冀教版初二数学21.3用待定系数法确定一次函数表达式

1、八年级数学八年级数学下下 新课标新课标冀教冀教第第二十一二十一章章 一次函数一次函数 学习新知学习新知检测反馈检测反馈学学 习习 新新 知知问题思考问题思考1.想一想。请学生判断四个一次函数中k,b的符号.12322.练一练.画出函数y= x与y=- x+3的图像.你在作这两个函数图像时,分别描了几个点?你为何选取这几个点?可以有不同的取法吗?活动活动1待定系数法的探究待定系数法的探究某物体沿一个斜坡下滑,它的速度v(米/秒)与其下滑时间t(秒)的关系如图所示.(1)写出v与t之间的关系式;(2)下滑3秒时物体的速度是多少?方法引导:(1)要求v与t之间的关系式,首先应观察图像,确定它是正比例

2、函数的图像,还是一次函数的图像,然后设函数表达式,再把已知的坐标代入表达式求出待定系数即可.(2)因为函数图像过原点,且是一条直线,所以这是一个正比例函数的图像,设表达式为v=kt,由图像可知(2,5)在直线上.所以把t=2,v=5代入上式求出k,就可知v与t的关系式了.525252解解:(1)由题意可知v是t的正比例函数,可设v=kt,(2,5)在函数图像上,2k=5,k= ,v与t的关系式为v= t.(2)求下滑3秒时物体的速度,就是求当t等于3时的v的值.当t=3时,v= 3=7.5.在下图中,直线PQ上两点的坐标分别为P(-20,5),Q(10,20).怎样确定这条直线所对应的一次函数

3、表达式呢?图像对应一次函数,经过点P(-20,5)和Q(10,20),设一次函数表达式为y=kx+b.把P,Q两点坐标代入组成二元一次方程组,求出k和b的值,即可确定函数的表达式.解解:设这个一次函数表达式为y=kx+b,由图像可知直线过点P(-20,5)和Q(10,20),5=2020=10kbkb，1215kb，可得解得所以这个一次函数的表达式为y= x+15.12请大家从这两道题的解题经历中,总结一下如果已知函数的图像,怎样求函数的表达式.大家互相讨论之后再表述出来.(1)确认其为一次函数(或正比例函数).(2)设表达式为y=kx+b(正比例函数设为y=kx).(3)根据变量的两组对应值

4、(正比例函数只需一组),列方程组(或方程),求出k与b的值.归纳:确定正比例函数的表达式需要一个条件,确定一次函数的表达式需要两个条件.(教材第97页例题)一辆汽车匀速行驶,当行驶了20 km时,油箱剩余58.4 L油;当行驶了50 km时,油箱剩余56 L油.如果油箱中剩余油量y(L)与汽车行驶的路程x(km)之间是一次函数关系,请求出这个一次函数的表达式,并写出自变量x的取值范围以及常数项的意义.解解:设所求一次函数的表达式为y=kx+b.58.4=2056=50kbkb，0.0860kb ，根据题意,把已知的两组对应值(20,58.4)和(50,56)代入,得解得 这个一次函数表达式为y

5、=-0.08x+60.(补充)小明根据某个一次函数关系式填写了下表:其中有一格不慎被墨汁遮住了,想想看,该空格里原来填的数是多少?用待定系数法求一次函数的表达式,一般步骤如下:(1)设出一次函数表达式y=kx+b.(2)根据条件,列出关于k和b的二元一次方程组.(3)解这个方程组,求出k与b的值,从而得到一次函数表达式.知识拓展知识拓展正比例函数y=kx(只有一个待定系数k)一般只需一个条件即可求出k的值;一次函数y=kx+b(有两个待定系数k和b)一般需要两个条件,列出方程组才能求出k和b的值,确定一次函数的表达式还有如下几种方法:(1)根据基本数量关系列出表达式,如弹簧长度=弹簧原长+弹簧

6、伸长的长度;(2)根据数学公式列表达式,如矩形周长=(长+宽)2;(3)列出关于自变量x和函数y的二元一次方程组,然后用含x的代数式表示y.1.待定系数法.确定一次函数表达式的主要方法是待定系数法,即先求出式子中的未知系数,再根据已知条件列出方程(组)求出未知系数,从而写出这个式子的方法,其中未知系数也称为待定(等待确定)系数,如正比例函数y=kx中的k,一次函数y=kx+b中的k和b,都是待定系数.2.求一次函数(含正比例函数)的表达式.(1)由问题的实际意义直接写出.(2)确认其为一次函数,然后采用以下步骤:设表达式为y=kx+b(正比例函数设为y=kx);(2)根据变量的两组对应值(正比

7、例函数只需一组)列方程组(或方程)求出k与b的值.注意:求正比例函数,只要一对x,y的值就可以,因为它只有一个待定系数;而求一次函数y=kx+b,则需要两组x,y的值.检测反馈检测反馈1.若一次函数y=kx+17的图像经过点(-3,2),则k的值为()A.-6B.6C.-5D.5解析:由一次函数y=kx+17的图像经过点(-3,2),故将x=-3,y=2代入一次函数解析式,得2=-3k+17,解得k=5,则k的值为5.故选D.D2.一次函数的图像经过点(2,1)和(-1,-3),则它的解析式为()35.43A yx43.35B yx33.45C yx43.35D yx213kbkb ，435-

8、3kb ，4335yx解析:一次函数y=kx+b的图像经过两点(2,1)和(-1,-3), 解得 一次函数解析式为 .故选D.D3.一次函数y=kx+b的图像如图所示,则()1.3-1kAb ，1.31kBb，3.1kCb，1.31kDb ，.0=31kbb ，131kb ，解析:由函数图像可知直线与x,y轴相交的点的坐标分别为(3,0),(0,-1), 解得 故选D.D4.已知y与x+1成正比,当x=2时,y=9,那么当y=-15时,x的值为 ()A.4B.-4C.6D.-6解析解析:设y=k(x+1),把x=2,y=9代入得k=3,所以y=3(x+1)=3x+3,当y=-15时,3x+3=

9、-15,解得x=-6.故选D.D34359105.八个边长为1的正方形按如图所示摆放在平面直角坐标系中,经过原点的一条直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分,则该直线l的解析式为()A.y=-x B.y=- xC.y=- x D.y=- x1210310310,33103910910解析:如图所示,设直线l和八个正方形的最上面交点为A,过A作ABy轴于B,过A作ACx轴于C,正方形的边长为1,OB=3,经过原点的一条直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分,SAOB=4+1=5, OBAB=5,AB= ,OC= ,由此可知直线l经过点 ,设直线方程为y=kx,则3=- k,k=- ,直线l的

10、解析式为y=- x.故选D.D7.如图所示,OPQ是边长为2的等边三角形,若正比例函数的图像过点P,则它的解析式是 . 12122222213OPOD解析:过点P作PDx轴于点D,OPQ是边长为2的等边三角形,OD= OQ= 2=1,在RtOPD中,OP=2,OD=1,PD= ,P(1, ),设直线OP的解析式为y=kx(k0),k= ,直线OP的解析式为y= x.故填y= x.33333yx6.如图所示,若点P(-2,4)关于y轴的对称点在一次函数y=x+b的图像上,则b的值为()A.-2B.2C.-6D.6解析:由题意得对称点P的坐标为(2,4),代入得2+b=4,解得b=2.故选B.B8

11、.一次函数y=kx+b的图像如图所示.(1)求出该一次函数的表达式;(2)当x=10时,y的值是多少?(3)当y=12时,x的值是多少?解析:(1)观察函数的图像,得出一次函数的图像经过点(2,0),(0,-2),代入函数解析式即得出一次函数的表达式.(2)(3)再分别令x=10和y=12,即可得出对应的y,x的值.202kbb ，1-2kb，解:(1)观察图像可得一次函数的图像经过点(2,0),(0,-2),代入函数的解析式y=kx+b中,得 解得一次函数的表达式为y=x-2.(2)令x=10,得y=10-2=8.(3)令y=12,得x=12+2=14.12129.已知y是x的一次函数,且当

12、x=-4时,y=9;当x=6时,y=-1.求:(1)这个一次函数的解析式,自变量x的取值范围;(2)当x=- 时,函数y的值;(3)当y1时,自变量x的取值范围.解析解析:(1)利用待定系数法求得函数的解析式;(2)把x=- 代入函数解析式求得y的值;(3)根据y1即可列出不等式求解.4961kbkb ，15kb ，解:(1)设y=kx+b,根据题意得 解得 则函数的解析式是y=-x+5,x是任意实数.1212112(2)把x=- 代入解析式得y= +5= .(3)根据题意得-x+54.10.某摩托车的油箱最多可存油5升,行驶时油箱内的余油量y(升)与行驶的路程x(km)成一次函数关系,其图像如图所示.(1)求y与x的函数关系式;(2)摩托车加满油后到完全燃烧,最多能行驶多少千米?53bkb，60，5130bk ，130解析解