 x 2 时时 XkP210216131F(x) = P(X x) = P(X=0) =13当当 0 x 1 时时131612F(x) = P (X=0) + P (X=1) = + =x012x012概率统计 故得：故得： 注意注意右连续右连续001013( )112212xxF xxx F(x) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = 1x012当当 x 2 时时 概率统计212121103100 xxxxxF,/,/,)(概率函数图概率函数图31120 x)(xXP6

6、12111 312120 x()P Xx 1 61 21 6OOO1( )F x分布函数图分布函数图画分布画分布函数图函数图212613110X概率统计 不难看出不难看出：F(x) 的图形是阶梯状的图形，的图形是阶梯状的图形， 在在 x=0，1，2 处有跳跃，其跃度分别等于处有跳跃，其跃度分别等于 P(X=0) , P(X=1) , P(X=2).1 312120 x1 61 21 6OOO1( )F x概率统计(2).(2).111()( )2233311(1)( )(1)0222233(1)( )(1)(1)2211112266P XFPXFFPXFFP X在离散型随机变量中要在离散型随机变量中要特别注意端点特别注